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文檔簡介
吉林省白城市2023年數(shù)學(xué)高二上期末統(tǒng)考試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的,則輸入的可能為()A.9 B.5C.4 D.32.若兩個不同平面,的法向量分別為,,則()A.,相交但不垂直 B.C. D.以上均不正確3.如圖,在棱長為的正方體中,為線段的中點(diǎn),為線段的中點(diǎn),則直線到直線的距離為()A. B.C. D.4.下列說法正確的個數(shù)有()個①在中,若,則②是,,成等比數(shù)列的充要條件③直線是雙曲線的一條漸近線④函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是,若,則是函數(shù)的極值點(diǎn)A.0 B.1C.2 D.35.在中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若,且,則為()A.等腰三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.鈍角三角形6.等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù),且,則A. B.C. D.7.若拋物線的焦點(diǎn)為,則其標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B.C. D.8.已知命題:,;命題:在中,若,則,則下列命題為真命題的是()A. B.C. D.9.在單調(diào)遞減的等比數(shù)列中,若,,則()A.9 B.3C. D.10.“直線的斜率不大于0”是“直線的傾斜角為鈍角”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11.?dāng)?shù)列,則是這個數(shù)列的第()A.項(xiàng) B.項(xiàng)C.項(xiàng) D.項(xiàng)12.曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是()A.3 B.C.2 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知曲線,①若,則是橢圓,其焦點(diǎn)在軸上;②若,則是圓,其半徑為;③若,則是雙曲線,其漸近線方程為;④若,,則是兩條直線.以上四個命題,其中正確的序號為_________.14.若橢圓和圓(c為橢圓的半焦距)有四個不同的交點(diǎn),則橢圓的離心率的取值范圍是_____.15.直線與直線間的距離為___________.16.圓與x軸相切于點(diǎn)A.點(diǎn)B在圓C上運(yùn)動,則AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為______(當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動到與A重合時,規(guī)定點(diǎn)M與點(diǎn)A重合);點(diǎn)N是直線上一點(diǎn),則的最小值為______三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓與橢圓的焦點(diǎn)相同,且橢圓C過點(diǎn)(1)求橢圓C的方程;(2)是否存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓C恒有兩個交點(diǎn)A,B,且(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),若存在,求出該圓的方程;若不存在,說明理由18.(12分)已知橢圓的中心在原點(diǎn),對稱軸為坐標(biāo)軸且焦點(diǎn)在軸上,拋物線:,若拋物線的焦點(diǎn)在橢圓上,且橢圓的離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)已知斜率存在且不為零的直線滿足:與橢圓相交于不同兩點(diǎn)、,與直線相交于點(diǎn).若橢圓上一動點(diǎn)滿足:,,且存在點(diǎn),使得恒為定值,求的值.19.(12分)設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列a1=2,a3=a2+4(Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)設(shè){bn}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,求數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Sn20.(12分)已知雙曲線的一條漸近線方程為,且雙曲線C過點(diǎn).(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點(diǎn)M的直線與雙曲線C的左右支分別交于A、B兩點(diǎn),是否存在直線AB,使得成立,若存在,求出直線AB的方程;若不存在,請說明理由.21.(12分)如圖,在三棱柱中,點(diǎn)在底面內(nèi)的射影恰好是點(diǎn),是的中點(diǎn),且滿足(1)求證:平面;(2)已知,直線與底面所成角的大小為,求二面角的大小22.(10分)一個小島的周圍有環(huán)島暗礁,暗礁分布在以小島中心為圓心,半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)(圓形區(qū)域的邊界上無暗礁),已知小島中心位于輪船正西處,港口位于小島中心正北處.(1)若,輪船直線返港,沒有觸礁危險(xiǎn),求的取值范圍?(2)若輪船直線返港,且必須經(jīng)過小島中心東北方向處補(bǔ)水,求的最小值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)輸出結(jié)果可得輸出時,結(jié)合執(zhí)行邏輯確定輸入k的可能值,即可知答案.【詳解】由,得,則輸人的可能為.∴結(jié)合選項(xiàng)知:D符合要求.故選:D.2、B【解析】由向量數(shù)量積為0可求.【詳解】∵,,∴,∴,∴,故選:B.3、C【解析】連接,,,,在平面中,作,為垂足,將兩平行線的距離轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到直線的距離,結(jié)合余弦定理即同角三角函數(shù)基本關(guān)系,求得,因此可得,進(jìn)而可得直線到直線的距離;【詳解】解:如圖,連接,,,,在平面中,作,為垂足,因?yàn)?,分別為,的中點(diǎn),因?yàn)?,,所以,所以,同理,所以四邊形是平行四邊形,所以,所以即為直線到直線的距離,在三角形中,由余弦定理得因?yàn)?,所以是銳角,所以,在直角三角形中,,故直線到直線的距離為;故選:C4、B【解析】根據(jù)三角函數(shù)、等比數(shù)列、雙曲線和導(dǎo)數(shù)知識逐項(xiàng)分析即可求解.【詳解】①在中,則有,因,所以,又余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,故①正確,②當(dāng)且時,此時,但是,,不成等比數(shù)列,故②錯誤,③由雙曲線可得雙曲線的漸近線為,故③錯誤,④“”是“是函數(shù)的極值點(diǎn)”的必要不充分條件,故④錯誤.故選:B.5、B【解析】由余弦定理可得,再利用可得答案.【詳解】因?yàn)椋?,由余弦定理,因?yàn)?,所以,又,∴,故為直角三角?故選:B.6、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì),結(jié)合已知條件,求得,進(jìn)而求得的值.【詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列,故,所以,故.故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì),考查對數(shù)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】由題意設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,再利用焦點(diǎn)為建立,解方程即可.【詳解】由題意,設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為,所以,解得,所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:D8、C【解析】分別求得的真假性,從而確定正確答案.【詳解】對于,由于,所以為假命題,為真命題.對于,在三角形中,,由正弦定理得,所以為真命題,為假命題.所以為真命題,、、為假命題.故選:C9、A【解析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得,結(jié)合條件即求.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,則由,,得,解得或,又單調(diào)遞減,故,.故選:A.10、B【解析】直線傾斜角的范圍是[0°,180°),直線斜率為傾斜角(不為90°)的正切值,據(jù)此即可判斷求解.【詳解】直線的斜率不大于0,則直線l斜率可能等于零,此時直線傾斜角為0°,不為鈍角,故“直線的斜率不大于0”不是“直線的傾斜角為鈍角”充分條件;直線的傾斜角為鈍角時,直線的斜率為負(fù),滿足直線的斜率不大于0,即“直線的傾斜角為鈍角”是“直線的斜率不大于0”的充分條件,“直線的斜率不大于0”是“直線的傾斜角為鈍角”的必要條件;綜上,“直線的斜率不大于0”是“直線的傾斜角為鈍角”的必要不充分條件.故選:B.11、A【解析】根據(jù)數(shù)列的規(guī)律,求出通項(xiàng)公式,進(jìn)而求出是這個數(shù)列的第幾項(xiàng)【詳解】數(shù)列為,故通項(xiàng)公式為,是這個數(shù)列的第項(xiàng).故選:A.12、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),設(shè)切點(diǎn)為,依題意即過切點(diǎn)的切線恰好與直線平行,此時切點(diǎn)到直線的距離最小,求出切點(diǎn)坐標(biāo),再利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算可得;【詳解】解:因?yàn)?,所以,設(shè)切點(diǎn)為,則,解得,所以切點(diǎn)為,點(diǎn)到直線的距離,所以曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是;故選:D二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、①③④【解析】通過m,n的取值判斷焦點(diǎn)坐標(biāo)所在軸,判斷①,求出圓的半徑判斷②;通過求解雙曲線的漸近線方程,判斷③;利用,,判斷曲線是否是兩條直線判斷④【詳解】解:①若,則,因?yàn)榉匠袒癁椋?,焦點(diǎn)坐標(biāo)在y軸,所以①正確;②若,則C是圓,其半徑為:,不一定是,所以②不正確;③若,則C是雙曲線,其漸近線方程為,化簡可得,所以③正確;④若,,方程化為,則C是兩條直線,所以④正確;故答案為:①③④14、【解析】當(dāng)圓的直徑介于橢圓長軸和短軸長度范圍之間時,橢圓和圓有四個不同的焦點(diǎn),由此列不等式,解不等式求得橢圓離心率的取值范圍.【詳解】由于橢圓和圓有四個焦點(diǎn),故圓的直徑介于橢圓長軸和短軸長度范圍之間,即.由得,兩邊平方并化簡得,即①.由得,兩邊平方并化簡得,解得②.由①②得.故填.【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓和圓的位置關(guān)系,考查橢圓離心率取值范圍的求法,屬于中檔題.15、【解析】利用平行間的距離公式可求得結(jié)果.【詳解】由平行線間的距離公式可知,直線、間的距離為.故答案為:.16、①.②.【解析】將點(diǎn)M的軌跡轉(zhuǎn)化為以AC為直徑的圓,再確定圓心及半徑即可求解,將的最小值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心的距離再減去半徑可求解.【詳解】依題意得,,因?yàn)镸為AB中點(diǎn),所以,所以點(diǎn)M的軌跡是以AC為直徑的圓,又AC中點(diǎn)為,,所以點(diǎn)M的軌跡方程為,圓心,設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為,則有,解得,所以,所以由對稱性可知的最小值為故答案為:,三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)存在,.【解析】(1)與焦點(diǎn)相同可求出c,將代入方程結(jié)合a、b、c關(guān)系即可求a和b;(2)直線AB斜率存在時,設(shè)直線AB的方程為,聯(lián)立AB方程與橢圓方程,得到根與系數(shù)的關(guān)系;由得,結(jié)合韋達(dá)定理得k與m的關(guān)系;再由圓與直線相切,即可求其半徑;最后再驗(yàn)證AB斜率不存在時的情況即可.【小問1詳解】,由題可知,解得點(diǎn),所以橢圓的方程為;【小問2詳解】設(shè),設(shè),代入,整理得,由得,即,由韋達(dá)定理化簡得,即,設(shè)存在圓與直線相切,則,解得,所以圓的方程為,又若軸時,檢驗(yàn)知滿足條件,故存在圓心在原點(diǎn)的圓符合題意18、(1)(2)【解析】(1)先求得橢圓的,代入公式即可求得橢圓的方程;(2)以設(shè)而不求的方法得到兩根和,再由條件,得到四邊形為平行四邊形,并以向量方式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,再與恒為定值進(jìn)行聯(lián)系,即可求得的值.【小問1詳解】由條件可設(shè)橢圓:,因?yàn)閽佄锞€:的焦點(diǎn)為,所以,解得因?yàn)闄E圓離心率為,所以,則,故橢圓的方程為【小問2詳解】設(shè)直線:,,,把直線的方程代入橢圓的方程,可得,所以,因?yàn)?,,所以四邊形為平行四邊形,得,即,得由在橢圓上可得,,即因?yàn)?,又所以,所以將代入得,所以,?【點(diǎn)睛】數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法,數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化,能夠變抽象思維為形象思維,有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì);另外,由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法,很多問題便迎刃而解,且解法簡捷。19、(Ⅰ)an=2×2n﹣1=2n(Ⅱ)2n﹣12n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2【解析】(Ⅰ)由{an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,設(shè)其公比,然后利用a1=2,a3=a2+4可求得q,即可求得{an}的通項(xiàng)公式(Ⅱ)由{bn}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列可求得bn=1+(n﹣1)×2=2n﹣1,然后利用等比數(shù)列與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求得數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Sn解:(Ⅰ)∵設(shè){an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列∴設(shè)其公比為q,q>0∵a3=a2+4,a1=2∴2×q2="2×q+4"解得q=2或q=﹣1∵q>0∴q="2"∴{an}的通項(xiàng)公式為an=2×2n﹣1=2n(Ⅱ)∵{bn}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列∴bn=1+(n﹣1)×2=2n﹣1∴數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和Sn=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2點(diǎn)評:本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的求和,注意題目條件的應(yīng)用.在用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時注意辨析q是否為1,只要簡單數(shù)字運(yùn)算時不出錯,問題可解,是個基礎(chǔ)題20、(1);(2)存在,直線AB的方程為:或.【解析】(1)根據(jù)給定的漸近線方程及所過的點(diǎn)列式計(jì)算作答.(2)假定存在符合條件的直線AB,設(shè)出其方程,借助弦長公式計(jì)算判斷作答.【小問1詳解】依題意,,解得:,所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是.【小問2詳解】假定存在直線AB,使得成立,顯然不垂直于y軸,否則,設(shè)直線:,由消去x并整理得:,因直線與雙曲線C的左右支分別交于A、B兩點(diǎn),設(shè),于是得,則有,即或,因此,,解得,所以存在直線AB,使得成立,此時,直線AB的方程為:或.21、(1)證明見解析;(2).【解析】(1)分別證明出和,利用線面垂直的判定定理即可證明;(2)以C為原點(diǎn),為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系,用向量法求二面角的平面角.【小問1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在底面內(nèi)的射影恰好是點(diǎn),所以面.因?yàn)槊?所以.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),且滿足.所以,所以.因?yàn)椋?,?所以.因?yàn)?面,面,所以平面.【小問2詳解】∵面,∴直線與底面所成角為,即.因?yàn)?,所以由?)知,,因,所以,.如圖示,以C為原點(diǎn),為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則,,,,所以,設(shè)
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