直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與兩點(diǎn)或點(diǎn)到直線平行線距離公式

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§3.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式做一做:討論下列二元一次方程組解的情況:無數(shù)組無解重合平行一組解相交

幾何元素及關(guān)系代數(shù)表示方法提升(1)若方程組有且只有一個(gè)解,(2)若方程組無解,(3)若方程組有無數(shù)解,則l1//l2;則l1與l2相交;則l1與l2重合.一、兩條直線的交點(diǎn):相交重合平行例1.判斷下列各組直線的位置關(guān)系：練習(xí):三條直線ax+2y+8=0,4x+3y=10和2x－y=10相交于一點(diǎn)，求a的值.a=－1思考探究:直線系：具有某種共同特征的所有直線的集合二、共點(diǎn)直線系方程:經(jīng)過直線與直線的交點(diǎn)的直線系方程為:說明：此直線系中不包括直線l2所以直線的方程為：解:(1)設(shè)經(jīng)過二直線交點(diǎn)的直線方程為：例2:求過兩直線x-2y+4=0和x+y-2=0的交點(diǎn)，且滿足下列條件的直線l的方程。

(1)過點(diǎn)(2,1)例2:求過兩直線x-2y+4=0和x+y-2=0的交點(diǎn)，且滿足下列條件的直線l的方程。

(2)和直線3x-4y+5=0垂直解:(2)設(shè)經(jīng)過二直線交點(diǎn)的直線方程為：所以直線的方程為：例2:求過兩直線x-2y+4=0和x+y-2=0的交點(diǎn)，且滿足下列條件的直線l的方程。

(3)和直線2x-y+6=0平行另外還有平行線系、過定點(diǎn)的線系等。例3.求證：無論m取何實(shí)數(shù)時(shí)，直線(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)。解法1：將方程變?yōu)椋航獾茫杭矗汗手本€恒過解法2：令m=1，m=-3代入方程，得：解得：所以直線恒過定點(diǎn)例3.求證：無論m取何實(shí)數(shù)時(shí)，直線(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)。練習(xí)1、已知直線y=kx+2k+1與直線

y=-x+2的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）.12A.-6＜k＜2B.-＜k＜016C.-＜k＜

D.＜k161212c14練習(xí)y=x2x+3y-2=04x-3y-6=0x+2y-11=05．若直線方程為(2m+1)x+(3m-2)y-18m+5=0求證：無論m為何值時(shí)，所給直線恒過定點(diǎn)。小結(jié)1.兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，從方程的角度判斷直線之間的位置關(guān)系。2.共點(diǎn)直線系及其應(yīng)用求:兩點(diǎn)間的距離已知：和，xoy(1)y1=y2探索求:兩點(diǎn)間的距離已知：和，探索(2)x1=x2xoy求:兩點(diǎn)間的距離已知：和，探索xoy(3)一、兩點(diǎn)間的距離:已知平面上兩點(diǎn)P1(x1,y1)，P2(x2,y2)間的距離公式：(1)x1≠x2,y1=y2(2)x1=

x2,y1≠

y2特例：(3)原點(diǎn)O與任一點(diǎn)P(x,y)的距離：(1)A(6,0),B(-2,0)(2)C(0,-4),D(0,-1)(3)P(6,0),Q(0,-2)(4)M(2,1),N(5,-1)求下列兩點(diǎn)間的距離：兩點(diǎn)距離公式逆應(yīng)用①已知點(diǎn)A(-1,2)和B(2,),在X軸上找一點(diǎn)P，使|PA|=|PB|,求x的值。練習(xí)應(yīng)用—判定△的形狀

已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A(-1,0)、B（1，0）、C，試判斷三角形的形狀。練習(xí)用解析法(坐標(biāo)法)證明平面幾何問題的步驟：第一步：建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示有關(guān)的量；第二步：進(jìn)行有關(guān)的代數(shù)運(yùn)算；第三步：把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.類型三坐標(biāo)法的應(yīng)用【例3】

證明平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和.證明如圖所示，以頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB邊所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，有A(0，0).xyP0

(x0,y0)O|y0||x0|x0y0探索點(diǎn)到直線的距離:xyP0

(x0,y0)O|x1-x0||y1-y0|x0y0y1x1探索點(diǎn)到直線的距離:xyP0(x0,y0)Ox0y0SRQd探索點(diǎn)到直線的距離:注：1.此公式是在A≠0、B≠0的前提下推導(dǎo)的；2.如果A或B中有一個(gè)為0，此公式也成立；3.用此公式時(shí)直線方程要先化成一般式。二、點(diǎn)到直線的距離:已知P0(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0的距離公式：1.已知點(diǎn)P（-1，2）和直線

l：2x+y-10=0，求P點(diǎn)到直線l的距離。Pxl：2x+y-10=0l′Q0y解：過P做與l垂直的直線l’，垂足為點(diǎn)Q。由已知得l’的方程為：x-2y+5=0∴P點(diǎn)到直線l的距離為1已知點(diǎn)P（-1，2）和直線

l：2x+y-10=0，求P點(diǎn)到直線l的距離。解法二:

(用函數(shù)的思想)設(shè)直線l上任意一點(diǎn)M，坐標(biāo)為（x，10-2x),則∴當(dāng)x=3時(shí)，|PM|達(dá)到最小，最小值為即P點(diǎn)到直線l的距離為1已知點(diǎn)P（-1，2）和直線

l：2x+y-10=0，求P點(diǎn)到直線l的距離。ＲＳl：2x+y-10

=0Pl′Q0xy∵|PR|=5,|PS|=10,|RS|=法三：過P分別作x軸和y軸的平行線，交l于R,S兩點(diǎn)。則直線PR和PS分別為y=2,x=-1.例3已知點(diǎn)A（1，3），

B（3，1），C（-1，0），

求：△ABC的面積練習(xí)Oyxl2l1(x0,y0)

PQ任意兩條平行直線都可以寫成如下形式：l1:Ax+By+C1=0l2:Ax+By+C2=0探索d三、兩條平行直線的距離:注:1.用公式時(shí)，直線方程化為一般式;2.用兩平行線間距離公式須保證方程中x、y的系數(shù)對應(yīng)相同。兩條平行直線間的距離公式：l1:Ax+By+C1=0與l2:Ax+By+C2=0例1、直線3x+4y-1=0到直線6x+8y+9=0的距離例、到直線3x+4y-2=0與直線6x+8y+10=0的距離相等的點(diǎn)集的直線方程課堂小結(jié)三種距離；一個(gè)方法數(shù)形結(jié)合與對稱問題基礎(chǔ)知識主要涉及以下問題：1.求點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；2.求點(diǎn)關(guān)于定點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；3.求直線關(guān)于定點(diǎn)對稱的直線方程；4.求直線關(guān)于直線的對稱直線方程；

1.中點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則線段AB的中點(diǎn)

P(x0，y0)的坐標(biāo)公式2.中心對稱問題：設(shè)P（x0，y0），對稱中心為A（a，b），則P關(guān)于A的對稱點(diǎn)為P′（2a－x0，2b－y0）.

點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對稱的對稱中心恰是這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)，因此中心對稱的問題是線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用問題.

由軸對稱定義知，對稱軸即為兩對稱點(diǎn)連線的“垂直平分線”.利用“垂直”“平分”這兩個(gè)條件建立方程組，就可求出對稱點(diǎn)的坐標(biāo).一般情形如下：設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于直線y=kx+b的對稱點(diǎn)為P'(x'，y')，第一類型：點(diǎn)關(guān)于直線成軸對稱問題則有·k=－1，=k·+b

可求出x'、y'.特殊地:

點(diǎn)P（x0，y0）關(guān)于直線x=a的對稱點(diǎn)為P'(2a－x0,y0）；點(diǎn)P（x0，y0）關(guān)于直線y=b的對稱點(diǎn)為P′（x0，2b－y0）.點(diǎn)P（x0，y0）關(guān)于直線x—y=0（即y=x）的對稱點(diǎn)為P'(y0,x0)；點(diǎn)P(x0，y0)關(guān)于直線x+y=0(即y=-x)的對稱點(diǎn)為P'(-y0,-x0)。②兩點(diǎn)A、A1關(guān)于直線l對稱，滿足哪兩個(gè)幾何條件？分析:①求點(diǎn)A1的坐標(biāo)，需要幾個(gè)獨(dú)立條件？yxlOAA1例1求點(diǎn)A(－1,－4)關(guān)于直線l:x＋y＋1＝0的對稱點(diǎn)A1的坐標(biāo).題型一：求已知點(diǎn)關(guān)于定直線的對稱問題

例1求點(diǎn)A(－1,－4)關(guān)于直線l:x＋y＋1＝0的對稱點(diǎn)A1的坐標(biāo).思路分析yxlOAA1①直線AA1⊥l；②線段AA1的中點(diǎn)M在直線l上.

思路2M求解過程解法2

故所求對稱點(diǎn)為A1(3,0).yxlOAA1M由已知,得方程組設(shè)點(diǎn)A1(a,b),則線段AA1的中點(diǎn)為

回顧反思（1）基本方法：待定系數(shù)法（2）思維策略：①尋找兩個(gè)獨(dú)立條件；②將幾何條件代數(shù)化.（3）數(shù)學(xué)思想：幾何條件數(shù)量關(guān)系數(shù)形結(jié)合垂直關(guān)系斜率關(guān)系點(diǎn)在線上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足直線方程.變1若點(diǎn)(3,-2)與(a，3)關(guān)于直線2x-by-12=0對稱，求a+b的值作業(yè)本：15.兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱、兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱的常見結(jié)論：（1）點(diǎn)（x，y）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為（x，－y）；（2）點(diǎn)（x，y）關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為（－x，y）；（3）點(diǎn)（x，y）關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為（－x，－y）；（4）點(diǎn)（x，y）關(guān)于直線x－y=0的對稱點(diǎn)為（y，x）；（5）點(diǎn)（x，y）關(guān)于直線x+y=0的對稱點(diǎn)為（－y，－x）.兩點(diǎn)P和Q關(guān)于點(diǎn)M對稱的幾何特征xyOPQ．M點(diǎn)M是線段PQ的中點(diǎn)已知點(diǎn)P(x0,y0),點(diǎn)M(a,b),則點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M的對稱點(diǎn)Q坐標(biāo)為(2a-x0,2b-y0)例2已知直線l1與直線l:x＋y＋1＝0關(guān)于點(diǎn)A(－1,－4)對稱，求直線l1的方程.題型二：求已知直線關(guān)于定點(diǎn)的對稱問題

例2已知直線l1與直線l:x＋y＋1＝0關(guān)于點(diǎn)A(－1,－4)對稱，求直線l1的方程.yxlOA.l1思路1:根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，可分別求出直線l上的兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn),再由兩點(diǎn)式寫出直線方程.答案l1:x＋y＋9＝0－1－1(－2,－7)(－1,－8)歸納：線點(diǎn)對稱點(diǎn)點(diǎn)對稱例2已知直線l1與直線l:x＋y＋1＝0關(guān)于點(diǎn)A(－1,－4)對稱，求直線l1的方程.思路3：由于兩條直線平行,且與點(diǎn)A等距離.

可設(shè)l1:x＋y＋m＝0，由點(diǎn)到直線的距離公式，可得m=9或m=1（舍去）.所求直線為l1:x＋y＋9＝0.yxlOA.l1例2已知直線l1與直線l:x＋y＋1＝0關(guān)于點(diǎn)A(－1,－4)對稱，求直線l1的方程.yxlOA.l1解設(shè)直線l1上任意一點(diǎn)(x,y)關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為(x0,y0)，由中點(diǎn)公式,得

又x0＋y0＋1＝0,代入整理,得l1:x＋y＋9＝0.

(x,y)

(x0,y0)回顧反思

求一條直線關(guān)于一定點(diǎn)的對稱直線，通常有以下三種方法：⑴取特殊點(diǎn)：在已知直線上取兩個(gè)特殊點(diǎn),求出它們關(guān)于定點(diǎn)的對稱點(diǎn),兩點(diǎn)確定對稱直線.

⑵平行關(guān)系：關(guān)于定點(diǎn)對稱的兩條直線互相平行，由點(diǎn)斜式確定對稱直線.⑶求軌跡方法：求出已知直線上任意一點(diǎn)關(guān)于定點(diǎn)的對稱點(diǎn)的軌跡方程.2x＋11y－38＝0

試求直線l1:x-y-2=0關(guān)于直線l2:x-y+1=0對稱的直線l的方程。類型三：直線關(guān)于直線對稱l1l2l1'解：方法一：由2x+y－4=03x+4y－1=0解得a與l的交點(diǎn)E（3，－2），E點(diǎn)也在b上.在直線a：2x+y－4=0上找一點(diǎn)A（2，0），設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x0，y0）求直線a：2x+y-4=0關(guān)于直線l：3x+4y-1=0對稱的直線b的方程.由解得B（，－）.由兩點(diǎn)式得直線b的方程為=即2x+11y+16=0.方法三：設(shè)直線b上的動點(diǎn)P（x，y），直線a上的點(diǎn)Q(x0，4-2x0)，且P、Q兩點(diǎn)關(guān)于直線l：3x+4y-1=0對稱，則有消去x0，得2x+11y+16=0或2x+y－4=0（舍）.求直線a：2x+y-4=0關(guān)于直線l：3x+4y-1=0對稱的直線b的方程.點(diǎn)評與感悟：由平面幾何知識可知，若直線a、b關(guān)于直線對稱，則應(yīng)有下列幾何性質(zhì)：（1）若a與b相交，則l是a、b交角的平分線；若a與b平行，則a∥b，且a、b與l距離相等。（2）點(diǎn)A直線a上，則A點(diǎn)關(guān)于l的對稱B一定在直線b上，并且AB⊥l,AB的中點(diǎn)在l上。（3）設(shè)P(x,y)是所求直線b上一點(diǎn)，則P為關(guān)于l的對稱點(diǎn)P'的坐標(biāo)適合a的方程?；A(chǔ)知識1.設(shè)A、B是位于直線l異側(cè)的兩點(diǎn)，則直線l上與A、B兩點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)就是線段AB與直線l的交點(diǎn).2.設(shè)A、B是位于直線l同側(cè)的兩點(diǎn)，則直線l上與A、B兩點(diǎn)距離之差的絕對值最大的點(diǎn)就是線段AB與直線l的交點(diǎn).平面幾何中的兩個(gè)最值問題:問題研究1.若A、B是位于直線l同側(cè)的兩點(diǎn)，如何在直線l上求一點(diǎn)C，使點(diǎn)C與A、B兩點(diǎn)距離之和最??？2.若A、B是位于直線l異側(cè)的兩點(diǎn)，如何在直線l上求一點(diǎn)C，使點(diǎn)C與A、B兩點(diǎn)距離之差的絕對值最大？例4

設(shè)點(diǎn)A(3，0)，B(5，－1)，試在直線l:x＋y＋1＝0上求一點(diǎn)C，使得C點(diǎn)到A和B兩點(diǎn)的距離之和最小.思考1：能否從幾何角度入手，尋找破題之策？yxlO.BCA思考2：如果A、B位于直線兩側(cè)，你會解決它嗎？yxlO.BCA.題型四：求距離最值問題

例4（1）設(shè)點(diǎn)A(3，0)，B(5，－1)，試在直線l:x＋y＋1＝0上求一點(diǎn)C，使得C點(diǎn)到A和B兩點(diǎn)的距離之和最小.思路分析思路2：找對稱點(diǎn)，化“同側(cè)”為“異側(cè)”！yxlO.BCAA1A1yxlO.BCA解求出A點(diǎn)關(guān)于l的對稱點(diǎn)為A1(－1，－4).則AC+BC=A1C+BC≥A1B，當(dāng)且僅當(dāng)A1,C,B三點(diǎn)共線時(shí)取等號，則點(diǎn)C就是直線A1B與直線l的交點(diǎn).A1B：x－2y－7＝0l

：x＋y＋1＝0即所求點(diǎn)（2）試在直線l:x＋y＋1＝0上求一點(diǎn)D，使得D點(diǎn)到A(－1，－4)和B(5，－1)兩點(diǎn)的距離之差的絕對值最大.分析：通過找對稱點(diǎn)，化“異側(cè)”為“同側(cè)”.

A1(3,0)yxlO.BDA.點(diǎn)D即為直線A1B與直線l的交點(diǎn).