湖北省武漢市鋼城四中2023-2024學年高二數(shù)學第一學期期末教學質量檢測試題含解析

湖北省武漢市鋼城四中2023-2024學年高二數(shù)學第一學期期末教學質量檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知兩條不同直線和平面，下列判斷正確的是（）A.若則 B.若則C.若則 D.若則2．若一個正方體的全面積是72，則它的對角線長為（）A. B.12C. D.63．已知直線，，若，則實數(shù)（）A. B.C.1 D.24．如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為、，其中，.如果這時氣球的高度，則河流的寬度BC為（）A. B.C. D.5．已知點是雙曲線的左焦點，定點，是雙曲線右支上動點，則的最小值為（）.A.7 B.8C.9 D.106．如圖，在直三棱柱中，D為棱的中點，，，，則異面直線CD與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.7．下列命題中，一定正確的是（）A.若且，則a>0，b<0B.若a>b，b≠0，則>1C.若a>b且a＋c>b＋d，則c>dD.若a>b且ac>bd，則c>d8．已知，，則下列結論一定成立的是（）A. B.C. D.9．已知橢圓方程為，點在橢圓上，右焦點為F，過原點的直線與橢圓交于A，B兩點，若，則橢圓的方程為（）A. B.C. D.10．已知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋x＋1沒有極值，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.[0，1] B.(－∞，0]∪[1，＋∞)C.[0，2] D.(－∞，0]∪[2，＋∞)11．已知直線過點且與直線平行，則直線方程為（）A. B.C. D.12．命題P：ax2+2x﹣1＝0有實數(shù)根，若￢p是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.{a|a＜1} B.{a|a≤﹣1}C.{a|a≥﹣1} D.{a|a>﹣1}二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若方程表示的曲線是雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍是___；該雙曲線的焦距是___14．寫出直線一個方向向量______15．在圓M：中，過點的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為___________.16．已知點F是拋物線的焦點，點，點P為拋物線上的任意一點，則的最小值為_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓心為的圓過原點，且直線與圓相切于點.（1）求圓的方程；（2）已知過點的直線的斜率為，且直線與圓相交于兩點.①若，求弦的長；②若圓上存在點，使得成立，求直線的斜率.18．（12分）已知函數(shù).（1）當時，討論的單調性；（2）當時，證明：.19．（12分）已知橢圓的左，右頂點分別是，，且，是橢圓上異于，的不同的兩點（1）若，證明：直線必過坐標原點；（2）設點是以為直徑的圓和以為直徑的圓的另一個交點，記線段的中點為，若，求動點的軌跡方程20．（12分）已知圓M經過點F（2，0），且與直線x=-2相切.（1）求圓心M的軌跡C的方程；（2）過點（-1，0）的直線l與曲線C交于A，B兩點，若，求直線l的斜率k的取值范圍.21．（12分）設函數(shù).（1）當k＝1時，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）當時，求函數(shù)在上的最小值m和最大值M.22．（10分）已知是公差不為零的等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)線線、線面、面面的平行與垂直的位置關系即可判斷.【詳解】解：對于選項A：若，則與可能平行，可能相交，可能異面，故選項A錯誤；對于選項B：若，則，故選項B錯誤；對于選項C：當時不滿足，故選項C錯誤；綜上，可知選項D正確.故選：D.2、D【解析】根據(jù)全面積得到正方體的棱長，再由勾股定理計算對角線.【詳解】設正方體的棱長為，對角線長為，則有，解得，從而，解得.故選：D3、D【解析】根據(jù)兩條直線的斜率相等可得結果.【詳解】因為直線，，且，所以，故選：D.4、D【解析】由題意得，，，然后在和求出，從而可求出的值【詳解】如圖，由題意得，，，在中，，在中，，所以，故選：D5、C【解析】設雙曲線的右焦點為M，作出圖形，根據(jù)雙曲線的定義可得，可得出，利用A、P、M三點共線時取得最小值即可得解.【詳解】∵是雙曲線的左焦點，∴，，，，設雙曲線的右焦點為M，則，由雙曲線的定義可得，則，所以，當且僅當A、P、M三點共線時，等號成立，因此，的最小值為9.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：利用雙曲線的定義求解線段和的最小值，有如下方法：（1）求解橢圓、雙曲線有關的線段長度和、差的最值，都可以通過相應的圓錐曲線的定義分析問題；（2）圓外一點到圓上的點的距離的最值，可通過連接圓外的點與圓心來分析求解.6、A【解析】以C為坐標原點，分別以，，方向為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.運用異面直線的空間向量求解方法，可求得答案.【詳解】解：以C為坐標原點，分別以，，的方向為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.由已知可得，，，，則，，所以.又因為異面直線所成的角的范圍為，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：A.7、A【解析】結合不等式的性質確定正確答案.【詳解】A選項，若且，則，所以A選項正確.B選項，若，則，所以B選項錯誤.C選項，如，但，所以C選項錯誤.D選項，如，但，所以D選項錯誤.故選：A8、B【解析】根據(jù)不等式的同向可加性求解即可.【詳解】因為，所以，又，所以.故選：B.9、A【解析】根據(jù)橢圓的性質可得，則橢圓方程可求.【詳解】由點在橢圓上得，由橢圓的對稱性可得，則，故橢圓方程為.故選：A.10、C【解析】求導得，再解不等式即得解.【詳解】由得，根據(jù)題意得，解得故選：C11、C【解析】由題意，直線的斜率為，利用點斜式即可得答案.【詳解】解：因為直線與直線平行，所以直線的斜率為，又直線過點，所以直線的方程為，即，故選：C.12、C【解析】根據(jù)是假命題，判斷出是真命題.對分成，和兩種情況，結合方程有實數(shù)根，求得的取值范圍.詳解】┐p是假命題，則p是真命題，∴ax2+2x﹣1＝0有實數(shù)根，當a＝0時，方程為2x﹣1＝0，解得x＝0.5，有根，符合題意；當a≠0時，方程有根，等價于△＝4+4a≥0，∴a≥﹣1且，綜上所述，a的可能取值為a≥﹣1故選：C【點睛】本小題主要考查根據(jù)命題否定的真假性求參數(shù)，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.2【解析】由題意可得，由此可解得m的范圍，進一步將方程化為標準方程即可求得焦距【詳解】由所表示的曲線是雙曲線，可知，解得，當時，方程可變?yōu)椋?，此時雙曲線焦距為，當時，m不存在，不合題意；故雙曲線的焦距：故答案為：；14、【解析】本題可先將直線的一般式化為斜截式，然后根據(jù)斜率即可得到直線的一個方向向量.【詳解】由題意可知，直線可以化為，所以直線的斜率為，直線的一個方向向量可以寫為.故答案為：.15、【解析】首先將圓的方程配成標準式，即可得到圓心坐標與半徑，從而可得點在圓內，即可得到過點的最長弦、最短弦弦長，即可求出四邊形的面積；【詳解】解：圓M：，即，圓心，半徑，點，則，所以點在圓內，所以過點的最長弦，又，所以最短弦，所以故答案為：16、3【解析】根據(jù)拋物線的定義可求最小值.【詳解】如圖，過作拋物線準線的垂線，垂足為，連接，則，當且僅當共線時等號成立，故的最小值為3，故答案為：3.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）①，②.【解析】（1）圓心在線段的垂直平分線上，圓心也在過點且與垂直的直線上，聯(lián)立求圓心，進而得半徑即可；（2）①垂徑定理即可求弦長；②圓上存在點，使得成立，即四邊形是平行四邊形，又，有都是等邊三角形，進而得圓心到直線的距離為，列方程求解即可.試題解析：（1）由已知得，圓心在線段的垂直平分線上，圓心也在過點且與垂直的直線上，由得圓心，所以半徑，所以圓的方程為；（2）①由題意知，直線的方程為，即，∴圓心到直線的距離為，∴；②∵圓上存在點，使得成立，∴四邊形是平行四邊形，又，∴都是等邊三角形，∴圓心到直線的距離為，又直線的方程為，即，∴，解得.18、（1）在上單調遞減，在上單調遞增（2）證明見解析【解析】（1）當時，利用求得的單調區(qū)間.（2）將問題轉化為證明，利用導數(shù)求得的最小值大于零，從而證得不等式成立.【小問1詳解】當時，，且，又與均在上單調遞增，所以在上單調遞增.當時，單調遞減；當時，單調遞增綜上，在上單調遞減，在上單調遞增.【小問2詳解】因為，所以，要證，只需證當時，即可.，易知在上單調遞增，又，所以，且，即，當時，單調遞減；當時，單調遞增，，所以.【點睛】在證明不等式的過程中，直接證明困難時，可考慮證明和兩個不等式成立，從而證得成立.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）設，首先證明，從而可得到，即得到；進而可得到四邊形為平行四邊形；再根據(jù)為的中點，即可證明直線必過坐標原點（2）設出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消元，寫韋達；根據(jù)條件可求出直線MN過定點，從而可得到過定點，進而可得到點在以為直徑的圓上運動，從而可求出動點的軌跡方程【小問1詳解】設，則，即因為，，所以因為，所以，所以.同理可證.因為，，所以四邊形為平行四邊形，因為為的中點，所以直線必過坐標原點【小問2詳解】當直線的斜率存在時，設直線的方程為，，聯(lián)立，整理得，則，，.因為，所以，因為，解得或.當時，直線的方程為過點A，不滿足題意，所以舍去；所以直線的方程為，所以直線過定點.當直線的斜率不存在時，因為，所以直線的方程為，經驗證，符合題意.故直線過定點.因為為的中點，為的中點，所以過定點.因為垂直平分公共弦，所以點在以為直徑的圓上運動，該圓的半徑，圓心坐標為，故動點的軌跡方程為．20、（1）；（2）.【解析】(1)設圓心，軌跡兩點的距離公式列出方程，整理方程即可；(2)設直線l的方程和點A、B的坐標，直線方程聯(lián)立拋物線方程，消去x得出關于y的一元二次方程，結合根的判別式和韋達定理表示出弦，進而列出不等式，解之即可.【小問1詳解】設圓心，由題意知，，整理，得，即圓心M的軌跡C方程為：；【小問2詳解】由題意知，過點(-1，0)的直線l與拋物線C相交于點A、B，所以直線l的斜率存在且不為0，設直線，點，則，消去x，得，或，，同理可得，所以，即，由，得，解得，綜上，或，所以或，即直線l的斜率的取值范圍為.21、（1）增區(qū)間為（2），【解析】（1）求導，由判別式可判斷導數(shù)符號，然后可得；（2）求導，求導數(shù)零點，比較函數(shù)極值和端點函數(shù)值，結合單調性可得.【小問1詳解】因為，所以，，因為，所以恒成立所以的增區(qū)間為.【小問2詳解】當時，，令，解得，當時，，當時，，當時，所以，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增.因為，所以在區(qū)間上的最大值，最小值為