第1章如何用數(shù)學解決實際問題

數(shù)學實驗第1章如何用數(shù)學解決實際問題2023/11/8課程簡介目的：數(shù)學實驗是大學數(shù)學教學改革的內(nèi)容。該內(nèi)容的開設(shè)使得學生學會使用計算機中的數(shù)學軟件去做計算和研究工作，而不再是花大量的時間去鉆研計算技巧。教材：

劉瓊蓀龔劬

何中市付鸝任善強編著，

數(shù)學實驗，高等教育出版社2023/11/8何謂“數(shù)學實驗”對數(shù)學進行折騰連蒙帶猜找規(guī)律從問題出發(fā)學生自己動手、動眼、動腦借助于計算機（成千上萬次折騰）嘗試數(shù)學的探索、發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用2023/11/8數(shù)學是一種很美的語言。伽利略曾說：“自然界的偉大的書是用數(shù)學語言寫成的”。希望你能從一些數(shù)學的探索和數(shù)學的應(yīng)用中獲得樂趣伽利略（1564-1642）天文學家、力學家、哲學家、物理學家、數(shù)學家，“近代科學之父”---作者如何用數(shù)學解決實際問題？2023/11/81.1什么是數(shù)學模型對于一個特定對象，為了一個特定的目標，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的簡化假設(shè)，運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到的一個數(shù)學結(jié)構(gòu)。特定對象—為了解決實際問題而提出的；特定的目的—研究一個特定對象時要達到的目的，如分析、預(yù)測、控制、決策等；數(shù)學結(jié)構(gòu)—可以是數(shù)學關(guān)系式，也可以是程序、圖、表等；數(shù)學建?！?shù)學模型的全過程，包括問題分析、模型建立、求解、結(jié)果檢驗和應(yīng)用等2023/11/81.1什么是數(shù)學模型例1.1

新產(chǎn)品的銷量變化規(guī)律

一種新產(chǎn)品進入市場以后，產(chǎn)品的銷售量一般會經(jīng)過“先增后平穩(wěn)略有下降”的一個過程，這稱為產(chǎn)品的生命周期。怎樣使用數(shù)學模型來描述產(chǎn)品的銷售量的變化過程呢？問題分析當一個新產(chǎn)品進入市場時，其有關(guān)信息的傳播有兩個途徑：一是經(jīng)營者或廠家進行廣泛的廣告宣傳，消費者親眼看到廣告或親耳聽到信息，這是來自消費者以外的信息；二是當一部分消費者購買了該產(chǎn)品之后，經(jīng)過使用對該產(chǎn)品有了認識，向其周圍的人們進行宣傳，這稱之為來自消費者內(nèi)部的信息。正是這兩方面的信息促使消費者去購買該商品。2023/11/81.1什么是數(shù)學模型合理假設(shè)設(shè)N為潛在的消費者人數(shù)，x(t)為t時刻購買了該產(chǎn)品的人數(shù)，并且認為變量x(t)隨時間變化是連續(xù)的；購買者增量△x由兩部分組成，一是由外部信息導(dǎo)致消費者增加，其增量記為△x1，二是由內(nèi)部信息導(dǎo)致消費者增加，記為△x2；由外部信息導(dǎo)致消費者增量與未購買者人數(shù)成正比，即

△x1=k1(N-x(t))

△t(k1>0為比例系數(shù))(1.1)由內(nèi)部信息導(dǎo)致購買者增量與購買者人數(shù)和未購買者人數(shù)之積成正比，即

△x2=k2x(t)

×(N-x(t))

△t(k2>0為比例系數(shù))(1.2)建立數(shù)學模型由上述(1.1)和(1.2)式，再由假設(shè)知，△x由△x1和△x2組成，得到：△x=k1(N-x(t))

△t+k2x(t)

×(N-x(t))

△t(1.3)(1.3)式兩端同時除以△t，并令△t→0，得到微分方程模型如下：2023/11/81.1什么是數(shù)學模型

，并且，x(0)=0。(1.4)模型求解為分析產(chǎn)品銷售量x(t)隨時間t的變化情況，對微分方程(1.4)求解，得：

(1.5)該問題解含有未知參數(shù)k1，k2，N，如何確定它們呢？其方法是采樣，收集某產(chǎn)品從推向市場以來銷售情況的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)分析，用最小二乘法將模型中的未知參數(shù)辨識出來。例如，使用某種產(chǎn)品一段時期的銷售統(tǒng)計數(shù)據(jù)，對模型(1.4)中的參數(shù)進行參數(shù)辨識，得到k1

=0.02，k2

=0.035，N

=104，通過計算，具體分析出某產(chǎn)品的銷售量與時間的關(guān)系如下圖所示：（見P.3圖1.1）2023/11/81.1什么是數(shù)學模型模型檢驗

我們使用某產(chǎn)品一段時期的銷售統(tǒng)計數(shù)據(jù)，將這些實測數(shù)據(jù)代入模型(1.5)中，如果實測數(shù)據(jù)與理論數(shù)據(jù)（模型中對應(yīng)值）之差的平方和（定義為誤差平方和）很小，則稱該模型通過了檢驗。如圖1.2（P.3）所示，符號“?！北硎緦崪y數(shù)據(jù)，而曲線x(t)是理論曲線。實際觀測數(shù)據(jù)在理論曲線附近波動，其波動幅度較小。再通過計算誤差平方和的值，如果該值相對于原始數(shù)據(jù)比較小，我們稱該模型通過了檢驗，這是可以運用該模型進行預(yù)測了。以上五步反映了一個數(shù)學建模的全過程。2023/11/81.2數(shù)學模型的分類對數(shù)學模型進行劃分按應(yīng)用領(lǐng)域劃分，如人口模型、交通模型、經(jīng)濟預(yù)測模型、數(shù)量經(jīng)濟模型、金融模型、生態(tài)模型、環(huán)境模型、企業(yè)規(guī)劃模型等等；按數(shù)學方法劃分，如方程模型、微分方程模型、圖論模型、網(wǎng)絡(luò)模型、概率模型、統(tǒng)計模型、優(yōu)化模型、最優(yōu)控制模型和隨機性模型等等；更籠統(tǒng)的劃分，如連續(xù)系統(tǒng)模型、離散系統(tǒng)模型、確定性模型、隨機性模型等等。建立數(shù)學模型的目的-能有效地解決實際問題和預(yù)測未來2023/11/81.3數(shù)學建模的基本方法和步驟數(shù)學建模方法大致分為兩類：機理分析法和測試分析法機理分析法是根據(jù)對客觀事物特性的認識，通過對現(xiàn)實對象各個因素之間的因果關(guān)系的分析，找出反映內(nèi)部機理的數(shù)量規(guī)律，建立的數(shù)學模型常有明確的物理意義。機理分析法的特點就是某實際問題涉及的各個因素之間有比較明確的物理意義下的因果關(guān)系；測試分析法的特點是通過對系統(tǒng)輸出的測試來認識系統(tǒng)的輸入-輸出規(guī)律，建立盡可能與這一規(guī)律相吻合的數(shù)學模型；

注：許多實際問題也常將這兩種方法結(jié)合起來，用機理分析法建立模型的結(jié)構(gòu)，用測試分析法確定模型的參數(shù)。2023/11/81.3數(shù)學建模的基本方法和步驟圖1.3

數(shù)學建模過程示意圖2023/11/81.