專題11 導數在不等式.恒等式和零點問題綜合應用（解析版）

答案第=page22頁，共=sectionpages33頁專題11導數在不等式.恒等式和零點問題綜合應用【練基礎】一、單選題1．（2023·陜西咸陽·?？寄M預測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用，可判斷，再利用，即可得到答案.【詳解】，則，故函數在單調遞減，單調遞增，則則，即由，∴，故同理可證又，∴，則故選：C.2．（2023·江西·校聯(lián)考一模）已知關于的不等式對任意恒成立，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】討論的取值范圍，利用函數圖象，結合導數求出，構造函數，利用導數求出函數的最值，進而得解．【詳解】解：關于的不等式對任意恒成立，設，，若，對任意恒成立，則，對任意恒成立，當時，在同一坐標系中作出函數，的圖象，顯然，由圖可知，對任意不恒成立；當時，在同一坐標系中作出函數，的圖象，顯然，由圖可知，對任意不恒成立；當時，在同一坐標系中作出函數，的圖象，由圖可知，臨界條件是直線與曲線的圖象相切時，由，求導，設，解得，且，當的切線斜率為2時，切點坐標為，故，所以，即，所以，令，求導，令，得，即，當，函數單調遞增，當，函數單調遞減，所以當，函數取到最大值，且.故的最大值為．故選：D．【點睛】本題考查了函數的恒成立問題與導數的關系，屬于難題．解決本問題的關鍵為討論的取值范圍，利用函數圖象，當時，不等式恒成立轉化為切線問題，設切點坐標，根據導數的幾何意義可得，構造函數，利用導數求出函數的最值，進而得解．3．（2022秋·甘肅武威·高三?？茧A段練習）函數的圖像大致是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】運用函數的零點，極值點，單調性即可解決.【詳解】解：由得或，故BD錯；又，所以，當或時，；當時，，所以在和上單調遞增，在上單調遞減，所以，在處取得極大值，在處取得極小值，故A錯.故選：C4．（2022秋·山東東營·高三廣饒一中校考階段練習）設，若函數有且只有三個零點，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構造函數與，先利用導數研究得的性質，再利用二次函數的性質研究得的性質，從而作出的圖像，由此得到，分類討論與時的零點情況，據此得解.【詳解】令，則，令，得；令，得；所以在上單調遞減，在上單調遞增，故，又因為對于任意，在總存在，使得，在上由于的增長速率比的增長速率要快得多，所以總存在，使得，所以在與上都趨于無窮大；令，則開口向下，對稱軸為，所以在上單調遞增，在上單調遞增，故，.因為函數有且只有三個零點，而已經有唯一零點，所以必須有兩個零點，則，即，解得或，當時，，則，即在處取不到零點，故至多只有兩個零點，不滿足題意，當時，，則，所以在處取得零點，結合圖像又知與必有兩個交點，故在與必有兩個零點，所以有且只有三個零點，滿足題意；綜上：，即.故選：C.5．（2022·江蘇南京·模擬預測）已知函數（），且在有兩個零點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據給定條件，利用零點的意義等價轉化，構造函數，再借助導數探討函數在有兩個零點作答.【詳解】，，由得，，則，令，依題意，函數在有兩個零點，顯然，而在上單調遞增，則有，當或，即或時，在上單調遞增或單調遞減，即有函數在只有一個零點1，因此，此時當時，，當時，，函數在上單調遞減，在單調遞增，則，要函數在有兩個零點，當且僅當在上有一個零點，即有，解得，所以的取值范圍.故選：C6．（2022秋·湖南岳陽·高三校考階段練習）已知函數，若方程恰好有三個不等的實數根，則實數k的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】將問題轉化為與的圖象有三個交點的問題，利用導數判斷的單調性，數形結合，即可求得結果.【詳解】當時，，故不是方程的根；當時，方程恰好有三個不等的實數根即與的圖象有個交點；又，當時，，故當時，單調遞減，在時，單調遞增；當，時，；時，；且；又當時，，故在單調遞減，當，時，；時，；故在同一坐標系下，的圖象如下所示：數形結合可得，當，即時滿足題意，故的取值范圍為.故選：D.7．（2022·四川遂寧·射洪中學校考模擬預測）已知函數（其中，）有兩個零點，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據函數的零點個數、方程的解個數與函數圖象的交點個數之間的關系可得方程有2個不同的解，構造函數，利用導數研究函數的性質可得，即函數與圖象在上有2個交點，利用導數求出，即可求解.【詳解】函數有2個零點，則方程有2個不同的解，方程，設函數，則，所以函數在上單調遞減，由，得，即，則函數與圖象在上有2個交點.設函數，則，令，令，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，故，所以，解得.故選：D.8．（2022秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數，則方程在區(qū)間上的實根個數為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用導數分析函數在上的單調性與極值，作出函數在上的圖象，由可得或，數形結合可得結果.【詳解】由可得或，當時，，則，當時，，此時函數單調遞減，當時，，此時函數單調遞增，且當時，，由題意可知，函數在區(qū)間上的圖象可在在上的圖象先向右平移個單位，再將所得圖象的縱坐標伸長為原來的倍得到，作出函數在的圖象如下圖所示：由圖可知，方程、在區(qū)間上的根的個數分別為、，因此，方程在區(qū)間上的實根個數為.故選：C.二、多選題9．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考一模）已知函數，若恒成立，則實數的可能的值為（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根據轉化成恒成立，構造函數利用導數求解的單調性，問題進一步轉化成恒成立，構造，求解最值即可.【詳解】，故恒成立，轉化成恒成立，記，則在單調遞增，故由得，故恒成立，記，故當時，單調遞減，當時，單調遞增，故當時，取最大值，故由恒成立，即,故，故選：AD【點睛】本題主要考查導數在函數中的應用，著重考查了轉化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數的幾何意義，求解曲線在某點處的切線方程；(2)利用導數求函數的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數；(3)利用導數求函數的最值(極值)，解決函數的恒成立與有解問題，同時注意數形結合思想的應用.10．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，，則下列說法正確的是（

）A．在上是增函數B．，不等式恒成立，則正實數的最小值為C．若有兩個零點，則D．若，且，則的最大值為【答案】ABD【分析】A選項中，令，利用導數可求得單調性，根據復合函數單調性的基本原則可知A正確；B選項中，利用導數可求得在上單調遞增，由此可將恒成立的不等式化為，令，利用導數可求得，由可知B正確；C選項中，利用導數可求得的單調性，由此確定，若，可等價轉化為，令，利用導數可求得單調性，從而得到，知，可得C錯誤；D選項中，采用同構法將已知等式化為，從而可確定，結合單調性得到，由此化簡得到，令，利用導數可求得最大值，知D正確.【詳解】對于A，當時，，令，則，，，當時，恒成立，在上單調遞增；在上單調遞增，根據復合函數單調性可知：在上為增函數，A正確；對于B，當時，，又為正實數，，，當時，恒成立，在上單調遞增，則由得：，即，令，則，當時，；當時，；在上單調遞增，在上單調遞減，，，則正實數的最小值為，B正確；對于C，，當時，；當時，；在上單調遞減，在上單調遞增；，則；不妨設，則必有，若，則，等價于，又，則等價于；令，則，，，，，即，在上單調遞增，，即，，可知不成立，C錯誤；對于D，由，得：，即，由C知：在上單調遞減，在上單調遞增；，，則，，，即，；令，則，當時，；當時，；在上單調遞增，在上單調遞減，，即的最大值為，D正確.故選：ABD.【點睛】方法點睛：本題C選項考查了導數中的極值點偏移問題；處理極值點偏移中的類似于（）的問題的基本步驟如下：①求導確定的單調性，得到的范圍；②構造函數，求導后可得恒正或恒負；③得到與的大小關系后，將置換為；④根據與所處的范圍，結合的單調性，可得到與的大小關系，由此證得結論.11．（2022·云南昆明·昆明一中?？寄M預測）已知函數，則（

）A．函數在處取得最大值B．函數在區(qū)間上單調遞減C．函數有兩個不同的零點D．恒成立【答案】AD【分析】確定函數的定義域，求導數，判斷函數的單調性，即可判斷函數的極值點,由此可判斷;求得函數的最值，數形結合，判斷函數的零點情況，判斷C;將化為，從而構造函數，利用導數求函數最值，解決不等式恒成立問題，判斷D.【詳解】由題意知函數的定義域為，，當時，遞增，當時，遞減，故函數在處取得極大值，也即最大值，A正確；由上分析可知當時，遞增，故B錯誤；函數，且當時，，當時，，作出函數圖象如圖示：由此可知函數在上無零點，C錯誤；不等式恒成立即恒成立，即恒成立，令，則，令，，∴在上單調遞增，，故在上存在唯一零點，且，由，可得，當，，函數單調遞減，當時，，單調遞增，故函數的極小值為，而，即函數在上恒成立，所以當時，恒成立，D正確，故選：12．（2022·全國·校聯(lián)考模擬預測）對于三次函數，給出定義：設是函數的導數，是函數的導數，若方程有實數解，則稱為函數的“拐點”.某同學經過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.若函數，則下列說法正確的是（

）A．的極大值點為B．有且僅有3個零點C．點是的對稱中心D．【答案】BCD【分析】求出，得到函數的單調區(qū)間，即可求得極值，要注意極值點是一個數，可判斷A項；根據極大值、極小值的正負，可得到函數零點的個數，即判斷B項；根據的解的情況，可判斷C項；由對稱中心可推得，用倒序相加法即可求得式子的和，判斷D項.【詳解】由題意知.令，解得或，所以在上單調遞增，在上單調遞增；令，解得，所以在上單調遞減.又，.所以，在處有極大值，在處有極小值.所以的極大值點為-2，A項錯誤；又極大值，極小值，作出的圖象，有圖象可知，有且僅有3個零點，故B正確；，令，解得，又，由題意可知，點是的對稱中心，故C正確；因為點是的對稱中心，所以有，即.令，又，所以，，所以.故D正確.故選：BCD.三：填空題13．（2023·四川瀘州·瀘州老窖天府中學校考模擬預測）已知不等式對恒成立，則實數的最小值為__________.【答案】【分析】將已知條件變形為，令，則有，又因為，從而確定的單調性，從而可得，令，利用導數求出的最大值即可得答案.【詳解】解：因為對恒成立，所以對恒成立，即對恒成立，構造函數，所以，又因為，令，解得：，令，解得：，故在上單調遞減，在上單調遞增，當時，與1的大小不定，但當實數最小時，只需考慮其為負數的情況，此時,因為當時，單調遞減，故，兩邊取對數得：,所以，令，則，令，得：，令，得：，所以在單調遞增，在單調遞減，所以，故的最小值是.故答案為：14．（2022·上海奉賢·統(tǒng)考一模）已知某商品的成本和產量滿足關系，該商品的銷售單價和產量滿足關系式，則當產量等于__________時，利潤最大.【答案】200【分析】首先求出關于利潤的表達式，再利用導數求出函數的單調性，即可求解.【詳解】由題意可知，設利潤為，則，而，當時，，時，，即在單調遞增，單調遞減，所以時，利潤最大.故答案為：15．（2022·上海普陀·統(tǒng)考一模）設、、均為正數且，則使得不等式總成立的的取值范圍為______．【答案】【分析】由已知可得出，不妨設，，其中，可得出，令，可得出，利用導數求出函數在上的最小值，即可得出實數的取值范圍.【詳解】因為、、均為正數且，則，不妨設，，其中，所以，，因為，則，令，則，所以，，所以，，令，其中，則，所以，函數在上單調遞減，所以，，所以，.故答案為：.【點睛】結論點睛：利用參變量分離法求解函數不等式恒（能）成立，可根據以下原則進行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.16．（2023·全國·高三專題練習）給出定義：設是函數的導函數，是函數的導函數，若方程有實數解，則稱為函數的“拐點”，經研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數都有“拐點”，且該“拐點”也是函數的圖像的對稱中心，若函數，則______.【答案】8090【分析】本題首先可根據得出，從而，然后令，求出對稱中心，，最后根據即可求出算式.【詳解】由題意因為，所以，，令，解得，，由題意得對稱中心為，所以，，故答案為：8090.四：解答題17．（2023·浙江·永嘉中學校聯(lián)考模擬預測）已知為正實數，函數.(1)若恒成立，求的取值范圍；(2)求證：（）.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求導，分類討論判斷單調性，結合恒成立問題運算求解；（2）根據（1）可得不等式可證，構建，利用導數證明，結合裂項相消法可證.【詳解】（1），①若，即，，函數在區(qū)間單調遞增，故，滿足條件；②若，即，當時，，函數單調遞減，則，矛盾，不符合題意.綜上所述：.（2）先證右側不等式，如下：由（1）可得：當時，有，則，即，即，則有，即，右側不等式得證.下證左側不等式，如下：構建，則在上恒成立，故在上單調遞減，則，即，可得，即，則有，即，∵，則，故，左側得證.綜上所述：不等式成立.18．（2023·全國·唐山市第十一中學?？寄M預測）已知為正整數，，.(1)求的最大值；(2)若恒成立，求正整數的取值的集合.（參考數據：）【答案】(1)(2)【分析】（1）由導數得出單調性，進而得出最值.（2）由得出，即，討論的范圍，利用導數得出的最小值，再由導數得出成立的正整數的取值的集合.【詳解】（1）令可得：；令可得：.所以在上單調遞增，在上單調遞減.故的最大值為.（2）因為恒成立，所以，即恒成立，所以.，當或時，因為，所以，所以在上單調遞增.因為，此時滿足，故或滿足條件.當時，令可得；令時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增.所以，所以，所以，所以，令，令，，因為在上單調遞增，，，所以在上存在唯一的零點.令可得：；令可得：.所以在上單調遞減，在上單調遞增.因為，所以，所以，又，，所以，即.因為，所以.綜上，正整數的取值的集合為【點睛】關鍵點睛：解決問題二時，關鍵是由等價于，從而將問題轉化為最值問題，利用導數進行求解.19．（2023·廣東惠州·統(tǒng)考模擬預測）已知函數．(1)當時，求函數的單調區(qū)間；(2)若函數恒成立，求實數a的取值范圍．【答案】(1)函數的單調遞增區(qū)間為，單調遞區(qū)間為(2)【分析】（1）利用導數求函數的單調區(qū)間；（2）通過構造函數利用導數找最值的方法解決恒成立問題，求解實數a的取值范圍.【詳解】（1）函數的定義域是，當時，，令得，所以函數在上單遞遞增；令得，所以函數在上單調遞減．所以函數的單調遞增區(qū)間為，單調遞區(qū)間為．（2）恒成立，等價于恒成立，令，因為恒成立，所以在上單調遞增，所以，即，所以恒成立，等價于恒成立令，問題等價于恒成立①若時，恒成立，滿足題意；②若時，則，所以，不滿足題意；③若時，因為，令，得，，，單調遞減，，，單調遞增，所以在處取得最小值，要使得，恒成立，只需，解得綜上：【解法二】恒成立，等價于，令①若時，，所以在上單調遞增，，即，滿足，②若時，則，，所以在上單調遞增，由，函數在上單調遞增，值域為；函數在上單調遞增，值域為；所以，使得，不滿足題意．③若時，令，∴，令，則在上單調遞增，函數在上單調遞增，值域為；函數在上單調遞減，值域為；則，；，，；，，所以，，，，，單調遞減，，，單調遞增，只需即可，∴，∴，令，，∴在上單調遞增，，∴時，，，，所以在上單調遞增，∴，即，綜上：【點睛】1.導函數中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數研究含參函數的單調性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數形結合思想的應用；二是函數的零點、不等式證明常轉化為函數的單調性、極(最)值問題處理．2.利用導數解決含參函數的單調性問題時，一般將其轉化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數形結合思想的應用.3..證明不等式，構造一個適當的函數，利用它的單調性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.20．（2023·四川涼山·統(tǒng)考一模）已知函數．(1)求的最小值；(2)已知，證明：；(3)若恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)0(2)證明見解析(3)【分析】（1）利用導數判斷的單調性，即可確定其最小值；（2）根據（1）的結論即可，再利用對數運算法則即可證明不等式；（3）將參數與變量分開，通過構造函數研究其單調性，求出最值即可得出的取值范圍.【詳解】（1）因，則，令，得，又時，，函數在上單調遞減；時，，函數在上單調遞增；即函數在處取最小值，即所以的最小值為0．（2）由（1）小題結論可知，當且僅當時等號成立，則時，即所以所以不等式成立.（3）由題可知，恒成立等價于不等式恒成立，令，則命題等價于，由（1）知，，即有，當且僅當時等號成立，所以當，即時能取等號，所以，即的取值范圍為．【點睛】方法點睛：求解參數取值范圍問題，常用的方法是將參數與自變量分離，再通過構造函數利用導數得出函數單調性求出其最值，即可求得參數的取值范圍.【提能力】一：選擇題21．（2022秋·山西陽泉·高三陽泉市第一中學校?？计谥校┰O函數，其中，若存在唯一的整數，使得，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設，，問題轉化為存在唯一的整數使得滿足，求導可得出函數的極值，數形結合可得且，由此可得出實數的取值范圍.【詳解】設，，由題意知，函數在直線下方的圖象中只有一個點的橫坐標為整數，，當時，；當時，.所以，函數的最小值為.又，.直線恒過定點且斜率為，故且，解得，故選D.【點睛】本題考查導數與極值，涉及數形結合思想轉化，屬于中等題.22．（2023·全國·高三專題練習），則a，b，c的大小順序為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】構造函數，應用導數研究其單調性，進而比較，，的大小，若有兩個解，則，，構造，利用導數確定，進而得到，即可判斷a、c的大小，即可知正確選項.【詳解】令，則，，，而且，即時單調增，時單調減，又，∴，.若有兩個解，則，，即，，令，則，即在上遞增，∴，即在上，，若即，故，有∴當時，，故，綜上：.故選：A【點睛】關鍵點點睛：利用函數與方程的思想，構造函數，結合導數研究其單調性或極值，從而確定a，b，c的大小.23．（2022·全國·高三專題練習）已知函數只有一個零點，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將題目轉化為函數的圖像與的圖像只有一個交點，利用導數研究函數的單調性與極值，作出圖像，利用數形結合求出的取值范圍.【詳解】由函數只有一個零點，等價于函數的圖像與的圖像只有一個交點，，求導，令，得當時，，函數在上單調遞減；當時，，函數在上單調遞增；當時，，函數在上單調遞減；故當時，函數取得極小值；當時，函數取得極大值；作出函數圖像，如圖所示，由圖可知，實數的取值范圍是故選：B【點睛】方法點睛：已知函數有零點(方程有根)求參數值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍；（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域問題加以解決；（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解.24．（2023·全國·高三專題練習）已知，設函數若關于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為A． B． C． D．【答案】C【解析】先判斷時，在上恒成立；若在上恒成立，轉化為在上恒成立．【詳解】∵，即，（1）當時，，當時，，故當時，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，則，當函數單增，當函數單減，故，所以．當時，在上恒成立；綜上可知，的取值范圍是，故選C．【點睛】本題考查分段函數的最值問題，關鍵利用求導的方法研究函數的單調性，進行綜合分析．25．（2023·全國·高三對口高考）函數在的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】試題分析：函數|在[–2,2]上是偶函數，其圖象關于軸對稱，因為，所以排除選項；當時，有一零點，設為，當時，為減函數，當時，為增函數．故選：D.

26．（2023·全國·高三專題練習）已知函數在上有零點，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由函數存在零點可知有解，設，利用導數求出函數的最小值，進而得出結果.【詳解】由函數存在零點，則有解，設，則，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增．則時取得最小值，且，所以m的取值范圍是．故選：C27．（2022·全國·高三專題練習）已知函數若關于的不等式在上恒成立，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】不等式在上恒成立的兩個臨界狀態(tài)是與相切和與相切時，故求兩種狀態(tài)下的值，即可得的取值范圍．【詳解】畫出函數的圖像如圖所示.在上恒成立即函數的圖像恒在直線的圖像的下方，且直線過定點，當直線與相切時，設切點，，可得，解得，則直線斜率為，即；當直線與相切時，此時由，得，令，得或（舍），所以由圖像可知故選：A【點睛】方法點睛：已知不等式能恒成立求參數值(取值范圍)問題常用的方法：（1）函數法：討論參數范圍，借助函數單調性求解；（2）分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數的值域或最值問題加以解決；（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，利用數形結合的方法求解．28．（2022·全國·高三專題練習）已知函數若函數恰有5個零點，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先研究時，的單調性和極值，畫出分段函數的圖象，換元后數形結合轉化為二次函數根的分布情況，列出不等式組，求出實數的取值范圍.【詳解】當時，，則，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，則時，.當時，.作出大致圖象，函數恰有5個不同零點，即方程恰有5個根.令，則需方程.（l）在區(qū)間和上各有一個實數根，令函數，則解得.（2）方程（*）在和各有一根時，則即無解.（3）方程（*）的一個根為6時，可得，驗證得另一根為，不滿足.（4）方程（*）的一個根為1時，可得，可知不滿足.綜上，.故選：A【點睛】復合函數與分段函數結合問題，要利用數形結合思想和轉化思想，這道題目中要先研究出分段函數的圖象，再令，換元后轉化為二次函數根的分布問題，接下來就迎刃而解了.29．（2023·四川綿陽·四川省綿陽南山中學?？家荒＃┮阎瘮涤袃蓚€不同的極值點，且不等式恒成立，則實數t的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】把函數有兩個不同的極值點轉化為根的分布求出a的范圍，利用分離參數法得到.把轉化為，令，利用導數求出的值域，即可得到答案.【詳解】，因為函數有兩個不同的極值點，，所以方程有兩個不相等的正實數根，于是有，解得.因為不等式恒成立，所以恒成立.，設，，故在上單調遞增，故，所以.因此實數t的取值范圍是.故選：A【點睛】導數的應用主要有：（1）利用導函數幾何意義求切線方程；（2）利用導數研究原函數的單調性，求極值（最值）；（3）利用導數求參數的取值范圍.二、多選題(共0分)30．（2021·全國·高三專題練習）對于函數，下列說法正確的有（

）A．在處取得極大值B．有兩不同零點C．D．若在上恒成立，則【答案】ACD【分析】A?根據極值的定義求解判斷；B?令，結合函數的圖象判斷；C?利用函數的圖象，結合判斷；D?根據在上恒成立，由求解判斷.【詳解】A?函數的導數，令，得，則當時，，函數為增函數；當時，，函數為減函數，則當時，函數取得極大值，極大值為，故A正確；B?當時，，時，，則的圖象如圖：由，得，得，即函數只有一個零點，故B錯誤；C?由圖象知，，故成立，故C正確；D?若在上恒成立，則，設，則，當時，，當時，，即當時，函數取得極大值同時也是最大值，為，∴，故D正確.故選：ACD【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是利用導數法，得到函數的圖象而得解.31．（2023秋·山東·高三山東省實驗中學?？茧A段練習）已知函數，則下列結論中正確的是（

）A．若在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，，則B．曲線與直線相切C．若為增函數，則的取值范圍為D．在上最多有個零點【答案】ACD【分析】由定義法確定函數的奇偶性，再求導數判斷函數的單調性與切線斜率，以及零點情況.【詳解】因為對于任意，都有，所以為奇函數，其圖象關于原點對稱，故A正確.又，令，得(*)，因為，，所以方程(*)無實數解，即曲線的所有切線的斜率都不可能為，故B錯誤.若為增函數，則大于等于0，即，，當且僅當時等號成立，所以，故C正確.令，得或().設，則，令，則.當時，，當時，，當時，，所以函數為增函數，且，所以當時，，從而，單調遞增.又因為對于任意，都有，所以為偶函數，其圖象關于軸對稱.綜上，在上單調遞減，在上單調遞增，則直線與最多有2個交點，所以在上最多有3個零點，故D正確.故選ACD.32．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，下列命題正確的是（

）A．若是函數的極值點，則B．若是函數的極值點，則在上的最小值為C．若在上單調遞減，則D．若在上恒成立，則【答案】ABC【分析】對于A，由可求出的值，對于B，由選項A，可求得，然后利用導數可求出在上的最小值，對于C，由題意可得，可求出的范圍，對于D，將問題轉化為在上恒成立，構造函數，再利用導數求出其最大值即可【詳解】對于A，由，得，因為是函數的極值點，所以，得，經檢驗是函數的極小值點，所以A正確，對于B，由選項A，可知，則，由，得或，由，得，所以在和遞增，在上遞減，所以當時，時，取得最小值，所以B正確，對于C，因為在上單調遞減，所以，即，得在上恒成立，令，則，所以在單調遞增，所以，即，所以，所以C正確，對于D，由在上恒成立，得在上恒成立，即在上恒成立，令，，則，所以上單調遞增，所以，所以，所以D錯誤，故選：ABC33．（2023·全國·高三專題練習）若，為自然對數的底數，則下列結論錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】分別取函數與，通過求導判斷其單調性，即可得出結果．【詳解】令，由，當時，故在上遞減，所以，則A錯，B正確；令，由，當時有，當時有，所以存在，有，所以在上不單調，在C中，化為，因為，故C錯，在D，化為，則D錯，故選：ACD【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于構造新函數通過單調來判斷不等式是否成立．三、填空題(共0分)34．（2022·全國·高三專題練習）設函數恰有兩個極值點，則實數t的取值范圍為___________.【答案】【分析】求導可得的解析式，根據題意，有兩個極值點，可得恰有兩個正根，所以有唯一正根，即有唯一正根，設，求導可得的單調性，結合的圖象，綜合分析，即可得答案.【詳解】因為，所以，因為有兩個極值點，所以恰有兩個正根，即為一個根，則有唯一正根，且，即有唯一正根，且，設，則的圖象與圖象有一個交點，，所以時，，所以在為增函數，又，因為，所以所以只需且，即可滿足題意，所以實數t的取值范圍為.故答案為：【點睛】解題的關鍵是掌握利用導數求函數單調性與極值的方法，并靈活應用，易錯點為，根據題意，已經為一個根，則有唯一正根，且，故，考查分析理解，計算求值的能力，屬中檔題.35．（2022·全國·高三專題練習）已知不等式對任意恒成立，則實數a的取值范圍是___________.【答案】【分析】設，，對實數的取值進行分類討論，利用導數分析函數的單調性與最值，根據已知條件列出關于實數的不等式（組），綜合可求得實數的取值范圍.【詳解】設，，其中，則，①當時，對任意的恒成立，此時，函數在上單調遞減，當時，，對于函數，該函數的對稱軸為直線，函數在上單調遞增，當時，，所以，當時，，不符合題意；②當時，令，可得，列表如下：極小值所以，.（i）當時，即當時，，則，不符合題意；（ii）當時，即當時，則，此時，即.對于函數，，所以，當時，，，則對任意的恒成立.綜上所述，實數的取值范圍是.故答案為：.【點睛】結論點睛：利用參變量分離法求解函數不等式恒（能）成立，可根據以下原則進行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.36．（2021春·全國·高三專題練習）若時，關于不等式恒成立，則實數的最大值是______.【答案】【解析】對分類討論，當時，不等式顯然恒成立.當時，對不等式進行變形為，然后構造函數，根據函數單調性化簡不等式，最后分離參數，即可求出的范圍，進而求出的最大值.【詳解】當，時，不等式顯然恒成立.當時，.由于，即.所以原不等式恒成立，等價于恒成立.構造函數，.易知在上單調遞減，在上單調遞增.則原不等式等價于要證.因為，要使實數的最大，則應.即.記函數，則.易知，.故函數在上單調遞減，所以.因此只需.綜上所述，實數的最大值是.故答案為：【點睛】(1)利用導數研究函數的單調性的關鍵在于準確判定導數的符號．關鍵是分離參數，把所求問題轉化為求函數的最小值問題．(2)若可導函數f(x)在指定的區(qū)間D上單調遞增(減)，求參數范圍問題，可轉化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問題，從而構建不等式，要注意“＝”是否可以取到．(3)根據不等式構造函數，由函數的單調性化簡所求的不等式是本題關鍵之步.37．（2023·全國·高三專題練習）已知函數，給出下列四個結論：①若，恰有2個零點；②存在負數，使得恰有1個零點；③存在負數，使得恰有3個零點；④存在正數，使得恰有3個零點．其中所有正確結論的序號是_______．【答案】①②④【分析】由可得出，考查直線與曲線的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數形結合可判斷各選項的正誤.【詳解】對于①，當時，由，可得或，①正確；對于②，考查直線與曲線相切于點，對函數求導得，由題意可得，解得，所以，存在，使得只有一個零點，②正確；對于③，當直線過點時，，解得，所以，當時，直線與曲線有兩個交點，若函數有三個零點，則直線與曲線有兩個交點，直線與曲線有一個交點，所以，，此不等式無解，因此，不存在，使得函數有三個零點，③錯誤；對于④，考查直線與曲線相切于點，對函數求導得，由題意可得，解得，所以，當時，函數有三個零點，④正確.故答案為：①②④.【點睛】思路點睛：已知函數的零點或方程的根的情況，求解參數的取值范圍問題的本質都是研究函數的零點問題，求解此類問題的一般步驟：（1）轉化，即通過構造函數，把問題轉化成所構造函數的零點問題；（2）列式，即根據函數的零點存在定理或結合函數的圖象列出關系式；（3）得解，即由列出的式子求出參數的取值范圍．四、解答題(共0分)38．（2023·全國·高三專題練習）已知函數．（1）討論的單調性；（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點①；②．【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【分析】(1)首先求得導函數的解析式，然后分類討論確定函數的單調性即可；(2)由題意結合(1)中函數的單調性和函數零點存在定理即可證得題中的結論.【詳解】(1)由函數的解析式可得：，當時，若，則單調遞減，若，則單調遞增；當時，若，則單調遞增，若，則單調遞減，若，則單調遞增；當時，在上單調遞增；當時，若，則單調遞增，若，則單調遞減，若，則單調遞增；(2)若選擇條件①：由于，故，則，而，而函數在區(qū)間上單調遞增，故函數在區(qū)間上有一個零點.，由于，，故，結合函數的單調性可知函數在區(qū)間上沒有零點.綜上可得，題中的結論成立.若選擇條件②：由于，故，則，當時，，，而函數在區(qū)間上單調遞增，故函數在區(qū)間上有一個零點.當時，構造函數，則，當時，單調遞減，當時，單調遞增，注意到，故恒成立，從而有：，此時：，當時，，取，則，即：，而函數在區(qū)間上單調遞增，故函數在區(qū)間上有一個零點.，由于，，故，結合函數的單調性可知函數在區(qū)間上沒有零點.綜上可得，題中的結論成立.【點睛】導數是研究函數的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數的應用的考查都非常突出，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導數求函數的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數．(3)利用導數求函數的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數形結合思想的應用．39．（2022·重慶永川·重慶市永川北山中學校?？寄M預測）已知函數．（1）討論的單調性；（2）若存在兩個極值點，證明：．【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析．【分析】（1）首先確定函數的定義域，函數求導，再對進行分類討論，從而確定出導數在相應區(qū)間上的符號，即可求得函數的單調區(qū)間；（2）方法一：根據存在兩個極值點，結合第一問的結論，可以確定，令，得到兩個極值點是方程的兩個不等的正實根，利用韋達定理將其轉換，構造新函數證得結果.【詳解】（1）的定義域為，.（i）若，則，當且僅當，時，所以在單調遞減.（ii）若，令得，或.當時，；當時，.所以在單調遞減，在單調遞增.（2）［方法一］：【通性通法】消元由（1）知，存在兩個極值點當且僅當.由于的兩個