上海市靜安區(qū)2023-2024學(xué)年高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題合集2套（含解析）

上海市靜安區(qū)2023-2024學(xué)年高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題一、填空題：（共10小題，每題3分，滿分30分）1.若且，則是第____________象限角.【正確答案】二【分析】根據(jù)各象限三角函數(shù)的符號(hào)特征判斷即可.【詳解】解：因?yàn)榍遥允堑诙笙藿?故二2.若扇形弧長(zhǎng)為，面積為，則該扇形圓心角的弧度數(shù)是____.【正確答案】##【分析】由扇形面積公式可求出扇形的半徑，再由弧長(zhǎng)公式即可求出該扇形圓心角的弧度數(shù).【詳解】設(shè)扇形弧長(zhǎng)為，半徑為，面積為，扇形圓心角為，所以，，所以，.故答案為.3.函數(shù)的最小正周期是______.【正確答案】【分析】由余弦函數(shù)的最小正周期公式即可得出答案.【詳解】函數(shù)的最小正周期是:.故答案為.4.函數(shù)的奇偶性為_(kāi)_____.【正確答案】奇函數(shù)【分析】化簡(jiǎn)，由函數(shù)的奇偶性結(jié)合誘導(dǎo)公式即可得出答案.【詳解】，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，，所以函?shù)是奇函數(shù)故奇函數(shù).5.若，，則______.【正確答案】【分析】由平方和關(guān)系，兩角和的余弦公式求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所?所以.故答案為.6已知且，則______.【正確答案】【分析】由二倍角的余弦公式即可得出答案.【詳解】因?yàn)榍?，所以，所以，則，解得：，則.故答案為.7.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是______.【正確答案】【分析】令，然后解不等式即可求解．【詳解】令，解得.本題主要考查類正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題．8.函數(shù)的定義域是__________.【正確答案】，【分析】利用三角函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)求出函數(shù)定義域.【詳解】要使函數(shù)有意義，則需，即，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，解得，，所以函數(shù)的定義域是，.故，.9.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的解析式是=_________.【正確答案】【分析】首先，根據(jù)所給函數(shù)的部分圖象，得到振幅，然后，根據(jù)周期得到的值，再將圖象上的一個(gè)點(diǎn)代入，從而確定其解析式．【詳解】解：根據(jù)圖象，得，又，，，將點(diǎn)代入，得，，，，故答案本題重點(diǎn)考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)等知識(shí)，屬于中檔題．解題關(guān)鍵是熟悉所給函數(shù)的部分圖象進(jìn)行分析和求解．10.對(duì)于函數(shù)，給出下列四個(gè)命題：①該函數(shù)的值域?yàn)?；②?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，該函數(shù)取得最大值1；③該函數(shù)是以為最小正周期的周期函數(shù)；④當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.上述命題中，假命題的序號(hào)是______.【正確答案】①②【分析】作出函數(shù)的圖象，利用圖象逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，?duì)于③，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)為周期函數(shù)，作出函數(shù)的圖象（圖中實(shí)線）如下圖所示：結(jié)合圖形可知，函數(shù)的最小正周期為，③對(duì)；對(duì)于①，由圖可知，函數(shù)的值域?yàn)?，①錯(cuò)；對(duì)于②，由圖可知，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，函數(shù)取得最大值，②錯(cuò)；對(duì)于④，由圖可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，④對(duì).故①②.二、選擇題：（共3小題，每題4分，滿分12分）11.若，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用三角函數(shù)的定義判斷的符號(hào)，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式，化簡(jiǎn)即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，則，，所以.故選：A.12.中，，則一定是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形【正確答案】D【分析】由已知，利用正弦定理及同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系對(duì)式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)再進(jìn)行化簡(jiǎn)即可判斷．【詳解】∵，由正弦定理可得，，∵，∴，∴即，∵，∴或，∴或，即三角形為等腰或直角三角形，故選D．本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及正弦定理的應(yīng)用，利用正弦定理進(jìn)行代數(shù)式變形是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)．13.定義在上的函數(shù)，既是偶函數(shù)又是周期函數(shù).若的最小正周期是，且當(dāng)時(shí)，，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】將函數(shù)值利用周期性和奇偶性變形為，然后結(jié)合函數(shù)解析式求解出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈淖钚≌芷谑牵?，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，故選：B.三、解答題：(共5小題，10+10+11+13+14，滿分58分)14.已知,求的值.【正確答案】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得，再根據(jù)誘導(dǎo)公式結(jié)合齊次式法求值，即得答案.【詳解】由得，故，故答案：15.已知為銳角，，.（1）求的值；（2）求的值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求得，然后算出的值；（2）結(jié)合，，可得，，即可求出的值.【小問(wèn)1詳解】∵為銳角，，且，∴；∵為銳角，，且，∴，∴，【小問(wèn)2詳解】因?yàn)闉殇J角，，所以，，所以，，所以，∴；16.在中，已知，，，求和.【正確答案】或，或【分析】與正弦定理可得，則或，即可求出，再由兩角和與差的余弦公式結(jié)合三角形的面積公式即可得出答案.【詳解】因?yàn)椋?，所以，由正弦定理可得：，則，則，則或.若，，則，則，若，，則，則.故或，或17.如圖所示，近日我漁船編隊(duì)在島周圍海域作業(yè)，在島的南偏西20°方向有一個(gè)海面觀測(cè)站，某時(shí)刻觀測(cè)站發(fā)現(xiàn)有不明船只向我漁船編隊(duì)靠近，現(xiàn)測(cè)得與相距31海里的處有一艘海警船巡航，上級(jí)指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小時(shí)的速度向島直線航行以保護(hù)我漁船編隊(duì)，30分鐘后到達(dá)處，此時(shí)觀測(cè)站測(cè)得間的距離為21海里．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)試問(wèn)海警船再向前航行多少分鐘方可到島？【正確答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）海警船再向前航行22.5分鐘即可到達(dá)島.【分析】(Ⅰ)在中，根據(jù)余弦定理求得余弦值，再求正弦值得到答案.(Ⅱ)首先利用和差公式計(jì)算，中，由正弦定理可得長(zhǎng)度，最后得到時(shí)間.【詳解】(Ⅰ)由已知可得，中，根據(jù)余弦定理求得，∴．(Ⅱ)由已知可得，∴．中，由正弦定理可得，∴分鐘．即海警船再向前航行22.5分鐘即可到達(dá)島．本題考查了正余弦定理的實(shí)際應(yīng)用，意在考查學(xué)生的建模能力，實(shí)際應(yīng)用能力和計(jì)算能力.18.已知.（1）若，求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若，求的最大值，并指出相應(yīng)的值；（3）當(dāng)時(shí)，的值域；（4）作出函數(shù)的大致圖象.【正確答案】（1），（2）最大值為，，（3）（4）答案見(jiàn)解析【分析】（1）先利用二倍角和降冪公式，再利用輔助角公式化一角一函數(shù)，就可借助正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）直接根據(jù)三角函數(shù)的有界性，求其最值，并求對(duì)應(yīng)的值；（3）通過(guò)的范圍，求出的范圍，進(jìn)而求出，可得的值域.（4）根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得.【小問(wèn)1詳解】，解不等式，得，的單調(diào)增區(qū)間為；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)，即時(shí)，取最大值為2.【小問(wèn)3詳解】，，則，，即當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?【小問(wèn)4詳解】根據(jù)五點(diǎn)法作一個(gè)周期函數(shù)圖象，列表0xy020-20描點(diǎn)連線可得圖象如圖：上海市靜安區(qū)2023-2024學(xué)年高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題一、填空題（每題3分）1.一個(gè)扇形的圓心角為弧度，扇形面積是1平方厘米，扇形半徑是1厘米，則圓心角是______弧度.【正確答案】2【分析】由扇形的面積公式求解即可.【詳解】已知扇形面積是1平方厘米，扇形半徑是1厘米，所以，即，即，故圓心角弧度.故答案為.2.函數(shù)的定義域是____________．【正確答案】【分析】由可得答案.【詳解】，則，.故3.設(shè)，是非零向量，則是成立的______條件.（用“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”填空）【正確答案】充分不必要【分析】利用充分條件和必要條件的定義分析判斷【詳解】因?yàn)椋怨簿€且方向相同，因?yàn)楸硎痉较蛏系膯挝幌蛄浚?，而?dāng)時(shí)，可得共線且方向相同，但不一定是，所以是成立的充分不必要條件，故充分不必要.4.在中，，，，則的解的個(gè)數(shù)是______個(gè).【正確答案】2【分析】利用正弦定理即可判斷三角形有兩解.【詳解】在中，，，，，由則，如圖：所以此時(shí)有兩解.故答案為:2.5.在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則___________.【正確答案】【分析】利用向量的加法和減法法則，將，分別用，表示出來(lái)，然后代入結(jié)論計(jì)算即可.【詳解】在中，點(diǎn)是中點(diǎn)，所以，，所以.故答案為.6.函數(shù)的部分圖象如圖，若，且，則__________.【正確答案】【分析】首先根據(jù)函數(shù)圖象求出函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】，，則，又且，則，，，則，即，又，所以.故7.角是第四象限角，其終邊與單位圓的交點(diǎn)為，把角順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得角，則角終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____.【正確答案】【分析】由三角函數(shù)的定義得到，再利用誘導(dǎo)公式求解.【詳解】由題意知：，則，，所以角終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)為，故8.函數(shù)，其中，若，則______．【正確答案】【分析】利用誘導(dǎo)公式求得正確答案.【詳解】，故9.《周髀算經(jīng)》中給出的弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大的正方形，若圖中所示的角為，且小正方形與大正方形面積之比為，則__________．【正確答案】##0.75【分析】設(shè)大正方形和小正方形的邊長(zhǎng)分別為和，根據(jù)條件，可得，平方得，再求出即可.【詳解】設(shè)大正方形和小正方形的邊長(zhǎng)分別為和a，則，所以．所以，即，解得或（舍去），又，所以，所以.故答案為.10.已知函數(shù)，且，則___．【正確答案】##【分析】利用正弦函數(shù)的的對(duì)稱性可得，由此求得的值．【詳解】∵函數(shù)，，（），則由正弦函數(shù)的對(duì)稱性可得：，所以，故答案為.11.已知，下列四個(gè)結(jié)論正確的序號(hào)是______.①函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；②點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心；③函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到；④若，則的值域?yàn)?【正確答案】②④【分析】根據(jù)二倍角公式及輔助角公式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】.對(duì)于①，因?yàn)椋?，所以函?shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故②正確；對(duì)于③，函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，所以，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，因?yàn)椋?，所以，即，所以的值域?yàn)椋盛苷_.故②④.12.在銳角中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，且，則的取值范圍是______．【正確答案】【分析】由正弦定理和正弦二倍角公式將已知化為，根據(jù)為銳角三角形可得，以及，再由正弦定理可得，利用兩角和的正弦展開(kāi)式和的范圍可得答案.【詳解】由正弦定理和正弦二倍角公式可得，因?yàn)?，所以，可得，因?yàn)椋?，所以，，由，可得，所以，，由正弦定理?故答案為.二、選擇題（每題4分）13.已知，是兩個(gè)不平行的向量，且，，，則一定共線的三點(diǎn)是（）A.A、B、C B.B、C、D C.A、B、D D.A、C、D【正確答案】C【分析】一一驗(yàn)證選項(xiàng)中的三點(diǎn)組成的兩個(gè)向量是否共線即可證明.【詳解】對(duì)于A，，，設(shè)，則，則無(wú)解，所以A、B、C三點(diǎn)不共線，故A不正確；對(duì)于B，，，設(shè)，則，則無(wú)解，所以B、C、D三點(diǎn)不共線，故B不正確；對(duì)于C，因?yàn)?，，所以，則，所以，又點(diǎn)為公共點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線.對(duì)于D，，，，，設(shè)，則，則無(wú)解，所以A、C、D三點(diǎn)不共線，故D不正確；故選：C.14.已知兩個(gè)單位向量和的夾角為120°，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式及投影向量的定義即可求解.詳解】依題意，因?yàn)閮蓚€(gè)單位向量和的夾角為120°，所以，所以，故向量在向量上的投影向量為．故選：D.15.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，則的形狀為（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形【正確答案】C【分析】由，利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式和正弦定理化簡(jiǎn)得到，得到或，即可求解.【詳解】由，可得，結(jié)合正弦定理可得，即，即，所以.所以或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形.故選：C.16.已知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，然后根據(jù)條件給出的區(qū)間建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】由，得，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，令，則函數(shù)其中一個(gè)的單調(diào)遞減區(qū)間為：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則滿足，得，所以的取值范圍是.故選：D.三、解答題（6分＋8分＋8分＋12分＋14分）17解決下列問(wèn)題：（1）已知，求值.（2）已知，，求的值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由誘導(dǎo)公式，，后利用可得答案；（2）將平方后，可得，結(jié)合，可判斷符號(hào)，平方后可得答案.【小問(wèn)1詳解】由誘導(dǎo)公式，，又，則.【小問(wèn)2詳解】因，則，即一正一負(fù)，又，則，即.又，則.18.已知，，且.（1）求與的夾角；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到，再根據(jù)數(shù)量積的定義求出夾角的余弦值，即可得解；（2）依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到方程，再求出k的值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?設(shè)與的夾角為，則，又，所以，故與的夾角為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，即，即，所以，即，解?19.某觀測(cè)站在港口的南偏西的方向上，在港口的南偏東方向的處有一艘漁船正向港口駛?cè)ィ旭偭?0千米后，到達(dá)處，在觀察站處測(cè)得間的距離為31千米，間的距離為21千米，問(wèn)這艘漁船到達(dá)港口還需行駛多少千米？【正確答案】15千米【分析】結(jié)合余弦定理、正弦定理求得正確答案.【詳解】在中，，，，由余弦定理得，所以.在中，，，.由正弦定理得（千米）.所以這艘漁船到達(dá)港口還需行駛15千米.20.已知中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，．（1）求角C；（2）若點(diǎn)D在AB邊上，且滿足，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求CD的長(zhǎng)．【正確答案】（1）（2）【