第15章 住房的合理定價(jià)

Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析住房的合理定價(jià)2021/5/91第十五章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析二十一世紀(jì)，房?jī)r(jià)問題一直備受關(guān)注，受多方面因素影響，房?jī)r(jià)一直處于持續(xù)的上升階段，導(dǎo)致很多收入低的人群，無法購房，然而有錢的人，則購買好幾套房子，因此合理的房?jī)r(jià)模型顯得尤為重要，能夠綜合的評(píng)定該階段房?jī)r(jià)的合理值，從而更加好的穩(wěn)固經(jīng)濟(jì)發(fā)展。本章主要研究該地區(qū)人均GDP與房?jī)r(jià)的關(guān)系，然后建立該地區(qū)歷年的平均房?jī)r(jià)預(yù)測(cè)模型，對(duì)該地區(qū)房?jī)r(jià)有一定的建議作用。本文開始根據(jù)歷年住房的平均價(jià)格建立了房?jī)r(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，由此預(yù)測(cè)了2010的房?jī)r(jià)。之后根據(jù)各組數(shù)據(jù)分別建立了兩個(gè)模型并討論了房?jī)r(jià)與GDP的關(guān)系。最后根據(jù)題目的要求，在基本假設(shè)及多個(gè)條件的約束下建立了2010房?jī)r(jià)的最優(yōu)化模型。問題一中，我們先依據(jù)直觀的散點(diǎn)圖確定了要使用的函數(shù)，并根據(jù)最小二乘法的思想使用MATLAB中的統(tǒng)計(jì)工具箱擬合出了房?jī)r(jià)關(guān)于時(shí)間的函數(shù)。然后計(jì)算了函數(shù)與現(xiàn)實(shí)房?jī)r(jià)的誤差，并對(duì)誤差進(jìn)行了矩估計(jì)和區(qū)間估計(jì)，得出了它的Gauss分布函數(shù)。最后預(yù)測(cè)了2010年的房?jī)r(jià)可能的區(qū)間。2021/5/92第十五章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析問題二中，由于GDP和房?jī)r(jià)之間的關(guān)系不易確定，即我們無法直接斷定究竟GDP是房?jī)r(jià)的函數(shù)還是房?jī)r(jià)是GDP的函數(shù)。因此我們對(duì)應(yīng)兩種假設(shè)分別建立了兩個(gè)模型，同樣利用統(tǒng)計(jì)工具箱進(jìn)行多變量非線性擬合，并得出各自的函數(shù)關(guān)系，最后以誤差的大小決定模型的優(yōu)劣。問題三中，考慮到人的收入是不一樣的，相對(duì)富有的人群可能會(huì)購買多于一套的住房，而經(jīng)濟(jì)條件差的人群可能一套也購買不起?；谶@個(gè)原因，我們將所謂的“平均房?jī)r(jià)”分為了兩部分，一部分是購買第一套住房的價(jià)格；另一部分是購買多于一套住房的價(jià)格，這樣就建立起了一個(gè)相對(duì)“不平等”的房?jī)r(jià)模型。這樣做的好處是，它可以既基本維持總體平均房?jī)r(jià)（即保障了國(guó)家的稅收和房地產(chǎn)商的收入），又減輕了中低收入人群購房的壓力。最后我們得到了一個(gè)非線性最優(yōu)化模型，使用LINGO軟件很容易求解。2021/5/93第十五章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析15.2問題提出民以食為天，民以安居為樂。目前國(guó)內(nèi)的房地產(chǎn)業(yè)面臨前所未有的困境，原因在于房?jī)r(jià)太高，而需房者收入太低。2010年3月5日，溫家寶總理在第十一屆人大三次會(huì)上作的政府工作報(bào)告上講,在2010年要“促進(jìn)房地產(chǎn)市場(chǎng)平穩(wěn)健康發(fā)展。要堅(jiān)決遏制部分城市房?jī)r(jià)過快上漲勢(shì)頭，滿足人民群眾的基本住房需求”。所以如何使得百姓買得起房，房地產(chǎn)商有錢可賺，國(guó)家的支柱性產(chǎn)業(yè)得以健康地發(fā)展是放在我們面前的一大難題。請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列三個(gè)問題：（1）根據(jù)該地區(qū)歷年的平均房?jī)r(jià)建立模型預(yù)測(cè)2010年的平均房?jī)r(jià)。（2）研究該地區(qū)人均GDP與房?jī)r(jià)的關(guān)系。（3）試建立2010年該地區(qū)的合理房?jī)r(jià)模型使得百姓、房地產(chǎn)商、政府都比較滿意（如果你的模型需要，你可以在網(wǎng)上查閱并使用有關(guān)的數(shù)據(jù)）。2021/5/94第十五章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析表15-1某地區(qū)各年的平均房?jī)r(jià)、人均GDP、職工平均年收入等數(shù)據(jù)時(shí)間：年平均房?jī)r(jià)：元/平米人均GDP：元平均年收入：元1997767354051561998895378351381999995391665262000111742397434200112614922847520021437556096882003164063991070320041957784211384200522449116123432006248910879136302007280113475155582008309616737184722009350018745198202021/5/95第十五章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析15.5問題分析問題一的要求是根據(jù)現(xiàn)有的數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)2010年的平均房?jī)r(jià)，而要預(yù)測(cè)房?jī)r(jià)，可以理解為找到時(shí)間和房?jī)r(jià)之間的內(nèi)在聯(lián)系，即找到二者之間的函數(shù)關(guān)系。可以立即想到的辦法是，先將這幾年的房?jī)r(jià)按照時(shí)間順序做出散點(diǎn)圖，以給我們一個(gè)直觀的印象。而后，可以根據(jù)這個(gè)直觀的印象確定所要使用的預(yù)測(cè)函數(shù)并用這個(gè)函數(shù)去“適合”這些數(shù)據(jù)點(diǎn)，最后，在決定了函數(shù)（即模型）之后，還需要討論模型的誤差。問題二的要求相對(duì)比較模糊，如果說在問題一中顯然房?jī)r(jià)是時(shí)間的函數(shù)的話，那么問題二中我們很難決定到底GDP是房?jī)r(jià)的函數(shù)亦或者房?jī)r(jià)是GDP的函數(shù)。所以我們基本的思路是，分別建立兩個(gè)模型并且求解，最后以誤差的大小來決定取舍。對(duì)問題三，由于房地產(chǎn)開發(fā)商和老百姓處于利益的對(duì)立面，一部分的人有能力購買多套住房，而廣大的老百姓一套也買不起，所以基本的思路是這樣：國(guó)家應(yīng)該出面對(duì)購買多于一套住房的人加收一定的房產(chǎn)稅，而這些稅收的一部分則用于補(bǔ)貼那些購買第一套住房的人。2021/5/96第十五章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析圖15-1擬合圖從圖15-1中可以直觀的看出，房?jī)r(jià)和時(shí)間（年份）的關(guān)系更加接近于一個(gè)二次函數(shù)，這暗示了我們應(yīng)該為此建立一個(gè)二次函數(shù)的回歸模型。2021/5/97第十五章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析15.6.3問題一模型的求解%%由于使用二維擬合，故P1應(yīng)該為3*13的矩陣，第一列為1，第二列為Y，第三列為Y的平方P1(:,1)=1;P1(:,2)=P';P1(:,3)=(P.^2)';[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y',P1)2021/5/98第十五章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析圖15-2多元回歸擬合圖2021/5/99第十五章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析clc,clear,closeallx=-300:1:300;y=zeros(length(x));y=39/10000.*exp(-1/(2*102^2)*x.^2);plot(x,y)ylabel('概率')title('房?jī)r(jià)誤差的正態(tài)分布圖')圖15-3正態(tài)分布2021/5/910第十五章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析要研究房?jī)r(jià)和GDP的關(guān)系和研究房?jī)r(jià)和年份的關(guān)系有點(diǎn)不同，在問題一中，很顯然的我們知道房?jī)r(jià)是隨著年份在變化的，即可以不用懷疑的將房?jī)r(jià)看成了時(shí)間的函數(shù)。但是在本問之中，房?jī)r(jià)和GDP的關(guān)系變得微妙了起來。從經(jīng)濟(jì)學(xué)家對(duì)GDP的定義可以看出房?jī)r(jià)會(huì)影響GDP，而GDP也會(huì)影響房?jī)r(jià)。也即它們是相互影響的，如果這樣去考慮問題并且建立模型將會(huì)把我們引入一個(gè)類似“先有雞還是先有蛋”的死循環(huán)。所以我們不妨先將GDP看成房?jī)r(jià)的函數(shù)，再把房?jī)r(jià)看成GDP的函數(shù)，從而比較哪種假設(shè)更加合理。這里需要特別注意的是，無論是建立p(g)的模型還是g(p)的模型，都不能忽略時(shí)間（即年份）的影響，所以我們接下來要建立兩個(gè)模型：2021/5/911第十五章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析直觀的來看，GDP對(duì)時(shí)間的散點(diǎn)圖比較近似一條指數(shù)曲線，而GDP對(duì)房?jī)r(jià)的散點(diǎn)圖近似一條直線。所以我們不妨設(shè)將兩個(gè)式子合并，則我們得到：這就是第二個(gè)模型，將房?jī)r(jià)看成是GDP的函數(shù)。最小值通過MATLAB提供的統(tǒng)計(jì)工具箱進(jìn)行求解。2021/5/912第十五章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析Y=0:12;GDP=[35403783391642394922556063997842911610879134751673718745];P=[7678959951117126114371640195722442489280130963500];figure,subplot(121),plot(P,GDP,'bo')holdona=polyfit(P,GDP,2)GDP1=a(1,1)*P.^2+a(1,2)*P+a(1,3);error1=sum(abs(GDP-GDP1))%誤差plot(P,GDP1,'rs')xlabel('房?jī)r(jià)（元）')ylabel('GDP')%模型二a=polyfit(GDP,P,2)P1=a(1,1)*GDP.^2+a(1,2)*GDP+a(1,3);error2=sum(abs(P-P1))%誤差subplot(122)plot(GDP,P,'bo')holdonplot(GDP,P1,'rs')2021/5/913第十五章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析圖15-5擬合圖2021/5/914第十五章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析15.8問題三表15-5房?jī)r(jià)的增長(zhǎng)速率以及收入的增長(zhǎng)速率年份房?jī)r(jià)房?jī)r(jià)增長(zhǎng)率收入收入增長(zhǎng)率收入/房?jī)r(jià)1997767/5156/6.72199889516.685138-0.355.74199999511.17652627.016.552000111712.26743413.916.652001126112.898475146.722002143713.95968814.316.742003164014.131070310.486.522004195719.32113486.365.822005224414.66123438.425.52006248910.921363010.435.472007280112.531555814.155.552008306910.531847218.735.962009350013.05198207.295.66房?jī)r(jià)的年均增長(zhǎng)率為：13.49%，收入的年均增長(zhǎng)率為：11.87%2021/5/915第十五章Matlab數(shù)學(xué)建模案例分析第三，我們假定城鎮(zhèn)住房需求（對(duì)普通人）的價(jià)格彈性在0.5—0.6之間，我們不妨對(duì)普通人取0.6，即：對(duì)于Q2，根據(jù)假設(shè)，可以知道，由于房?jī)r(jià)的變化對(duì)富人的購房計(jì)劃沒有影響，但會(huì)影響到普通人的消費(fèi)，故2010年房屋的銷售量可以用下式來描述：根據(jù)我們對(duì)房?jī)r(jià)的條件，并結(jié)合問題一以及本問問題分析中的數(shù)