平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及共線坐標(biāo)表示(用)

不共線的平面向量

叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.向量的基底:如果

是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量

，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1

,λ2

使得平面向量基本定理:復(fù)習(xí)回顧第一頁第二頁，共29頁。平面向量的坐標(biāo)表示如圖，是分別與x軸、y軸方向相同的單位向量，若以為基底，則這里，我們把（x,y）叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作①其中，x叫做在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的坐標(biāo)，①式叫做向量的坐標(biāo)表示。第二頁第三頁，共29頁。平面向量可以用坐標(biāo)表示，向量的運(yùn)算可以用坐標(biāo)來運(yùn)算嗎？探究：

如何計(jì)算？

（1）已知=(x1,y1),

=(x2,y2)，求

+

,

–

.（2）已知

=(x1,y1)和實(shí)數(shù)，求

的坐標(biāo).第三頁第四頁，共29頁。向量的坐標(biāo)運(yùn)算第四頁第五頁，共29頁。說明：兩個(gè)向量的和與差的坐標(biāo)等于兩個(gè)向量的相應(yīng)坐標(biāo)的和與差；數(shù)乘向量的積的坐標(biāo)等與數(shù)乘以向量相應(yīng)坐標(biāo)的積。第五頁第六頁，共29頁。第六頁第七頁，共29頁。例1.已知A(x1,y1）,B(x2,y2),求向量的坐標(biāo).解：=(x2,y2)－(x1,y1)=(x2－x1，y2－y1)。說明：一個(gè)向量的坐標(biāo)等于向量終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)。第七頁第八頁，共29頁。例2.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),求線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)。解：設(shè)M(x,y)是線段AB的中點(diǎn)，則例3得到的公式，叫做線段中點(diǎn)的坐標(biāo)公式，簡(jiǎn)稱中點(diǎn)公式。第八頁第九頁，共29頁。

例3.已知□ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A(－2,1)、B(－1,3)、C(3,4)，求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。解：=(－2,1)+(3,4)－(－1,3)=(2,2)所以D點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,2).Oxy11D(x,y)C(3,4)A(-2,1)A(-1,3)第九頁第十頁，共29頁。練習(xí)1.設(shè)向量a=(1,－3)，b=(－2,4)，c=(－1,－2)，若表示向量4a、4b－2c、2(a－c)、d的有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則向量d為

.解：4a+(4b－2c)+2(a－c)+d=0,所以d=－6a－4b+4c=(－2,－6).第十頁第十一頁，共29頁。2.設(shè)點(diǎn)P在平面上做勻速直線運(yùn)動(dòng),速度向量

,設(shè)起始P(－10,10),則5秒鐘后點(diǎn)P的坐標(biāo)為().解：5秒種后，P點(diǎn)坐標(biāo)為

(－10,10)+5(4,－3)=(10,－5).第十一頁第十二頁，共29頁。3.設(shè)A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)滿足(1)λ為何值時(shí),點(diǎn)P在直線y=x上?(2)設(shè)點(diǎn)P在第三象限,求λ的范圍.解:(1)設(shè)P(x,y)，則

(x－2,y－3)=(3,1)+λ(5,7),

所以x=5λ+5，y=7λ+4.解得λ=(2)由已知5λ+5<0,7λ+4<0,所以λ<－1.第十二頁第十三頁，共29頁。第十三頁第十四頁，共29頁。如何用坐標(biāo)表示向量平行(共線)的等價(jià)條件?會(huì)得到什么樣的重要結(jié)論?向量與非零向量平行(共線)的等價(jià)條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù),使得設(shè)即中,至少有一個(gè)不為0,則由得這就是說:的等價(jià)條件是

第十四頁第十五頁，共29頁。a=(x1,y1)，→b=(x2,y2)→3、其中≠

,a→0→有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得a→b=λ→即：（x2,y2)=λ(x1,y1)=(λx1,λy1)所以x2=λx1y2=λy1消去λ得：

x1y2-x2y1=0a=(x1,y1)，→b=(x2,y2)→其中x1y2-x2y1=0a∥→b→a∥→b→平面向量共線的坐標(biāo)表示第十五頁第十六頁，共29頁。向量共線的充要條件的兩種表示形式:x1y2-x2y1=0(2)a=(x1,y1)，→b=(x2,y2)→有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使得a→b=λ→(1)口訣：交叉相乘相等！第十六頁第十七頁，共29頁。例1已知a=（4，2）,b=（6，y）且a

∥b，求y的值.解：∵a

∥b∴4y-2×6=0

解得y=3典型例題第十七頁第十八頁，共29頁。例2已知點(diǎn)A(1，3)，B(3，13)，C(6，28)

求證：A、B、C三點(diǎn)共線.證明：∵AB=(3-1,13-3)=(2,10)BC=(6-3,28-13)=(3,15)∴2×25=5×10∴AB∥BC

又∵直線AB、直線BC有公共點(diǎn)B∴A、B、C三點(diǎn)共線典型例題第十八頁第十九頁，共29頁。例3:設(shè)點(diǎn)P是線段P1P2上的一點(diǎn)，P1、P2的坐標(biāo)分別是。（1）當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。xyOP1P2P(1)M解:(1)所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為第十九頁第二十頁，共29頁。xyOP1P2P(2)xyOP1P2P例4:設(shè)點(diǎn)P是線段P1P2上的一點(diǎn)，P1、P2的坐標(biāo)分別是。（1）當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。第二十頁第二十一頁，共29頁。xyOP1P2PxyOP1P2P第二十一頁第二十二頁，共29頁。xyOP1P2P第二十二頁第二十三頁，共29頁。

直線l上兩點(diǎn)p1

、p2，在l上取不同于p1

、p

2的任一點(diǎn)P，則P點(diǎn)與p1

p2的位置有哪幾種情形？

P在之間PP在的延長(zhǎng)線上，PP在的延長(zhǎng)線上.

P

能根據(jù)P點(diǎn)的三種不同的位置和實(shí)數(shù)與向量的積的向量方向確定λ的取值范圍嗎？

存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使，λ叫做點(diǎn)P分有向線段所成的比．第二十三頁第二十四頁，共29頁。

設(shè)，，P分所成的比為，如何求P點(diǎn)的坐標(biāo)呢？

第二十四頁第二十五頁，共29頁。有向線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式有向