第15章 住房的合理定價

Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析住房的合理定價2021/5/91第十五章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析二十一世紀(jì)，房價問題一直備受關(guān)注，受多方面因素影響，房價一直處于持續(xù)的上升階段，導(dǎo)致很多收入低的人群，無法購房，然而有錢的人，則購買好幾套房子，因此合理的房價模型顯得尤為重要，能夠綜合的評定該階段房價的合理值，從而更加好的穩(wěn)固經(jīng)濟發(fā)展。本章主要研究該地區(qū)人均GDP與房價的關(guān)系，然后建立該地區(qū)歷年的平均房價預(yù)測模型，對該地區(qū)房價有一定的建議作用。本文開始根據(jù)歷年住房的平均價格建立了房價與時間的函數(shù)關(guān)系，由此預(yù)測了2010的房價。之后根據(jù)各組數(shù)據(jù)分別建立了兩個模型并討論了房價與GDP的關(guān)系。最后根據(jù)題目的要求，在基本假設(shè)及多個條件的約束下建立了2010房價的最優(yōu)化模型。問題一中，我們先依據(jù)直觀的散點圖確定了要使用的函數(shù)，并根據(jù)最小二乘法的思想使用MATLAB中的統(tǒng)計工具箱擬合出了房價關(guān)于時間的函數(shù)。然后計算了函數(shù)與現(xiàn)實房價的誤差，并對誤差進行了矩估計和區(qū)間估計，得出了它的Gauss分布函數(shù)。最后預(yù)測了2010年的房價可能的區(qū)間。2021/5/92第十五章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析問題二中，由于GDP和房價之間的關(guān)系不易確定，即我們無法直接斷定究竟GDP是房價的函數(shù)還是房價是GDP的函數(shù)。因此我們對應(yīng)兩種假設(shè)分別建立了兩個模型，同樣利用統(tǒng)計工具箱進行多變量非線性擬合，并得出各自的函數(shù)關(guān)系，最后以誤差的大小決定模型的優(yōu)劣。問題三中，考慮到人的收入是不一樣的，相對富有的人群可能會購買多于一套的住房，而經(jīng)濟條件差的人群可能一套也購買不起?；谶@個原因，我們將所謂的“平均房價”分為了兩部分，一部分是購買第一套住房的價格；另一部分是購買多于一套住房的價格，這樣就建立起了一個相對“不平等”的房價模型。這樣做的好處是，它可以既基本維持總體平均房價（即保障了國家的稅收和房地產(chǎn)商的收入），又減輕了中低收入人群購房的壓力。最后我們得到了一個非線性最優(yōu)化模型，使用LINGO軟件很容易求解。2021/5/93第十五章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析15.2問題提出民以食為天，民以安居為樂。目前國內(nèi)的房地產(chǎn)業(yè)面臨前所未有的困境，原因在于房價太高，而需房者收入太低。2010年3月5日，溫家寶總理在第十一屆人大三次會上作的政府工作報告上講,在2010年要“促進房地產(chǎn)市場平穩(wěn)健康發(fā)展。要堅決遏制部分城市房價過快上漲勢頭，滿足人民群眾的基本住房需求”。所以如何使得百姓買得起房，房地產(chǎn)商有錢可賺，國家的支柱性產(chǎn)業(yè)得以健康地發(fā)展是放在我們面前的一大難題。請根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列三個問題：（1）根據(jù)該地區(qū)歷年的平均房價建立模型預(yù)測2010年的平均房價。（2）研究該地區(qū)人均GDP與房價的關(guān)系。（3）試建立2010年該地區(qū)的合理房價模型使得百姓、房地產(chǎn)商、政府都比較滿意（如果你的模型需要，你可以在網(wǎng)上查閱并使用有關(guān)的數(shù)據(jù)）。2021/5/94第十五章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析表15-1某地區(qū)各年的平均房價、人均GDP、職工平均年收入等數(shù)據(jù)時間：年平均房價：元/平米人均GDP：元平均年收入：元1997767354051561998895378351381999995391665262000111742397434200112614922847520021437556096882003164063991070320041957784211384200522449116123432006248910879136302007280113475155582008309616737184722009350018745198202021/5/95第十五章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析15.5問題分析問題一的要求是根據(jù)現(xiàn)有的數(shù)據(jù)預(yù)測2010年的平均房價，而要預(yù)測房價，可以理解為找到時間和房價之間的內(nèi)在聯(lián)系，即找到二者之間的函數(shù)關(guān)系?？梢粤⒓聪氲降霓k法是，先將這幾年的房價按照時間順序做出散點圖，以給我們一個直觀的印象。而后，可以根據(jù)這個直觀的印象確定所要使用的預(yù)測函數(shù)并用這個函數(shù)去“適合”這些數(shù)據(jù)點，最后，在決定了函數(shù)（即模型）之后，還需要討論模型的誤差。問題二的要求相對比較模糊，如果說在問題一中顯然房價是時間的函數(shù)的話，那么問題二中我們很難決定到底GDP是房價的函數(shù)亦或者房價是GDP的函數(shù)。所以我們基本的思路是，分別建立兩個模型并且求解，最后以誤差的大小來決定取舍。對問題三，由于房地產(chǎn)開發(fā)商和老百姓處于利益的對立面，一部分的人有能力購買多套住房，而廣大的老百姓一套也買不起，所以基本的思路是這樣：國家應(yīng)該出面對購買多于一套住房的人加收一定的房產(chǎn)稅，而這些稅收的一部分則用于補貼那些購買第一套住房的人。2021/5/96第十五章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析圖15-1擬合圖從圖15-1中可以直觀的看出，房價和時間（年份）的關(guān)系更加接近于一個二次函數(shù)，這暗示了我們應(yīng)該為此建立一個二次函數(shù)的回歸模型。2021/5/97第十五章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析15.6.3問題一模型的求解%%由于使用二維擬合，故P1應(yīng)該為3*13的矩陣，第一列為1，第二列為Y，第三列為Y的平方P1(:,1)=1;P1(:,2)=P';P1(:,3)=(P.^2)';[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y',P1)2021/5/98第十五章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析圖15-2多元回歸擬合圖2021/5/99第十五章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析clc,clear,closeallx=-300:1:300;y=zeros(length(x));y=39/10000.*exp(-1/(2*102^2)*x.^2);plot(x,y)ylabel('概率')title('房價誤差的正態(tài)分布圖')圖15-3正態(tài)分布2021/5/910第十五章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析要研究房價和GDP的關(guān)系和研究房價和年份的關(guān)系有點不同，在問題一中，很顯然的我們知道房價是隨著年份在變化的，即可以不用懷疑的將房價看成了時間的函數(shù)。但是在本問之中，房價和GDP的關(guān)系變得微妙了起來。從經(jīng)濟學(xué)家對GDP的定義可以看出房價會影響GDP，而GDP也會影響房價。也即它們是相互影響的，如果這樣去考慮問題并且建立模型將會把我們引入一個類似“先有雞還是先有蛋”的死循環(huán)。所以我們不妨先將GDP看成房價的函數(shù)，再把房價看成GDP的函數(shù)，從而比較哪種假設(shè)更加合理。這里需要特別注意的是，無論是建立p(g)的模型還是g(p)的模型，都不能忽略時間（即年份）的影響，所以我們接下來要建立兩個模型：2021/5/911第十五章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析直觀的來看，GDP對時間的散點圖比較近似一條指數(shù)曲線，而GDP對房價的散點圖近似一條直線。所以我們不妨設(shè)將兩個式子合并，則我們得到：這就是第二個模型，將房價看成是GDP的函數(shù)。最小值通過MATLAB提供的統(tǒng)計工具箱進行求解。2021/5/912第十五章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析Y=0:12;GDP=[35403783391642394922556063997842911610879134751673718745];P=[7678959951117126114371640195722442489280130963500];figure,subplot(121),plot(P,GDP,'bo')holdona=polyfit(P,GDP,2)GDP1=a(1,1)*P.^2+a(1,2)*P+a(1,3);error1=sum(abs(GDP-GDP1))%誤差plot(P,GDP1,'rs')xlabel('房價（元）')ylabel('GDP')%模型二a=polyfit(GDP,P,2)P1=a(1,1)*GDP.^2+a(1,2)*GDP+a(1,3);error2=sum(abs(P-P1))%誤差subplot(122)plot(GDP,P,'bo')holdonplot(GDP,P1,'rs')2021/5/913第十五章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析圖15-5擬合圖2021/5/914第十五章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析15.8問題三表15-5房價的增長速率以及收入的增長速率年份房價房價增長率收入收入增長率收入/房價1997767/5156/6.72199889516.685138-0.355.74199999511.17652627.016.552000111712.26743413.916.652001126112.898475146.722002143713.95968814.316.742003164014.131070310.486.522004195719.32113486.365.822005224414.66123438.425.52006248910.921363010.435.472007280112.531555814.155.552008306910.531847218.735.962009350013.05198207.295.66房價的年均增長率為：13.49%，收入的年均增長率為：11.87%2021/5/915第十五章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析第三，我們假定城鎮(zhèn)住房需求（對普通人）的價格彈性在0.5—0.6之間，我們不妨對普通人取0.6，即：對于Q2，根據(jù)假設(shè)，可以知道，由于房價的變化對富人的購房計劃沒有影響，但會影響到普通人的消費，故2010年房屋的銷售量可以用下式來描述：根據(jù)我們對房價的條件，并結(jié)合問題一以及本問問題分析中的數(shù)