山東中考一輪復(fù)習(xí)20

第二節(jié)與圓有關(guān)的位置關(guān)系知識點一點和圓、直線和圓的位置關(guān)系1．點和圓的位置關(guān)系設(shè)圓的半徑為r，點到圓心的距離為d，則：(1)點在圓外?d____r；(2)點在圓上?d_____r；(3)點在圓內(nèi)?d____r.>

＝<2．直線和圓的位置關(guān)系設(shè)圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，知識點二切線的性質(zhì)與判定1．切線：直線和圓有______公共點時，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點．2．切線的性質(zhì)：圓的切線______于過切點的半徑．垂直唯一3．切線的判定(1)定義判定：和圓有______公共點的直線是圓的切線．(2)數(shù)量關(guān)系：圓心到直線的距離等于_____的直線是圓的切線．(3)定理：過半徑外端且______于半徑的直線是圓的切線．半徑垂直唯一4．切線長：過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段長叫做這點到圓的切線長．切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長______．相等考點三三角形的內(nèi)切圓1．與三角形三邊都______的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心．2．三角形的內(nèi)心是三角形的三條__________的交點，它到三角形三邊的距離相等．3．三角形的內(nèi)心都在三角形的內(nèi)部．相切角平分線若已知⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，三角形三邊長分別為a，b，c，面積為S，圓的半徑為r，則特別地，當△ABC是直角三角形，∠C＝90°，則r＝(a＋b－c)．考點一點、直線與圓的位置關(guān)系(5年0考)例1(2017·百色)以坐標原點O為圓心，作半徑為2的圓，若直線y＝－x＋b與⊙O相交，則b的取值范圍是(

)【分析】

先求出直線經(jīng)過一、二、四象限且與圓相切時b的值，再利用對稱性得出直線經(jīng)過二、三、四象限時b的值，即可確定b的取值范圍．【自主解答】

當直線y＝－x＋b與圓相切，且函數(shù)經(jīng)過一、二、四象限時，如圖．在y＝－x＋b中，當x＝0時，y＝b，則與y軸的交點B(0，b)；當y＝0時，x＝b，與x軸的交點A(b，0)，則OA＝OB，即△OAB是等腰直角三角形．連接圓心O和切點C，則OC＝2，∴由對稱性可知，當直線y＝－x＋b與圓相切，且函數(shù)經(jīng)過二、三、四象限時，b＝－2.因此b的取值范圍是－2＜b＜2.故選D.1．一個點到圓的最小距離為6cm，最大距離為9cm，則該圓的半徑是()A．1.5cmB．7.5cmC．1.5cm或7.5cmD．3cm或15cm2．已知Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，以C為圓心，以r為半徑作圓．若此圓與線段AB只有一個交點，則r的取值范圍為

_____________．C考點二切線的性質(zhì)與判定(5年5考)命題角度?切線的性質(zhì)例2(2017·泰安)如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊AB過圓心O，過點C的切線與邊AD所在直線垂直于點M，若∠ABC＝55°，則∠ACD等于(

)A．20°B．35°C．40°D．55°【分析】

連接OC，求出∠BAC的度數(shù)，利用切線的性質(zhì)得出∠DAC的度數(shù)，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠ADC，在△ACD中求出∠ACD的度數(shù)即可．【自主解答】∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，如圖，連接OC，∵CM為切線，∴OC⊥CM，又CM⊥AM，∴OC∥AM.∵∠ABC＝55°，∴∠OAC＝35°.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝∠CAD＝35°.又∵∠ADC＝180°－∠ABC＝125°，∴∠ACD＝180°－125°－35°＝20°.故選A.利用切線的性質(zhì)解決問題時，常連接切點與圓心，構(gòu)造垂直，然后通過勾股定理、解直角三角形或相似解題．3．(2013·泰安)如圖，已知AB是⊙O的直徑，AD切⊙O于點A，點C是的中點，則下列結(jié)論不成立的是()A．OC∥AEB．EC＝BCC．∠DAE＝∠ABED．AC⊥OED4．(2015·泰安)如圖，AB是⊙O的直徑，且經(jīng)過弦CD的中點H，過CD延長線上一點E作⊙O的切線，切點為F.若∠ACF＝65°，則∠E＝_____．50°5．(2016·泰安)如圖，半徑為3的⊙O與Rt△AOB的斜邊AB切于點D，交OB于點C，連接CD交直線OA于點E.若∠B＝30°，則線段AE的長為____．命題角度?切線的性質(zhì)與判定綜合例3(2014·泰安)如圖，P為⊙O的直徑BA延長線上的一點，PC與⊙O相切，切點為C，點D是⊙O上一點，連接PD，已知PC＝PD＝BC.下列結(jié)論：①PD與⊙O相切；②四邊形PCBD是菱形；③PO＝AB；④∠PDB＝120°.其中正確的個數(shù)為(

)A．4B．3C．2D．1【分析】

利用切線的性質(zhì)與判定、全等三角形的性質(zhì)與判定以及菱形的判定分別對四個結(jié)論進行判定．【自主解答】

如圖，連接CO，DO，AC.∵PC與⊙O相切，切點為C，∴∠PCO＝90°.易得△PCO≌△PDO，∴∠PCO＝∠PDO＝90°，∴PD與⊙O相切，故①正確；∵△PCO≌△PDO，∴∠CPB＝∠BPD，易得△CPB≌△DPB，∴BC＝BD，∴PC＝PD＝BC＝BD，∴四邊形PCBD是菱形，故②正確；∵PC＝CB，∴∠CPB＝∠CBP.∵AB是⊙O直徑，∴∠ACB＝90°，易得△PCO≌△BCA，∴PO＝AB，故③正確；∵四邊形PCBD是菱形，∠CPO＝30°，∴DP＝DB，則∠DPB＝∠DBP＝30°，∴∠PDB＝120°，故④正確．綜上，正確的結(jié)論有4個．故選A.講：切線的判定方法

(1)“連半徑，證垂直”：若直線與圓有公共點，則連接圓心與交點得到半徑，證明半徑與直線垂直；(2)“作垂直，證等徑”：若未給出直線與圓的公共點，則過圓心作直線的垂線段，證明垂線段的長等于半徑．在判定時，必須說明“是半徑”或“點在圓上”，這是最容易犯錯的地方．練：鏈接變式訓(xùn)練76．(2017·肥城二模)如圖，在等邊△ABC中，點O在邊AB上，⊙O過點B且分別與邊AB，BC相交于點D，E，F(xiàn)是AC上的點，下列說法錯誤的是()A．若EF⊥AC，則EF是⊙O的切線B．若EF是⊙O的切線，則EF⊥ACC．若BE＝EC，則AC是⊙O的切線D．若BE＝EC，則AC是⊙O的切線C7．(2017·咸寧)如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O與邊BC，AC分別交于D，E兩點，過點D作DF⊥AC，垂足為點F.(1)求證：DF是⊙O的切線；(2)若AE＝4，cosA＝，求DF的長．(1)證明：如圖，連接OD，作OG⊥AC于點G，∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠B.又∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠ODB＝∠C，OD∥AC.∵DF⊥AC，∴∠DFC＝90°，∴∠ODF＝∠DFC＝90°，∴DF是⊙O的切線．(2)解：AG＝AE＝2.∵∠ODF＝∠DFG＝∠OGF＝90°，∴四邊形OGFD為矩形，∴DF＝OG＝.考點三切線長與三角形的內(nèi)切圓(5年0考)例4

如圖，△ABC中，AB＝AC，內(nèi)切圓⊙O與邊BC，AB分別切于點D，E，F(xiàn)，若∠C＝30°，CE＝2，則AC＝

．【分析】

根據(jù)切線長定理，得到D是BC的中點，從而得到A，O，D三點共線．根據(jù)等腰三角形的三線合一得到直角三角形ACD.根據(jù)切線長定理得到CD＝CE，利用銳角三角函數(shù)即可求得AC的長．【自主解答】

如圖，連接AO，OD.∵O是△ABC的內(nèi)心，∴OA平分∠BAC.∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，D是切點，∴OD⊥BC.又∵AC＝AB，∴A，O，D三點共線，即AD⊥BC.∵CD，CE是⊙O的切線，∴CD＝CE＝2.∵∠C＝30°，CE＝故答