高中數(shù)學(xué)人教A版（2023）選修1 3.1 橢圓的性質(zhì)和應(yīng)用 選擇題專項(xiàng)章節(jié)綜合練習(xí)題（答案+解析）

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3.1橢圓的性質(zhì)和應(yīng)用選擇題專項(xiàng)

一、選擇題

1．（2023高二下·深圳期末）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，若，且，則的離心率為（）

A．B．C．D．

2．（2023·廣州模擬）已知以為焦點(diǎn)的橢圓與直線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（）

A．B．C．D．

3．已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，若焦距為，則該橢圓的離心率為（）

A．B．C．D．

4．（2023高三上·廣州月考）已知分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，M，N是橢圓上兩點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為（）

A．B．C．D．

5．（2023高三上·陽江開學(xué)考）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，以為圓心的圓與軸交于，兩點(diǎn)，與軸正半軸交于點(diǎn)，線段與交于點(diǎn).若與的焦距的比值為，則的離心率為（）

A．B．C．D．

6．（2023高二下·鎮(zhèn)巴縣期末）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過作垂直于軸的直線，在第二象限分別交及圓于點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，為的上頂點(diǎn)，則（）

A．B．C．D．

7．（2023高二下·青浦期末）點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)（不與重合），若（是坐標(biāo)原點(diǎn)），則橢圓的離心率的取值范圍是（）

A．B．C．D．

8．（2023高二下·安寧期末）已知橢圓的左，右兩焦點(diǎn)為和，P為橢圓上一點(diǎn)，且，則（）

A．8B．12C．16D．64

9．（2023高二下·達(dá)州期末）橢圓任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)軌跡為圓：，這個(gè)圓稱為橢圓的蒙日?qǐng)A．在圓上總存在點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P能作橢圓的兩條相互垂直的切線，則r的取值范圍是（）

A．B．C．D．

10．（2023高二下·杭州期末）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，是橢圓上不與頂點(diǎn)重合的一點(diǎn)，記為的內(nèi)心．直線交軸于點(diǎn)，，且，則橢圓的離心率為（）

A．B．C．D．

11．（2023高二下·杭州）設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，是橢圓上不與頂點(diǎn)重合的一點(diǎn)，記是的內(nèi)心直線交軸于點(diǎn)，，且，則橢圓的離心率為（）

A．B．C．D．

12．（2023·黃埔）若雙曲線的兩條漸近線與橢圓：的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓的離心率為（）

A．B．C．D．

13．（2023高二下·鹽田月考）橢圓的左右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上（不與重合），且直線的斜率的取值范圍是，那么直線斜率的取值范圍是（）

A．B．C．D．

14．（2023·全國(guó)甲卷）設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（）

A．1B．2C．4D．5

15．（2023·順德模擬）已知橢圓的下焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，直線交橢圓于另一點(diǎn)，且，則橢圓的離心率是（）

A．B．C．D．

16．（2023·溫州模擬）如圖，是橢圓的左右頂點(diǎn)，是上不同于的動(dòng)點(diǎn)，線段與橢圓交于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（）

A．B．C．D．

17．（2023高三下·杭州模擬）如圖，某同學(xué)用兩根木條釘成十字架，制成一個(gè)橢圓儀.木條中間挖一道槽，在另一活動(dòng)木條的處鉆一個(gè)小孔，可以容納筆尖，各在一條槽內(nèi)移動(dòng)，可以放松移動(dòng)以保證與的長(zhǎng)度不變，當(dāng)各在一條槽內(nèi)移動(dòng)時(shí)，處筆尖就畫出一個(gè)橢圓.已知，且在右頂點(diǎn)時(shí)，恰好在點(diǎn)，則的離心率為（）

A．B．C．D．

18．（2023高三下·湘豫開學(xué)考）河南一國(guó)家級(jí)濕地，以其獨(dú)特的地理環(huán)境和良好的生態(tài)環(huán)境，吸引了全國(guó)近三分之一的鳥種在此繁衍生息，成了鳥類自然保護(hù)區(qū).天鵝戲水、白鷺覓食，形成了一幅群鳥嬉戲的生態(tài)美景.該保護(hù)區(qū)新建一個(gè)橢球形狀的觀鳥臺(tái)，橢球的一部分豎直埋于地下，其外觀的三視圖（單位：米）如下，正視圖中橢圓（部分）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為16米，則該橢球形狀觀鳥臺(tái)的最高處到地面的垂直高度為（）

A．8米B．10米C．12米D．16米

19．（2023高二上·咸陽期末）2022年11月30日7時(shí)33分，神舟十五號(hào)3名航天員順利進(jìn)駐中國(guó)空間站，與神舟十四號(hào)航天員乘組首次實(shí)現(xiàn)“太空會(huì)師”，一般來說，航天器繞地球運(yùn)行的軌道近似看作為橢圓，其中地球的球心是這個(gè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，我們把橢圓軌道上距地心最近（遠(yuǎn)）的一點(diǎn)稱作近（遠(yuǎn)）地點(diǎn)，近（遠(yuǎn)）地點(diǎn)與地球表面的距離稱為近（遠(yuǎn)）地點(diǎn)高度.已知中國(guó)空間站在一個(gè)橢圓軌道上飛行，它的近地點(diǎn)高度約為351，遠(yuǎn)地點(diǎn)高度約為385，地球半徑約為6400，則該軌道的離心率約為（）

A．B．C．D．

20．（2022高二上·張掖月考）已知橢圓上存在兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，且的中點(diǎn)在拋物線上，則實(shí)數(shù)的值為（）

A．0或B．C．0或2D．2

21．（2022·聯(lián)合模擬）如圖，神舟十二號(hào)的飛行軌道是以地球球心為左焦點(diǎn)的橢圓（圖中虛線），我們把飛行軌道上的點(diǎn)與地球表面上的點(diǎn)的最近距離叫近地距離，最遠(yuǎn)距離叫遠(yuǎn)地距離.設(shè)地球半徑為，若神舟十二號(hào)飛行軌道的近地距離是，遠(yuǎn)地距離是，則神舟十二號(hào)的飛行軌道的離心率為（）

A．B．C．D．

22．（2022·邯鄲模擬）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)，則滿足為直角三角形的點(diǎn)有（）

A．2個(gè)B．4個(gè)C．6個(gè)D．8個(gè)

23．（2023高二上·貴港期末）設(shè)分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上且，則的面積為（）

A．B．8C．7D．16

24．（2023高二下·成都期末）如圖，已知橢圓和雙曲線有公共的焦點(diǎn)，，的離心率分別為，且在第一象限相交于點(diǎn)，則下列說法中錯(cuò)誤的是（）

①若，則；②若，則的值為1；③的面積；④若，則當(dāng)時(shí)，取得最小值2．

A．①②B．②③C．③④D．②④

25．（2023高二上·余姚期末）已知是橢圓的左焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值為（）

A．B．C．3D．

26．（2022高二上·湖北月考）用平面截圓柱面，當(dāng)圓柱的軸與所成角為銳角時(shí)，圓柱面的截線是一個(gè)橢圓.著名數(shù)學(xué)家Dandelin創(chuàng)立的雙球?qū)嶒?yàn)證明了上述結(jié)論.如圖所示，將兩個(gè)大小相同的球嵌入圓柱內(nèi)，使它們分別位于的上方和下方，并且與圓柱面和均相切.給出下列三個(gè)結(jié)論：

①兩個(gè)球與的切點(diǎn)是所得橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)；

②橢圓的短軸長(zhǎng)與嵌入圓柱的球的直徑相等；

③當(dāng)圓柱的軸與所成的角由小變大時(shí)，所得橢圓的離心率也由小變大.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A．①B．②③C．①②D．①③

27．（2022高二上·廣州期中）已知橢圓）的焦點(diǎn)為，，是橢圓上一點(diǎn)，且，若的內(nèi)切圓的半徑滿足，則（其中為橢圓的離心率）的最小值為（）

A．B．C．D．

28．（2022高二上·南陽期中）已知A，B分別是橢圓與圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）

A．B．C．D．

29．（2022·包頭模擬）設(shè)P是橢圓的下頂點(diǎn)，若C上存在點(diǎn)Q滿足，則C的離心率的取值范圍是（）

A．B．C．D．

30．（2023高二上·運(yùn)城月考）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F，雙曲線的左、右焦點(diǎn)，分別為，，點(diǎn)P是雙曲線左支上一點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（）

A．5B．C．10D．14

答案解析部分

1．【答案】A

【解析】【解答】解：設(shè)，為橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，∴，

∵過原點(diǎn)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，

∴，，

∴，即

∵，∴，

∴，

∴，

∴.

故選：A.

【分析】首先設(shè)，為橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，由于過原點(diǎn)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，所以，即可求出a，根據(jù)勾股定理求出AB，再根據(jù)中位線定理可求出c，即可求出離心率.

2．【答案】C

【解析】【解答】解：設(shè)橢圓方程為，

直線代入橢圓方程，消x得：，

，整理得m+n=16mn

又c=2，由焦點(diǎn)在x軸上，

所以，

聯(lián)立解得：，

故橢圓方程為，

則長(zhǎng)軸長(zhǎng)為；

故選：C

【分析】先設(shè)橢圓方程與直線方程聯(lián)立，根據(jù)判別式等于0求得m和n的關(guān)系式，同時(shí)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)求得半焦距得到m和n的另一個(gè)關(guān)系式，兩個(gè)關(guān)系式聯(lián)立方程即可求得m和n，則橢圓的長(zhǎng)軸可得．

3．【答案】B

4．【答案】C

【解析】【解答】解：連接，設(shè)

，則，

因?yàn)?，即，則

，

可得，解得，

所以

，

在

中，因?yàn)椋?/p>

可得

，則，

所以橢圓的離心率為.

故答案為：C.

【分析】設(shè)，根據(jù)橢圓的定義結(jié)合勾股定理解得，進(jìn)而中，利用勾股定理運(yùn)算求解即可.

5．【答案】D

【解析】【解答】解：設(shè)橢圓的半焦距為c，因?yàn)橐詾閳A心的圓過，故該圓的半徑為2c，

故其方程為：，

令，則，結(jié)合A在y軸正半軸上，故，

令，則或，故.

故，可得直線.

設(shè)，

因?yàn)锳在y軸的正半軸上，在x軸的負(fù)半軸上，故，

而，

故，整理得到：，

故，故，

所以，整理得到：，故，

故答案為：D.

【分析】先求出以為圓心的圓的方程，求出，求出直線的方程后結(jié)合距離公式可求M的坐標(biāo)，代入橢圓方程后可求離心率.

6．【答案】C

【解析】【解答】由題知，令代入橢圓和圓，求得，

為的中點(diǎn)，即，求得，又，，

，，.

故答案為：C

【分析】利用求出的關(guān)系，進(jìn)而求解。

7．【答案】B

【解析】【解答】由題得，設(shè)，則，，

，，

又，，即在有解，

解得或，，，，

橢圓的離心率的取值范圍是.

故答案為：B

【分析】利用向量坐標(biāo)運(yùn)算將轉(zhuǎn)化為在有解，進(jìn)而求離心率范圍.

8．【答案】A

【解析】【解答】如圖所示在橢圓上取P點(diǎn)，連接PF1、PO、PF2，

根據(jù)題意可知橢圓方程中的a=4，b=2，，故焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，

又因?yàn)椋裕?/p>

故O為△PF1F2的外心，為直徑的圓過點(diǎn)P，所以∠F1PF2=90°，

根據(jù)橢圓定義和勾股定理的，

故，

故選：A.

【分析】本題考查橢圓性質(zhì)，根據(jù)已知條件可以求出a=4，b=2，，由此可以知道，結(jié)合橢圓的性質(zhì)和勾股定理即可求解.

9．【答案】D

【解析】【解答】由題意可知橢圓的兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)P軌跡為：，

圓心為（0，0），半徑=2，

在圓上總存在點(diǎn)P，

圓心為（4，3），半徑=r，

點(diǎn)P同時(shí)存在兩個(gè)圓上，說明兩圓一定有交點(diǎn)，

，

，

.

故選：D.

【分析】先利用橢圓可知a，b的值，代入求出P的軌跡：圓的方程，從而得到圓心坐標(biāo)以及半徑，再根據(jù)兩圓存在公共點(diǎn)，得到圓心距與半徑之間的關(guān)系，最后求出r的范圍.

10．【答案】B

【解析】【解答】不妨設(shè)點(diǎn)位于第一象限，則，

為的內(nèi)心，

是的角平分線，

，

，即，又，求得，

，

求得，在中，由余定理得，

求得，

橢圓的離心率.

故答案為：B

【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)得到求出，再利用求出，結(jié)合余弦定理求解離心率.

11．【答案】B

【解析】【解答】不妨設(shè)點(diǎn)P位于第一象限，如圖所示，

由是的內(nèi)心，得PA為的角平分線，

則，

由，得

設(shè)|PF1|=5m，則|PF2|=3m，由橢圓的定義可知，|PF1|+|PF2|=8m=2a，

可得，即，

則

解得

在中，由余弦定理可得，

解得

則

故選：B.

【分析】先利用角平分線性質(zhì)得到，設(shè)|PF1|=5m，則|PF2|=3m，根據(jù)橢圓定義得到，然后利用平面向量的數(shù)量積和余弦定理即可求解出，進(jìn)而求出橢圓的離心率.

12．【答案】B

【解析】【解答】由題意可得雙曲線的一條漸近線是，由雙曲線的兩條漸近線與橢圓：的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，可得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)F2(c，0)，F(xiàn)1(-c，0)，正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，由橢圓的定義|AF1|+|AF2|=2a，得出，即

所以橢圓M的離心率為

故選：B

【分析】利用已知條件求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)和正六邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再利用正六邊形的性質(zhì)和橢圓的定義及離心率公式即可求解出答案.

13．【答案】B

【解析】【解答】，由題意知，，設(shè)，則，

又滿足，，

，

，.

故答案為：B

【分析】利用公式計(jì)算求解。

14．【答案】B

【解析】【解答】由題意知，，

，，

故選：B

【分析】利用橢圓定義和勾股定理得出，和與乘積的關(guān)系，利用完全平方公式間的公式轉(zhuǎn)化求解。

15．【答案】C

【解析】【解答】解：由已知得：F(0，-c)，A(b，0)，

設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x，y)，

因?yàn)锳F=2FB，所以，即(-b，-c)=2(x，y+c)，

所以，即點(diǎn)B的坐標(biāo)為，

將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入橢圓的方程得：，

整理得：，所以，

故答案是：C.

【分析】利用AF=2FB，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，代入橢圓的方程，得到的值，進(jìn)而求得離心率.

16．【答案】D

【解析】【解答】設(shè)，

則，

兩式相乘得，①

因?yàn)橹睆剿鶎?duì)的角是直角，所以

所以②

①除以②得，所以橢圓的離心率.

故答案為：D

【分析】設(shè)，得到和，兩式相除即可得解.

17．【答案】D

【解析】【解答】解：由題意知與的長(zhǎng)度不變，已知，

設(shè)，則，

當(dāng)滑動(dòng)到位置處時(shí)，點(diǎn)在上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)，則短半軸長(zhǎng)，

當(dāng)在右頂點(diǎn)時(shí)，恰好在點(diǎn)，則長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，

故離心率為.

故答案為：D.

【分析】設(shè)，則，由題意可得，，再根據(jù)離心率公式即可求解出答案.

18．【答案】C

【解析】【解答】如圖，以長(zhǎng)軸中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸為軸，垂直長(zhǎng)軸為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)正視圖的橢圓（部分）對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

結(jié)合題意及三視圖可得：，

所以橢圓（部分）對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

將點(diǎn)代入，可得.

故該橢球形狀觀鳥臺(tái)的最高處到地面的垂直高度為（米）.

故答案為：C.

【分析】以長(zhǎng)軸中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸為軸，垂直長(zhǎng)軸為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正視圖的橢圓（部分）對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，結(jié)合題意及三視圖可得a，b的值，從而得出橢圓（部分）對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用已知條件結(jié)合代入法，即將點(diǎn)代入，可得的值，從而得出該橢球形狀觀鳥臺(tái)的最高處到地面的垂直高度。

19．【答案】A

【解析】【解答】由題可知，，

，解得，

所以離心率為，

故答案為：A.

【分析】橢圓橢圓的幾何性質(zhì)，得到和，求得的值，結(jié)合離心率的定義，即可求解.

20．【答案】A

【解析】【解答】設(shè)，，則，兩式作差得到，

，所以，

因?yàn)辄c(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，

所以直線的中點(diǎn)在直線，

所以點(diǎn)在直線上，聯(lián)立可得，

又因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以或。

故答案為：A.

【分析】設(shè)，，再利用代入法得出，兩式作差得到，再利用點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，再結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的求解方法，所以直線的中點(diǎn)在直線，再利用對(duì)稱點(diǎn)在直線上結(jié)合代入法，聯(lián)立兩方程組可得，再利用點(diǎn)在拋物線上結(jié)合代入法得出實(shí)數(shù)t的值。

21．【答案】D

【解析】【解答】以運(yùn)行軌道長(zhǎng)軸所在直線為軸，地心為左焦點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)橢圓方程為，

其中，

根據(jù)題意有

，

所以，

所以橢圓的離心率．

故答案為：D．

【分析】以運(yùn)行軌道長(zhǎng)軸所在直線為軸，地心為左焦點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程為，根據(jù)題意列出方程組，解方程組即可得答案.

22．【答案】B

【解析】【解答】當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，可得滿足的點(diǎn)有2個(gè)；

當(dāng)為直角頂點(diǎn)時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，可得滿足的點(diǎn)有2個(gè)；

設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，

由橢圓，可得，可得，

則，，

所以，故，

所以不存在以為直角頂點(diǎn)的，

故滿足本題條件的點(diǎn)P共有4個(gè)。

故答案為：B.

【分析】利用已知條件結(jié)合橢圓的對(duì)稱性，得出滿足要求的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)，再利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出a，b的值，再結(jié)合橢圓中a，b，c三者的關(guān)系式得出c的值，再結(jié)合長(zhǎng)半軸的定義和焦距的定義和余弦定理得出，進(jìn)而得出不存在以為直角頂點(diǎn)的，從而得出滿足本題條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)。

23．【答案】C

【解析】【解答】由已知得因?yàn)樗渣c(diǎn)在以為直徑的圓上，即是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，故即36.又

所以

解得所以

故答案為：C．

【分析】由已知得再利用所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，即三角形是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，再結(jié)合勾股定理和橢圓的定義，從而結(jié)合平方法得出的值，再利用三角形面積公式，從而求出三角形的面積。

24．【答案】D

【解析】【解答】由于橢圓和雙曲線有公共的焦點(diǎn)，

c相同，

，

①，

，

，

故①正確.

②，

點(diǎn)P既在橢圓上，又在雙曲線上，

，

，

，

故②錯(cuò)誤.

③由題意知，，

聯(lián)立方程組，求，

，

，

，

，

，

故③正確.

④，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取“=”.

故④錯(cuò)誤.

故選：D.

【分析】首先根據(jù)橢圓和雙曲線有共同焦點(diǎn)，可知c相同，從而得到a，b，m，n的關(guān)系，得出①③正確；結(jié)合橢圓上點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和公式與雙曲線上點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差，可知②錯(cuò)誤；利用余弦定理，結(jié)合基本不等式，說明④正確.

25．【答案】B

【解析】【解答】橢圓的，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，

如圖，

設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，

則；

；

由圖形知，當(dāng)在直線上時(shí)，，

當(dāng)不在直線上時(shí)，

根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊有，，

當(dāng)在射線的延長(zhǎng)線上時(shí)，取得最小值

的最小值為．

故答案為：B

【分析】利用橢圓得出a，b的值，再結(jié)合橢圓中a，b，c三者的關(guān)系式得出c的值，再利用點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，再結(jié)合橢圓的定義得出，由圖形知，當(dāng)在直線上時(shí)，，當(dāng)不在直線上時(shí)，根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊有，，所以得出當(dāng)在射線的延長(zhǎng)線上時(shí)的的最小值。

26．【答案】C

【解析】【解答】如圖：

在橢圓上任意一點(diǎn)P作平行于的直線，與球交于F點(diǎn)，與球交于E點(diǎn)，

則，是過點(diǎn)P作球的兩條公切線，，同理，

，是定值，所以是橢圓的焦點(diǎn)；①正確；

由以上的推導(dǎo)可知：，，

平面，是直角三角形，，即，，②正確；

就是平面與軸線的夾角，在中，橢圓的離心率，

由余弦函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)銳角變大時(shí)，變小，③錯(cuò)誤；

故答案為：C.

【分析】在橢圓上任意一點(diǎn)P作平行于的直線，與球交于F點(diǎn)，與球交于E點(diǎn)，則，是過點(diǎn)P作球的兩條公切線，，同理，再利用求和法得出，是定值，所以是橢圓的焦點(diǎn)；由以上的推導(dǎo)可知：，，再利用平面結(jié)合線面垂直的定義證出線線垂直，所以再利用三角形是直角三角形結(jié)合勾股定理進(jìn)而橢圓中a，b，c三者的關(guān)系式得出；再利用就是平面與軸線的夾角，在中，再結(jié)合橢圓的離心率公式得出橢圓的離心率，由余弦函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)銳角變大時(shí)，變小，進(jìn)而找出正確結(jié)論的序號(hào)。

27．【答案】B

【解析】【解答】由題設(shè)，故，

又，則，

由余弦定理知：，

所以，而，

因?yàn)榈膬?nèi)切圓的半徑，故，

所以，則，

由，即，

所以，整理得且，

所以，

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等