基于普適性模型的網(wǎng)絡中心性對災害蔓延速度和擴散趨勢的影響

基于普適性模型的網(wǎng)絡中心性對災害蔓延速度和擴散趨勢的影響

1復雜網(wǎng)絡上的災害蔓延動力學模型復雜網(wǎng)絡是近年來出現(xiàn)的一個新研究方向。特別是在1998年和2000年，watts和strogatz發(fā)現(xiàn)了“小世界網(wǎng)絡”，1994年，baralis和alber發(fā)現(xiàn)了“無標度網(wǎng)絡”。復雜網(wǎng)絡的研究吸引了許多科學家，復雜網(wǎng)絡的研究滲透了物理、巖石力學、計算機科學、心理學、神經(jīng)學、疾病學、經(jīng)濟和社會學領域的[3.4.5、6.7、8、9、10、11和12]。許多復雜的系統(tǒng)可能是通過網(wǎng)絡描述的。這些網(wǎng)絡由多個節(jié)點和兩個節(jié)點之間的連接部分組成。節(jié)點是表示真實系統(tǒng)中的個體，節(jié)點之間的邊界是表示個體之間的關系。災害事件嚴重地危害人類生命財產(chǎn)和生存條件,給人類社會造成巨大的沖擊.隨著復雜網(wǎng)絡研究的深入,為建立災害系統(tǒng)及蔓延普適性模型提供了思路.雖然災害事件經(jīng)常是突發(fā)性的,但大部分的災害事件具有一些共性特征:一個微小擾動能造成整個系統(tǒng)(網(wǎng)絡)的連鎖反應,從而導致系統(tǒng)中的大部分產(chǎn)生崩潰.然而到目前為止,關于復雜網(wǎng)絡上災害蔓延的研究不多.根據(jù)災害系統(tǒng)及災害動力學的特征,Buzna等建立了災害蔓延的普適性動力學模型,這個模型考慮了網(wǎng)絡節(jié)點的自修復功能、災害蔓延機理和內部隨機噪聲,通過仿真分析認為在災害蔓延過程中存在相變,即存在一個傳播臨界值,這個臨界值的大小與節(jié)點參數(shù)及網(wǎng)絡拓撲結構有關系,并且討論了節(jié)點自失效時網(wǎng)絡的魯棒性.翁文國等]對網(wǎng)絡在隨機擾動下的災害蔓延進行了分析,研究了自修復因子、延遲時間因子和噪聲強度三個參數(shù)對三種網(wǎng)絡(隨機網(wǎng)絡、無標度網(wǎng)絡和小世界網(wǎng)絡)節(jié)點修復率和崩潰節(jié)點數(shù)的影響.歐陽敏等介紹了幾種已存在的復雜網(wǎng)絡上的災害蔓延模型,并對各模型進行了優(yōu)缺點評價,給出了一種存在冗余系統(tǒng)的改進模型,最后在不同的網(wǎng)絡結構下,仿真分析了災害蔓延過程的差異以及修復因子的影響,認為大規(guī)模災害事件很少發(fā)生的原因是系統(tǒng)中存在冗余.Buzna等分析了隨機攻擊下災害蔓延的各種有效應急策略,認為初始節(jié)點所受擾動會持續(xù)一段時間,在此期間分配給它的資源沒有發(fā)揮作用,得到了無標度網(wǎng)絡下在任意節(jié)點受到擾動時,災害得以控制所需要的最少資源數(shù)量隨應急時間增加而減少的結論.張振文等對無標度網(wǎng)絡中災害蔓延的應急響應進行了分析,提出使用應急響應時間和資源數(shù)量的調用曲線來描述外部資源的調用,為分配資源,根據(jù)網(wǎng)絡的拓撲結構和災害的蔓延現(xiàn)狀制定了不同的應急策略.當網(wǎng)絡中某些節(jié)點受到攻擊時,節(jié)點發(fā)揮自我修復功能或災害蔓延機理,隨著時間演化,網(wǎng)絡最終會產(chǎn)生不同狀態(tài).文獻中復雜網(wǎng)絡受到外界沖擊的網(wǎng)絡節(jié)點是隨機選取的,這樣選取的節(jié)點不能完全體現(xiàn)網(wǎng)絡的實際情況,存在一定的局限性.而網(wǎng)絡中節(jié)點所處的狀態(tài)不同,攻擊不同的節(jié)點,會有不同的效果.為考察網(wǎng)絡的初始狀態(tài)對災害傳播的影響,本文選取了四種不同初始狀態(tài),即通過選取不同的節(jié)點進行攻擊,分別為隨機選取網(wǎng)絡節(jié)點和選擇網(wǎng)絡的三種中心節(jié)點作為初始傳播節(jié)點,對比網(wǎng)絡中傳播過程和最終狀態(tài),為保證初始節(jié)點的隨機性,本文對隨機選取初始節(jié)點的網(wǎng)絡進行一個多次取平均值的辦法.本文將關注關鍵節(jié)點(度中心度最大點、緊密中心度最大點或介數(shù)中心度最大點)受到攻擊時災害網(wǎng)絡傳播的動力學特征.具體組織如下:第2節(jié)介紹了一個普適性的災害蔓延動力學模型;第3節(jié)介紹了本文仿真模擬中將用到的三種網(wǎng)絡的結構特性及網(wǎng)絡中心性;在第4節(jié)中通過選取不同類型的節(jié)點進行攻擊,然后對三種網(wǎng)絡進行仿真模擬,并對模擬結果進行分析;在第5節(jié)中,選用了一個符合無標度特性的實際網(wǎng)絡對理論分析結果進行了驗證;在第6節(jié)中,提出了一些重要的結論.2節(jié)點時間演化動力學方程考慮一個有向網(wǎng)絡G=(N,S),其中包含節(jié)點i∈N:={1,2,…,n}和邊(i,j)∈N×N,分別代表系統(tǒng)的節(jié)點和各節(jié)點之間的相互關系.每個節(jié)點的屬性值用xi表示,當xi=0時表示該節(jié)點處于穩(wěn)定狀態(tài);反之,當xi偏離零時標明該節(jié)點產(chǎn)生崩潰.自然界系統(tǒng)都存在著自我修復功能和災害蔓延機理.自我修復功能是指當節(jié)點產(chǎn)生崩潰時,隨著時間的推移,有些節(jié)點能自我修復.災害蔓延機理是指當某個或者某些節(jié)點出現(xiàn)崩潰時,災害會在網(wǎng)絡上進行傳播蔓延,直至大部分網(wǎng)絡節(jié)點產(chǎn)生崩潰.以屬性值表示就是假設開始時刻xi有個小擾動,但隨著時間進程,節(jié)點發(fā)揮自我修復功能或災害蔓延機理,xi會趨向于零或者網(wǎng)絡中大部分節(jié)點的屬性值趨向于無窮.因此,對于節(jié)點的時間演化動力學公式可以表示為該動力學方程有三個部分組成.(1)式等號右邊第一項表示節(jié)點的自我修復功能,第二項表示節(jié)點的災害蔓延機理,第三項表示節(jié)點的內部隨機噪聲;1/τ表示節(jié)點的自我修復速度;Mij表示節(jié)點i對節(jié)點j的影響程度;tij表示節(jié)點i和節(jié)點j之間的影響延遲時間;β表示傳播過程中的阻尼作用.(2)式為S型函數(shù),α為定值,θi為節(jié)點i的閾值.(3)式為節(jié)點i的出度函數(shù),oi表示節(jié)點i的出度值,出度函數(shù)反映的是節(jié)點i對其他節(jié)點的影響程度,其中a和b為定值.3網(wǎng)絡發(fā)展模型和網(wǎng)絡中心3.1pajet軟件的主要生成算法本文在模擬計算中考慮三種理想的網(wǎng)絡拓撲結構:隨機網(wǎng)絡、無標度網(wǎng)絡和小世界網(wǎng)絡.這三種網(wǎng)絡均為有向網(wǎng)絡,節(jié)點數(shù)都為100,平均度為3.5.網(wǎng)絡具體的生成參數(shù)如下.采用典型的ER模型,即隨機產(chǎn)生N個節(jié)點,每個節(jié)點與其他節(jié)點建立連接的概率為p=2n/N(N-1)(其中n是給定的總邊數(shù)).用Pajek軟件產(chǎn)生該網(wǎng)絡.采用優(yōu)先連接的方法產(chǎn)生,即在網(wǎng)絡增長中,邊所連接的兩個節(jié)點是在所有的節(jié)點中以某個概率來選擇,該概率的大小可表示為其中,α,β和γ都為常數(shù),且α+β+7=1;indeg(v)和outdeg(v)分別為節(jié)點v的入度和出度;|E|為網(wǎng)絡總的邊數(shù);|v|為節(jié)點數(shù).同樣采用Pajek軟件產(chǎn)生無標度網(wǎng)絡,首先產(chǎn)生一個100個節(jié)點的ER隨機網(wǎng)絡,線連接概率設為0.3,之后分別設參數(shù)α,β為0.3和0.23進行依附連接.首先產(chǎn)生一個無向規(guī)則網(wǎng)絡,然后將無向邊設置成有向邊,其方向包括順時針、逆時針和雙向,比例分別為0.45、0.45和0.1,最后以概率0.3隨機重新連接該網(wǎng)絡.3.2中心度.節(jié)點是緊密能力中心性指采用定量方法對每個節(jié)點處于網(wǎng)絡中心地位的程度進行刻畫,從而描述整個網(wǎng)絡的核心.通常對網(wǎng)絡中個體的中心度測量采用三個指標,即度中心度、緊密中心度和介數(shù)中心度.網(wǎng)絡中度最大的節(jié)點就是中心點,體現(xiàn)該節(jié)點與其周圍節(jié)點之間建立直接聯(lián)系的能力.依據(jù)測量網(wǎng)絡中各節(jié)點之間的距離而得,表達的是節(jié)點到達其他節(jié)點所需要的最少連接;緊密中心點是所有其他節(jié)點到此節(jié)點總距離最小(總邊數(shù)最少)的節(jié)點,該節(jié)點是網(wǎng)絡的拓撲中心,但并不一定度最大.該中心點是信息、物質或能量在網(wǎng)絡上傳輸時負載最重的節(jié)點,即介數(shù)(經(jīng)過此點的測地線條數(shù))最大的節(jié)點;它并不一定度最大,也不一定是網(wǎng)絡的拓撲中心.從概念上來說,介數(shù)可以理解為網(wǎng)絡上通過所關心節(jié)點或者邊的流通量.4網(wǎng)絡模擬攻擊模型在仿真之前,首先采用Pajek軟件計算三種網(wǎng)絡的中心度節(jié)點.在仿真時,在初始三種網(wǎng)絡中分別按照一定策略選擇出一個目標節(jié)點i,并且設該節(jié)點的狀態(tài)為大于零的小量,本文賦值為0.5.四種具體的攻擊策略如下:①隨機選取目標節(jié)點(A);②選取度中心度最大點(B);③選取緊密中心度最大點(C);④選取介數(shù)中心度最大點(D).依據(jù)(1)式建立的模型,重點考察關鍵節(jié)點崩潰對災害蔓延的影響.網(wǎng)絡模擬過程中,假設自修復因子τ為x2分布,其均值和方差均為2;延遲時間因子tij為常數(shù)2;內部隨機噪聲ξi為正態(tài)分布,其均值為0,方差為0.01.本文將三種網(wǎng)絡都視為同質網(wǎng)絡,即設Mij為常數(shù)0.5.其他參數(shù)的假設如下:α=10,β=0.01,a=1,b=10.為了保證仿真精度,隨機節(jié)點的仿真模擬10次,以確定崩潰節(jié)點數(shù)的平均值.4.1網(wǎng)絡脆弱性排序圖1至圖3分別描述的是在隨機網(wǎng)絡、小世界網(wǎng)絡和無標度網(wǎng)絡上基于上述四種策略的災害蔓延演化結果,縱坐標為網(wǎng)絡中崩潰節(jié)點數(shù),橫坐標為災害演化時間.所有的崩潰節(jié)點數(shù)的增加曲線呈現(xiàn)“S”形增長,最后趨于某種平衡狀態(tài),即達到崩潰節(jié)點數(shù)的最大值.從圖1可以看出,在隨機網(wǎng)下網(wǎng)絡中介數(shù)最大的節(jié)點破壞后,節(jié)點的崩潰速度較快,崩潰節(jié)點數(shù)在最短的時間內達到較大值,而且隨著時間的增長,最后崩潰的節(jié)點數(shù)也最大;在該網(wǎng)絡下,節(jié)點度最大的節(jié)點比緊密度最大的節(jié)點對網(wǎng)絡的影響較大,而隨機選取初始破壞節(jié)點對網(wǎng)絡的影響最小,在該策略下最終崩潰節(jié)點的數(shù)目最少.網(wǎng)絡脆弱性排序如下:D→B→C→A.圖2中,同樣在小世界網(wǎng)下,網(wǎng)絡中介數(shù)最大的節(jié)點破壞后,崩潰節(jié)點數(shù)在最短的時間內達到較大值,而且最終的崩潰節(jié)點數(shù)也最大;隨機選取和選取緊密度最大初始崩潰節(jié)點對網(wǎng)絡的影響基本一致,而在該網(wǎng)絡下,選取節(jié)點度最大的節(jié)點進行災害演化時,崩潰節(jié)點數(shù)的增加速度最小,平衡時的崩潰節(jié)點數(shù)也最少.網(wǎng)絡脆弱性排序如下:D→C→A-→B.圖3中,在無標度網(wǎng)下,四種攻擊策略對災害傳播的影響程度(網(wǎng)絡脆弱性)順序從高到低為:D→B→C→A,與隨機網(wǎng)相似,但四種策略對網(wǎng)絡的影響差異較大,選取介數(shù)最大點作為初始崩潰節(jié)點這種策略下,網(wǎng)絡中基本所有的節(jié)點產(chǎn)生崩潰,相反隨機選取節(jié)點時,網(wǎng)絡中只有少量的節(jié)點崩潰.從以上分析可以看出,三種網(wǎng)絡中選取關鍵節(jié)點作為初始擾動節(jié)點比隨機選取節(jié)點對網(wǎng)絡的影響程度更深.因為拓撲結構的不同,網(wǎng)絡中節(jié)點表現(xiàn)出的性質也不一樣.而介數(shù)最大節(jié)點破壞后對網(wǎng)絡造成的影響遠比其他三種節(jié)點大,可以看出,在三種網(wǎng)絡中選取該類節(jié)點進行攻擊,在災害蔓延過程中,崩潰節(jié)點數(shù)的增長最快,最終的崩潰節(jié)點數(shù)也最多,特別在無標度網(wǎng)下,網(wǎng)絡中95%的節(jié)點產(chǎn)生崩潰.由于介數(shù)是表征網(wǎng)絡最短路徑的量,因此該節(jié)點破壞,網(wǎng)絡上特征路徑長度與直徑將遭受很大影響,在很大程度上改變了網(wǎng)絡結構及功能.要徹底阻斷災害在網(wǎng)絡上的蔓延就是尋找阻止災害進一步擴散的關鍵節(jié)點——中樞節(jié)點,通過以上的模擬情況可以給我們很好的啟示和思考,在復雜網(wǎng)絡中,連通度大的節(jié)點往往是信息流通的中樞節(jié)點,如介數(shù)和緊密度較大的節(jié)點.而且可以看出,復雜網(wǎng)絡對隨機攻擊具有較強的抵御能力,而對目標攻擊卻顯示出較大的脆弱性.據(jù)統(tǒng)計,只要將網(wǎng)絡少量的擁有高連接度的中心節(jié)點(不超過5%的節(jié)點)進行攻擊,可以導致整個網(wǎng)絡陷入癱瘓狀態(tài).反之,對災害進行阻斷時,可以采用以上分析結果進行目標惡意攻擊.4.2無標度網(wǎng)和小世界網(wǎng)上的初始試驗站網(wǎng)絡初始開裂模擬我們采用上面的仿真數(shù)據(jù)從網(wǎng)絡拓撲結構方面來考慮何種初始攻擊最有效.圖4至圖7分別描述的是在三種網(wǎng)絡狀態(tài)下采用不同的初始攻擊方式表現(xiàn)出的網(wǎng)絡最終狀態(tài),縱坐標為網(wǎng)絡中崩潰節(jié)點數(shù),橫坐標為災害演化時間.圖4為在隨機網(wǎng)、無標度網(wǎng)和小世界網(wǎng)上隨機選取初始崩潰節(jié)點進行災害蔓延模擬的結果.可以看出,隨機網(wǎng)和小世界網(wǎng)下最后的崩潰節(jié)點數(shù)遠比在無標度網(wǎng)下大很多,無標度網(wǎng)下僅僅有30%的節(jié)點產(chǎn)生崩潰,而且崩潰的臨界時刻相對于其他兩種網(wǎng)絡有明顯的延遲現(xiàn)象.以上結果也驗證了無標度網(wǎng)的極度不均勻性,即少數(shù)節(jié)點有很高的度,而大部分節(jié)點度很小,或者可以說,少數(shù)節(jié)點占用了絕大部分的網(wǎng)絡連通度.圖5為在隨機網(wǎng)、無標度網(wǎng)和小世界網(wǎng)上選取節(jié)點度最大的節(jié)點作為初始崩潰節(jié)點進行災害蔓延模擬的結果.從圖可以看出,三種網(wǎng)絡在崩潰的臨界時刻及最后的崩潰狀態(tài)基本表現(xiàn)出同樣的結果.或者可以認為,在隨機網(wǎng)、無標度網(wǎng)和小世界網(wǎng)上選取節(jié)點度最大的節(jié)點進行牽制控制時并沒有明顯差別.圖6為在隨機網(wǎng)、無標度網(wǎng)和小世界網(wǎng)上選取節(jié)點緊密度最大的節(jié)點作為初始崩潰節(jié)點進行災害蔓延模擬的仿真結果.我們發(fā)現(xiàn),和小世界網(wǎng)相比,隨機網(wǎng)和無標度網(wǎng)下最后的崩潰節(jié)點數(shù)較少,而且小世界網(wǎng)上,近90%的節(jié)點產(chǎn)生崩潰.緊密度中心點描述的是其他節(jié)點到此點總距離最小的節(jié)點,而小世界網(wǎng)絡具有較小的平均最短路徑長度和較大的群集系數(shù),可以看出,緊密度中心點在小世界網(wǎng)上占有較高的連通度,這種現(xiàn)象在該圖中得到了驗證.圖7為在隨機網(wǎng)、無標度網(wǎng)和小世界網(wǎng)上選取網(wǎng)絡上節(jié)點介數(shù)最大的節(jié)點作為初始崩潰節(jié)點進行災害蔓延模擬的仿真結果.可以看出,在該三種網(wǎng)絡上初始節(jié)點的崩潰均對網(wǎng)絡產(chǎn)生了較大的影響,崩潰的臨界時間較短,最終的崩潰節(jié)點數(shù)也較大,特別是在無標度網(wǎng)上基本所有的節(jié)點產(chǎn)生了崩潰,而在隨機網(wǎng)上也有85%的節(jié)點崩潰.我們發(fā)現(xiàn),在任何網(wǎng)絡上以節(jié)點介數(shù)作為牽制控制的策略能達到有效控制整個網(wǎng)絡的目的.5無標度網(wǎng)絡拓撲結構仿真分析以上敘述均采用Pajek軟件產(chǎn)生的理論數(shù)據(jù)進行分析,為了驗證理論分析的正確性,本章節(jié)將選用一個實際網(wǎng)絡進行分析.理論已經(jīng)證明,現(xiàn)實世界的網(wǎng)絡大部分為無標度網(wǎng)絡,節(jié)點度服從冪律分布.限于篇幅,而且為了說明無標度的這種普適性,本文僅選用一種無標度網(wǎng)絡進行驗證.本文選用潘啟東所構建的煤礦災害網(wǎng)絡.該網(wǎng)絡拓撲結構的基本屬性見表1.同樣,在該網(wǎng)絡上分別按照上文所描述的策略選擇出目標節(jié)點進行攻擊,仿真結果如圖8所示.結果顯示,實際網(wǎng)絡的崩潰過程基本和理論分析符合,在該無標度網(wǎng)下介數(shù)最大的節(jié)點破壞后,節(jié)點的傳播速度最快,崩潰節(jié)點數(shù)在很短的時間內達到了總節(jié)點數(shù)的80%,而且隨著時間的增長,最后崩潰的節(jié)點數(shù)超過總節(jié)點數(shù)的95%,基本上網(wǎng)絡中所有節(jié)點產(chǎn)生破壞;在該網(wǎng)絡下,選取節(jié)點度最大的節(jié)點進行攻擊比選取緊密度最大的節(jié)點攻擊對網(wǎng)絡的影響大,而隨機選取初始破壞節(jié)點對網(wǎng)絡的影響最小,在該策略下最終崩潰節(jié)點的數(shù)目最少,僅30%的節(jié)點產(chǎn)生破壞.按照仿真結果,在防范煤礦災害時優(yōu)先選擇介數(shù)和度數(shù)較高的節(jié)點進行蓄意攻擊可有效降低事故發(fā)生率.比如,我們可以保證諸如瓦斯爆炸