湖北武漢武昌區(qū)武漢大學(xué)附屬中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

湖北武漢武昌區(qū)武漢大學(xué)附屬中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．橢圓與(0<k<9)的（）A.長(zhǎng)軸的長(zhǎng)相等B.短軸的長(zhǎng)相等C.離心率相等D.焦距相等2．在遞增等比數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和．已知，，且，則數(shù)列的公比為（）A.3 B.4C.5 D.63．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，當(dāng)取最大時(shí)的值為（）A. B.C. D.4．已知為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，，則下列和與公差無(wú)關(guān)的是（）A. B.C. D.5．與向量平行，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.6．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí)，由假設(shè)證明時(shí)，不等式左邊需增加的項(xiàng)數(shù)為（）A. B.C. D.7．已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為S，若，且，則S3等于（）A.28 B.26C.28或-12 D.26或-108．下列語(yǔ)句為命題的是（）A. B.你們好！C.下雨了嗎？ D.對(duì)頂角相等9．函數(shù)的圖象的大致形狀是（）A. B.C. D.10．已知直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則實(shí)數(shù)（）A.10 B.C.5 D.11．拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.12．已知命題P：，，則命題P的否定為（）A.， B.，C.， D.，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)______14．函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是_________15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)___________.16．已知等比數(shù)列的前n和為，若成等差數(shù)列，且，，則的值為_(kāi)______________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）圓心為的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn),，且圓心在上，（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交圓于且，求直線(xiàn)的方程.18．（12分）如圖，已知多面體，，，均垂直于平面，，，，（1）證明：平面；（2）求直線(xiàn)平面所成的角的正弦值19．（12分）等差數(shù)列中，，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若滿(mǎn)足數(shù)列為遞增數(shù)列，求數(shù)列前項(xiàng)和20．（12分）已知雙曲線(xiàn)C：（a>0，b>0）的離心率為，實(shí)軸長(zhǎng)為2.（1）求雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離；（2）若直線(xiàn)y=x+m被雙曲線(xiàn)C截得的弦長(zhǎng)為，求m的值.21．（12分）要設(shè)計(jì)一種圓柱形、容積為500mL的一體化易拉罐金屬包裝，如何設(shè)計(jì)才能使得總成本最低？22．（10分）已知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且其傾斜角是直線(xiàn)的傾斜角的（1）求直線(xiàn)的方程；（2）若直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，且點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是，求直線(xiàn)的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)橢圓方程求得兩個(gè)橢圓的，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】橢圓與(0<k<9)的焦點(diǎn)分別在x軸和y軸上，前者a2＝25，b2＝9，則c2＝16，后者a2＝25－k，b2＝9－k，則顯然只有D正確故選：D2、B【解析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求出、，然后結(jié)合等比數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】解：由題意得：是遞增等比數(shù)列又，，故故選：B3、B【解析】由已知條件及等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式求基本量，再根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)性質(zhì)判斷取最大時(shí)的值.【詳解】令公差為，則，解得，所以，當(dāng)時(shí)，取最大值.故選：B4、C【解析】依題意根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，再根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)椋?，即，所以，，，，故選：C5、A【解析】利用點(diǎn)斜式求得直線(xiàn)方程.【詳解】依題意可知，所求直線(xiàn)的斜率為，所以所求直線(xiàn)方程為，即.故選：A6、C【解析】當(dāng)成立，寫(xiě)出左側(cè)的表達(dá)式，當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的關(guān)系式，觀(guān)察計(jì)算即可【詳解】從到成立時(shí)，左邊增加的項(xiàng)為，因此增加的項(xiàng)數(shù)是，故選：C7、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程求解，直接計(jì)算S3即可.【詳解】由可得，即，所以，又，解得，所以，即，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，故選：C8、D【解析】根據(jù)命題的定義判斷即可.【詳解】因?yàn)槟軌蚺袛嗾婕俚恼Z(yǔ)句叫作命題，所以ABC錯(cuò)誤，D正確.故選：D9、B【解析】對(duì)A，根據(jù)當(dāng)時(shí)，的值即可判斷；對(duì)B，根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性即可判斷；對(duì)C，根據(jù)函數(shù)的奇偶性即可判斷；對(duì)D，根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性即可判斷.【詳解】解：對(duì)A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，的定義域?yàn)?，且，故為奇函?shù)；，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，即，又，，故存在，故在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)C，為奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，函數(shù)在上不單調(diào)，故D錯(cuò)誤.故選：B.10、B【解析】根據(jù)兩直線(xiàn)垂直，列出方程，即可求解.【詳解】由題意，直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，可得，解得.故選：B.11、C【解析】先把拋物線(xiàn)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出即可求解【詳解】由，有，可得，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為故選：C12、B【解析】根據(jù)特稱(chēng)命題的否定變換形式即可得出結(jié)果【詳解】命題：，，則命題的否定為，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】故答案為：.14、【解析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到且，再結(jié)合直線(xiàn)的點(diǎn)斜式，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，則且，所以在點(diǎn)處切線(xiàn)方程是，即故答案為：.15、【解析】先求出，然后當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減可求出，再驗(yàn)證，從而可得數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而可求出，再將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，所以，從而可求出實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得，得，滿(mǎn)足此式，所以，因?yàn)椋詳?shù)列是以為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以，所以對(duì)于任意的，不等式恒成立，可轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意的，恒成立，即在上恒成立，所以，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查數(shù)列通項(xiàng)公的求法，等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用，考查不等式恒成立問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是求出數(shù)列的通項(xiàng)公式后求得，再將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立求解即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題16、107【解析】根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)題意列方程可得，從而求出或，再根據(jù)，確定，進(jìn)而求出，代入記得：.【詳解】由題意可設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為，由成等差數(shù)列可得：，代入可得：，解得：或，又因?yàn)?，易知，又因?yàn)椋?，所以，，故答案為?07.【點(diǎn)睛】本題考查了等差中項(xiàng)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了和的關(guān)系，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）或.【解析】（1）求出線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)方程，求出此直線(xiàn)與已知直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)即為圓心坐標(biāo)，再求得半徑后可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）檢驗(yàn)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)是否滿(mǎn)足題意，在斜率存在時(shí)設(shè)方程為,求得圓心到直線(xiàn)的距離，由勾股定理得弦長(zhǎng)，由弦長(zhǎng)為8得參數(shù)，得直線(xiàn)方程【詳解】（1）由已知，中點(diǎn)坐標(biāo)為，垂直平分線(xiàn)方程為則由解得，所以圓心,因此半徑所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）由可得圓心到直線(xiàn)的距離當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí),其方程為，當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí),設(shè)其方程為,則，解得，此時(shí)其方程為，所以直線(xiàn)方程為或.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線(xiàn)與圓相交弦長(zhǎng)．求弦長(zhǎng)方法是幾何法：即求出圓心到弦所在直線(xiàn)距離，由勾股定理求得弦長(zhǎng)．求直線(xiàn)方程時(shí)注意檢驗(yàn)直線(xiàn)斜率不存在的情形18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）由已知條件可得，，則，，再利用線(xiàn)面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作，交直線(xiàn)于點(diǎn)，連接，可證得平面，從而是與平面所成的角，然后在求解即可【詳解】（1）證明：由，，，，得，所以，由由，，，，得，由，得，由，得，所以，故，又，因此平面（2）解如圖，過(guò)點(diǎn)作，交直線(xiàn)于點(diǎn)，連接由平面，平面，得平面平面，由，得平面，所以是與平面所成的角由，，得，，所以，故因此，直線(xiàn)與平面所成的角的正弦值是【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查線(xiàn)面垂直的判定和線(xiàn)面角的求法，解題的關(guān)鍵是通過(guò)過(guò)點(diǎn)作，交直線(xiàn)于點(diǎn)，連接，然后結(jié)合條件可證得是與平面所成的角，從而在三角形中求解即可，考查推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題19、（1）或（2）【解析】（1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式，可構(gòu)造方程組求得，由此可得通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用分組求和法，結(jié)合等差等比求和公式可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得：或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上，或【小問(wèn)2詳解】由（1）當(dāng)數(shù)列為遞增數(shù)列，則，設(shè)，.20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)已知計(jì)算雙曲線(xiàn)的基本量，得雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)坐標(biāo)及漸近線(xiàn)方程，再用點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式得解.（2）直線(xiàn)方程代入雙曲線(xiàn)方程，得到關(guān)于的一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理弦長(zhǎng)公式列方程得解.【小問(wèn)1詳解】雙曲線(xiàn)離心率為，實(shí)軸長(zhǎng)為2，，，解得，，，所求雙曲線(xiàn)C的方程為；∴雙曲線(xiàn)C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線(xiàn)方程為，即為，∴雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為.【小問(wèn)2詳解】設(shè),,聯(lián)立，，，，，，解得21、當(dāng)圓柱底面半徑為，高為時(shí)，總成本最底.【解析】設(shè)圓柱底面半徑為cm，高為cm，圓柱表面積為Scm2，進(jìn)而根據(jù)體積得到，然后求出表面積，進(jìn)而運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的方法求得表面積的最小值，此時(shí)成本最小.【詳解】設(shè)圓柱底面半徑為cm，高為cm,圓柱表面積為Scm2,每平方厘米金屬包裝造價(jià)為元，由題意得：，則