2023年中考數學核心考點+重點題型+高分秘籍+題組訓練+過關檢測-一次方程的解法及應用

中考數學一輪復習資料五合一《核心考點＋重點題型＋高分秘籍＋題組特訓＋過關檢測》(全國通用版)第8講 一次方程的解法及應用核心考點1：等式的性質等式的性質（1）等式兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，所得的結果仍是等式．（2）等式兩邊都乘以（或除以）同一個不等于零的數，所得的結果仍是等式．核心考點2：一元一次方程及其解法1．一元一次方程：只含有一個未知數，并且未知數的次數為1，這樣的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式為．注意：x前面的系數不為0．2.一元一次方程的求解步驟變形名稱具體做法去分母在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數去括號先去小括號，再去中括號，最后去大括號移項把含有未知數的項都移到方程的一邊，其他項都移到方程的另一邊合并同類項把方程化成的形式系數化成1在方程兩邊都除以未知數的系數，得到方程的解為注意：解方程時移項容易忘記改變符號而出錯，要注意解方程的依據是等式的性質，在等式兩邊同時加上或減去一個代數式時，等式仍然成立，這也是“移項”的依據．移項本質上就是在方程兩邊同時減去這一項，此時該項在方程一邊是0，而另一邊是它改變符號后的項，所以移項必須變號．核心考點3：二元一次方程（組）及其解法1.二元一次方程：含有2個未知數，并且含有未知數的項的次數都是1的整式方程叫做二元一次方程．2.二元一次方程的解:使二元一次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做二元一次方程的解．3.二元一次方程組:由兩個二元一次方程組成的方程組叫二元一次方程組．方程組中同一個字母代表同一個量，其一般形式為．4.解二元一次方程組的基本思想解二元一次方程組的基本思想是消元，即將二元化為一元，消元方法主要有代入消元法和加減消元法．5．二元一次方程組的解法（1）代入消元法：將方程中的一個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來，并代入另一個方程中，消去一個未知數，化二元一次方程組為一元一次方程．（2）加減消元法：將方程組中兩個方程通過適當變形后相加（或相減）消去其中一個未知數，化二元一次方程組為一元一次方程．核心考點4：一次方程（組）的應用1．一般步驟（1）審題；（2）設出未知數；（3）列出含未知數的等式——方程；（4）解方程（組）；（5）檢驗結果；（6）作答（不要忽略未知數的單位名稱）．2．一次方程（組）常見的應用題型（1）銷售問題：利潤售價-成本價；利潤率=×100％；售價=標價×折扣；銷售額=售價×數量．（2）工程問題：工作量=工作效率×工作時間．（3）行程問題：路程=速度×時間．一元一次方程和二元一次方程組在中考數學中主要涉及的就兩種問題，一是方程組的解法，這是必考的一道題；其二是方程組的應用題。在中考數學試卷中主要的題型如下：解方程組，主要是在解答題中出現，偶爾也在選擇填空題;方程組的應用題，考試的頻率是非常高的，主要位于填空題或解答題中。——等式的性質及方程的解法步驟1．下列方程中變形正確的是（

）A．方程移項，得 B．由得C．方程去括號，得 D．方程系數化為1，得【分析】各項中方程變形得到結果，即可作出判斷．解：A、由移項，得，選項不符合題意；B、由去分母，得，選項不符合題意；C、由去括號，得，變形正確，符合題意；D、由系數化為1，得，選項不符合題意．故選：B．【反思】此題考查了解一元一次方程，以及等式的性質，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．——根據解的情況求方程中的參數2．關于x的方程的解為整數，則符合條件的正整數m的值之和為（）A．19 B．18 C．8 D．4【分析】先將方程化簡為，根據方程的解為整數，得到關于m的方程，進而得出答案．【詳解】去分母得：，去括號、移項、合并同類項得：，方程的解為整數，或，解得，或3或或15，符合條件的正整數m的值之和為：，故選：A．【反思】本題考查含參數的一元一次方程，解題的關鍵是得到關于參數的方程．——“錯解”方程問題3．解方程時，小剛在去分母的過程中，右邊的“”漏乘了公分母6，因而求得方程的解為，則方程正確的解是（

）A． B． C． D．【分析】根據題意按照小剛的解方程步驟解方程，再根據解為求出a的值，再按照正確的步驟解方程即可．【詳解】解：由題意得，小剛的解題過程如下：去分母得：，去括號得：，移項得：，合并同類項得：，∵小剛的求解結果為，∴，∴，正確過程如下：去分母得：，去括號得：，移項得：，合并同類項得：，故選D．【反思】本題主要考查了解一元一次方程，正確理解題意還原小剛的解題過程從而求出a的值是解題的關鍵．——方程同解問題4．如果方程和方程的解相同，那么的值為（

）.A．1 B．5 C．0 D．【分析】先求出方程，將解代入方程，再解方程即可．【詳解】解：解方程，得，∵方程和方程的解相同，∴將代入方程中，得，解得，故選：D．【反思】此題考查了解一元一次方程，方程的解，正確理解同解方程的意義是解題的關鍵．——方程變形正確與否問題5．解方程，去分母得（

）.A． B． C． D．【分析】根據等式的性質：方程兩邊都乘以4即可得到答案．【詳解】解：方程，兩邊都乘以4，得，整理，得，故選：D．【反思】此題考查了去分母解一元一次方程，正確掌握等式的性質是解題的關鍵．——求解方程中的參數6．若關于的方程是一元一次方程，則的值為（）A．0 B．1 C．2 D．0或2【分析】根據一元一次方程的定義列式計算即可．【詳解】關于的方程是一元一次方程，且解得故選C．【反思】本題主要考查了一元一次方程的定義，只含有一個未知數，且未知數的指數是1，一次項系數不是0，這是這類題目考查的重點．——解的個數問題7．關于x的方程有無窮多個解，則（）A． B． C． D．【分析】把原方程化為，可得當，即時，，此時方程有無窮多個解，即可求解．【詳解】解：，∴，∴，∴當，即時，，此時方程有無窮多個解，∴當時，方程有無窮多個解．故選：A【反思】本題主要考查了一元一次方程的解，熟練掌握能使方程左右兩邊同時成立的未知數的值是方程的解是解題的關鍵．——一次方程應用之銷售問題8．某商場舉辦“迎新春送大禮”的促銷活動，全場商品一律打八折銷售．小明買了一件商品，比標價少付了40元，那么他購買這件商品花了（

）A．120元 B．160元 C．200元 D．400元【分析】設商品的標價是x元，根據全場商品一律打八折，比標價少付了40元，可列方程求解．【詳解】解：設商品的標價是x元，根據題意得，，解得，．他購買這件商品花了160元．故選：B．【反思】本題考查了一元一次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解．——古代數學名著問題9．“盈不足問題”作為我國數學的古典問題，在2000多年前的《九章算術》一書中就有很詳盡而深刻的闡述．書中記載：今有人買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六．問人數、物價各幾何？意思是：有若干人一起買雞，如果每人出9文錢，就多出11文錢；如果每人出6文錢，就相差16文錢．買雞的人數、雞的價錢各是多少？若設雞的價錢是文錢，根據題意列一元一次方程正確的是（

）A． B． C． D．【分析】利用人數不變，結合“如果每人出9文錢，多出11文錢；如果每人出6文錢，還差16文錢”，即可得出關于x的一元一次方程．【詳解】解：設雞的價錢是文錢，根據題意得．故選B．【反思】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．10．《九章算術》中有這樣一個問題：“兩人走路步長相等，相同時間內，走路快的人走步，走路慢的人只走步．若走路慢的人先走步，走路快的人要走多少步才能追上？”設走路快的人要走步才能追上，根據題意可列出的方程是（

）A． B． C． D．【分析】設走路快的人要走步才能追上，則走得慢的人走了，根據兩人走的路程相同列方程即可．【詳解】解：設走路快的人要走步才能追上，則走得慢的人走了，依題意：，故選：B．【反思】本題考查列一元一次方程解決實際問題；根據假設，找到走得慢的人所走過的路程是解題的關鍵．——行程問題11．濕地公園具有濕地保護與利用、生態(tài)觀光、休閑娛樂等多種功能．某濕地公園有一塊邊長為100米的正方形濕地如圖所示，為保證游客安全，通過編程使兩只帶有攝像功能的電子螞蟻甲、乙沿著這個正方形濕地按A→B→C→D→A的路線來回巡邏，甲從A點出發(fā)，速度是20米/分鐘，同時乙從B點出發(fā)，速度是45米/分鐘，這兩只電子螞蟻第2022次相遇時，是在這個濕地的（

）A．AD邊 B．CD邊 C．AB邊 D．BC邊【分析】第一次相遇時，乙的路程減去甲的路程為300，以后每一次相遇乙的路程減去甲的路程為400米，根據題意列出方程，求得第2022次相遇用時的時間，進而根據甲的速度得出甲的路程，除以，即可求解．【詳解】解：依題意，第一次相遇時，乙的路程減去甲的路程為300，以后每一次相遇乙的路程減去甲的路程為400米，∴第2022次相遇時，乙的路程減去甲的路程為米，設第2022次相遇用時為，∴解得：.∴∴共跑了圈，每一條邊為圈所以相遇點在邊上，故選：D．【反思】本題考查了一元一次方程的應用，追及問題，理解題意是解題的關鍵．——工程問題12．年北京冬奧會以及冬殘奧會的吉祥物冰墩墩和雪容融，受到了國內外網友的熱烈歡迎，某加工廠接到緊急加工冰墩墩的任務，原計劃每天完成只，實際每天比原計劃多加工只，結果提前3天完成任務，設原計劃x天完成任務，則可列方程為（

）A． B．C． D．【分析】設原計劃x天完成任務，則實際完成時間為天，結合題意得實際每天加工只，根據總量不變列方程即可．【詳解】解：設原計劃x天完成任務，則實際完成時間為天，實際每天加工只，依題意得，故選：A．【反思】本題考查了一元一次方程的實際應用；根據題意找等量關系正確列方程是解題的關鍵．13．一項工程甲單獨做要20小時，乙單獨做要15小時．現在先由甲單獨做5小時，然后乙加入進來合做完成了整個工程．乙做了多少小時？若設乙做了小時，則所列的方程為（）A． B． C． D．【分析】設乙做了小時，則甲先做了5小時，再與乙合做了小時，根據總工作量為單位“1”，列方程即可．【詳解】解：設乙做了小時，則甲先做了5小時，再與乙合做了小時，依題意得：，故選：D．【反思】本題考查了由實際問題抽象出一元一次方程，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數，找出合適的等量關系，列方程．——方程組問題應用之雞兔同籠問題14．日本龜鶴算問題由中國雞兔同籠問題變化而來“有一群鶴和烏龜都圈在一個籠子里．從上邊數腦袋是三十五個，從下邊數腳是九十四只．問烏龜和鶴各是多少只？”設鶴和烏龜分別有、只，可以列出方程組______．【分析】設鶴和烏龜分別有、只，根據鶴和烏龜共35個且鶴和烏龜共有94只腳，即可得出關于x，y的二元一次方程組，此題得解．【詳解】解：設鶴和烏龜分別有、只，依題意，得：，故答案為：．【反思】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組以及數學常識，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．15．《九章算術》是中國傳統(tǒng)數學最重要的著作，方程術是《九章算術》最高的數學成就．《九章算術》中記載：今有牛五、羊二，直金十兩；牛二、羊五，直金八兩．問：牛、羊各直金幾何？譯文：假設有5頭牛、2只羊，值金10兩；2頭牛、5只羊，值金8兩．問每頭牛、每只羊各值金多少？若設每頭牛值金兩，每只羊值金兩，可列方程組為___________．【分析】根據“假設有5頭牛、2只羊，值金10兩；2頭牛、5只羊，值金8兩”，得到等量關系，即可列出方程組．【詳解】解：根據題意得：，故答案為：，【反思】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，解決本題的關鍵是找到題目中所存在的等量關系．——方程的解法16．解方程：(1)． (2)．【分析】（1）方程去分母，去括號，移項合并，將x系數化為1，即可求出解；（2）方程去括號，移項合并，將x系數化為1，即可求出解．【詳解】（1）解：去分母得：，去括號得：，移項合并得：，解得：；（2）解：去括號得：，移項合并得：，解得：．【反思】本題考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步驟是關鍵．17．解方程：(1) (2)【分析】（1）按照去分母，去括號，移項，合并同類項，系數化為1的步驟解方程即可；（2）按照去括號，移項，合并同類項，系數化為1的步驟解方程即可．【詳解】（1）解：去分母得：，去括號得：，移項得：，合并同類項得：，系數化為1得：；（2）解：去括號得：，移項得：，合并同類項得：，系數化為1得：．【反思】本題主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步驟是解題的關鍵．——方程組的解法18．解方程組：(1)解方程組： (2)解方程組：【分析】（1）利用代入消元法解答，即可求解；（2）先把變形為，再利用加減消元法解答，即可求解．【詳解】（1）解：將①代入②得：，解得：，將代入①得：，

所以方程組的解為．（2）解：由②得，即，，得，，得，所以方程組的解為．【反思】本題主要考查了解二元一次方程組，熟練掌握二元一次方程組的解法——加減消元法和代入消元法是解題的關鍵．19．解方程組(1) (2)．【分析】（1）方程組利用代入消元法求出解即可；（2）方程組利用加減消元法求出解即可．【詳解】（1）解：，把①代入②得：，解得：，把代入①得：，則方程組的解為；（2）解：，①②得：，解得，把代入①得：，則方程組的解為．【反思】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．——方程應用之幾何圖形問題20．如圖：用8塊相同的長方形拼成一個寬為48厘米的大長方形，每塊小長方形的長和寬分別是多少？解：設小長方形的長是x厘米，寬是y厘米，題中的兩個相等關系：(1)小長方形的長____________大長方形的寬，可列方程為：____________；(2)小長方形的長____________，可列方程為：____________．【分析】（1）觀察圖形可知，小長方形的長小長方形的一個寬大長方形的寬，即可列出方程；（2）觀察圖形可知，小長方形的長小長方形的寬，即可列出方程．【詳解】（1）解：小長方形的長小長方形的一個寬大長方形的寬；可列方程為：，故答案為：小長方形的一個寬；；（2）解：小長方形的長小長方形的寬，可列方程為：，故答案為：小長方形的寬；．【反思】本題考查了二元一次方程的應用，從圖形中找出等量關系是解題關鍵．——方程應用之工程問題21．某縣在創(chuàng)建省級衛(wèi)生文明縣城中，對縣城內的河道進行整治.現有一段長為米的河道整治任務由甲、乙兩個工程隊先后接力完成.甲工程隊每天整治8米，乙工程隊每天整治米，共用時天.(1)小明、小華兩位同學提出解題思路如下：小明同學：設整治任務完成后甲工程隊整治河道米，乙工程隊整治河道米.根據題意，得小華同學：設整治任務完成后，表示________，表示________；得請你補全小明、小華兩位同學的解題思路.(2)求甲、乙兩工程隊分別整治河道多少米？請從中任選一個方程組求解.（寫出完整的解答過程）【分析】（1）根據所列式子可知，小華同學所列方程組中未知數為：設整治任務完成后甲工程隊整治河道x米，乙工程隊整治河道y米；小華同學所列方程組中未知數為：設整治任務完成后，m表示甲工程隊整治河道用的天數，n表示乙工程隊整治河道用的天數，據此補全方程組即可；（2）選小明同學所列方程組解答即可．【詳解】（1）解：小明、小華兩位同學提出的解題思路如下：小明同學：設整治任務完成后甲工程隊整治河道x米，乙工程隊整治河道y米．根據題意得，小華同學：設整治任務完成后，m表示甲工程隊整治河道用的天數，n表示乙工程隊整治河道用時的天數；得，故答案為：，，，甲工程隊整治河道用的天數，乙工程隊整治河道用時的天數,；（2）解：選小明同學所列方程組解答如下：設整治任務完成后甲工程隊整治河道x米，乙工程隊整治河道y米．由題意得：，②整理得：③，③-①×2得：，把代入①得：，方程組的解為，答：甲工程隊整治河道120米，乙工程隊整治河道60米．【反思】本題主要考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．——方程應用之銷售問題22．為進一步提升摩托車、電動自行車騎乘人員和汽車駕乘人員安全防護水平，公安部交通管理局部署在全國開展“一盔一帶”安全守護行動．某商店銷售A，B兩種頭盔，進價和售價如表所示，請根據表格信息下列問題．名稱A種頭盔B種頭盔進價（元/個）6040售價（元/個）8050(1)該商店購進A，B兩種頭盔共100個，用去4600元錢，求A，B兩種頭盔各購進了多少個？(2)經過幾天銷售后商店發(fā)現銷量較好，于是又用5400元錢購進這兩種頭盔若干個，要想將這兩次購進的頭盔售完后所獲總利潤不低于3000元，則該商店第二次至少應購進A種頭盔多少個？【分析】（1）設第一次A種頭盔批發(fā)了x個，B種頭盔批發(fā)了y個．根據題意列出二元一次方程組，解方程組即可得出答案；（2）設第二次批發(fā)A種頭盔x個，則批發(fā)B種頭盔個．根據題意列出一元一次不等式，則可得解．（1）設A種頭盔購進個，種頭盔購進個．根據題意，得，解得，答：A種頭盔購進30個，種頭盔購進70個．（2）設第二次購進A種頭盔個，則購進種頭盔個．由題意，得，解得，答：第二次該商店至少批發(fā)70個A種頭盔．【反思】本題考查一元一次不等式的應用、二元一次方程組的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用方程組和不等式的知識解答．——基礎要夯實，切勿眼高手低根據多年的學習和教學經驗，有相當多的同學都有眼高手低的壞毛病，一看很簡單的問題，不屑一顧，這么簡單做什么，算了不做了，或者說，我都會，沒有必要做，這是大多數同學的學習通病，其實不論對于中考還是一般的考試都一樣，能不能考高分，其實并不在于那幾個難題會不會，而在于基礎的題目能不能全做好，一旦有基礎題因為自已的大意做錯了，你肯定考不好，如果基礎題做的很好，即使個別難題不會或者說做不全對，你也不會考的差，請記??！秘籍七：基礎要夯實，切勿眼高手低！一、選擇題1．解方程，以下去分母正確的是（

）A． B．C． D．2．在解方程時，第一步應先“去分母”，去分母后所得方程是（

）A． B．C． D．3．某車間有28名工人生產螺絲和螺母，每人每天生產1200個螺絲或1800個螺母，現有x個工人生產螺絲，恰好每天生產的螺母和螺絲按配套．為求x，可列方程（

）A． B．C． D．4．如圖，已知線段米，于點，米，射線于，點從點向運動，每秒走1米，點從點向運動，每秒走3米，、同時從出發(fā)，則出發(fā)秒后，在線段上有一點，使與全等，則的值為（

）A．10 B．20或10 C．6 D．6或105．方程組的解為（

）A． B． C． D．6．若關于，的方程組的解滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知x，y滿足方程組，則的值為（

）A．15 B．18 C．20 D．228．已知點，，若點M、N關于y軸對稱，則的值是（）A．0 B．1 C． D．9．《九章算術》中記載這樣一個問題：“以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺；若將繩四折測之，繩多一尺．問繩長、井深各幾何？”題意是：用繩子測量水井深度，如果將繩子折成三等份，那么每等份井外余繩四尺；如果將繩子折成四等份，那么每等份井外余繩一尺．問繩長和井深各多少尺？若設繩長、井深分別為x、y尺，則符合題意的方程組是（）A． B． C． D．10．某活動小組購買了4個籃球和5個足球，一共花費435元，其中籃球的單價比足球的單價多3元，求籃球的單價和足球的單價．設籃球的單價為元，足球的單價為元，依題意可列方程組為（

）A． B．C． D．二、填空題11．關于x、y的方程組的解滿足，則m的值為______．12．若關于x，y的方程組的解滿足，則n的值為_____．13．如果關于x的方程的解是，則___________．14．若關于x的方程與的解相同，則a的值為___________．15．對有理數a，b，規(guī)定運算☆的意義是：，則方程的解是____________；16．已知，則______．17．關于x、y的二元一次方程組，小華用加減消元法消去未知數x，按照他的思路，用得到的方程是______．三、解答題18．解下列各方程（組）(1)(2)(3)(4)19．用適當的方法解下列方程組．(1)；(2)．20．某公司組織員工去三星堆參觀，現有A，B兩種客車可以租用．已知3輛A客車和1輛B客車可以坐220人，2輛A客車和3輛B客車坐的人數一樣多．(1)請問A，B兩種客車分別可坐多少人？(2)已知該公司共有300名員工．①請問如何安排租車方案，可以使得所有人恰好坐下？②已知A客車160元一天，B客車120元一天，請問該公司租車最少花費多少錢？21．非常時期，出門切記戴口罩．當下口罩市場出現熱銷，某超市老板用元購進甲、乙兩種型號的口罩在超市俏售，銷售完后共獲利元．進價和售價如下表：型號價格甲型口罩乙型口罩進價（元/袋）售價（元/袋）(1)該超市胸購進甲、乙兩種型號口罩各多少袋？(2)該超市第二次又以原來的進價購進甲、乙兩種型號口罩共袋，此次用于購進口罩的資金不少于元，但不超過元．若兩種型號的口罩都按原來的售價全部售完．設此次購進甲種口罩袋，超市獲利元，試求關于的函數關系式，并求出的取值范圍和超市的最大利潤．22．周末，小明和爸爸沿同一條道路慢跑到紅梅公園，兩人從家中同時出發(fā)，爸爸先以125米/分鐘的速度慢跑一段時間，休息了5分鐘，再以米/分鐘的速度慢跑到紅梅公園，小明始終以同一速度慢跑，兩人慢跑的路程（米）與時間（分鐘）的關系如圖，請結合圖象，解答下列問題：(1)______，______，______；(2)若小明的速度是80米/分，求小明在途中與爸爸第二次相遇時行駛的路程．

23．滴滴快車是一種便捷的出行工具，計價規(guī)則如下表：計費項目里程費時長費遠途費單價1.8元/千米0.3元/分0.8元/千米注：車費由里程費、時長費、遠途費三部分構成，其中里程費按行車的實際里程計算；時長費按行車的實際時間計算；遠途費的收取方式為行車里程7千米以內（含7千米）不收遠途費，超過7千米的，超出部分每千米收0.8元.（1）小王與小張各自乘坐滴滴快車，在同一地點約見，已知到達約見地點，他們的實際行車里程分別為6千米與8.5千米，兩人付給滴滴快車的乘車費相同（1）求這兩輛滴滴快車的實際行車時間相差多少分鐘；（2）實際乘車時間較少的人，由于出發(fā)時間比另一人早，所以提前到達約見地點在大廳等候.已知他等候另一人的時間是他自己實際乘車時間的1.5倍，且比另一人的實際乘車時間的一半多8.5分鐘，計算兩人各自的實際乘車時間.一、選擇題1．下列方程變形正確的是（

）A．由，得B．由去括號得：C．由，得D．由，去分母得：2．已知、是二元一次方程組的解，那么的值是（

）A． B． C． D．3．已知關于，的方程組，若方程組的解中恰為整數，也為整數，則的值為（

）A． B．1 C．或3 D．或4．已知，則的值為（）A． B． C． D．5．已知一個等腰三角形的兩邊長，滿足方程組，則此等腰三角形的周長為（

）A．10 B．9 C．8 D．10或86．某商品每件標價177.5元，若按標價打8折，再降價10元銷售，仍獲利10%，則該商品每件的進價為（）A．110元 B．120元 C．132元 D．142元7．如圖，長方形E的長是寬的2倍，圖中所有陰影四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面積依次為5、23、8，則正方形D的面積為（

）A．1 B． C．2 D．68．《九章算術》是古代東方數學代表作，書中記載：“五只雀、六只燕，共重斤（等于兩），雀重燕輕．互換其中一只，恰好一樣重，問：每只雀、燕的重量各為多少？”設每只雀的重量為兩，每只燕的重量為兩，則列方程組為（

）A． B． C． D．9．將4個全等的小長方形按如圖所示的方式擺放拼成一個大長方形，且．設小長方形的寬為，長為，依題意列二元一次方程組正確的是（）A． B． C． D．10．《九章算術》中記載一題目，譯文如下，今有人合伙購物，每人出8錢，會多3錢；每人出7錢，又會差4錢，問人數、物價各是多少？設合伙人數為人，物價為錢，以下列出的方程組正確的是（

）A． B． C． D．二、填空題11．已知關于x的方程的解是，則m的值為______．12．關于x的方程是一元一次方程，則k值為________．13．在明代的《算法統(tǒng)宗》一書中將用格子的方法計算兩個數相乘稱作“鋪地錦”，如圖1，計算，將乘數記入上行，乘數記入右行，然后用乘數的每位數字乘以乘數的每位數字，將結果記入相應的格子中，最后按斜行加起來，既得．如圖，用“鋪地錦”的方法表示兩個兩位數相乘，則的a值是_______．14．《九章算術》中記載了這樣一個數學問題：今有甲發(fā)長安，五日至齊；乙發(fā)齊，七日至長安．今乙發(fā)已先二日，甲仍發(fā)長安．問幾何日相遇？譯文：甲從長安出發(fā)，5天到齊國；乙從齊國出發(fā)，7天到長安．現乙先出發(fā)2天，甲才從長安出發(fā)．問多久后甲乙相遇？若設乙出發(fā)天甲乙相遇，則可列方程為______．15．已知數軸上的點表示的數為，點表示4，為數軸上任意一點，表示的數為，若點到點的距離之和為7，則的值為____．16．如圖①，有若干片相同的拼圖，若將其沿相同方向無縫隙拼在一起，它們的底部位于同一條直線上．當分別用3片，10片拼圖拼時（如圖②，③所示），對應的長度分別為14，35（單位：cm），則圖①中的拼圖長______cm．17．將四個全等的直角三角形分別拼成正方形（如圖1，2），邊長分別為6和2．若以一個直角三角形的兩條直角邊為邊向外作正方形（如圖3），其面積分別為，．則___________．18．隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工具．某汽車銷售公司計劃購進一批新能源汽車嘗試進行銷售，已知型汽車每輛的進價為25萬元，型汽車每輛的進價為10萬元．若該公司計劃正好用200萬元購進以上兩種型號的新能源汽車（兩種型號的汽車均購買），則不同的購買方案共有種___________．三、解答題19．解方程：20．解方程組：21．解方程組：．22．某學校計劃購買、兩種型號的空調，經調研得知：購買臺型空調和臺型空調共需元，購買臺型空調和臺型空調共需元．(1)求每臺型空調和型空調各多少元；(2)若該學校準備購買、兩種型號的空調共臺，要求總費用不超過元，則至少需購進型空調多少臺？(3)在（2）的條件下，若甲、乙兩商店以同樣價格出售這兩種型號的空調，同時又各自推出不同的優(yōu)惠方案：在甲店購買型空調按原價收費，型空調不優(yōu)惠；在乙店購買型空調不優(yōu)惠，但購買型空調按原價收費，則學校到哪家商店購買空調花費少？23．通過對某校營養(yǎng)午餐的檢測，得到如下信息：每份營養(yǎng)午餐的總質量400g；午餐的成分為蛋白質、碳水化合物、脂肪和礦物質，其中碳水化合物和礦物質占45%，礦物質的含量是脂肪含量的1.5倍，蛋白質和碳水化合物含量占80%．(1)設其中蛋白質含量是，脂肪含量是，請用含x或y的代數式分別表示碳水化合物和礦物質的質量．(2)求每份營養(yǎng)午餐中蛋白質、碳水化合物、脂肪和礦物質的質量．24．隨著新冠疫情的出現，口罩成為日常生活的必需品，某醫(yī)藥公司每月生產甲、乙兩種型號的防疫口罩共萬只，且所有口罩當月全部賣出，其中成本、售價如表所示：甲乙成本元/只元/只售價元/只元/只(1)若該公司三月份的利潤為萬元，求生產甲、乙兩種型號的防疫口罩分別是多少萬只？(2)養(yǎng)正學校到該公司購買乙型口罩，有如下兩種方案，方案一：乙型口罩一律打折；方案二：購買元會員卡后，乙型口罩一律打折，請幫養(yǎng)正學校設計出合適的購買方案．中考數學一輪復習資料五合一《核心考點+重點題型+高分秘籍+題組特訓+過關檢測》(全國通用版)第8講 一次方程的解法及應用題組特訓詳解選擇題1．解方程，以下去分母正確的是（

）A． B．C． D．【詳解】解：，去分母，得，故選：D．2．在解方程時，第一步應先“去分母”，去分母后所得方程是（

）A． B．C． D．【詳解】方程兩邊同乘以，可得：．故選：A3．某車間有28名工人生產螺絲和螺母，每人每天生產1200個螺絲或1800個螺母，現有x個工人生產螺絲，恰好每天生產的螺母和螺絲按配套．為求x，可列方程（

）A． B．C． D．【詳解】解：設x名工人生產螺絲，則生產螺母的工人為名．每天生產螺絲個，生產螺母；根據“恰好每天生產的螺母和螺絲按配套”，得出方程：．故選：B．4．如圖，已知線段米，于點，米，射線于，點從點向運動，每秒走1米，點從點向運動，每秒走3米，、同時從出發(fā)，則出發(fā)秒后，在線段上有一點，使與全等，則的值為（

）A．10 B．20或10 C．6 D．6或10【詳解】解：當時，，即，解得：；當時，，此時，（不合題意，舍去），綜上所述：．故選：A．5．方程組的解為（

）A． B． C． D．【詳解】解：，由②得：，由得：，解得：．將代入①得：，解得：．故原方程組的解為．故選B．6．若關于，的方程組的解滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【詳解】解：將兩個不等式相加可得，則，∵，∴，解得，故選：A．7．已知x，y滿足方程組，則的值為（

）A．15 B．18 C．20 D．22【詳解】解：，，得，即，故選A．8．已知點，，若點M、N關于y軸對稱，則的值是（）A．0 B．1 C． D．【詳解】解：∵點，關于y軸對稱，∴，解得：，∴，故選：B．9．《九章算術》中記載這樣一個問題：“以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺；若將繩四折測之，繩多一尺．問繩長、井深各幾何？”題意是：用繩子測量水井深度，如果將繩子折成三等份，那么每等份井外余繩四尺；如果將繩子折成四等份，那么每等份井外余繩一尺．問繩長和井深各多少尺？若設繩長、井深分別為x、y尺，則符合題意的方程組是（）A． B． C． D．【詳解】解：若設繩長、井深分別為x、y尺，則符合題意的方程組是，故選：C．10．某活動小組購買了4個籃球和5個足球，一共花費435元，其中籃球的單價比足球的單價多3元，求籃球的單價和足球的單價．設籃球的單價為元，足球的單價為元，依題意可列方程組為（

）A． B．C． D．【詳解】解：設籃球的單價為元，足球的單價為元，由題意得：，故選：D．二、填空題11．關于x、y的方程組的解滿足，則m的值為______．【詳解】，，得：③得：解得，將代入①得：解得，將代入得，解得，．故答案為：5．12．若關于x，y的方程組的解滿足，則n的值為_____．【詳解】解：，①+②得：．又∵，∴，解得：，∴n的值為．故答案為：．13．如果關于x的方程的解是，則___________．【詳解】解：把代入方程得：，解得：．故答案為：．14．若關于x的方程與的解相同，則a的值為___________．【詳解】解：解得：，∵關于x的方程與的解相同，將，代入，得，解得：，故答案為：．15．對有理數a，b，規(guī)定運算☆的意義是：，則方程的解是____________；【詳解】解：已知等式利用題中的新定義化簡得：，移項合并得：，解得：，故答案為：．16．已知，則______．【詳解】解：∵，，∴，解得：，∴．17．關于x、y的二元一次方程組，小華用加減消元法消去未知數x，按照他的思路，用得到的方程是______．【詳解】解：解二元一次方程組時，小華用加減消元法消去未知數x，按照他的思路，用得到的方程是：，故答案為：．三、解答題18．解下列各方程（組）(1) (2)(3) (4)【詳解】（1）解：，移項，得，合并同類項，得，系數化為1，得；（2）解：，去分母，得，去括號，得，移項，得，合并同類項，得，系數化為1，得；（3）解：，由①，得③，把③代入②，得，解得，把代入③，得，故原方程組的解為；（4）解：原方程組整理，得，②，得③，③①，得，解得，把代入②，得，故原方程組的解為．19．用適當的方法解下列方程組．(1)；(2)．【詳解】（1）將①代入②，，解得，，把代入①得，，∴原方程組的解為．（2），，得，，解得，．將代入①：解得，，∴原方程組的解為．20．某公司組織員工去三星堆參觀，現有A，B兩種客車可以租用．已知3輛A客車和1輛B客車可以坐220人，2輛A客車和3輛B客車坐的人數一樣多．(1)請問A，B兩種客車分別可坐多少人？(2)已知該公司共有300名員工．①請問如何安排租車方案，可以使得所有人恰好坐下？②已知A客車160元一天，B客車120元一天，請問該公司租車最少花費多少錢？【詳解】（1）設A、B分別坐a、b人．，解得，∴A、B兩種客車分別坐60，40人．（2）①設租用A客車x輛，則B需：輛花費：．∵x為正整數且為正整數，∴，3，5．②當時，元．答：租車最少花費800元．21．非常時期，出門切記戴口罩．當下口罩市場出現熱銷，某超市老板用元購進甲、乙兩種型號的口罩在超市俏售，銷售完后共獲利元．進價和售價如下表：型號價格甲型口罩乙型口罩進價（元/袋）售價（元/袋）(1)該超市胸購進甲、乙兩種型號口罩各多少袋？(2)該超市第二次又以原來的進價購進甲、乙兩種型號口罩共袋，此次用于購進口罩的資金不少于元，但不超過元．若兩種型號的口罩都按原來的售價全部售完．設此次購進甲種口罩袋，超市獲利元，試求關于的函數關系式，并求出的取值范圍和超市的最大利潤．【詳解】（1）解：根據題意，設甲型號口罩有袋，乙型號口罩有袋，用元購進，獲利元，∴，解方程組得，，∴甲型號口罩有袋，乙型號口罩有袋．（2）解：以原來的進價購進甲、乙兩種型號口罩共袋，甲種口罩袋，∴乙型口罩為袋，∵用于購進口罩的資金不少于元，但不超過元，∴，解不等式得，，∵獲利元，∴，整理得，，∵一次函數中，，∴函數值隨自變量的增大而增大，且自變量的取值范圍為，∴當時，利潤最大，最大值為（元），∴關于的函數關系式為，且自變量的取值范圍為，當時，有最大利潤，最大利潤為元．22．周末，小明和爸爸沿同一條道路慢跑到紅梅公園，兩人從家中同時出發(fā)，爸爸先以125米/分鐘的速度慢跑一段時間，休息了5分鐘，再以米/分鐘的速度慢跑到紅梅公園，小明始終以同一速度慢跑，兩人慢跑的路程（米）與時間（分鐘）的關系如圖，請結合圖象，解答下列問題：(1)______，______，______；(2)若小明的速度是80米/分，求小明在途中與爸爸第二次相遇時行駛的路程．【詳解】（1）解：根據題意得：（分鐘），（分鐘），（米/分鐘），故答案為：8；13；100；（2）解：根據題意可得：小明從家到公園的時間為：（分鐘），則點的坐標為，設直線的解析式為：，把代入得，，解得：，所以直線的解析式為：，設直線的解析式為：，把代入得，，解得：，所以直線的解析式為：，由解得，所以小明在途中與爸爸第二次相遇時行駛的路程是1200米，故答案為：1200米．23．滴滴快車是一種便捷的出行工具，計價規(guī)則如下表：計費項目里程費時長費遠途費單價1.8元/千米0.3元/分0.8元/千米注：車費由里程費、時長費、遠途費三部分構成，其中里程費按行車的實際里程計算；時長費按行車的實際時間計算；遠途費的收取方式為行車里程7千米以內（含7千米）不收遠途費，超過7千米的，超出部分每千米收0.8元.（1）小王與小張各自乘坐滴滴快車，在同一地點約見，已知到達約見地點，他們的實際行車里程分別為6千米與8.5千米，兩人付給滴滴快車的乘車費相同（1）求這兩輛滴滴快車的實際行車時間相差多少分鐘；（2）實際乘車時間較少的人，由于出發(fā)時間比另一人早，所以提前到達約見地點在大廳等候.已知他等候另一人的時間是他自己實際乘車時間的1.5倍，且比另一人的實際乘車時間的一半多8.5分鐘，計算兩人各自的實際乘車時間.【詳解】（1）設小王乘坐的滴滴快車的實際行車時間為x分鐘，小張乘坐的滴滴快車的實際行車時間為y分鐘，由題意，得：，，，.答：這兩輛滴滴快車的實際行車時間相差19分鐘.（2）由（1）及題意，得，化簡得得，解得.③將③代入①，得.答：小王的實際乘車時間為37分鐘，小張的實際乘車時間為18分鐘.過關檢測詳細解析一．選擇題1．在解方程時，去分母正確的是（

）A． B．C． D．【詳解】解：，去分母，方程兩邊同時乘以6得：，故選：C．2．解方程時，下列去分母變形正確的是（）A． B．C． D．【詳解】解：，等式兩邊同時乘以6得，，故選C．3．解方程去分母不小心，變?yōu)椋玫浇鉃椋匠陶_的解應為（

）A． B． C． D．【詳解】解：∵，得到解為．∴，解得：，∴原方程為，去分母得：移項得：合并同類項得：化系數為1：，故選：C．4．若一元一次方程有無數個解，則的值為（

）A． B． C． D．1【詳解】解：整理得：方程有無數個解，，，解得：，，．故選A5．若方程和有相同的解，則（）A．0 B． C．1 D．2【詳解】解：解方程，得，把代入方程，得，解得，．故選：D．6．某服裝電商銷售某新款羽絨服，標價為元，若按標價的七折銷售，仍可獲利元，設這款羽絨服的進價為元，根據題意可列方程為（）A． B．C． D．【詳解】解：∵標價為元，若按標價的七折銷售,∴羽絨服的售價為：，∴設這款羽絨服的進價為x元，∴根據題意可得方程：，故選．7．元代朱世杰所著《算學啟蒙》里有這樣一道題：“良馬日行兩百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日問良馬幾何追及？”大意如下：“跑得快的馬每天走240里，跑得慢的馬每天走150里，慢馬先走12天，快馬幾天可以追上慢馬？”若設快馬x天可追上慢馬，則由題意，可列方程（

）A． B．C． D．【詳解】解：設快馬x天可以追上慢馬，由題意，得，故選：C．8．小明從家里騎自行車到學校，如果每小時騎，可按時到達；如果每小時騎，就會遲到5分鐘，問小明家到學校的路程是多少？設小明家到學校的路程是，則據題意列出的方程是（）A． B． C． D．【詳解】設小明家到學校的路程是，則據題意列出的方程是，故選：A．9．有A，B兩種規(guī)格的長方形紙板，如圖1，無重合無縫隙的拼成如圖2所示的正方形，已知該正方形的周長為，A種長方形的寬為，則B種長方形的面積是（）A． B． C． D．【詳解】解：解：設B長方形的寬是，則B長方形的寬長是，大正方形的邊長為，依題意得：解得則B長方形的長是，則B種長方形的面積是故選：C．10．幻方是古老的數學問題，我國古代的《洛書》中記載了最早的幻方——九宮格，將9個數填入幻方的空格中，要求每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數之和相等，如圖是一個未完成的幻方，則的值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【詳解】解：∵每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數之和相等，都是，完善九宮格如下：∴，解得：，故選：C．11．二元一次方程組的解是（

）A． B． C． D．【詳解】解：得：，解得，把代入①得：，解得，∴方程組的解為，故選D．12．利用加減消元法解方程組，下列做法正確的是（

）A．要消去x，可以將B．要消去y，可以將C．要消去x，可以將D．要消去y，可以將【詳解】解：利用加減消元法解方程組，要消元x，則或；要消去y，則，故選：C．13．兩位同學在解關于x、y的方程組時甲看錯①中的a，解得，乙看錯②中的b，解得，那么a和b的正確值應是（）A． B． C． D．【詳解】解：∵兩位同學在解關于x、y的方程組時甲看錯①中的a，解得，乙看錯②中的b，解得，∴把代入②，得，解得：，把代入①，得，解得：，∴，故選：C．14．如圖，大長方形中無重疊地放置9個形狀、大小都相同的小長方形，已知大長方形的長與寬的差為2，小長方形的周長為14，則圖中空白部分的面積為（

）A．143 B．99 C．44 D．53【詳解】解：設小長方形的長為x，寬為y，觀察圖形可得：，解得：，小長方形的面積為，大長方形的面積為空白部分面積為，故選：D．15．甲乙兩輛小車同時從A地開出，甲車比乙車每小時快，結果甲車行駛了40分鐘到達了地，而乙車比甲車晚5分鐘到達地，設甲車和乙車的速度分別為，，則下列方程組正確的是（

）A． B． C． D．【詳解】解：設甲車和乙車的速度分別為，，根據甲車比乙車每小時快，得，根據甲車行駛了40分鐘到達了地，而乙車比甲車晚5分鐘到達地，得，故選：B．16．新世紀商場現銷售某品牌運動套裝，上衣和褲子一套售價元．若將上衣價格下調，將褲子價格上調，則這樣一套運動套裝的售價提高．設上衣和褲子在調價前單價分別為x和y元，則可列方程組為（

）A． B．C． D．【詳解】解：設上衣和褲子在調價前單價分別為和元，根據題意可列方程組為，故選：C．二、填空題17．北京時間11月21日0時，2022國際足聯卡塔爾世界杯迎來揭幕戰(zhàn)吸引了億萬球迷的觀看．同學們知道嗎？如圖，此足球是由32塊黑（正五邊形）白（正六邊形）皮子縫制而成，其中黑色皮子共有_______塊．【詳解】解：設足球上黑皮有x塊，則白皮為塊，∴五邊形的邊數共有條，六邊形邊數有條．由圖形關系得：每個正六邊形白皮的周圍有3個黑皮邊，∴白皮的邊數為黑皮的2倍，∴解得：，答：白皮20塊，黑皮12塊．故答案為：1218．若關于的方程的解是，則的值為___________．【詳解】把代入得解得故答案為：6．19．若是關于的方程的解，則___________．【詳解】解：將代入中，得：，解得：，故答案為：．20．若關于，的二元一次方程組的解也是二元一次方程的解，則的值為______．【詳解】解：∵，∴，∵關于，的二元一次方程組的解也是二元一次方程的解，∴把代入①②得：，整理得：，得，解得，故答案為：．21．已知方程組的解為則的值為______．【詳解】解：把代入得：，得：，∴，故答案為：8．22．已知方程組的解滿足，則k的值為_____．【詳解】解：，得：，即，∵方程組的解滿足，∴，解得：，故答案為：2．2