材料力學(xué)答案第三版單輝祖

...wd......wd......wd...第二章軸向拉壓應(yīng)力與材料的力學(xué)性能試畫圖示各桿的軸力圖。題2-1圖解：各桿的軸力圖如圖2-1所示。圖2-12-2試畫圖示各桿的軸力圖，并指出軸力的最大值。圖a與b所示分布載荷均沿桿軸均勻分布，集度為q。 題2-2圖(a)解：由圖2-2a(1)可知，軸力圖如圖2-2a(2)所示， 圖2-2a(b)解：由圖2-2b(2)可知，軸力圖如圖2-2b(2)所示， 圖2-2b2-3圖示軸向受拉等截面桿，橫截面面積A=500mm2，載荷F=50kN。試求圖示斜截面m-m上的正應(yīng)力與切應(yīng)力，以及桿內(nèi)的最大正應(yīng)力與最大切應(yīng)力。題2-3圖解：該拉桿橫截面上的正應(yīng)力為斜截面m-m的方位角故有桿內(nèi)的最大正應(yīng)力與最大切應(yīng)力分別為2-5某材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線如以下圖，圖中還同時(shí)畫出了低應(yīng)變區(qū)的詳圖。試確定材料的彈性模量E、比例極限、屈服極限、強(qiáng)度極限與伸長(zhǎng)率，并判斷該材料屬于何種類型〔塑性或脆性材料〕。題2-5解：由題圖可以近似確定所求各量。,,該材料屬于塑性材料。2-7一圓截面桿，材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線如題2-6圖所示。假設(shè)桿徑d=10mm，桿長(zhǎng)l=200mm，桿端承受軸向拉力F=20kN作用，試計(jì)算拉力作用時(shí)與卸去后桿的軸向變形。題2-6圖解： 查上述曲線，知此時(shí)的軸向應(yīng)變?yōu)檩S向變形為拉力卸去后，有，故殘留軸向變形為2-9圖示含圓孔板件，承受軸向載荷F作用。載荷F=32kN，板寬b=100mm，板厚15mm，孔徑d=20mm。試求板件橫截面上的最大拉應(yīng)力〔考慮應(yīng)力集中〕。題2-9圖解：根據(jù)查應(yīng)力集中因數(shù)曲線,得根據(jù)，得2-10圖示板件，承受軸向載荷F作用。載荷F=36kN，板寬b1=90mm，b2=60mm，板厚=10mm，孔徑d=10mm，圓角半徑R=12mm。試求板件橫截面上的最大拉應(yīng)力〔考慮應(yīng)力集中〕。題2-10圖解：1.在圓孔處根據(jù)查圓孔應(yīng)力集中因數(shù)曲線，得故有2．在圓角處根據(jù)查圓角應(yīng)力集中因數(shù)曲線，得故有3.結(jié)論〔在圓孔邊緣處〕2-14圖示桁架，承受鉛垂載荷F作用。設(shè)各桿的橫截面面積均為A，許用應(yīng)力均為[]，試確定載荷F的許用值[F]。 題2-14圖解：先后以節(jié)點(diǎn)C與B為研究對(duì)象，求得各桿的軸力分別為根據(jù)強(qiáng)度條件，要求由此得2-15圖示桁架，承受載荷F作用，桿的許用應(yīng)力為[]。假設(shè)在節(jié)點(diǎn)B和C的位置保持不變的條件下，試確定使構(gòu)造重量最輕的值〔即確定節(jié)點(diǎn)A的最正確位置〕。題2-15圖解：1.求各桿軸力設(shè)桿和的軸力分別為和，由節(jié)點(diǎn)B的平衡條件求得2.求重量最輕的值由強(qiáng)度條件得構(gòu)造的總體積為由得由此得使構(gòu)造體積最小或重量最輕的值為2-16圖示桁架，承受載荷F作用，桿的許用應(yīng)力為[]。假設(shè)節(jié)點(diǎn)A和C間的指定距離為l，為使構(gòu)造重量最輕，試確定的最正確值。題2-16圖解：1.求各桿軸力由于構(gòu)造及受載左右對(duì)稱，故有2.求的最正確值由強(qiáng)度條件可得構(gòu)造總體積為由得由此得的最正確值為2-17圖示桿件，承受軸向載荷F作用。許用應(yīng)力[]＝120MPa，許用切應(yīng)力[]＝90MPa，許用擠壓應(yīng)力[bs]＝240MPa，試從強(qiáng)度方面考慮，建設(shè)桿徑d、墩頭直徑D及其高度h間的合理比值。題2-17圖解：根據(jù)桿件拉伸、擠壓與剪切強(qiáng)度，得載荷F的許用值分別為 (a) (b) (c)理想的情況下，在上述條件下，由式〔a〕與〔c〕以及式〔a〕與〔b〕，分別得于是得由此得2-18圖示搖臂，承受載荷F1與F2作用。載荷F1=50kN，F(xiàn)2=35.4kN，許用切應(yīng)力[]=100MPa，許用擠壓應(yīng)力=240MPa。試確定軸銷B的直徑d。題2-18圖解：1.求軸銷處的支反力由平衡方程與，分別得由此得軸銷處的總支反力為2.確定軸銷的直徑由軸銷的剪切強(qiáng)度條件〔這里是雙面剪〕得由軸銷的擠壓強(qiáng)度條件得結(jié)論：取軸銷直徑。2-19圖示木榫接頭，承受軸向載荷F=50kN作用，試求接頭的剪切與擠壓應(yīng)力。 題2-19圖解：剪應(yīng)力與擠壓應(yīng)力分別為2-20圖示鉚接接頭，鉚釘與板件的材料一樣，許用應(yīng)力[]=160MPa，許用切應(yīng)力[]=120MPa，許用擠壓應(yīng)力[bs]=340MPa，載荷F=230kN。試校核接頭的強(qiáng)度。 題2-20圖解：最大拉應(yīng)力為最大擠壓與剪切應(yīng)力則分別為2-21圖示兩根矩形截面木桿，用兩塊鋼板連接在一起，承受軸向載荷F=45kN作用。木桿的截面寬度b=250mm，沿木紋方向的許用拉應(yīng)力[]=6MPa，許用擠壓應(yīng)力=10MPa，許用切應(yīng)力[]=1MPa。試確定鋼板的尺寸與l以及木桿的高度h。題2-21圖解：由拉伸強(qiáng)度條件得 〔a〕由擠壓強(qiáng)度條件得 〔b〕由剪切強(qiáng)度條件得取代入式〔a〕，得結(jié)論：取，，。2-22圖示接頭，承受軸向載荷F作用。鉚釘直徑d=20mm，許用應(yīng)力[]=160MPa，許用切應(yīng)力[]=120MPa，許用擠壓應(yīng)力=340MPa。板件與鉚釘?shù)牟牧弦粯?。試?jì)算接頭的許用載荷。題2-22圖解：1.考慮板件的拉伸強(qiáng)度由圖2-22所示之軸力圖可知， 圖2-222.考慮鉚釘?shù)募羟袕?qiáng)度3．考慮鉚釘?shù)臄D壓強(qiáng)度結(jié)論：比擬以上四個(gè)F值，得2-23圖a所示鋼帶AB，用三個(gè)直徑與材料均一樣的鉚釘與接頭相連接，鋼帶承受軸向載荷F作用。載荷F=6kN，帶寬b=40mm，帶厚=2mm，鉚釘直徑d=8mm，孔的邊距a=20mm，鋼帶材料的許用切應(yīng)力[]=100MPa，許用擠壓應(yīng)力[bs]=300MPa，許用拉應(yīng)力[]=160MPa。試校核鋼帶的強(qiáng)度。題2-23圖解：1．鋼帶受力分析分析說明，當(dāng)各鉚釘?shù)牟牧吓c直徑均一樣，且外力作用線在鉚釘群剪切面上的投影，通過該面的形心時(shí)，通常即認(rèn)為各鉚釘剪切面的剪力一樣。鉚釘孔所受擠壓力Fb等于鉚釘剪切面上的剪力，因此，各鉚釘孔邊所受的擠壓力Fb一樣，鋼帶的受力如圖b所示，擠壓力則為孔外表的最大擠壓應(yīng)力為在擠壓力作用下，鋼帶左段虛線所示縱截面受剪〔圖b〕，切應(yīng)力為鋼帶的軸力圖如圖c所示。由圖b與c可以看出，截面1-1削弱最嚴(yán)重，而截面2-2的軸力最大，因此，應(yīng)對(duì)此二截面進(jìn)展拉伸強(qiáng)度校核。截面1-1與2-2的正應(yīng)力分別為第三章軸向拉壓變形3-2一外徑D=60mm、內(nèi)徑d=20mm的空心圓截面桿，桿長(zhǎng)l=400mm，兩端承受軸向拉力F=200kN作用。假設(shè)彈性模量E=80GPa，泊松比=0.30。試計(jì)算該桿外徑的改變量D及體積改變量V。解：1.計(jì)算D由于故有2.計(jì)算V變形后該桿的體積為故有3-4圖示螺栓，擰緊時(shí)產(chǎn)生=0.10mm的軸向變形。：d1=8.0mm，d2=6.8mm，d3=7.0mm；l1=6.0mm，l2=29mm，l3=8mm；E=210GPa，[]=500MPa。試求預(yù)緊力F，并校核螺栓的強(qiáng)度。題3-4圖解：1.求預(yù)緊力各段軸力數(shù)值上均等于，因此，由此得2.校核螺栓的強(qiáng)度此值雖然超過，但超過的百分?jǐn)?shù)僅為2.6％，在5％以內(nèi)，故仍符合強(qiáng)度要求。3-5圖示桁架，在節(jié)點(diǎn)A處承受載荷F作用。從試驗(yàn)中測(cè)得桿1與桿2的縱向正應(yīng)變分別為=4.0×10-4與=2.0×10-4。桿1與桿2的橫截面面積A1=A2=200mm2，彈性模量E1=E2=200GPa。試確定載荷F及其方位角之值。題3-5圖解：1.求各桿軸力2.確定及之值由節(jié)點(diǎn)的平衡方程和得化簡(jiǎn)后，成為(a)及(b)聯(lián)立求解方程(a)與(b)，得由此得3-6圖示變寬度平板，承受軸向載荷F作用。板的厚度為，長(zhǎng)度為l，左、右端的寬度分別為b1與b2，彈性模量為E。試計(jì)算板的軸向變形。題3-6圖解：對(duì)于常軸力變截面的拉壓平板，其軸向變形的一般公式為(a)由圖可知，假設(shè)自左向右取坐標(biāo)，則該截面的寬度為代入式(a)，于是得3-7圖示桿件，長(zhǎng)為l，橫截面面積為A，材料密度為，彈性模量為E，試求自重下桿端截面B的位移。題3-7圖解：自截面B向上取坐標(biāo)，處的軸力為該處微段dy的軸向變形為于是得截面B的位移為3-8圖示為打入土中的混凝土地樁，頂端承受載荷F，并由作用于地樁的摩擦力所支持。設(shè)沿地樁單位長(zhǎng)度的摩擦力為f，且f=ky2，式中，k為常數(shù)。地樁的橫截面面積為A，彈性模量為E，埋入土中的長(zhǎng)度為l。試求地樁的縮短量。題3-8圖解：1.軸力分析摩擦力的合力為根據(jù)地樁的軸向平衡，由此得 〔a〕截面處的軸力為2.地樁縮短量計(jì)算截面y處微段dy的縮短量為積分得將式(a)代入上式，于是得3-9圖示剛性橫梁AB，由鋼絲繩并經(jīng)無摩擦滑輪所支持。設(shè)鋼絲繩的軸向剛度〔即產(chǎn)生單位軸向變形所需之力〕為k，試求當(dāng)載荷F作用時(shí)端點(diǎn)B的鉛垂位移。題3-9圖解：載荷作用后，剛性梁傾斜如圖(見圖3-9)。設(shè)鋼絲繩中的軸力為，其總伸長(zhǎng)為。 圖3-9以剛性梁為研究對(duì)象，由平衡方程得由此得由圖3-9可以看出，可見， (b)根據(jù)的定義，有于是得3-10圖示各桁架，各桿各截面的拉壓剛度均為EA，試計(jì)算節(jié)點(diǎn)A的水平與鉛垂位移。 題3-10圖〔a〕解：利用截面法，求得各桿的軸力分別為于是得各桿的變形分別為如圖3－10(1)所示，根據(jù)變形l1與l4確定節(jié)點(diǎn)B的新位置B’,然后，過該點(diǎn)作長(zhǎng)為l+l2的垂線，并過其下端點(diǎn)作水平直線，與過A點(diǎn)的鉛垂線相交于A’,此即構(gòu)造變形后節(jié)點(diǎn)A的新位置。于是可以看出，節(jié)點(diǎn)A的水平與鉛垂位移分別為圖3-10〔b〕解：顯然，桿1與桿2的軸力分別為于是由圖3－10(2)可以看出，節(jié)點(diǎn)A的水平與鉛垂位移分別為3-11圖示桁架ABC，在節(jié)點(diǎn)B承受集中載荷F作用。桿1與桿2的彈性模量均為E，橫截面面積分別為A1=320mm2與A2=2580mm2。試問在節(jié)點(diǎn)B和C的位置保持不變的條件下，為使節(jié)點(diǎn)B的鉛垂位移最小，應(yīng)取何值〔即確定節(jié)點(diǎn)A的最正確位置〕。題3-11圖解：1.求各桿軸力由圖3-11a得 圖3-112.求變形和位移由圖3-11b得及3.求的最正確值由，得由此得將的數(shù)據(jù)代入并化簡(jiǎn)，得解此三次方程，舍去增根，得由此得的最正確值為3-12圖示桁架，承受載荷F作用。設(shè)各桿的長(zhǎng)度為l，橫截面面積均為A，材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為n=B，其中n與B為由試驗(yàn)測(cè)定的常數(shù)。試求節(jié)點(diǎn)C的鉛垂位移。 題3-12圖解：兩桿的軸力均為軸向變形則均為于是得節(jié)點(diǎn)C的鉛垂位移為3-13圖示構(gòu)造，梁BD為剛體，桿1、桿2與桿3的橫截面面積與材料均一樣。在梁的中點(diǎn)C承受集中載荷F作用。載荷F=20kN，各桿的橫截面面積均為A=100mm2，彈性模量E=200GPa，梁長(zhǎng)l=1000mm。試計(jì)算該點(diǎn)的水平與鉛垂位移。題3-13圖解：1.求各桿軸力由，得由，得2．求各桿變形3．求中點(diǎn)的位移由圖3-13易知， 圖3-133-14圖a所示桁架，承受載荷F作用。設(shè)各桿各截面的拉壓剛度均為EA，試求節(jié)點(diǎn)B與C間的相對(duì)位移B/C。題3-14圖解：1.內(nèi)力與變形分析利用截面法，求得各桿的軸力分別為于是得各桿得變形分別為2.位移分析如圖b所示，過d與g分別作桿2與桿3的平行線，并分別與節(jié)點(diǎn)C的鉛垂線相交于e與h，然后，在de與gh延長(zhǎng)線取線段l3與l2，并在其端點(diǎn)m與n分別作垂線，得交點(diǎn)C’，即為節(jié)點(diǎn)C的新位置。可以看出，3-15如以下圖桁架，設(shè)各桿各截面的拉壓剛度均為EA，試用能量法求載荷作用點(diǎn)沿載荷作用方向的位移。題3-15圖(a)解：各桿編號(hào)示如圖3-15a，各桿軸力依次為該桁架的應(yīng)變能為 圖3-15依據(jù)能量守恒定律，最后得(b)解：各桿編號(hào)示如圖b列表計(jì)算如下：1200345于是，依據(jù)能量守恒定律，可得3-16圖示桁架，承受載荷F作用。設(shè)各桿各截面的拉壓剛度均為EA，試用能量法求節(jié)點(diǎn)B與C間的相對(duì)位移B/C。題3-16圖解：依據(jù)題意，列表計(jì)算如下：12345由表中結(jié)果可得依據(jù)得3-17圖示變寬度平板，承受軸向載荷F作用。板的厚度為，長(zhǎng)度為l，左、右端的寬度分別為b1與b2，彈性模量為E，試用能量法計(jì)算板的軸向變形。題3-17圖解：對(duì)于變截面拉壓板件，應(yīng)變能的表達(dá)式為 (a)由圖可知，假設(shè)自左向右取坐標(biāo)，則該截面的寬度為將上式代入式〔a〕,并考慮到,于是得設(shè)板的軸向變形為l，則根據(jù)能量守恒定律可知，或由此得3-19圖示各桿，承受集中載荷F或均布載荷q作用。各桿各截面的的拉壓剛度均為EA，試求支反力與最大軸力。 題3-19圖(a)解：桿的受力如圖3-19a(1)所示，平衡方程為一個(gè)平衡方程，兩個(gè)未知支反力，故為一度靜不定。圖3-19aAC，CD與DB段的軸力分別為由于桿的總長(zhǎng)不變，故補(bǔ)充方程為得由此得桿的軸力圖如3-19a(2)所示，最大軸力為(b)解：桿的受力如圖3-19b(1)所示，平衡方程為一個(gè)平衡方程，兩個(gè)未知支反力，故為一度靜不定。圖3-19bAC與CB段的軸力分別為由于桿的總長(zhǎng)不變，故補(bǔ)充方程為得由此得桿的軸力圖如3-19b(2)所示，最大軸力為3-20圖示構(gòu)造，桿1與桿2的橫截面面積一樣，彈性模量均為E，梁BC為剛體，載荷F=20kN，許用拉應(yīng)力[t]=160MPa,許用壓應(yīng)力[c]=110MPa，試確定各桿的橫截面面積。題3-20圖解：容易看出，在載荷F作用下，桿2伸長(zhǎng)，桿1縮短，且軸向變形一樣，故FN2為拉力，F(xiàn)N1為壓力，且大小一樣，即以剛性梁BC為研究對(duì)象，鉸支點(diǎn)為矩心，由平衡方程由上述二方程，解得根據(jù)強(qiáng)度條件，取3-21圖示桁架，承受鉛垂載荷F作用。設(shè)各桿各截面的拉壓剛度一樣，試求各桿軸力。題3-21圖(a)解：此為一度靜不定桁架。設(shè)以壓為正，其余各段軸力以拉力為正。先取桿為研究對(duì)象，由，得 (a)后取節(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，由和依次得到 (b)及 (c)在節(jié)點(diǎn)處有變形協(xié)調(diào)關(guān)系〔節(jié)點(diǎn)鉛垂向下〕 (d)物理關(guān)系為 (e)將式(e)代入式(d)，化簡(jiǎn)后得聯(lián)解方程和，得〔拉〕，〔壓〕，〔拉〕(b)解：此為一度靜不定問題?？紤]小輪的平衡，由，得由此得在作用下，小輪沿剛性墻面向下有一微小位移，在小變形條件下，，故有的水平分量由剛性墻面提供的約束反力來平衡。3-22圖示桁架，桿1、桿2與桿3分別用鑄鐵、銅和鋼制成，許用應(yīng)力分別為[]=40MPa，[]=60MPa，[]=120MPa，彈性模量分別為E1=160GPa，E2=100GPa，E3=200GPa。假設(shè)載荷F=160kN，A1=A2=2A3，試確定各桿的橫截面面積。題3-22圖解：此為一度靜不定構(gòu)造。節(jié)點(diǎn)處的受力圖和變形圖分別示如圖3-22a和b。 圖3-22由圖a可得平衡方程 (a) (b)由圖b得變形協(xié)調(diào)方程為 (c)根據(jù)胡克定律，有將式(d)代入式(c)，化簡(jiǎn)后得補(bǔ)充方程為聯(lián)解方程(a)，(b)和(c’)，并代入數(shù)據(jù)，得(壓)，〔拉〕，〔拉〕根據(jù)強(qiáng)度要求，計(jì)算各桿橫截面面積如下：根據(jù)題意要求，最后取3-23圖a所示支架，由剛體ABC并經(jīng)由鉸鏈A、桿1與桿2固定在墻上，剛體在C點(diǎn)處承受鉛垂載荷F作用。桿1與桿2的長(zhǎng)度、橫截面面積與彈性模量均一樣，分別為l=100mm，A=100mm2，E=200GPa。設(shè)由千分表測(cè)得C點(diǎn)的鉛垂位移ymm，試確定載荷F與各桿軸力。題3-23圖解：1.求解靜不定在載荷F作用下，剛體ABC將繞節(jié)點(diǎn)A沿順時(shí)針方向作微小轉(zhuǎn)動(dòng)，剛體的位移、桿件的變形與受力如圖b所示。顯然，本問題具有一度靜不定。由平衡方程，得(a)由變形圖中可以看出，變形協(xié)調(diào)條件為 (b)根據(jù)胡克定律，(c)將上述關(guān)系式代入式〔b〕，得補(bǔ)充方程為聯(lián)立求解平衡方程〔a〕與上述補(bǔ)充方程，得(d)2.由位移y確定載荷F與各桿軸力變形后，C點(diǎn)位移至C’(CC’AC)〔圖b〕，且直線AC與AB具有一樣的角位移，因此，C點(diǎn)的總位移為又由于由此得將式〔c〕與〔d〕的第一式代入上式，于是得并從而得3-24圖示鋼桿，橫截面面積A=2500mm2，彈性模量E=210GPa，軸向載荷F=200kN。試在以下兩種情況下確定桿端的支反力。(a)間隙=0.6mm；(b)間隙=0.3mm。題3-24圖解：當(dāng)桿右端不存在約束時(shí)，在載荷F作用下，桿右端截面的軸向位移為當(dāng)間隙=0.6mm時(shí)，由于，僅在桿C端存在支反力，其值則為當(dāng)間隙=0.3mm時(shí)，由于，桿兩端將存在支反力，桿的受力如圖3-24所示。 圖3-24桿的平衡方程為補(bǔ)充方程為由此得而C端的支反力則為3-25圖示兩端固定的等截面桿AB，桿長(zhǎng)為l。在非均勻加熱的條件下，距A端x處的溫度增量為，式中的為桿件B端的溫度增量。材料的彈性模量與線膨脹系數(shù)分別為E與。試求桿件橫截面上的應(yīng)力。題3-25圖解：1.求溫度增高引起的桿件伸長(zhǎng)此為一度靜不定問題。假設(shè)將B端約束解除掉，則在處的桿微段就會(huì)因溫升而有一個(gè)微伸長(zhǎng)全桿伸長(zhǎng)為2．求約束反力設(shè)固定端的約束反力為，桿件因作用而引起的縮短量為由變形協(xié)調(diào)條件可得3．求桿件橫截面上的應(yīng)力3-26圖示桁架，桿BC的實(shí)際長(zhǎng)度比設(shè)計(jì)尺寸稍短，誤差為。如使桿端B與節(jié)點(diǎn)G強(qiáng)制地連接在一起，試計(jì)算各桿的軸力。設(shè)各桿各截面的拉壓剛度均為EA。題3-26圖解：此為一度靜不定問題。自左向右、自上向下將各桿編號(hào)1~5。由強(qiáng)制裝配容易判斷，桿1~3受拉，桿4和5受壓。裝配后節(jié)點(diǎn)和的受力圖分別示如圖3-26a和b。 圖3-26根據(jù)平衡條件，由圖a可得 (a)由圖b可得 (b)變形協(xié)調(diào)關(guān)系為(參看原題圖) (c)依據(jù)胡克定律，有 (d)將式(d)代入式(c)，得補(bǔ)充方程 (e)聯(lián)立求解補(bǔ)充方程(e)、平衡方程(a)與(b)，最后得即〔拉〕〔壓〕3-27圖a所示鋼螺栓，其外套一長(zhǎng)度為l的套管。螺栓與套管的橫截面面積分別為Ab與At，彈性模量分別為Eb與Et，螺栓的螺距為p?，F(xiàn)將螺母旋緊1/5圈，試求螺栓與套管所受之力。螺帽與螺母的變形忽略不計(jì)。 題3-27圖解：首先設(shè)想套管未套上，而將螺母由距螺帽l處旋轉(zhuǎn)1/5圈，即旋進(jìn)=p/5的距離。然后，再將套管套上。由于螺帽與螺母間的距離小于套管的長(zhǎng)度，故套合后的螺栓將受拉，而套管則受壓。設(shè)螺栓所受拉力為FNb，伸長(zhǎng)為lb，套管所受壓力為FNt，縮短為lt，則由圖b與c可知，平衡方程為 (a)而變形協(xié)調(diào)方程則為利用胡克定律，得補(bǔ)充方程為 (b)最后，聯(lián)立求解平衡方程〔a〕與補(bǔ)充方程〔b〕，得螺栓與套管所受之力即預(yù)緊力為式中，3-28圖示組合桿，由直徑為30mm的鋼桿套以外徑為50mm、內(nèi)徑為30mm的銅管組成，二者由兩個(gè)直徑為10mm的鉚釘連接在一起。鉚接后，溫度升高40℃，試計(jì)算鉚釘剪切面上的切應(yīng)力。鋼與銅的彈性模量分別為Es=200GPa與Ec=100GPa，線膨脹系數(shù)分別為=12.5×10-6℃-1與=16×10-6℃-1。題3-28圖解：設(shè)溫度升高時(shí)鋼桿和銅管自由伸長(zhǎng)量分別為和，由于二者被鉚釘連在一起，變形要一致，即變形協(xié)調(diào)條件為或?qū)懗蛇@里，伸長(zhǎng)量和縮短量均設(shè)為正值。引入物理關(guān)系，得將靜力平衡條件代入上式，得注意到每個(gè)鉚釘有兩個(gè)剪切面，故其切應(yīng)力為由此得3-29圖示構(gòu)造，桿1與桿2各截面的拉壓剛度均為EA，梁BD為剛體，試在以下兩種情況下，畫變形圖，建設(shè)補(bǔ)充方程。(1)假設(shè)桿2的實(shí)際尺寸比設(shè)計(jì)尺寸稍短，誤差為；(2)假設(shè)桿1的溫度升高T，材料的熱膨脹系數(shù)為l。題3-29圖(1)解：如圖3-29(1)a所示，當(dāng)桿2未與剛性桿BD連接時(shí)，下端點(diǎn)位于，即。當(dāng)桿2與剛性桿BD連接后，下端點(diǎn)鉛垂位移至，同時(shí)，桿1的下端點(diǎn)則鉛垂位移至。過作直線C’e垂直于桿1的軸線，顯然，即代表?xiàng)U1的彈性變形，同時(shí)，，即代表?xiàng)U2的彈性變形。與上述變形相應(yīng)，桿1受壓，桿2受拉，剛性桿BD的受力如圖3-29(1)b所示。圖3-29(1)可以看出，即變形協(xié)調(diào)條件為而補(bǔ)充方程則為或(2)解：如圖3-29(2)a所示，當(dāng)桿1未與剛性桿BD連接時(shí)，由于其溫度升高，下端點(diǎn)位于，即。當(dāng)桿1與剛性桿BD連接后，下端點(diǎn)C鉛垂位移至，而桿2的下端點(diǎn)D則鉛垂位移至。過作直線C’e垂直于直線，顯然，即代表?xiàng)U1的彈性變形，同時(shí)，，代表?xiàng)U2的彈性變形。與上述變形相應(yīng)，桿1受壓，桿2受拉，剛性桿BD的受力如圖3-29(2)b所示。圖3-29(2)可以看出，故變形協(xié)調(diào)條件為而補(bǔ)充方程則為或3-30圖示桁架，三桿的橫截面面積、彈性模量與許用應(yīng)力均一樣，并分別為A，E與[]，試確定該桁架的許用載荷[F]。為了提高許用載荷之值，現(xiàn)將桿3的設(shè)計(jì)長(zhǎng)度l變?yōu)?。試問?dāng)為何值時(shí)許用載荷最大，其值[F]max為何。題3-30圖解:此為一度靜不定問題。節(jié)點(diǎn)處的受力及變形示如圖3-30a和b。圖3-30由圖a得平衡方程為 (a)由圖b得變形協(xié)調(diào)條件為 (b)依據(jù)胡克定律,有 (c)將式(c)代入式(b)，化簡(jiǎn)后得補(bǔ)充方程為 (b’)將方程(b’)與方程(a)聯(lián)解，得由此得為了提高值，可將桿3做長(zhǎng)，由圖b得變形協(xié)調(diào)條件為式中，均為受載后的伸長(zhǎng)，依題意，有了后，應(yīng)使三根桿同時(shí)到達(dá)，即由此得此時(shí)，各桿的強(qiáng)度均充分發(fā)揮出來，故有第四章扭轉(zhuǎn)4-5一受扭薄壁圓管，外徑D=42mm，內(nèi)徑d=40mm，扭力偶矩M=500N?m，切變模量G=75GPa。試計(jì)算圓管橫截面與縱截面上的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力，并計(jì)算管外表縱線的傾斜角。解：該薄壁圓管的平均半徑和壁厚依次為于是，該圓管橫截面上的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力為依據(jù)切應(yīng)力互等定理，縱截面上的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力為該圓管外表縱線的傾斜角為4-7試證明，在線彈性范圍內(nèi)，且當(dāng)R0/≥10時(shí)，薄壁圓管的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式的最大誤差不超過4.53%。解：薄壁圓管的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式為設(shè)，按上述公式計(jì)算的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力為 (a)按照一般空心圓軸考慮，軸的內(nèi)、外直徑分別為極慣性矩為由此得 (b)比擬式(a)與式(b)，得當(dāng)時(shí)，可見，當(dāng)時(shí)，按薄壁圓管的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式計(jì)算的最大誤差不超過4.53％。4-8圖a所示受扭圓截面軸，材料的曲線如圖b所示，并可用表示，式中的C與m為由試驗(yàn)測(cè)定的常數(shù)。試建設(shè)扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式，并畫橫截面上的切應(yīng)力分布圖。題4-8圖解：所研究的軸是圓截面軸，平面假設(shè)仍然成立。據(jù)此，從幾何方面可以得到 (a)根據(jù)題設(shè)，軸橫截面上距圓心為處的切應(yīng)力為 (b)由靜力學(xué)可知， (c)取徑向?qū)挾葹榈沫h(huán)形微面積作為，即 (d)將式(d)代入式(c)，得由此得 (e)將式(e)代入式(b)，并注意到T=M，最后得扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式為橫截面上的切應(yīng)力的徑向分布圖示如圖4-8。 圖4-84-9在圖a所示受扭圓截面軸內(nèi)，用橫截面ABC和DEF與徑向縱截面ADFC切出單元體ABCDEF〔圖b〕。試?yán)L各截面上的應(yīng)力分布圖，并說明該單元體是如何平衡的。題4-9圖解：?jiǎn)卧wABCDEF各截面上的應(yīng)力分布圖如圖4-9a所示。 圖4-9根據(jù)圖a，不難算出截面上分布內(nèi)力的合力為同理，得截面上分布內(nèi)力的合力為方向示如圖c。設(shè)作用線到軸線的距離為，容易求出根據(jù)圖b，可算出單元體右端面上水平分布內(nèi)力的合力為同理，左端面上的合力為方向亦示如圖c。設(shè)作用線到水平直徑的距離為〔見圖b〕，由得同理，作用線到水平直徑的距離也同此值。根據(jù)圖b，還可算出半個(gè)右端面上豎向分布內(nèi)力的合力為設(shè)作用線到豎向半徑的距離為〔見圖b〕，由得同理，可算出另半個(gè)右端面以及左端面上的豎向分布內(nèi)力的合力為方向均示如圖c。它們的作用線到所在面豎向半徑的距離均為。由圖c可以看得很清楚，該單元體在四對(duì)力的作用下處于平衡狀態(tài)，這四對(duì)力構(gòu)成四個(gè)力偶，顯然，這是一個(gè)空間力偶系的平衡問題。既然是力偶系，力的平衡方程〔共三個(gè)〕自然滿足，這是不言而喻的。上述討論中，所有的在數(shù)值上均等于。4-11如以下圖，圓軸AB與套管CD用剛性突緣E焊接成一體，并在截面A承受扭力偶矩M作用。圓軸的直徑d=56mm，許用切應(yīng)力[]=80MPa，套管的外徑D=80mm，壁厚=6mm，許用切應(yīng)力[]=40MPa。試求扭力偶矩M的許用值。題4-11圖解：由題圖知，圓軸與套管的扭矩均等于M。1.由圓軸求的許用值由此得的許用值為2．由套管求的許用值此管不是薄壁圓管。由此得的許用值為可見，扭力偶矩M的許用值為4-13圖示階梯形軸，由AB與BC兩段等截面圓軸組成，并承受集度為m的均勻分布的扭力偶矩作用。為使軸的重量最輕，試確定AB與BC段的長(zhǎng)度l1與l2以及直徑d1與d2。軸總長(zhǎng)為l，許用切應(yīng)力為[]。題4-13圖解：1.軸的強(qiáng)度條件在截面處的扭矩最大，其值為由該截面的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件得 (a)段上的最大扭矩在截面處，其值為由該截面的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件得2．最輕重量設(shè)計(jì)軸的總體積為根據(jù)極值條件得由此得 (b)從而得 (c) (d)該軸取式(a)~(d)所給尺寸，可使軸的體積最小，重量自然也最輕。4-14一圓柱形密圈螺旋彈簧，承受軸向壓縮載荷F=1kN作用。設(shè)彈簧的平均直徑D=40mm，彈簧絲的直徑d=7mm，許用切應(yīng)力[]=480MPa，試校核彈簧的強(qiáng)度。解：由于故需考慮曲率的影響，此時(shí)，結(jié)論：，該彈簧滿足強(qiáng)度要求。4-20圖示圓錐形薄壁軸AB，兩端承受扭力偶矩M作用。設(shè)壁厚為，橫截面A與B的平均直徑分別為dA與dB，軸長(zhǎng)為l，切變模量為G。試證明截面A和B間的扭轉(zhuǎn)角為題4-20圖證明：自左端向右取坐標(biāo)，軸在處的平均半徑為式中，截面的極慣性矩為依據(jù)得截面和間的扭轉(zhuǎn)角為4-21圖示兩端固定的圓截面軸，承受扭力偶矩作用。試求支反力偶矩。設(shè)扭轉(zhuǎn)剛度為常數(shù)。題4-21圖(a)解：此為靜不定軸，但有對(duì)稱條件可以利用。設(shè)A與B端的支反力偶矩分別為，它們的轉(zhuǎn)向與扭力偶矩相反。由于左右對(duì)稱，故知由可得即(b)解：此為靜不定軸，可解除右端約束，代之以支反力偶矩，示如圖4-21b。 圖4-21b變形協(xié)調(diào)條件為 (a)利用疊加法，得 (b)將式(b)代入式(a)，可得進(jìn)而求得〔轉(zhuǎn)向與相反〕(c)解：此為靜不定軸，與(a)類似，利用左右對(duì)稱條件，容易得到的轉(zhuǎn)向與相反。(d)解：此為靜不定軸，可解除右端約束，代之以支反力偶矩，從變形趨勢(shì)不難判斷，的轉(zhuǎn)向與相反。變形協(xié)調(diào)條件為 (c)利用疊加法，得到〔從左端向右取〕(d)將式(d)代入式(c)，可得進(jìn)而求得的轉(zhuǎn)向亦與相反。4-22圖示軸，承受扭力偶矩M1=400N?m與M2=600N?m作用。許用切應(yīng)力[]=40MPa，單位長(zhǎng)度的許用扭轉(zhuǎn)角[]=0.25(°)/m，切變模量G=80GPa。試確定軸徑。題4-22圖解：1.內(nèi)力分析此為靜不定軸，設(shè)端支反力偶矩為，該軸的相當(dāng)系統(tǒng)示如圖4-22a。 圖4-22利用疊加法，得將其代入變形協(xié)調(diào)條件，得該軸的扭矩圖示如圖4-22b。2.由扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件求d由扭矩圖易見，將其代入扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件，由此得3.由扭轉(zhuǎn)剛度條件求d將最大扭矩值代入得結(jié)論：最后確定該軸的直徑。4-23圖示兩端固定階梯形圓軸AB，承受扭力偶矩M作用。許用切應(yīng)力為[]，為使軸的重量最輕，試確定軸徑d1與d2。題4-23圖解：1.求解靜不定設(shè)A與B端的支反力偶矩分別為MA與MB，則軸的平衡方程為 (a)AC與CB段的扭矩分別為，代入式〔a〕，得 (b)設(shè)AC與CB段的扭轉(zhuǎn)角分別為AC與CB，則變形協(xié)調(diào)條件為 (c)利用扭轉(zhuǎn)角與扭矩間的物理關(guān)系，分別有，代入式〔c〕，得補(bǔ)充方程為 (d)最后，聯(lián)立求解平衡方程〔b〕與補(bǔ)充方程〔d〕，得， (e)2.最輕重量設(shè)計(jì)從強(qiáng)度方面考慮，要使軸的重量最輕，應(yīng)使AC與CB段的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的數(shù)值相等，且當(dāng)扭力偶矩M作用時(shí)，最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力均等于許用切應(yīng)力，即要求由此得將式〔e〕代入上式，得并從而得，根據(jù)圓軸扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件，于是得軸的直徑為4-24圖示二平行圓軸，通過剛性搖臂承受載荷F作用。載荷F=750N，軸1和軸2的直徑分別為d1=12mm和d2=15mm，軸長(zhǎng)均為l=500mm，搖臂長(zhǎng)度a=300mm，切變模量G=80GPa，試求軸端的扭轉(zhuǎn)角。題4-24圖解：這是一度靜不定問題。變形協(xié)調(diào)條件為或 (a)這里，和分別為剛性搖臂1和2在接觸點(diǎn)處的豎向位移。設(shè)二搖臂間的接觸力為，則軸1和2承受的扭矩分別為 (b)物理關(guān)系為 (c)將式(c)代入式(a)，并注意到式(b),得由此得4-26如以下圖，圓軸AB與套管CD借剛性突緣E焊接成一體，并在突緣E承受扭力偶矩M作用。圓軸的直徑d=38mm，許用切應(yīng)力[]=80MPa，切變模量G1=80GPa；套管的外徑D=76mm，壁厚=6mm，許用切應(yīng)力[]=40MPa，切變模量G2=40GPa。試求扭力偶矩M的許用值。題4-26圖解：1.解靜不定此為靜不定問題。靜力學(xué)關(guān)系和變形協(xié)調(diào)條件分別為 (a) (b)物理關(guān)系為 (c)將式(c)代入式(b)，并注意到得 (d)將方程(a)與(d)聯(lián)解，得2．由圓軸的強(qiáng)度條件定的許用值由此得扭力偶據(jù)的許用值為3.由套管的強(qiáng)度條件定的許用值由此得扭力偶據(jù)的許用值為結(jié)論：扭力偶矩的許用值為4-27圖示組合軸，由圓截面鋼軸與銅圓管并借兩端剛性平板連接成一體，并承受扭力偶矩M=100N·m作用。試校核其強(qiáng)度。設(shè)鋼與銅的許用切應(yīng)力分別為[s]=80MPa與[c]=20MPa，切變模量分別為Gs=80GPa與Gc=40GPa，試校核組合軸強(qiáng)度。題4-27圖解：1.求解靜不定如圖b所示，在鋼軸與剛性平板交接處〔即橫截面B〕，假想地將組合軸切開，并設(shè)鋼軸與銅管的扭矩分別為Ts與Tc，則由平衡方程可知，(a)兩個(gè)未知扭力矩，一個(gè)平衡方程，故為一度靜不定問題。在橫截面B處，鋼軸與銅管的角位移一樣，即 (b)設(shè)軸段AB的長(zhǎng)度為l，則將上述關(guān)系式代入式〔b〕，并注意到Gs/Gc=2，得補(bǔ)充方程為(c)聯(lián)立求解平衡方程〔a〕與補(bǔ)充方程〔c〕，于是得(d)2．強(qiáng)度校核將相關(guān)數(shù)據(jù)代入式〔d〕，得對(duì)于鋼軸，對(duì)于銅管，4-28將截面尺寸分別為100mm×90mm與90mm×80mm的兩鋼管相套合，并在內(nèi)管兩端施加扭力偶矩M0=2kN·m后，將其兩端與外管相焊接。試問在去掉扭力偶矩M0后，內(nèi)、外管橫截面上的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力。解：1.求解靜不定此為靜不定問題。在內(nèi)管兩端施加后，產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)角為 (a)去掉后，有靜力學(xué)關(guān)系 (b)幾何關(guān)系為 (c)物理關(guān)系為 (d)將式(d)和式(a)代入式(c)，得或?qū)懗捎纱说?(e)聯(lián)立求解方程(e)與(b)，得2.計(jì)算最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力內(nèi)、外管橫截面上的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分別為4-29圖示二軸，用突緣與螺栓相連接，各螺栓的材料、直徑一樣，并均勻地排列在直徑為D=100mm的圓周上，突緣的厚度為=10mm，軸所承受的扭力偶矩為M=5.0kN·m，螺栓的許用切應(yīng)力[]=100MPa，許用擠壓應(yīng)力[bs]=300MPa。試確定螺栓的直徑d。題4-29圖解：1.求每個(gè)螺栓所受的剪力由得2.由螺栓的剪切強(qiáng)度條件求由此得3.由螺栓的擠壓強(qiáng)度條件求由此得結(jié)論：最后確定螺栓的直徑。4-30圖示二軸，用突緣與螺栓相連接，其中六個(gè)螺栓均勻排列在直徑為D1的圓周上，另外四個(gè)螺栓則均勻排列在直徑為D2的圓周上。設(shè)扭力偶矩為M，各螺栓的材料一樣、直徑均為d，試計(jì)算螺栓剪切面上的切應(yīng)力。 題4-30圖解：突緣剛度遠(yuǎn)大于螺栓剛度，因而可將突緣視為剛體。于是可以認(rèn)為：螺栓i剪切面上的平均切應(yīng)變i與該截面的形心至旋轉(zhuǎn)中心O的距離ri成正比，即式中，k為比例常數(shù)。利用剪切胡克定律，得螺栓i剪切面上的切應(yīng)力為而剪力則為最后，根據(jù)平衡方程得于是得外圈與內(nèi)圈螺栓剪切面上得切應(yīng)力分別為4-31圖a所示托架，承受鉛垂載荷F=9kN作用。鉚釘材料均一樣，許用切應(yīng)力[]=140MPa，直徑均為d=10mm。試校核鉚釘?shù)募羟袕?qiáng)度。 題4-31圖解：由于鉚釘均勻排列，而且直徑一樣，所以，鉚釘群剪切面的形心C，位于鉚釘2與鉚釘3間的中點(diǎn)處〔圖b〕。將載荷平移至形心C，得集中力F與矩為Fl的附加力偶。在通過形心C的集中力F作用下，各鉚釘剪切面上的切應(yīng)力相等，其值均為在附加力偶作用下，鉚釘1與4剪切面上的切應(yīng)力最大，其值均為(a)由圖中可以看出，，所以，代入式〔a〕，得將上述兩種切應(yīng)力疊加，即得鉚釘1與4的總切應(yīng)力即最大切應(yīng)力為4-34圖示半橢圓形閉口薄壁桿，a=200mm，b=160mm，=3mm，=4mm，T=6kN·m，試求最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力。題4-34圖解：截面中心線所圍面積為由此得于是得最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力為4-35一長(zhǎng)度為l的薄壁管，兩端承受矩為M的扭力偶作用。薄壁管的橫截面如以下圖，平均半徑為R0，上、下半部由兩種不同材料制成，切變模量分別為G1與G2，厚度分別為1與2，且1<2，試計(jì)算管內(nèi)的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力，以及管端兩橫截面間的扭轉(zhuǎn)角。 題4-35圖解：1.扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力計(jì)算閉口薄壁管扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的一般公式為現(xiàn)在所以，最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力為2.扭轉(zhuǎn)變形計(jì)算用相距dx的兩個(gè)橫截面，與夾角為d的兩個(gè)徑向縱截面，從管的上部切取一微體，其應(yīng)變能為由此得整個(gè)上半圓管的應(yīng)變能為同理得整個(gè)下半圓管的應(yīng)變能為根據(jù)能量守恒定律，于是得4-36圖示三種截面形狀的閉口薄壁桿，假設(shè)截面中心線的長(zhǎng)度、壁厚、桿長(zhǎng)、材料以及所受扭矩均一樣，試計(jì)算最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力之比和扭轉(zhuǎn)角之比。題4-36圖解：由于三者中心線的長(zhǎng)度一樣，故有由此得據(jù)此可求得長(zhǎng)方形、正方形及圓形薄壁截面的，其值依次為依據(jù)可得三種截面薄壁桿的最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力之比為依據(jù)可得三種截面薄壁桿的扭轉(zhuǎn)角之比為結(jié)果說明：在題設(shè)條件下，圓形截面薄壁桿的扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度及扭轉(zhuǎn)剛度均最正確，正方形截面薄壁桿的次之，長(zhǎng)方形截面薄壁桿的最差。一般說來，在制造閉口薄壁桿時(shí)，應(yīng)盡可能加大其中心線所圍的面積，這樣對(duì)強(qiáng)度和剛度均有利。4-37圖示閉口薄壁桿，承受扭力偶矩M作用，試計(jì)算扭力偶矩的許用值。許用切應(yīng)力[]=60MPa，單位長(zhǎng)度的許用扭轉(zhuǎn)角[]=0.5(°)/m，切變模量G=80GPa。假設(shè)在桿上沿桿件母線開一槽，則許用扭力偶矩將減少至何值。題4-37圖解：1.計(jì)算閉口薄壁桿扭力偶矩的許用值由扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件得由扭轉(zhuǎn)剛度條件得其中用到比擬可知，2.計(jì)算開口薄壁桿扭力偶矩的許用值由扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度條件得由扭轉(zhuǎn)剛度條件得比擬可知，第六章彎曲應(yīng)力6-2如以下圖，直徑為d、彈性模量為E的金屬絲，環(huán)繞在直徑為D的輪緣上，試求金屬絲內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)變、最大彎曲正應(yīng)力與彎矩。 題6-2圖解：金屬絲的曲率半徑為所以，金屬絲的最大彎曲正應(yīng)變?yōu)樽畲髲澢龖?yīng)力為而彎矩則為6-3圖示帶傳動(dòng)裝置，膠帶的橫截面為梯形，截面形心至上、下邊緣的距離分別為y1與y2，材料的彈性模量為E。試求膠帶內(nèi)的最大彎曲拉應(yīng)力與最大彎曲壓應(yīng)力。題6-3圖解：由題圖可見，膠帶中性層的最小曲率半徑為依據(jù)可得膠帶內(nèi)的最大彎曲拉應(yīng)力和最大彎曲壓應(yīng)力分別為6-6圖a所示正六邊形截面，邊長(zhǎng)為a，試計(jì)算抗彎截面系數(shù)Wz與Wy。 題6-6圖解：1.Wz計(jì)算由圖b可以看出，所以，ADB對(duì)z軸的慣性矩為中部矩形截面對(duì)z軸的的慣性矩為于是得整個(gè)六邊形截面對(duì)z軸的慣性矩為而對(duì)z軸的抗彎截面系數(shù)則為2.Wy計(jì)算ADB對(duì)y軸的慣性矩為中部矩形截面對(duì)y軸的的慣性矩為于是得整個(gè)六邊形截面對(duì)y軸的慣性矩為而對(duì)z軸的抗彎截面系數(shù)則為6-7圖示直徑為d的圓木，現(xiàn)需從中切取一矩形截面梁。試問：(1)如欲使所切矩形梁的彎曲強(qiáng)度最高，h和b應(yīng)分別為何值；(2)如欲使所切矩形梁的彎曲剛度最高，h和b又應(yīng)分別為何值。題6-7圖解：(1)為使彎曲強(qiáng)度最高，應(yīng)使值最大。由此得(2)為使彎曲剛度最高，應(yīng)使值最大。由此得6-8圖a所示簡(jiǎn)支梁，由№18工字鋼制成，彈性模量E=200GPa，a=1m。在均布載荷q作用下，測(cè)得截面C底邊的縱向正應(yīng)變=3.010-4，試計(jì)算梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力。題6-8圖解：1.內(nèi)力分析梁的彎矩圖如圖b所示，橫截面C的彎矩為梁內(nèi)的最大彎矩則為 (a)2.應(yīng)力計(jì)算〔解法一〕橫截面C底部的彎曲正應(yīng)力為由此得代入式〔a〕，得于是得梁的最大彎曲正應(yīng)力為3.應(yīng)力計(jì)算〔解法二〕橫截面C底部的彎曲正應(yīng)力為由于應(yīng)力與內(nèi)力成正比，所以，梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力為計(jì)算結(jié)果一樣。6-9圖示簡(jiǎn)支梁，承受均布載荷q作用?？箯澖孛嫦禂?shù)為Wz，彈性模量為E，試計(jì)算梁底邊AB的軸向變形。 題6-9圖解：梁的彎矩方程為橫截面x處底邊微長(zhǎng)dx的軸向變形為所以，梁底邊AB的軸向變形為6-10圖示截面梁，由№18工字鋼制成，截面上的彎矩M=20kN·m，材料的彈性模量E=200GPa，泊松比=0.29。試求截面頂邊AB與上半腹板CD的長(zhǎng)度改變量。題6-10圖解：1.截面幾何性質(zhì)工字鋼截面大致形狀及尺寸符號(hào)示如圖6-10。圖6-10由附錄表4查得并從而得2．計(jì)算頂邊的長(zhǎng)度改變量頂邊處有由此可得邊的伸長(zhǎng)量為3．計(jì)算上半腹板的長(zhǎng)度改變量距中性軸為的點(diǎn)，彎曲正應(yīng)力的絕對(duì)值為〔以向上為正〕該處的橫向應(yīng)變?yōu)橛纱丝傻镁€段的伸長(zhǎng)量為6-12圖a所示矩形截面懸臂梁，桿端截面承受剪切載荷F作用?，F(xiàn)用縱截面AC與橫截面AB將梁的下部切出，試?yán)L單元體ABCD各切開截面上的應(yīng)力分布圖，并說明該局部是如何平衡的。題6-12圖解：1.單元體的應(yīng)力分析梁內(nèi)各橫截面的剪力一樣，其值均為F；在固定端處，橫截面上的彎矩則為與上述內(nèi)力相對(duì)應(yīng)，單元體各截面的應(yīng)力如圖b所示。在橫截面AB上，彎曲切應(yīng)力按拋物線分布，最大切應(yīng)力為在該截面上，彎曲正應(yīng)力線性分布，最大彎曲壓應(yīng)力則為在縱截面AC上，作用有均勻分布的切應(yīng)力，其值為在橫截面CD上，作用有合力為F1=F/2的剪切分布力。2.單元體的受力分析根據(jù)上述分析，畫單元體的受力如圖c所示。圖中，F(xiàn)2代表橫截面AB上由切應(yīng)力構(gòu)成的剪切力，F(xiàn)3代表該截面上由彎曲正應(yīng)力構(gòu)成的軸向合力，F(xiàn)4則代表縱截面AC上由切應(yīng)力構(gòu)成的剪切合力。顯然，3.單元體的平衡根據(jù)上述計(jì)算結(jié)果，得說明單元體滿足平衡條件。6-13圖示矩形截面簡(jiǎn)支梁，承受矩為Me=Fa的集中力偶作用。截面的寬度為b，高度為h。試?yán)L單元體ABCD的應(yīng)力分布圖〔注明應(yīng)力大小〕，并說明該單元體是如何平衡的。題6-13圖解：1.畫剪力、彎矩圖左、右支座的支反力大小均為，方向是左向上、右向下。據(jù)此可畫剪力、彎矩圖示如圖6-13a與b。 圖6-132．求單元體兩端面上的應(yīng)力及其合力單元體兩端面及縱截面上的應(yīng)力分布情況示如圖c，最大彎曲正應(yīng)力和剪應(yīng)力值分別為由切應(yīng)力互等定理可知，縱截面上的切應(yīng)力與數(shù)值相等。左、右端面上彎曲正應(yīng)力構(gòu)成的軸向合力分別為左、右端面上彎曲切應(yīng)力構(gòu)成的豎向合力大小相等，其值為縱截面上彎曲切應(yīng)力構(gòu)成的軸向合力為3．檢查單元體的平衡方程是否滿足由此可見，單元體的全部平衡方程均能滿足〔另三個(gè)平衡方程是恒等滿足，無需寫出〕。6-14梁截面如以下圖，剪力Fs=200kN，并位于x-y平面內(nèi)。試計(jì)算腹板上的最大彎曲切應(yīng)力，以及腹板與翼緣〔或蓋板〕交界處的彎曲切應(yīng)力。題6-14圖(a)解：截面形心至其頂邊的距離為慣性矩和截面靜矩分別為于是得腹板上的最大彎曲切應(yīng)力為腹板與翼緣交界處的彎曲切應(yīng)力則為(b)解：采用負(fù)面積法，得截面形心至其頂邊得距離為慣性矩〔采用負(fù)面積法〕和截面靜矩分別為于是得腹板上的最大彎曲切應(yīng)力為腹板與上蓋板交界處的彎曲切應(yīng)力為腹板與下蓋板交界處的彎曲切應(yīng)力為6-17圖示鑄鐵梁，載荷F可沿梁AC水平移動(dòng)，其活動(dòng)范圍為0<<3l/2。許用拉應(yīng)力[t]=35MPa，許用壓應(yīng)力[c]=140MPa,l=1m，試確定載荷F的許用值。題6-17圖解：1.截面幾何性質(zhì)計(jì)算由圖6-17可得 圖6-172．確定危險(xiǎn)面的彎矩值分析可知，可能的危險(xiǎn)截面及相應(yīng)彎矩如下：當(dāng)作用在段時(shí)，當(dāng)作用在段時(shí)，3．確定載荷的許用值由危險(xiǎn)面的壓應(yīng)力強(qiáng)度要求得由截面的拉應(yīng)力強(qiáng)度要求得由作用面的拉應(yīng)力強(qiáng)度要求得該面上的最大壓應(yīng)力作用點(diǎn)并不危險(xiǎn)，無需考慮。比擬上述計(jì)算結(jié)果，得載荷的許用值為6-18圖示矩形截面階梯梁，承受均布載荷q作用。截面寬度為b，許用應(yīng)力為[]。為使梁的重量最輕，試確定l1與截面高度h1和h2。題6-18圖解：1.求最大彎矩左段梁最大彎矩的絕對(duì)值為右段梁最大彎矩的絕對(duì)值為2．求截面高度和由根部截面彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度要求得 (a)由右段梁危險(xiǎn)截面的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度要求得 (b)3．確定梁的總體積為由得最后，將式(c)代入式(b)，得為使該梁重量最輕〔也就是最小〕，最后取6-19圖示簡(jiǎn)支梁，由四塊尺寸一樣的木板膠接而成。載荷F=4kN，梁跨度l=400mm，截面寬度b=50mm，高度h=80mm，木板的許用應(yīng)力[]=7MPa，膠縫的許用切應(yīng)力[]=5MPa，試校核強(qiáng)度。題6-19圖解：1.畫剪力、彎矩圖該梁的剪力、彎矩圖如圖6-19所示。由圖可知，最大剪力〔絕對(duì)值〕和最大彎矩分別為 圖6-192．校核木板的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度3．校核膠縫的切應(yīng)力強(qiáng)度結(jié)論：該膠合木板簡(jiǎn)支梁符合強(qiáng)度要求。6-21圖示四輪吊車起重機(jī)的導(dǎo)軌為兩根工字形截面梁，設(shè)吊車自重W=50kN，最大起重量F=10kN，許用應(yīng)用[]=160MPa，許用切應(yīng)力[]=80MPa。試選擇工字鋼型號(hào)。由于梁較長(zhǎng)，需考慮梁自重的影響。題6-21圖解：1.求最大彎矩設(shè)左、右輪對(duì)梁的壓力分別為，不難求得由圖6-21a所示梁的受力圖及坐標(biāo)，得支反力 圖6-21該梁的剪力、彎矩圖示如圖b和c。圖中，由得極值位置依次為兩個(gè)彎矩極值依次為比擬可知，單梁的最大彎矩值為2．初選工字鋼型號(hào)先不計(jì)梁的自重，由彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度要求，得由附錄表4初選№28a工字鋼，有關(guān)數(shù)據(jù)為3．檢查和修改考慮梁自重的影響，檢查彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度是否滿足。由于自重，梁中點(diǎn)截面的彎矩增量為上面分析的最大彎矩作用面在跨中以右0.167m處，因二者相距很近，檢查正應(yīng)力強(qiáng)度時(shí)可將