第五節(jié)：邏輯與推理論證的學(xué)習(xí)分析課件

第5章 邏輯與推理論證的學(xué)習(xí)1內(nèi)容提要2一、邏輯用語與學(xué)習(xí)心理二、推理、證明與學(xué)習(xí)心理邏輯用語：可用來準(zhǔn)確、簡潔地表述數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)定理，同時(shí)在各種交流活動(dòng)中，邏輯用語可用來嚴(yán)密地表述對(duì)各種問題的思考結(jié)果．推理：是從一個(gè)或者一些已知的命題得出新命題

的思維過程或思維形式．其中已知的命題是前提，得出的新命題是結(jié)論．論證：是用某些理由去支持或反駁某個(gè)觀點(diǎn)的過程或語言形式，通常由論題、論點(diǎn)、論據(jù)和論證方式構(gòu)成．3中學(xué)階段，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)邏輯用語與推理論證學(xué)習(xí)的基本要求是：邏輯基礎(chǔ)：命題及命題的關(guān)系、命題與命題的條件、邏輯聯(lián)結(jié)詞、邏輯量詞．推理：合情推理、演繹推理及兩者之間的辯證關(guān)系．論證的基本方法：直接證明、間接證明、數(shù)學(xué)歸納法．4一、邏輯用語與學(xué)習(xí)心理5（一）判斷學(xué)習(xí)1、判斷的意義判斷是人們對(duì)事物情況有所肯定或否定的比概念高一級(jí)的思維形式．例如:2是自然數(shù),1是質(zhì)數(shù),A=B,1+2=9,正數(shù)大于零,判斷具有兩個(gè)基本特征:一定要“有所斷定”.不能作出肯定或否定的思維形式,就不能稱為判斷.如，“小于9嗎”,“1+2=3嗎”等都不是判斷.（2）判斷有真假之分.判斷是對(duì)客觀事物有所斷定的一種思

維形式，是對(duì)客觀事物情況的反映，而不是客觀事物本身。如實(shí)反映事物情況的判斷，叫真判斷；不符合事物情況的判斷，叫假判斷．例如，“正數(shù)大于零”是真判斷，“兩個(gè)無理數(shù)之和是無理數(shù)”是假判斷．判斷一般是用陳述句來表達(dá)的，它往往是概念與概念的聯(lián)合．而疑問句、感嘆句、祈使句一般不能表達(dá)任何肯定或否定的內(nèi)容，因此不能成為一個(gè)判斷．62、判斷的分類:判斷有簡單判斷和復(fù)合判斷（1）簡單判斷在一個(gè)判斷中，如果只包含結(jié)構(gòu)最簡單的判斷，不包含其他的判斷，叫做簡單判斷．簡單判斷又分為關(guān)系判斷和性質(zhì)判斷。關(guān)系判斷——就是斷定客觀對(duì)象間某種關(guān)系的判斷.關(guān)系判斷是由關(guān)系者項(xiàng)、關(guān)系項(xiàng)和量項(xiàng)三部分組成的.性質(zhì)判斷——是直接對(duì)事物的性質(zhì)有所肯定或否定。7這里重點(diǎn)討論性質(zhì)判斷①性質(zhì)判斷的定義性質(zhì)判斷是直接對(duì)事物的性質(zhì)有所肯定或否定。傳統(tǒng)邏輯亦把它稱為直言判斷.如“所有等邊三角形都是相似的”，“有些一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根”.②性質(zhì)判斷的結(jié)構(gòu)性質(zhì)判斷是由主項(xiàng)、謂項(xiàng)、量項(xiàng)、聯(lián)項(xiàng)四部分組成。8性質(zhì)判斷的結(jié)構(gòu)：主項(xiàng)——表示被判斷的對(duì)象，通常用符號(hào)“S”表示。謂項(xiàng)——表示被判斷對(duì)象的性質(zhì)，通常用符號(hào)“P”表示。量項(xiàng)——表示判斷中主項(xiàng)的數(shù)量（數(shù)量或范圍的概念），反映判斷量的差別(常用所有、一切、有些、有的、凡、每一個(gè)等表示)。量項(xiàng)一般又可分為三種：全稱量項(xiàng)——它是一個(gè)全稱量詞，表示在一個(gè)判斷中對(duì)主項(xiàng)的全部外延作了斷定，常用“所有”、“一切”、“凡

”、“每一個(gè)”等來表示；特稱量項(xiàng)—--它表示在一個(gè)判斷中只對(duì)主項(xiàng)的部分外延作了斷定，通常用“有的”、“有些”等來表示；單稱量項(xiàng)—--它表示在一個(gè)判斷中對(duì)主項(xiàng)的一個(gè)特定外延作了斷定（所斷定的主項(xiàng)只是某一個(gè)個(gè)別對(duì)象），一般用

“這個(gè)”、“那個(gè)”、“某個(gè)”等來表示。

9聯(lián)項(xiàng)——也稱聯(lián)結(jié)項(xiàng)，表示判斷中主、謂項(xiàng)之間的關(guān)系，反映判斷質(zhì)的差別(常用有、是、沒有、都是、不是等表示)，聯(lián)項(xiàng)可分為肯定聯(lián)項(xiàng)（是）或否定聯(lián)項(xiàng)（不是）.在肯定判斷表達(dá)中，量項(xiàng)與聯(lián)項(xiàng)有時(shí)可以省略.如，(一切)負(fù)數(shù)(是)沒有對(duì)數(shù)；(凡)對(duì)頂角(都是)相等．注意：性質(zhì)判斷本身不包含其它判斷成分，它實(shí)際上只是斷定了“S”與“P”這兩個(gè)概念之間的外延關(guān)系，所以它屬于簡單判斷。10例如：所有等邊三角形 都是 相似的

量項(xiàng)主項(xiàng)聯(lián)項(xiàng) 謂項(xiàng)

有些 一元二次方程 沒有 實(shí)數(shù)根性質(zhì)判斷的結(jié)構(gòu)：(判斷)=(量項(xiàng))+(

S：主項(xiàng))+(聯(lián)項(xiàng))+(

P：謂項(xiàng))11（二）命題知識(shí)1、命題的含義中學(xué)階段要求學(xué)生：（1）了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義，并能正確地使用它們；（2）了解全稱量詞和存在量詞的意義，并能正確地對(duì)含有量詞的命題作出否定。在邏輯聯(lián)結(jié)詞與量詞的學(xué)習(xí)中，學(xué)生最大的困難是理解“否定”、運(yùn)用“否定”。12命題——表達(dá)判斷的陳述語句稱為命題。數(shù)學(xué)命題——表示數(shù)學(xué)判斷或數(shù)學(xué)關(guān)系的陳述稱為數(shù)學(xué)命題。數(shù)學(xué)中的定義、公理、定理、法則、性質(zhì)、有些習(xí)題（結(jié)果正確，但未作為定理或公式使用的數(shù)學(xué)結(jié)論）都是命題。命題既可用語言敘述，也可用符號(hào)進(jìn)行表示．常用的邏輯聯(lián)結(jié)詞有“非”、“或”、“且”、“蘊(yùn)含”、“等值”等；13常用的全稱量詞有“任意”、“所有”、“每一個(gè)”等；數(shù)學(xué)上用符號(hào)“ ”表示。常用的存在量詞有“存在”、“某一個(gè)”、“至少有一個(gè)”等。數(shù)學(xué)上用符號(hào)“ ”表示。涉及量詞的命題必須指出量詞的作用與范圍。命題也有真命題與假命題之分，結(jié)構(gòu)上一般由條件(前提)和結(jié)論兩部分組成。條件是已知事項(xiàng),結(jié)論是由條件推出的事項(xiàng)。根據(jù)命題結(jié)構(gòu)差異,往往把數(shù)學(xué)命題也分為簡單命題與復(fù)合命題兩種類型．14簡單命題——是指結(jié)構(gòu)最簡單的命題,從其表達(dá)的形式結(jié)構(gòu)上分析,它是不能再分解為其它命題的命題.數(shù)學(xué)命題（廣義的）——主要來自定義、公理、定理、法則、性質(zhì)、有些習(xí)題。（1）數(shù)學(xué)有一類語句的表達(dá)沒有真假可言，如：含有變量x的“

” 就是沒有判斷真假的句子。（2）命題也有真假之分。152.命題種類聯(lián)言命題——聯(lián)結(jié)詞“且”用來聯(lián)結(jié)兩個(gè)命題A、B ，得到新命題“A且B”稱為聯(lián)言命題，記作 為真命題當(dāng)且僅當(dāng)A和B都為真命題。選言命題——聯(lián)結(jié)詞“或”用來聯(lián)結(jié)兩個(gè)命題A、B，得到新命題“A或B”稱為選言命題，記作AVB，AVB為真命題當(dāng)且僅當(dāng)A和B中至少有一個(gè)為真命題。負(fù)命題——設(shè)A是一個(gè)命題，聯(lián)結(jié)詞“非”是對(duì)命題B作否定，得到命題“非A”或“不是A”，成為A的負(fù)命題（不能稱為否命題）記作 。A為真命題當(dāng)且僅當(dāng) 為假命題。16定義——揭示概念內(nèi)涵的陳述稱為定義．?dāng)?shù)學(xué)定義中的條件是所指概念的充分必要條件．公理——作為一個(gè)數(shù)學(xué)體系論證出發(fā)點(diǎn)的一組真命題，它們經(jīng)實(shí)踐檢驗(yàn)(非邏輯論證)為正確，它們之間無矛盾性、彼此獨(dú)立(不可互推)、具有完全性(不可缺少)，則稱這組真命題為這個(gè)數(shù)學(xué)體系的公理.例如平面幾何的一組公理：過兩點(diǎn)可作一直線；由一點(diǎn)和一線段可以作圓；直角彼此相等；17定理——根據(jù)已知概念和真命題，經(jīng)邏輯論證而得到的真命題叫做定理.推論——由某定理直接產(chǎn)生的結(jié)果叫做該定理的推論，一般附在該定理后面．性質(zhì)——事物本身所具有的與他事物不同的特征.183、命題的運(yùn)算命題真值的概念:對(duì)于命題A、B，如果A是一個(gè)真命題，我們就說A的真值等于1，記成A=1；如果B是一個(gè)假命題，我們就說B的真值等于O，記成B=0．一個(gè)命題只有或真或假，而不能既真又假．因此，一個(gè)命題的真值只能是1或0，不能既為1，又為0，或非1又非0．19（不能稱為否命題），記作 ，讀作“非A”（也可記

復(fù)合命題由于所采用的邏輯聯(lián)結(jié)詞不同，可分為下列五種形式：（1）否A定式（非）給定一個(gè)命題A,用聯(lián)結(jié)詞“非”組成一個(gè)復(fù)合命題“非A”或“不是（AA”,B，的稱否為定A式的）負(fù)命題作

）1，其真值表如下：00120(２)析取式（或）

給定兩個(gè)命題A與B，用聯(lián)結(jié)詞“或”組成一個(gè)復(fù)合命題

“A或B”，稱為選言命題，記作A

B，其真值由下表來定義：ABAVB（A,B的析取式）11110101100021（3）合取式（與）兩個(gè)命題A,B用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”聯(lián)結(jié)起來的新命題“A且B”稱為命題的合取式，也稱為聯(lián)言命題。記作“ ”，其真值可用下面的真值表來定義：AB（A,B的合取式）11110001000022（4）蘊(yùn)含式給定兩個(gè)命題A與B，用連接詞“若……，則……”組成一個(gè)復(fù)合命題“若A則B”，記作，其真值可用下面的真值表來定義：

AB（A,B的蘊(yùn)含式）11110001100123注意點(diǎn)：241.在蘊(yùn)涵式的真值定義中，前兩行與日常生活經(jīng)驗(yàn)相符，容易被接受.但是“前件假，后件真，則蘊(yùn)涵式真”的規(guī)定卻與人們的直覺相悖，不易被人理解.我們通過一個(gè)例子說明其定義的合理性.案例：幻燈片

412.“若1+2=3，則雪是白的”在邏輯學(xué)上是真命題，但不能作為數(shù)學(xué)上的真命題。（5）等值式給定兩個(gè)命題A與B，用聯(lián)結(jié)詞“等值”組成一個(gè)復(fù)合命題“A等值B”，記作“A

B”，其真值可用下面A

B真值表來定A B（A,B的等值式）義：11110001000125注：等價(jià)式與邏輯等價(jià)是不一樣的：等價(jià)式是由p,q構(gòu)成的新命題

；而邏輯等價(jià)是指兩個(gè)命題p,q間的關(guān)系：即兩個(gè)命題的真值表是完全相同的。26命題的四種形式及關(guān)系pq11001111100101100110100100111111注：從表中可以看出，互為逆否關(guān)系的兩個(gè)命題是等價(jià)的。27命題的四種形式及關(guān)系原命題逆命題否命題逆否命題互逆互否互否逆否互為互逆28（三）學(xué)習(xí)心理1、命題知識(shí)學(xué)習(xí)心理命題知識(shí)涉及語言成分和邏輯成分，兩個(gè)方面中只要一方面有欠缺，就會(huì)影響命題知識(shí)的學(xué)習(xí)．此外，日常經(jīng)驗(yàn)的影響有時(shí)也會(huì)妨礙對(duì)命題的理解．下面是從教學(xué)中總結(jié)出的一些命題學(xué)習(xí)的心理問題．29（1）對(duì)公理的誤解在基礎(chǔ)教育階段，為照顧學(xué)生的接受能力，往往用一些可

證明的命題作為學(xué)習(xí)論證的出發(fā)點(diǎn)或基本事實(shí)，這樣可以

減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)，不必要對(duì)可證明的命題都進(jìn)行證明．但

是，這就容易造成誤解，認(rèn)為在論證時(shí)作為出發(fā)點(diǎn)的真命

題都是公理，甚至有時(shí)教師也會(huì)產(chǎn)生誤解．作為論證出發(fā)

點(diǎn)的一組真命題要成為公理，它們必須是非邏輯論證而經(jīng)

實(shí)踐檢驗(yàn)為正確的，同時(shí)應(yīng)當(dāng)滿足：公理之間不能有矛盾，由公理導(dǎo)出(邏輯導(dǎo)出)的定理之間也不能有矛盾；公理是

彼此獨(dú)立的，即公理不能被其他公理推出；公理還須具有

完全性，即這個(gè)系統(tǒng)中，一切命題的真假都是可以確定的．30（2）區(qū)分命題中關(guān)系困難命題學(xué)習(xí)中，需要區(qū)別出命題的條件和命題的結(jié)論，從而把握命題的各種形式．對(duì)于那些條件或結(jié)論并不十分明顯的命題，學(xué)生往往抓不住問題的關(guān)鍵點(diǎn)，難以作出正確區(qū)分．幻燈片4431（3）實(shí)際經(jīng)驗(yàn)與命題理論存在差異實(shí)際學(xué)習(xí)中，學(xué)生能夠表面地掌握命題的四種形式，并且知道原命題的真假不能決定逆命題和否命題的真假、原命題和逆否命題是等價(jià)的。但是對(duì)實(shí)際命題關(guān)系進(jìn)行判斷時(shí)，學(xué)生往往不考慮數(shù)學(xué)原理，僅依賴現(xiàn)實(shí)感覺作選擇?；脽羝?432（4）“命題的否命題”與“命題的否定”的混淆命題的否定是對(duì)命題整體結(jié)論的否，而否命題是對(duì)命題中條件和結(jié)論的否，是命題中部分的否(條件及結(jié)論關(guān)系不變)，與命題結(jié)論的真假無關(guān)．例如，給出原命題“末位是5的整數(shù)可以被5整除”，要求寫出否命題和命題的否定．該命題的否命題為“若整數(shù)末位不是5，則整數(shù)不能被5整除”，而該命題的命題否定為“并非末位是5的整數(shù)都能被5整除”或者“存在末位是5的整數(shù)，不被

5整除”．33（四）邏輯聯(lián)結(jié)詞與量詞學(xué)習(xí)心理在邏輯聯(lián)結(jié)詞與量詞的學(xué)習(xí)中，學(xué)生最大的困難是理解“否定”、運(yùn)用“否定”．復(fù)合命題否定的數(shù)學(xué)形式是特點(diǎn)有兩點(diǎn):一是否定每一個(gè)命題，二是改變聯(lián)結(jié)詞．量詞命題否定的數(shù)學(xué)形式是特點(diǎn)有兩點(diǎn):一是轉(zhuǎn)換量詞，二是否定命題

34實(shí)際學(xué)習(xí)中，對(duì)否定涉及的兩個(gè)根本特點(diǎn)是．學(xué)生往往只兼顧一面，而忽視“兩面俱到，造成邏輯上的錯(cuò)誤．例如，下列一些錯(cuò)誤：錯(cuò)誤１“6是偶數(shù)且是3的倍數(shù)”的否定為“6是奇數(shù)且6不是3的倍數(shù)”．(是個(gè)復(fù)合命題)正確的否定為：“6是奇數(shù)或6不是3的倍數(shù)”．錯(cuò)誤２

命題“每個(gè)人的壽命都是有限的”的否定為“每個(gè)人的壽命都是無限的”．正確的否定為：“有些人的壽命是無限的”．35邏輯聯(lián)結(jié)詞和邏輯量詞中各因素的關(guān)系比較復(fù)雜，學(xué)生學(xué)習(xí)中很容易出錯(cuò)誤．教學(xué)中應(yīng)把握住兩點(diǎn)：一是在邏輯概念引入時(shí)，要注意選用日常生活中的邏輯用語的例子，理解邏輯的意義，弄清邏輯關(guān)系；二是要有足量的邏輯基本訓(xùn)練，學(xué)生通過反復(fù)訓(xùn)練，反復(fù)思考，辨明邏輯要義，才能熟練把握各種邏輯關(guān)系．36（五）逆命題的制造37一個(gè)真命題的逆命題，只有經(jīng)過論證后才知其真假．若一個(gè)定理的逆命題是真的，就得到原定理的逆定理．為研究一個(gè)定理的逆定理．這就要研究逆命題的制造方法．①當(dāng)命題的條件和結(jié)論都是一個(gè)簡單命題時(shí)，這時(shí)只要將它們互換位置就可以得到原命題唯一的一個(gè)逆命題．例如，命題“對(duì)頂角相等”，它的逆命題是“相等的角是對(duì)頂角”．這個(gè)逆命題顯然是不正確的．②當(dāng)命題的條件和結(jié)論不只是一個(gè)簡單命題時(shí)，將命題的條件和結(jié)論中的簡單命題任意進(jìn)行交換位置，就可得到多個(gè)逆命題．當(dāng)相同個(gè)數(shù)簡單命題交換時(shí)，所得逆命題的正確性較大，對(duì)其研究才有意義．例1：對(duì)原定理“在圓內(nèi)，弦的垂直平分線必過圓心且平分該弦所對(duì)的弧”，不難得到它的五個(gè)逆定理：在圓內(nèi)，過圓心且平分弦的直線必垂直該弦且平分該弦所對(duì)的??；在圓內(nèi)，平分弦和這弦所對(duì)弧的直線必過圓心且垂直該弦；在圓內(nèi)，過圓心且垂直弦的直線必平分該弦和該弦所對(duì)的弧；在圓內(nèi)，垂直弦且平分該弦所對(duì)弧的直線必過圓心且平分該弦；在圓內(nèi)，過圓心且平分弦所對(duì)弧的直線必垂直平分該弦．38（六）命題的同一原理39前面已經(jīng)提到，互為逆否的兩個(gè)命題等效，互逆或互否的兩個(gè)命題不一定等效，但在某些特殊的情況下，一個(gè)命題與它的逆命題(或否命題)等效．例2原命題：對(duì)頂角相等．逆命題：相等的角是對(duì)頂角(不真)．例3原命題：等腰三角形頂角的平分線是底邊上的中線．逆命題：等腰三角形底邊上的中線是頂角的平分線(真)．我們注意到，例3中原命題的條件與結(jié)論所含事項(xiàng)都是唯一存在的，而且所指的是同一對(duì)象，而例2卻沒有這種特性．可見，兩個(gè)互逆命題，如果條件和結(jié)論中所含事

項(xiàng)都是唯一存在的，且它們所指的是同一概念時(shí)，那么，當(dāng)其中一個(gè)命題正確時(shí)，另一個(gè)命題也是

正確的，這叫做同一原理．即符合同一原理的兩

個(gè)互逆命題是等效的，它們是同一法論證的邏輯

根據(jù)．因此，一個(gè)定理，如果條件和結(jié)論中所含

事項(xiàng)都唯一存在，且所指同一概念時(shí)，根據(jù)同一

原理，便可按照逆命題的制造法，直接寫出它的

逆命題而斷言其成立．例如，對(duì)于上述例1，由同一原理，便可直接得到它的五個(gè)逆定理．40例1小紅的爸爸對(duì)小紅作了一個(gè)許諾：如果小紅數(shù)學(xué)得滿分（p）；那么他替她買一件連衣裙（q），于是，就有四種可能發(fā)生.（1）小紅數(shù)學(xué)得滿分，爸爸買了一件連衣裙（p真q真）真（2）小紅數(shù)學(xué)得滿分，但爸爸沒有買連衣裙（p真q假）假（3）小紅數(shù)學(xué)沒有得滿分，爸爸仍然買了條連衣裙（p假q真）真（4）小紅數(shù)學(xué)沒有得滿分，爸爸沒有買連衣裙（