遼寧省部分重點中學(xué)協(xié)作體2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)模擬卷C（含解析）

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解析版

本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘

一、選擇題：本題共小題，每小題分，共分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1．已知集合、集合，且，則實數(shù)的取值范圍為（）。

A、B、C、D、

【答案】B

【解析】由題意可得，若，則，故選B。

2．若復(fù)數(shù)z滿足、，則的實部為（）。

A、B、C、D、

【答案】C

【解析】設(shè)復(fù)數(shù)（），則，則由、可得且，

解得、，∴，其實部為，故選C。

3．已知命題：，，則為（）。

A、，B、，C、，D、，

【答案】A

【解析】∵命題：，，∴命題：，，故選A。

4．已知函數(shù)（）在內(nèi)恰有個極值點和個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）。

A、B、C、D、

【答案】A

【解析】，∵，∴，

又∵在內(nèi)恰有個極值點和個零點，

∴由圖像得，解得，∴實數(shù)的取值范圍是，故選A。

5．設(shè)數(shù)列滿足：，，記數(shù)列的前項之積為，則（）。

A、B、C、D、

【答案】C

【解析】由、得：、、、……，

則數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，又，且，

∴，故選C。

6．已知點是平面上的任意一點，、、是平面上不共線的三個動點，且點滿足：

，則動點的軌跡一定通過的（）。

A、重心B、外心C、垂心D、內(nèi)心

【答案】C

【解析】由題意可知，

即，

∴，動點在的高線上，動點的軌跡一定通過的垂心，故選C。

7．在信息傳遞中多數(shù)是以波的形式進(jìn)行傳遞，其中必然會存在干擾信號（形如，其中，，），某種“信號凈化器”可產(chǎn)生形如的波，只需要調(diào)整參數(shù)，就可以產(chǎn)生特定的波（與干擾波波峰相同，方向相反的波）來“對抗”干擾。現(xiàn)有波形信號的部分圖像，想要通過“信號凈化器”過濾得到標(biāo)準(zhǔn)的正弦波（標(biāo)準(zhǔn)正弦函數(shù)圖像），應(yīng)將波形凈化器的參數(shù)分別調(diào)整為（）。

A、、、

B、、、

C、、、

D、、、

【答案】B

【解析】設(shè)干擾信號對應(yīng)的函數(shù)解析式為（，，），

由題圖得（為干擾信號的周期），解得，∴，

∵函數(shù)的最大值為，∴，將代入，解得，，

∵，∴，∴，

∴欲消除的波需要選擇相反的波，即，

∴、、，故選B。

8．若，其中、，則下列結(jié)論一定成立的是（）。

A、B、C、D、

【答案】D

【解析】∵，其中、，

∴，其中、，

令，定義域為，，令，解得，

當(dāng)時，，∴在內(nèi)單調(diào)遞減，

當(dāng)時，，∴在內(nèi)單調(diào)遞增，

∴在處取得極小值，也是最小值，∴，

即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，

∴（），∴（、），

令，定義域為，，令，解得，

當(dāng)時，，∴在內(nèi)單調(diào)遞減，

當(dāng)時，，∴在內(nèi)單調(diào)遞增，

則（、）等價于（、），

∴，即，∴，即，故選D。

二、選擇題：本題共小題，每小題分，共分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得分，有選錯的得分，部分選對的得分。

9．已知向量，將向量繞坐標(biāo)原點逆時針轉(zhuǎn)角得到向量（），則下列說法正確的是（）。

A、B、

C、D、

【答案】BCD

【解析】以、為鄰邊作平行四邊形，則，即，

∴，∴A選項錯，B選項對，

∵，∴，又∵，∴由余弦定理得：

，∴C選項對，

∵，∴為菱形，又∵、，∴，∴D選項對，

故選BCD。

10．已知數(shù)列滿足：，（），則下列說法錯誤的是（）。

A、數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列B、數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列

C、數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列D、數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列

【答案】BCD

【解析】當(dāng)時，∵，∴，

當(dāng)時，，

驗證，當(dāng)時，符合，∴當(dāng)時，，

A選項，，由性質(zhì)可知是單調(diào)遞增數(shù)列，對，

B選項，，由性質(zhì)可知是單調(diào)遞減數(shù)列，錯，

C選項，，則數(shù)列是常數(shù)列，錯，

D選項，，由性質(zhì)可知是單調(diào)遞減數(shù)列，錯，

故選BCD。

11．如圖所示，矩形所在平面與正方形所在平面互相垂直，，為線段上的動點，則

（）。

A、

B、多面體的體積為

C、若為線段的中點，則平面

D、點、分別為線段、上的動點，點在平面內(nèi)，則的最小值是

【答案】ACD

【解析】如圖所示，將幾何體補(bǔ)全成棱長為的正方體，在該正方體中，

∵、，∴，A選項對，

∵，B選項錯，

當(dāng)為線段的中點時，∵，平面，平面，∴平面，

同理平面，又，平面，平面，

∴平面平面，平面，∴平面，C選項對，

設(shè)關(guān)于的對稱點為，關(guān)于的對稱點為，則在線段上，

記為直線與之間的距離，

∵，且平面，平面，∴平面，

即轉(zhuǎn)化為點到平面的距離，即長度的三分之二，，

則，

經(jīng)檢驗點、都分別在線段、上，D選項對，

附證：平面，

∵平面，平面，∴，

又∵，，∴平面，

∵平面，∴，同理，且，

∴平面，，設(shè)點到平面的距離為，根據(jù)等體積可知，

∴，解得，∴點到平面的距離為。

故選ACD。

12．對，下列命題正確的是（）。

A、B、C、D、

【答案】AB

【解析】A選項，令，，

∵，∴，∴，即函數(shù)單調(diào)遞增，又，∴，

∴，即，故A正確，

B選項，，，

，，

∵，∴，，則，在遞增，

即有，即，在遞增，即有，故B正確，

C選項，令，，，由，故C錯誤，

D選項，令，，，，故D錯誤，故選AB。

三、填空題：本題共小題，每小題分，共分。

13．已知平面向量、，且，則。

【答案】

【解析】由題意得，由得，

∴，∴。

14．已知為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)，，且關(guān)于直線對稱。設(shè)方程的正數(shù)解為、、…、、…，且任意的，總存在實數(shù)，使得成立，則實數(shù)的最小值為。

【答案】

【解析】∵為定義在上的奇函數(shù)，∴且，

又關(guān)于直線對稱，∴，∴，

則，∴函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，

作出函數(shù)和的圖像如圖所示，

由的正數(shù)解依次為、、…、、…，

則的幾何意義為函數(shù)兩條漸近線之間的距離為，

∴，∴對于任意的，，∴，即的最小值為。

15．在銳角的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，若，則的取值范圍為。

【答案】

【解析】在中，，由題意及正弦定理得：，

∴，∴，

∴，又、，∴，

∴，∴，

又為銳角三角形，∴，∴，解得，

∴。

16．在棱長為的正方體中，、分別為、的中點，點在正方體表面上運(yùn)動，且滿足，則點軌跡的長度為。

【答案】

【解析】以為坐標(biāo)原點，以、、為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

∴、、、，∴，

設(shè)，則，

∵，∴，即，

當(dāng)時，當(dāng)時，

取、、、，

連結(jié)、、、，則、，

∴、，∴四邊形為矩形，即、，

又和為平面中的兩條相交直線，∴平面，

又、，∴為的中點，則平面，

為使，必有點平面，

又點在正方體表面上運(yùn)動，∴點的軌跡為四邊形，

又，，∴，則點的軌跡不是正方形，

則矩形的周長為。

四、解答題：本題共小題，共分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17．（本小題滿分分）已知函數(shù)。

（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

（2）在中，角、、所對的邊分別為、、，且（為銳角），，，求、。

【解析】（1）

，2分

令，解得，

∴的單調(diào)增區(qū)間為，；4分

（2）在中，，

，，又，∴，6分

，∴，7分

由余弦定理得：，∴，即，

代入數(shù)值得：，即，即，解得，∴。10分

18．（本小題滿分分）已知數(shù)列中，，，且當(dāng)時，。

（1）設(shè)，試用表示，并求的通項公式；

（2）設(shè)（），求數(shù)列的前項和。

【解析】（1）當(dāng)時，，1分

∴，∴，

∴當(dāng)時，，4分

又當(dāng)時，，∴當(dāng)時，，；6分

（2）由（1）可知，

∴，9分

∴

。12分

19．（本小題滿分分）如圖所示，在中，，為上一點，。

（1）若為的中點，，求的面積；

（2）若，求的面積的最小值。

【解析】（1）∵為的中點，∴，

∴，2分

∵，，∴、，3分

∴，4分

由余弦定理得：，∴，5分

∴，∴；6分

（2）∵，∴，

∵，∴，8分

∴，

又，∴，10分

∵，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，

∴，即，∴。12分

20．（本小題滿分分）如圖所示，在三棱柱中，，四邊形是菱形，，點在棱上，且。

（1）若，證明：平面平面。

（2）若，是否存在實數(shù)，使得平面與平面所成角的余弦值是？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。

【解析】（1）證明：取的中點，連接、，∵四邊形是菱形，且，∴，

∵為的中點，∴，1分

∵，且為的中點，∴，

∵且、平面，∴平面，2分

∵平面，∴，

∵，且、平面，∴平面，3分

∵平面，∴平面平面；4分

（2）解：∵，∴，∴，

∵為的中點，∴，

∵四邊形是菱形，且，∴是等邊三角形，

∵是的中點，∴，

∵，∴，且、、兩兩垂直，

以為原點、、的方向分別為、、軸的正方向，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，6分

設(shè)，則、、、、，

∴、、、、，

∵，∴，∴，7分

設(shè)平面的法向量為，則，即，

令，則，，∴，9分

設(shè)平面的法向量為，則，即，

令，則，，∴，11分

設(shè)平面與平面所成的角為，

則，解得或，

又，∴均可取，

∴存在或，使得平面與平面所成角的余弦值是。12分

21．（本小題滿分分）已知函數(shù)（），曲線在點處的切線方程為

。

（1）求、的值；

（2）若、是兩個正數(shù)，且，證明：。

【解析】（1）的定義域為，，1分

∵曲線在點處的切線方程為，

∴，即，解得、；3分

（2）由（1）可知，令，定義域為，

∴，∴在上單調(diào)遞增，

∵、是兩個正數(shù)，且，∴，設(shè)，5分

當(dāng)時，命題顯然成立，得證，6分

當(dāng)時，令，定義域為，

∴，

∴當(dāng)時，、，∴，∴在上單調(diào)遞增，8分

∴，即，∴，9分

∵，∴，∴，10分

∵在上單調(diào)遞增，∴，即，11分

綜上所述，。12分

22．（本小題滿分分）設(shè)且，函數(shù)，。

（1）證明：恒成立；

（2）若對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍。

【解析】（1）證明：的定義域為，，令，解得，1分

當(dāng)時，，∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，2分

當(dāng)時，，∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，3分

∴在處取得極小值也是最小值，∴，∴恒成立；4分

（2）①當(dāng)時，取，則，即不符合題意，5分

②當(dāng)時，取，則，即不符合題意，6分

③當(dāng)時，由，∴，

即對恒成立，

令，，且，

∴對恒成立，8分

設(shè)，，

則，設(shè)，

則，

由（1）知，∴，

同理，由可推出，

∴，即在上單調(diào)遞增，又，

∴在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，∴成立，11分

綜上所述，實數(shù)的取值范圍為。12分遼寧省部分重點中學(xué)協(xié)作體2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)模擬卷C

本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘

一、選擇題：本題共小題，每小題分，共分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1．已知集合、集合，且，則實數(shù)的取值范圍為（）。

A、B、C、D、

2．若復(fù)數(shù)z滿足、，則的實部為（）。

A、B、C、D、

3．已知命題：，，則為（）。

A、，B、，

C、，D、，

4．已知函數(shù)（）在內(nèi)恰有個極值點和個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）。

A、B、C、D、

5．設(shè)數(shù)列滿足：，，記數(shù)列的前項之積為，則（）。

A、B、C、D、

6．已知點是平面上的任意一點，、、是平面上不共線的三個動點，且點滿足：

，則動點的軌跡一定通過的（）。

A、重心B、外心C、垂心D、內(nèi)心

7．在信息傳遞中多數(shù)是以波的形式進(jìn)行傳遞，其中必然會存在干擾信號（形如，其中，，），某種“信號凈化器”可產(chǎn)生形如的波，只需要調(diào)整參數(shù)，就可以產(chǎn)生特定的波（與干擾波波峰相同，方向相反的波）來“對抗”干擾?，F(xiàn)有波形信號的部分圖像，想要通過“信號凈化器”過濾得到標(biāo)準(zhǔn)的正弦波（標(biāo)準(zhǔn)正弦函數(shù)圖像），應(yīng)將波形凈化器的參數(shù)分別調(diào)整為（）。

A、、、

B、、、

C、、、

D、、、

8．若，其中、，則下列結(jié)論一定成立的是（）。

A、B、C、D、

二、選擇題：本題共小題，每小題分，共分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得分，有選錯的得分，部分選對的得分。

9．已知向量，將向量繞坐標(biāo)原點逆時針轉(zhuǎn)角得到向量（），則下列說法正確的是（）。

A、B、

C、D、

10．已知數(shù)列滿足：，（），則下列說法錯誤的是（）。

A、數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列B、數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列

C、數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列D、數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列

11．如圖所示，矩形所在平面與正方形所在平面互相垂直，，為線段上的動點，則

（）。

A、

B、多面體的