高考數(shù)學的平面向量多選題專項訓練含答案

高考數(shù)學的平面向量多選題專項訓練含答案一、平面向量多選題1．下列說法中錯誤的為（）A．已知，，且與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍是B．向量，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底C．若，則在方向上的投影為D．非零向量和滿足，則與的夾角為60°答案：ACD【分析】由向量的數(shù)量積?向量的投影?基本定理與向量的夾角等基本知識，逐個判斷即可求解.【詳解】對于A，∵，，與的夾角為銳角，∴，且(時與的夾角為0)，所以且，故A錯誤；對于B解析：ACD【分析】由向量的數(shù)量積?向量的投影?基本定理與向量的夾角等基本知識，逐個判斷即可求解.【詳解】對于A，∵，，與的夾角為銳角，∴，且(時與的夾角為0)，所以且，故A錯誤；對于B，向量，即共線，故不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底，B正確；對于C，若，則在方向上的正射影的數(shù)量為，故C錯誤；對于D，因為，兩邊平方得，則，，故，而向量的夾角范圍為，得與的夾角為30°，故D項錯誤.故錯誤的選項為ACD故選：ACD【點睛】本題考查平面向量基本定理及向量的數(shù)量積，向量的夾角等知識，對知識廣度及準確度要求比較高，中檔題.2．若，，是任意的非零向量，則下列敘述正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，，則D．若，則答案：ACD【分析】根據(jù)平面向量的定義、數(shù)量積定義、共線向量定義進行判斷．【詳解】對應，若，則向量長度相等，方向相同，故，故正確；對于，當且時，，但，可以不相等，故錯誤；對應，若，，則方向相同解析：ACD【分析】根據(jù)平面向量的定義、數(shù)量積定義、共線向量定義進行判斷．【詳解】對應，若，則向量長度相等，方向相同，故，故正確；對于，當且時，，但，可以不相等，故錯誤；對應，若，，則方向相同或相反，方向相同或相反，故的方向相同或相反，故，故正確；對應，若，則，，，故正確．故選：【點睛】本題考查平面向量的有關定義，性質(zhì)，數(shù)量積與向量間的關系，屬于中檔題．3．下列說法中正確的是（）A．對于向量，有B．向量，能作為所在平面內(nèi)的一組基底C．設，為非零向量，則“存在負數(shù)，使得”是“”的充分而不必要條件D．在中，設是邊上一點，且滿足，，則答案：BCD【分析】．向量數(shù)量積不滿足結合律進行判斷．判斷兩個向量是否共線即可．結合向量數(shù)量積與夾角關系進行判斷．根據(jù)向量線性運算進行判斷【詳解】解：．向量數(shù)量積不滿足結合律，故錯誤，．，解析：BCD【分析】．向量數(shù)量積不滿足結合律進行判斷．判斷兩個向量是否共線即可．結合向量數(shù)量積與夾角關系進行判斷．根據(jù)向量線性運算進行判斷【詳解】解：．向量數(shù)量積不滿足結合律，故錯誤，．，向量，不共線，能作為所在平面內(nèi)的一組基底，故正確，．存在負數(shù)，使得，則與反向共線，夾角為，此時成立，當成立時，則與夾角滿足，則與不一定反向共線，即“存在負數(shù)，使得”是“”的充分而不必要條件成立，故正確，．由得，則，，則，故正確故正確的是，故選：．【點睛】本題主要考查向量的有關概念和運算，結合向量數(shù)量積，以及向量運算性質(zhì)是解決本題的關鍵，屬于中檔題．4．已知向量(2，1)，(1，﹣1)，(m﹣2，﹣n)，其中m，n均為正數(shù)，且()∥，下列說法正確的是（）A．a(chǎn)與b的夾角為鈍角B．向量a在b方向上的投影為C．2m+n=4D．mn的最大值為2答案：CD【分析】對于A，利用平面向量的數(shù)量積運算判斷；對于B，利用平面向量的投影定義判斷；對于C，利用()∥判斷；對于D，利用C的結論，2m+n=4，結合基本不等式判斷.【詳解】對于A，向量(解析：CD【分析】對于A，利用平面向量的數(shù)量積運算判斷；對于B，利用平面向量的投影定義判斷；對于C，利用()∥判斷；對于D，利用C的結論，2m+n=4，結合基本不等式判斷.【詳解】對于A，向量(2，1)，(1，﹣1)，則，則的夾角為銳角，錯誤；對于B，向量(2，1)，(1，﹣1)，則向量在方向上的投影為，錯誤；對于C，向量(2，1)，(1，﹣1)，則(1，2)，若()∥，則(﹣n)=2(m﹣2)，變形可得2m+n=4，正確；對于D，由C的結論，2m+n=4，而m，n均為正數(shù)，則有mn(2m?n)()2=2，即mn的最大值為2，正確；故選：CD.【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運算以及基本不等式的應用，屬于基礎題.5．下列結論正確的是（）A．已知是非零向量，，若，則⊥（）B．向量，滿足||＝1，||＝2，與的夾角為60°，則在上的投影向量為C．點P在△ABC所在的平面內(nèi)，滿足，則點P是△ABC的外心D．以（1，1），（2，3），（5，﹣1），（6，1）為頂點的四邊形是一個矩形答案：ABD【分析】利用平面向量的數(shù)量積運算，結合向量的線性運算，對每個選項進行逐一分析，即可容易判斷選擇.【詳解】對：因為，又，故可得，故，故選項正確；對：因為||＝1，||＝2，與的夾角為解析：ABD【分析】利用平面向量的數(shù)量積運算，結合向量的線性運算，對每個選項進行逐一分析，即可容易判斷選擇.【詳解】對：因為，又，故可得，故，故選項正確；對：因為||＝1，||＝2，與的夾角為60°，故可得.故在上的投影向量為，故選項正確；對：點P在△ABC所在的平面內(nèi)，滿足，則點為三角形的重心，故選項錯誤；對：不妨設，則，故四邊形是平行四邊形；又，則，故四邊形是矩形.故選項正確；綜上所述，正確的有：.故選：.【點睛】本題考查向量數(shù)量積的運算，向量的坐標運算，向量垂直的轉(zhuǎn)化，屬綜合中檔題.6．在△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，b＝15，c＝16，B＝60°，則a邊為（）A．8+ B．8C．8﹣ D．答案：AC【分析】利用余弦定理：即可求解.【詳解】在△ABC中，b＝15，c＝16，B＝60°，由余弦定理：，即，解得.故選：AC【點睛】本題考查了余弦定理解三角形，需熟記定理，考查了基解析：AC【分析】利用余弦定理：即可求解.【詳解】在△ABC中，b＝15，c＝16，B＝60°，由余弦定理：，即，解得.故選：AC【點睛】本題考查了余弦定理解三角形，需熟記定理，考查了基本運算，屬于基礎題.7．下列各式中，結果為零向量的是（）A． B．C． D．答案：BD【分析】根據(jù)向量的加法和減法運算，對四個選項逐一計算，即可得正確答案.【詳解】對于選項：，選項不正確；對于選項：，選項正確；對于選項：，選項不正確；對于選項：選項正確.故選：解析：BD【分析】根據(jù)向量的加法和減法運算，對四個選項逐一計算，即可得正確答案.【詳解】對于選項：，選項不正確；對于選項：，選項正確；對于選項：，選項不正確；對于選項：選項正確.故選：BD【點睛】本題主要考查了向量的線性運算，屬于基礎題.8．下列各組向量中，不能作為基底的是（）A．， B．，C．， D．，答案：ACD【分析】依次判斷各選項中的兩向量是否共線即可.【詳解】A，C，D中向量與共線，不能作為基底；B中，不共線，所以可作為一組基底．【點睛】本題主要考查平面向量的基本定理及基底的定義，屬解析：ACD【分析】依次判斷各選項中的兩向量是否共線即可.【詳解】A，C，D中向量與共線，不能作為基底；B中，不共線，所以可作為一組基底．【點睛】本題主要考查平面向量的基本定理及基底的定義，屬于基礎題.9．已知、是任意兩個向量，下列條件能判定向量與平行的是（）A． B．C．與的方向相反 D．與都是單位向量答案：AC【分析】根據(jù)共線向量的定義判斷即可.【詳解】對于A選項，若，則與平行，A選項合乎題意；對于B選項，若，但與的方向不確定，則與不一定平行，B選項不合乎題意；對于C選項，若與的方向相反，解析：AC【分析】根據(jù)共線向量的定義判斷即可.【詳解】對于A選項，若，則與平行，A選項合乎題意；對于B選項，若，但與的方向不確定，則與不一定平行，B選項不合乎題意；對于C選項，若與的方向相反，則與平行，C選項合乎題意；對于D選項，與都是單位向量，這兩個向量長度相等，但方向不確定，則與不一定平行，D選項不合乎題意.故選：AC.【點睛】本題考查向量共線的判斷，考查共線向量定義的應用，屬于基礎題.10．設、、是任意的非零向量，則下列結論不正確的是（）A． B．C． D．答案：AB【分析】利用平面向量數(shù)量積的定義和運算律可判斷各選項的正誤.【詳解】對于A選項，，A選項錯誤；對于B選項，表示與共線的向量，表示與共線的向量，但與不一定共線，B選項錯誤；對于C選項，解析：AB【分析】利用平面向量數(shù)量積的定義和運算律可判斷各選項的正誤.【詳解】對于A選項，，A選項錯誤；對于B選項，表示與共線的向量，表示與共線的向量，但與不一定共線，B選項錯誤；對于C選項，，C選項正確；對于D選項，，D選項正確.故選：AB.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的應用，考查平面向量數(shù)量積的定義與運算律，考查計算能力與推理能力，屬于基礎題.11．在中，設，，，，則下列等式中成立的是（）A． B． C． D．答案：ABD【分析】根據(jù)平行四邊形及向量的加法法則即可判斷.【詳解】由向量加法的平行四邊形法則，知成立，故也成立；由向量加法的三角形法則，知成立，不成立.故選：ABD【點睛】本題主要考查解析：ABD【分析】根據(jù)平行四邊形及向量的加法法則即可判斷.【詳解】由向量加法的平行四邊形法則，知成立，故也成立；由向量加法的三角形法則，知成立，不成立.故選：ABD【點睛】本題主要考查了向量加法的運算，數(shù)形結合，屬于容易題.12．已知正三角形的邊長為2，設，，則下列結論正確的是（）A． B． C． D．答案：CD【分析】分析知，，與的夾角是，進而對四個選項逐個分析，可選出答案.【詳解】分析知，，與的夾角是.由，故B錯誤，D正確；由，所以，故A錯誤；由，所以，故C正確.故選：CD【點睛】解析：CD【分析】分析知，，與的夾角是，進而對四個選項逐個分析，可選出答案.【詳解】分析知，，與的夾角是.由，故B錯誤，D正確；由，所以，故A錯誤；由，所以，故C正確.故選：CD【點睛】本題考查正三角形的性質(zhì)，考查平面向量的數(shù)量積公式的應用，考查學生的計算求解能力，屬于中檔題.13．對于，有如下判斷，其中正確的判斷是（）A．若，則為等腰三角形B．若，則C．若，，，則符合條件的有兩個D．若，則是鈍角三角形答案：BD【分析】對于A，根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式進行判斷；對于B，根據(jù)正弦定理即可判斷證明；對于C，利用余弦定理即可得解；對于D，根據(jù)正弦定理去判斷即可．【詳解】在中，對于A，若，則或，當A＝解析：BD【分析】對于A，根據(jù)三角函數(shù)的倍角公式進行判斷；對于B，根據(jù)正弦定理即可判斷證明；對于C，利用余弦定理即可得解；對于D，根據(jù)正弦定理去判斷即可．【詳解】在中，對于A，若，則或，當A＝B時，△ABC為等腰三角形；當時，△ABC為直角三角形，故A不正確，對于B，若，則，由正弦定理得，即成立．故B正確；對于C，由余弦定理可得：b＝＝，只有一解，故C錯誤；對于D，若，由正弦定理得，∴，∴C為鈍角，∴是鈍角三角形，故D正確；綜上，正確的判斷為選項B和D．故選：BD．【點睛】本題只有考查了正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)的二倍角公式在解三角形中的綜合應用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．14．某人在A處向正東方向走后到達B處,他向右轉(zhuǎn)150°,然后朝新方向走3km到達C處,結果他離出發(fā)點恰好,那么x的值為()A． B． C． D．3答案：AB【分析】由余弦定理得，化簡即得解.【詳解】由題意得,由余弦定理得,解得或.故選：AB.【點睛】本題主要考查余弦定理的實際應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.解析：AB【分析】由余弦定理得，化簡即得解.【詳解】由題意得,由余弦定理得,解得或.故選：AB.【點睛】本題主要考查余弦定理的實際應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.15．題目文件丟失！二、平面向量及其應用選擇題16．如圖所示，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15°，向山頂前進50m到達B處，又測得C對于山坡的斜度為45°，若CD＝50m，山坡對于地平面的坡度為θ，則cosθ等于（）A． B． C． D．解析：C【分析】易求，在中，由正弦定理可求，在中，由正弦定理可求，再由可得答案．【詳解】，，在中，由正弦定理，得，即，解得，在中，由正弦定理，得，即，，即，，故選：C．【點睛】該題考查正弦定理在實際問題中的應用，由實際問題恰當構建數(shù)學模型是解題關鍵．17．在△ABC中，點D在線段BC的延長線上，且，點在線段上(與點，不重合)，若，則的取值范圍是（）A． B．C． D．解析：D【分析】設，則，根據(jù)得出的范圍，再結合得到的關系，從而得出的取值范圍.【詳解】設，則,因為，點在線段上(與點C，D不重合)，所以，又因為，所以，所以.故選：D【點睛】本題考查平面向量基本定理及向量的線性運算，考查利用向量關系式求參數(shù)的取值范圍問題，難度一般.18．已知平面向量，，滿足，，則的最大值為（）A． B．2 C． D．4解析：C【分析】不妨設，，，，則求的最大值，即求的最大值，然后將問題轉(zhuǎn)化為關于的方程有解的問題，最后求出的最值即可.【詳解】根據(jù)題意，不妨設，，，，則，所以求的最大值，即求的最大值，由可得，即，因為關于的方程有解，所以，令，則，所以，令，則，當時，，所以，所以，所以的最大值為，故選：C.【點睛】思路點睛：該題考查了平面向量的數(shù)量積的問題，解題思路如下：（1）先根據(jù)題意，設出向量的坐標；（2）根據(jù)向量數(shù)量積的運算律，將其展開；（3）利用向量數(shù)量積的坐標公式求得等量關系式；（4）利用方程有解，判別式大于等于零，得到不等關系式，利用換元法求得其最值，在解題的過程中，關鍵點是注意轉(zhuǎn)化思想的應用，屬于難題.19．奔馳定理：已知是內(nèi)的一點，，，的面積分別為，，，則．“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”若是銳角內(nèi)的一點，，，是的三個內(nèi)角，且點滿足，則必有（）A．B．C．D．解析：C【分析】利用已知條件得到為垂心，再根據(jù)四邊形內(nèi)角為及對頂角相等，得到，再根據(jù)數(shù)量積的定義、投影的定義、比例關系得到，進而求出的值，最后再結合“奔馳定理”得到答案.【詳解】如圖，因為，所以，同理，，所以為的垂心。因為四邊形的對角互補，所以，．同理，，，．，．又．由奔馳定理得.故選C．【點睛】本題考查平面向量新定義，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解過程中要注意連比式子的變形運用，屬于難題.20．已知的內(nèi)角、、滿足，面積滿足，記、、分別為、、所對的邊，則下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．解析：A【分析】由條件化簡得出，設的外接圓半徑為，根據(jù)求得的范圍，然后利用不等式的性質(zhì)判斷即可.【詳解】的內(nèi)角、、滿足，即，即，即，即，即，，設的外接圓半徑為，則，，，，C、D選項不一定正確；對于A選項，由于，，A選項正確；對于B選項，，即成立，但不一定成立.故選：A.【點睛】本題考查了利用三角恒等變換思想化簡、正弦定理、三角形的面積計算公式、不等式的基本性質(zhì)等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．21．三角形的三邊分別是，若，，且，則有如下四個結論：①②的面積為③的周長為④外接圓半徑這四個結論中一定成立的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解析：C【分析】由正弦定理可得三角形的外接圓的半徑；由三角函數(shù)的恒等變換化簡或，即；分別討論，結合余弦定理和三角形面積公式，計算可得所求值，從而可得結論．【詳解】，，可得，可得外接圓半徑，④正確；，即為，即有，則，即或，即；若，，，可得，①可能成立；由可得，，則三角形的周長為；面積為；則②③成立；若，由，可得，，則三角形的周長為；面積為；則②③成立①不成立；綜上可得②③④一定成立,故選C．【點睛】本題考查三角形的正弦定理、余弦定理和面積公式，考查三角函數(shù)的恒等變換，屬于中檔題．以三角形為載體，三角恒等變換為手段，正弦定理、余弦定理為工具，對三角函數(shù)及解三角形進行考查是近幾年高考考查的一類熱點問題，一般難度不大，但綜合性較強.解答這類問題，兩角和與差的正余弦公式、誘導公式以及二倍角公式，一定要熟練掌握并靈活應用，特別是二倍角公式的各種變化形式要熟記于心.22．中，，則一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形解析：D【分析】由已知，利用正弦定理及同角的三角函數(shù)的基本關系對式子進行化簡，然后結合三角函數(shù)的性質(zhì)再進行化簡即可判斷．【詳解】∵，由正弦定理可得，，∵，∴，∴即，∵，∴或，∴或，即三角形為等腰或直角三角形，故選D．【點睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關系及正弦定理的應用，利用正弦定理進行代數(shù)式變形是解題的關鍵和難點．23．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且，則P點的坐標為()A．(－8,1) B．C． D．(8，－1)解析：B【分析】由向量相等的坐標表示，列方程組求解即可.【詳解】解：設P(x，y)，則＝(x－3，y＋2)，而＝(－8,1)＝，所以，解得，即，故選B.【點睛】本題考查了平面向量的坐標運算，屬基礎題.24．已知圓的方程為，點在直線上，線段為圓的直徑，則的最小值為（）A．2 B． C．3 D．解析：B【分析】將轉(zhuǎn)化為，利用圓心到直線的距離求得的取值范圍求得的最小值.【詳解】.故選B.【點睛】本小題主要考查向量的線性運算，考查點到直線距離公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.25．在中，，，且，，則點P的軌跡一定通過的（）A．重心 B．內(nèi)心 C．外心 D．垂心解析：A【分析】設，則，再利用平行四邊形法則可知，P在中線上，即可得答案；【詳解】如圖，，∴，，由平行四邊形法則可知，P在中線上，P的軌跡一定通過的重心.故選：A.【點睛】本題考查三角形重心與向量形式的關系，考查數(shù)形結合思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意向量加法幾何意義的運用.26．已知在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，若的面積為，且，則（）A． B． C． D．解析：A【分析】由三角形面積公式和余弦定理可得的等式，利用二倍角公式求得，從而求得．【詳解】∵，即，∴，又，∴，即，則，∴，故選：A．【點睛】本題考查三角形面積公式，余弦定理，考查二倍角公式，同角間的三角函數(shù)關系，掌握相應的公式即可求解．屬于中檔題，考查了學生的運算求解能力．27．若△ABC中，，則此三角形的形狀是（）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形解析：A【分析】已知等式左邊第一項利用誘導公式化簡，根據(jù)不為0得到，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡.【