【微分中值定理及其應(yīng)用淺析7300字（論文）】

微分中值定理及其應(yīng)用研究目錄27159第1章引言 [11].證明對(duì)于區(qū)間內(nèi)任意一點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的改變量(),設(shè)在開區(qū)間上單調(diào)遞增，則有,即,因?yàn)?，從?,又因?yàn)樵谧箝_右閉區(qū)間上存在左導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)極限的保號(hào)性有.同理可證是單調(diào)減函數(shù)時(shí)的情形.推廣定理1若函數(shù)有如下性質(zhì)：()在閉區(qū)間上連續(xù)；()在左開右閉區(qū)間內(nèi)存在左導(dǎo)數(shù)；()；則，對(duì),,當(dāng)時(shí)，有 .(13)證明由推廣定理1的條件()可知，在閉區(qū)間上必能取到最大值和最小值，先假設(shè)分別為和.那么(1)若，則在區(qū)間上為常函數(shù)，于是對(duì)開區(qū)間內(nèi)任意一點(diǎn)，都有即，所以上的任意一點(diǎn)都可作為，使得,，當(dāng)時(shí)，有.(2)若，則由推廣定理1條件()可知，在區(qū)間端點(diǎn)處不可能同時(shí)取到最大值或最小值，即至少，可使在點(diǎn)處取到最大值或最小值.若在點(diǎn)處能取得最小值，則點(diǎn)必是函數(shù)的局部極小值.根據(jù)極小值的定義，必然存在,可使在上為單調(diào)減函數(shù)，在上為單調(diào)增函數(shù)，再由引理4，函數(shù)在區(qū)間上有，,從而有.即在開區(qū)間內(nèi)有一點(diǎn)，對(duì)，，當(dāng)時(shí)，有.7.2Lagrange中值定理的推廣由可導(dǎo)推廣到單側(cè)可導(dǎo)：推廣定理2若函數(shù)有如下性質(zhì)：()在閉區(qū)間上連續(xù)；()在左開右閉區(qū)間上存在左導(dǎo)數(shù)；則，對(duì),，當(dāng)時(shí)，有 .(14)證明根據(jù)定理結(jié)論可構(gòu)造這樣一個(gè)輔助函數(shù),該函數(shù)滿足推廣定理2的條件()和()，且.又因?yàn)?則函數(shù)滿足推廣定理1的全部條件，由推廣定理1可知，，對(duì),當(dāng)時(shí)，有.即 .定理得證7.3Cauchy中值定理的推廣推廣定理3若函數(shù)與有如下性質(zhì)：()在閉區(qū)間上均連續(xù)；()在左開右閉區(qū)間上存在左導(dǎo)數(shù)與；()是閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，并且對(duì)區(qū)間內(nèi)任意一點(diǎn),有;則，對(duì),，當(dāng)時(shí)，有 .(15)證明根據(jù)定理結(jié)論作輔助函數(shù):,該函數(shù)滿足推廣定理2的全部條件，并且.又因?yàn)?所以函數(shù)滿足推廣定理1的全部條件，由推廣定理1可知，，對(duì),當(dāng)時(shí)，有，即(16)根據(jù)推廣定理3的條件()，若在閉區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)時(shí)，由引理4可知對(duì)都有;而當(dāng)在上為單調(diào)減函數(shù)時(shí)，由引理4可知對(duì)都有,由此可得與始終同號(hào)，即.把(16)式兩邊同時(shí)除以可得 .顯然，在推廣定理3中當(dāng)時(shí)，推廣定理3就變?yōu)橥茝V定理2.結(jié)論通過(guò)以上內(nèi)容可以看出，微分中值定理是聯(lián)系函數(shù)和導(dǎo)數(shù)相互關(guān)系的一條紐帶，它的應(yīng)用范圍十分廣泛并且靈活性很大。不僅可以用來(lái)證明方程根的存在性、證明不等式、求極限與近似值，而且還可以用來(lái)解決一些含高階導(dǎo)數(shù)的中值問(wèn)題。用微分中值定理來(lái)解題的步驟大致可以概括為：首先根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)或要證明的結(jié)論去合理的構(gòu)造一個(gè)輔助函數(shù)并給出相其應(yīng)的區(qū)間，然后驗(yàn)證它滿足哪個(gè)中值定理的條件，最后用驗(yàn)證的條件以及中值定理已有的結(jié)論解決問(wèn)題。本文僅僅是講述了微分中值定理的一部分內(nèi)容，隨著研究問(wèn)題的進(jìn)一步拓寬和深入，微分中值定理也必將會(huì)有更加廣闊的應(yīng)用空間并發(fā)揮出更大的作用。

參考文獻(xiàn)王艷萍.微分中值定理的推廣及應(yīng)用[J].洛陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào),2019,38(02):15-16.楊紅莉,李士垚,于紅,曾憲陽(yáng).與中值定理相關(guān)的輔助函數(shù)的一個(gè)構(gòu)造法[J].南京工程學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2018,16(01):66-70.帥燦.從中學(xué)數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)微分中值定理的美[J].科學(xué)技術(shù)創(chuàng)新,2018(03):52-53.陳陽(yáng),王濤.淺談微分中值定理證明及應(yīng)用題目[J].遼寧工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(社會(huì)科學(xué)版),2016,18(06):138-142.朱智和.微分中值定理在解題中的若干應(yīng)用[J].紹興文理學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2009,29(04):112-116.張軍,倪鑫,閆絲雨,尹曉軍,呂雄.利用微分方程求解微分中值問(wèn)題的逆向思維方法[J].高等數(shù)學(xué)研究,2019,22(03):15-17.黨炳新.微分中值定理在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[D].信陽(yáng)師范學(xué)院,2014.施開波.《微積分》課程的教學(xué)改革探索與實(shí)踐[J].教育現(xiàn)代化,2018,5(39):103-104.閔蘭,陳曉敏.幾個(gè)微分中值定理之異同[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2009(6):196-199.MartinezJavier,AguiarBraulio,Estrada-ManzoVíctor,BernalMiguel,DaiZhifeng.ActuatorFaultDetectionforDiscrete-TimeDescriptorSystemsviaaConvexUnknownInputObserverwithUnknownSchedulingVariables[J].MathematicalProblemsinEngineering,2021,2021.MohamedLamineNacer,HamidKherfane,SandrineMoreau,SalahSaad.RobustObserverDesignforUncertainLipschitzNonlinearSystemsBasedonDifferentialMeanValueThe