第3章勾股定理（用勾股定理解決面積問題）講義蘇科版數(shù)學八年級上冊

第3章勾股定理（用勾股定理解決面積問題）【學習目標】掌握利用勾股定理求三角形面積掌握利用勾股定理求正方形面積掌握利用勾股定理求稍復雜的勾股樹問題【典型例題】類型一、利用勾股定理求三角形面積【例1】已知如圖，以的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形，若斜邊，則圖中陰影部分的面積為_______．舉一反三：【變式1】如圖，一系列等腰直角三角形（編號分別為①、②、③、④、…）組成了一個螺旋形，其中第1個三角形的直角邊長為1，則第n個等腰直角三角形的面積為．【變式2】如圖，在△ABD中，AC⊥BD于C，點E為AC上一點，連接BE、DE，DE的延長線交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．（1）求證：DF⊥AB；（2）利用圖中陰影部分面積完成勾股定理的證明，已知：如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求證：a2+b2＝c2．【變式3】勾股定理是幾何學中的明珠，充滿著魅力，千百年來，人們對它的證明趨之若騖，其中有著名的數(shù)學家，也有業(yè)余數(shù)學愛好者，向常春在1994年構造發(fā)現(xiàn)了一個新的證法，證法如下：把兩個全等的直角三角形（Rt△ABC≌Rt△DAE）如圖1放置，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE于點F，點E在邊AB上，現(xiàn)設Rt△ACB兩直角邊長分別為CB＝b、BA＝a，斜邊長為AC＝c，請用a、b、c分別表示出梯形ABCD、四邊形AECD、△EBC的面積，再探究這三個圖形面積之間的關系，可得到勾股定理(1)請根據(jù)上述圖形的面積關系證明勾股定理；(2)如圖2，鐵路上A、B兩點（看作直線上的兩點）相距40千米，CD為兩個村莊（看作直線上的兩點），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A、B，AD＝25千米，BC＝16千米，則兩個村莊的距離為多少千米．【變式4】細心觀察下圖，認真分析各式，然后解答問題：；；；……，（1）請用含n（n為正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律；（2）觀察總結得出結論：三角形兩條直角邊與斜邊的關系，用一句話概括為：；（3）利用上面的結論及規(guī)律，請作出等于的長度；（4）你能計算出的值嗎？類型二、利用勾股定理求正方形面積【例2】如圖，直線上有三個正方形，，，若，的面積分別為和1，則的面積為（）A． B． C． D．舉一反三：【變式1】勾股定理是人類最偉大的科學發(fā)現(xiàn)之一，在我國古算書《周髀算經(jīng)》中早有記載．如圖，以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩張正方形紙片按圖的方式放置在最大正方形內．若圖中陰影部分的面積為，且，則的長為（）圖1圖2A． B． C． D．【變式2】如圖1，將長為2a+3，寬為2a的矩形分割成四個全等的直角三角形，拼成如圖2所示的“趙爽弦圖”，得到大小兩個正方形．（1）用關于a的代數(shù)式表示圖2中小正方形的邊長；（2）已知圖2中小正方形面積為36，求大正方形的面積？【變式3】中國數(shù)學史上最先完成勾股定理證明的數(shù)學家是公元3世紀三國時期的趙爽，他為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）．圖2由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成．將圖中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面積分別記為,，．若,則正方形EFGH的面積為_______．【變式4】圖①是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．（1）在Rt△ABC中，AC＝m，BC＝n，∠ACB＝90°，若圖①中大正方形的面積為61，小正方形的面積為1，求（m+n）2；（2）若將圖①中的四個直角三角形中較長的直角邊分別向外延長一倍，得到圖②所示的“數(shù)學風車”，求這個風車的外圍周長（圖中實線部分）．類型三、利用勾股定理求稍復雜的勾股樹面積問題【例3】如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的邊長分別是3、5、2、3，則最大正方形E的面積是（）A．13 B．26 C．34 D．47舉一反三：【變式1】有一個面積為1的正方形，經(jīng)過一次“生長”后，在他的左右肩上生出兩個小正方形，其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長”后，變成了下圖，如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”，請你算出“生長”了2022次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是（）A．2022 B．2022 C．2022 D．2022【變式2】如圖，正方形的邊長為2，其面積標記為，以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標記為，…，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則的值為___________．【變式3】請你仔細觀察下面一組圖形，依據(jù)其變化規(guī)律推斷第（5）個圖形中所有正方形面積之和為____________（其中圖中出現(xiàn)的三角形均是直角三角形，四邊形均是正方形）．【變式4】勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關系，其中蘊含著豐富的科學知識和人文價值．如圖所示，是一棵由正方形和含角的直角三角形按一定規(guī)律長成的勾股樹，樹的主干自下而上第一個正方形