23信號(hào)與系統(tǒng)課件及答案奧本第二章

第二章

線性時(shí)不變系統(tǒng)2.1離散時(shí)間LTI系統(tǒng):卷積和

2.1.1用脈沖表示離散時(shí)間信號(hào)圖2.1(a)是單位脈沖序列,每個(gè)脈沖的大小與x[n]所對(duì)應(yīng)的時(shí)刻值相等。圖(b)~(f)分別為n=-2、-1、0、1、2時(shí)的單個(gè)脈沖。即[n

圖2.1一個(gè)離散時(shí)間信號(hào)分解為一組加權(quán)的移位脈沖之和

因此x[n]可表示為

上式表明，可以把任意一個(gè)序列表示成一串移為的單位脈沖序列的線性組合，而這個(gè)組合式中的權(quán)因子就是x[k]

。例如:若x[n]=u[n],則(2.2)式變?yōu)?2.2)

這與P24中的(1.67)式完全一致。因此，式（2.2)稱為離散時(shí)間單位脈沖序列的篩選性質(zhì).即僅當(dāng)k=n時(shí)有值,

故得(注意:這里的變量是K,而n是定值.)2.1.2離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)及卷積篩選性質(zhì)的重要性在于它把x[n]表示成一組加權(quán)的基本函數(shù)的疊加,這個(gè)基本函數(shù)就是移位單位脈沖,只有當(dāng)k=n時(shí)才有值。

一個(gè)線性系統(tǒng)對(duì)x[n]的響應(yīng)就是系統(tǒng)對(duì)這些移位脈沖中的每一個(gè)的響應(yīng)加權(quán)后的疊加;再者,時(shí)不變性又意味著一個(gè)時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)移位單位脈沖的響應(yīng)就是未被移位的單位脈沖響應(yīng)的移位

.將這兩點(diǎn)結(jié)合起來就可得到具有線性和時(shí)不變性的離散時(shí)間系統(tǒng)的卷積和表示.

具體地說,若令

而輸入x[n]的響應(yīng)為

因?yàn)橛懻摰氖蔷€性時(shí)不變系統(tǒng),所以是的時(shí)移。同樣，也是的一個(gè)時(shí)移。即。為了簡化符號(hào)，將的下標(biāo)去掉，即定義單位脈沖序列響應(yīng)為此時(shí),x[n]的響應(yīng)就變?yōu)榉Qx[n]和h[n]的卷積;y[n]為卷積和,可記為既然一個(gè)LTI系統(tǒng)對(duì)任何輸入的響應(yīng)可用系統(tǒng)對(duì)單位脈沖的響應(yīng)來表示,那么LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)就刻畫了系統(tǒng)的特性.例2.3已知輸入x[n]和單位脈沖響應(yīng)h[n]為

其中0<a<1x[n]h[n]

則有圖2.7例2.3的輸出響應(yīng)由上圖可見,若n<0,x[k]h[n-k]對(duì)于全部k值都為零,因此y[n]=0。若,則有因此,對(duì)于:對(duì)于全部n:例2.5一個(gè)LTI系統(tǒng),其輸入x[n]和單位脈沖響應(yīng)h[n]如下:則

圖2.11h[n-k]y[n]由圖可見,當(dāng)k>0時(shí),x[k]=0;而h[n-k]在k>n時(shí)是零.同時(shí)還能看到,無論n為何值,序列x[k]h[n-k]沿k軸總有非零的樣本值.因此當(dāng)就有:這是一個(gè)無窮項(xiàng)的和式可用無限項(xiàng)求和公式求得.無限求和公式為若將變量k置換成r=-k,則可得即,對(duì),y[n]=2;

當(dāng)n<0時(shí),對(duì)于,x[k]h[n-k]有非零值,因此對(duì)n<0有

以和作變量置換,再次利用無限求和公式來求上式,可得:整個(gè)y[n]序列如上圖(b)所示.2.2連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng):卷積積分

在離散時(shí)間情況下,導(dǎo)出卷積和的關(guān)鍵是離散時(shí)間單位脈沖的篩選性質(zhì)。在連續(xù)時(shí)間情況下，可用階梯信號(hào)或沖激信號(hào)等來表示連續(xù)信號(hào)。(a)用階梯信號(hào)表示(b)用沖激信號(hào)表示-?0?2?t-2?-?t-?0t0?t

?2?t-3-2-10123tX(t)X(t)2.2.1用沖激表示連續(xù)信號(hào)一、用階梯信號(hào)來近似x(t)

如上圖(a)所示，若定義由于則可表示為上式右邊的和式中，對(duì)任何t值來說，只有一項(xiàng)為非零。隨著?逐近于零，將愈來愈近似x(t),最后極限就是x(t),即由于?0時(shí)，的極限就是單位沖激函數(shù)，所以得這是連續(xù)時(shí)間沖激函數(shù)的篩選性質(zhì)。例：設(shè)x(t)=u(t),則有上式于P26頁的（1.75)式完全一致。因此，只要?足夠小，這種近似基本上是正確的。其實(shí)，我們可直接用沖激函數(shù)的性質(zhì)來導(dǎo)出連續(xù)時(shí)間沖激函數(shù)的篩選性質(zhì)。即通過圖(b),可得2.2.2連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)及卷積積分表示設(shè)系統(tǒng)對(duì)的響應(yīng)為h(t).因?yàn)槭荓TI系統(tǒng),則有可見與離散時(shí)間情況相同,一個(gè)連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)是完全由它的沖激響應(yīng)(即對(duì)單一的基本信號(hào)單位沖激的響應(yīng)來表征的.

求解卷積積分的步驟與求卷積和是十分相似的。因此，為了求出對(duì)某一給定t時(shí)的積分值，首先需要得到。是的函數(shù)，其中t可看作是某一固定值。，所以可利用的反轉(zhuǎn)再加上平移（t>0向右移t；t<0向左移t),就可求得。然后將x()與相乘，再將乘積在區(qū)間內(nèi)積分就可得到y(tǒng)(t)。例2.6設(shè)某一LTI系統(tǒng)的輸入為x(t),其單位沖激響應(yīng)為h(t)解：分別畫出，及對(duì)應(yīng)于某一個(gè)t<0和t>0時(shí)的。h()x()t00t001111t<0t>01h(-)02、當(dāng)t>0時(shí)有由圖可見：1、當(dāng)t<0時(shí)，x()=0所以y(t)=0;此時(shí)可算出t>0時(shí)因此，對(duì)于全部t,y(t)為1/a0t(c)系統(tǒng)響應(yīng)y(t)y(t)2.3線性時(shí)不變系統(tǒng)的性質(zhì)

一個(gè)LTI系統(tǒng)的特性可以完全由它的沖激響應(yīng)來決定。(2.39)(2.40)2.3.1交換律性質(zhì)

該性質(zhì)的證明,可通過變量置換,由式（2.39)和(2.40)直接得到。1、證明:式(2.44)成立。令并代入（2.40)式，可得(2.43)(2.44)證畢2、證明：下式成立。

令，可得。代入上式可得這就告訴我們,求卷積時(shí),也可先將x[k]反轉(zhuǎn)和位移,然后再將x[n-k]與h[k]

相乘,最后對(duì)全部k將乘積相加來完成卷積和的計(jì)算。2.3.2分配律性質(zhì)證畢證明：式(2.47)成立。(2.46)(2.47)證畢分配律性質(zhì)表明:1、并聯(lián)LTI系統(tǒng)總的單位沖激響應(yīng)等于各子系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)之和。

圖2.23LTI系統(tǒng)并聯(lián)中卷積分配律的說明2、LTI系統(tǒng)的并聯(lián)可以同一個(gè)單一的LTI系統(tǒng)來替代，而該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)就是在并聯(lián)聯(lián)結(jié)中各個(gè)單位沖激的和。上述性質(zhì)也可用圖解說明如下3、利用交換律和分配律還可得這說明：LTI系統(tǒng)對(duì)兩個(gè)輸入和的響應(yīng)一定等于系統(tǒng)對(duì)單個(gè)輸入響應(yīng)的和?？梢姡捎诰矸e的分配律，可將一個(gè)復(fù)雜的卷積分為幾個(gè)較簡單的卷積來作。例2.10令y[n]為下面兩個(gè)序列的卷積:注意：沿整個(gè)時(shí)間軸,序列x[n]都為非零,因此直接求這個(gè)卷積有些繁瑣,可用分配律性質(zhì)把y[n]表示為兩個(gè)較為簡單的卷積之和來解。為此令：

則有見例2.3見例2.52.3.3結(jié)合律性質(zhì)(2.58)(2.59)證明:式(2.59)成立。(交換積分順序)其中:則有證畢結(jié)合律性質(zhì)告訴我們:1、對(duì)LTI系統(tǒng)來說，總系統(tǒng)響應(yīng)與系統(tǒng)級(jí)聯(lián)次序無關(guān)。

2、兩個(gè)級(jí)聯(lián)（串聯(lián)）系統(tǒng)可等效為一個(gè)總的系統(tǒng)h(t),其單位沖激響應(yīng)h(t)

等于其子系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的卷積。

圖2.25卷積的結(jié)合律與交換律性質(zhì)對(duì)LTI系統(tǒng)級(jí)聯(lián)的意義注：卷積的一些其它重要性質(zhì)1、卷積的微分性質(zhì)——兩個(gè)函數(shù)卷積后的微分等于其中一個(gè)函數(shù)微分后與另一個(gè)函數(shù)的卷積。即證明：根據(jù)交換律，用類似的方法可以證明2、卷積的積分性質(zhì)——兩個(gè)函數(shù)卷積后的積分等于其中一個(gè)函數(shù)積分后與另一

個(gè)函數(shù)的卷積。即證明：根據(jù)交換律，同樣可以證明根據(jù)卷積的微分和積分性質(zhì)?？傻?、函數(shù)與的卷積根據(jù)卷積的定義和沖激函數(shù)的性質(zhì)，可有1）2）4）4、函數(shù)與u(t)的卷積3）時(shí)移性設(shè),則有推論2.3.4有記憶和無記憶LTI系統(tǒng)一、離散時(shí)間LTI系統(tǒng)

1、若當(dāng),時(shí)，其沖激響應(yīng)為其中是一個(gè)常數(shù)。卷積和變?yōu)樯鲜娇梢?，此時(shí)輸出只與同一時(shí)刻的輸入值有關(guān)，即為無記憶LTI系統(tǒng)；

2、若它的單位脈沖響應(yīng)對(duì)于不是全為零，則這個(gè)系統(tǒng)為有記憶系統(tǒng)。二、連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)

1、若當(dāng)，時(shí)，其沖激響應(yīng)為其中k為常數(shù)

由上式可見，此時(shí)輸出只與同一時(shí)刻的輸入值有關(guān)，即為無記憶LTI系統(tǒng)；注意：若k=1，則這個(gè)系統(tǒng)就變?yōu)楹愕认到y(tǒng)，其輸出等于輸入，單位沖激響應(yīng)等于單位沖激。這時(shí)，卷積和和積分公式就意味著

這個(gè)式子就是離散時(shí)間和連續(xù)時(shí)間單位沖激函數(shù)的篩選性質(zhì)。

2、若它的單位脈沖響應(yīng)對(duì)于不是全為零，則這個(gè)系統(tǒng)為有記憶系統(tǒng)。2.3.5LTI系統(tǒng)的可逆性逆系統(tǒng)恒等系統(tǒng)其中：

——系統(tǒng)的沖激響應(yīng)——逆系統(tǒng)的沖激響應(yīng)；

——逆系統(tǒng)的輸出。

(b)

圖2.26連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的逆系統(tǒng)概念由圖(a)可得(a)為了使，則必須滿足同樣，在離散時(shí)間情況下，一個(gè)沖激響應(yīng)為h[n]的LTI系統(tǒng)的逆系統(tǒng)的沖激響應(yīng)也必須滿足。例2.11考慮一個(gè)純時(shí)移組成的LTI系統(tǒng)

若,系統(tǒng)是延時(shí)[即x(t)中的每一點(diǎn)在中都稍后出現(xiàn)];若,則是超前。若,則,為恒等系統(tǒng),此時(shí)為無記憶系統(tǒng)；而對(duì)于其它任何值，系統(tǒng)都是有記憶的。令輸入為，可得（2.68)式系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)(2.68)因此即,一個(gè)信號(hào)與一個(gè)移位沖激的卷積就是該信號(hào)的移位.為了從輸出中恢復(fù)輸入,即必須接入一個(gè)逆系統(tǒng),其單位沖激響應(yīng)為則有2.3.6LTI系統(tǒng)的因果性

如果一個(gè)系統(tǒng)在任何時(shí)刻的輸出只決定于現(xiàn)在的輸入以及過去的輸入,該系統(tǒng)就稱為因果系統(tǒng)。若離散時(shí)間LTI系統(tǒng)是因果的，就必須與k>n的無關(guān)，由式（2.39)

可知，式中的第一項(xiàng)僅與n及n以前時(shí)刻有關(guān)，而第二項(xiàng)與n時(shí)刻后的所有時(shí)間的輸入有關(guān)。因此只有使第二項(xiàng)等于零，即在時(shí),,才能保證其輸出與將來的輸入無關(guān)，由此可得離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的因果性的充要條件是：其單位沖激響應(yīng)必須滿足

(2.77)

式(2.77)告訴我們:1、一個(gè)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)在沖激出現(xiàn)之前必須為零.2、一個(gè)因果的離散時(shí)間LTI系統(tǒng),其卷積和變?yōu)榛蛲?，若一個(gè)連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)就是因果的，這時(shí)卷積積分由下式給出：2.3.7LTI系統(tǒng)的穩(wěn)定性如果一個(gè)系統(tǒng)對(duì)于每一個(gè)有界的輸入,其輸出都是有界的,就說該系統(tǒng)是穩(wěn)定的.1、穩(wěn)定系統(tǒng)應(yīng)具備的條件設(shè)：一輸入是有界的，即(對(duì)所有的n)LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為

則按卷積和公式，響應(yīng)輸出的絕對(duì)值為

因?yàn)閷?duì)所有的n有，所以可知，即有

(對(duì)所有n)由上式可得出：如果單位脈沖響應(yīng)是絕對(duì)可和的，即那么就是有界的,因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。式(2.86)是保證一個(gè)離散時(shí)間LTI系統(tǒng)穩(wěn)定性的充要條件.

同樣,在連續(xù)時(shí)間情況下,若對(duì)全部t,有,則有(2.86)因此,若單位沖激響應(yīng)是絕對(duì)可積的,即則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2.3.8LTI系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

LTI系統(tǒng)對(duì)單位階躍信號(hào)u(t)或u[n]的響應(yīng)稱為LTI系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),記為S(t)或s[n]。除了單位沖激響應(yīng)外,單位階躍響應(yīng)s[n]或s(t)也常用來描述一個(gè)LTI系統(tǒng)的特性，在信號(hào)與系統(tǒng)分析中有著重要應(yīng)用（常用于描述系統(tǒng)的時(shí)域特性）。對(duì)一離散時(shí)間LTI系統(tǒng)，其單位階躍響應(yīng)為因?yàn)?，?duì)于，而當(dāng)時(shí)，u[n-k]=1.所以上式變?yōu)橛缮鲜娇梢姡粋€(gè)離散LTI系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是其單位沖激響應(yīng)的求和函數(shù)。很顯然，h[n]可根據(jù)，從s[n]中恢復(fù)出來。即一個(gè)離散離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h[n]就是它的單位階躍響應(yīng)的一次差分。同理，在連續(xù)時(shí)間情況下，LTI系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為

因?yàn)?，?dāng)時(shí)，；而當(dāng)時(shí)，。所以，上式變?yōu)樯鲜奖砻鳎?/p>

1、一個(gè)連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是它的單位沖激響應(yīng)的積分函數(shù)。

2、單位沖激響應(yīng)是其單位階躍響應(yīng)的一階導(dǎo)數(shù)，即2.4用微分和差分方程描述的因果LTI系統(tǒng)通?？捎梦⒎址匠虂砻枋鲞B續(xù)時(shí)間系統(tǒng);用差分方程來描述離散時(shí)間系統(tǒng)。2.4.1線性常系數(shù)微分方程一般而言，設(shè)連續(xù)LTI系統(tǒng)的激勵(lì)信號(hào)為x(t),系統(tǒng)響應(yīng)為y(t),則系統(tǒng)可以用一高階的微分方程表示或縮寫為式中和均為常數(shù)。由時(shí)域經(jīng)典法可知，方程的全解由兩部分組成：齊次解和特解。1、齊次解齊次解,就是滿足方程

(b)(a)(c)的解。(c)式的特征方程為：特征根各特征根在齊次解中的函數(shù)形式單實(shí)根（無重根）K重根一對(duì)共軛復(fù)根K重共軛復(fù)根其n個(gè)根（i=1,2,3,….n)稱為微分方程的特征根。齊次解的函數(shù)形式由特征根確定，見下表，其中A，C和是待定常數(shù)。表一、不同特征根所對(duì)應(yīng)的其次解的函數(shù)形式1）、在特征根無重根的情況下，微分方程的齊次解為其中常數(shù)由系統(tǒng)的初始條件決定。2）、在特征根有重根的情況下，則相應(yīng)于k階重根的部分將有k項(xiàng)，形如

其中常數(shù)連同其它特征根所對(duì)應(yīng)的項(xiàng)的系數(shù)，由系統(tǒng)的初始條件決定。2、特解特解的函數(shù)形式與激勵(lì)信號(hào)的函數(shù)形式有關(guān)，通常將激勵(lì)x(t)代入方程式（a)的右端，化簡后，方程右端函數(shù)式稱為“自由項(xiàng)”。根據(jù)自由項(xiàng)的函數(shù)形式選定特解的函數(shù)形式，代入方程后求得特解函數(shù)式中的待定系數(shù)，即可給出特解。表二列出了幾種常見的激勵(lì)信號(hào)所對(duì)應(yīng)的特解的函數(shù)形式。

表二幾種典型激勵(lì)信號(hào)所對(duì)應(yīng)的特解的函數(shù)形式激勵(lì)信號(hào)x(t)響應(yīng)函數(shù)y(t)的特解的函數(shù)形式E（常數(shù)）B所有特征根不等于己于0

有r重等于0的特征根，a不等于特征根a等于r重特征根，r=1時(shí)為單根所有特征根不等于所有特征根不等于3、全解方程的全解為例：給定線性常系數(shù)微分方程求：當(dāng)時(shí)全解。解：1）、求齊次解特征方程為其特征根方程的其次解為2）、求特解由表二可知，當(dāng)輸入時(shí)，其特解可設(shè)為

其一階、二階導(dǎo)數(shù)分別為

代入方程，得由上式解得B=1。于是得方程特解為3）、全解為其一階導(dǎo)數(shù)為將初始條件代入，得由上式解得因此微分方程的全解為其次解特解自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)（t>0)2.4.2線性常系數(shù)差分方程描述離散LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,可表示為線性常系數(shù)差分方程,一般可描述為

其解由齊次解和特解組成,即1)、齊次解令（A）式的輸入為0，齊次方程的解稱為齊次解。齊次解的形式由其特征根決定。差分方程的特征方程為（A）其中N個(gè)特征根為（i=1,2,….,N)。根據(jù)特征根的不同取值，差分方程的形式如表三所示，其中為待定系數(shù)。

表三不同特征根所對(duì)應(yīng)的齊次解特征根齊次解單實(shí)根r重實(shí)根一對(duì)共軛復(fù)根2）、特解特解的函數(shù)形式與信號(hào)x[n]的函數(shù)形式有關(guān)。根據(jù)具體的輸入信號(hào)函數(shù)，確定所對(duì)應(yīng)的特解形式。表四列出了幾種典型激勵(lì)x[n]所對(duì)應(yīng)的特解。確定了特解的函數(shù)形式后代入原差分方程，求出待定系數(shù)等，求得差分方程的特解。激勵(lì)

表四不同激勵(lì)所對(duì)應(yīng)的特解所有特征根均不等于1有r重等于1的特征根時(shí)當(dāng)a不等于特征根時(shí)當(dāng)a是r重特征根時(shí)當(dāng)所有特征根均不等于特解3）、全解例：描述某二階因果LTI系統(tǒng)的差分方程為已知起始條件為，激勵(lì)求：方程全解。解：1）、齊次解特征方程可解得特征根為二重根，由表三可知，其齊次解為2）、特解根據(jù)激勵(lì)x[n]=u[n]在時(shí)，由表四可知特解為將和代入方程，得，解得所以3）、全解將已知的起始條件代入方程，求出初始條件y[0]和y[1]。將求得的初始條件代入全解，得求得。最后得方程的全解為

自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)注：方程的齊次解稱為系統(tǒng)的自由響應(yīng)，特解稱為強(qiáng)迫響應(yīng)。2.4.3用微分和差分方程描述的一階系統(tǒng)的方框圖表示一、離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的方框圖表示描述離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的差分方程涉及相加、乘以系數(shù)和延遲（體現(xiàn)

y[n]和y[n-1]之間的關(guān)系）這三種運(yùn)算。因而，利用單位延遲、相加器和數(shù)乘器這三種基本運(yùn)算單元，按照差分方程所表示的運(yùn)算關(guān)系，可作出相應(yīng)的系統(tǒng)方框圖。D（相加器）（數(shù)乘器）（單位延遲）

圖2.27三種基本運(yùn)算單元例：描述一階LTI系統(tǒng)的差分方程為該方程可改寫為，這一方程的實(shí)現(xiàn)框圖如下D+b-ay[n-1]y[n]x[n]圖中，y[n]經(jīng)單位延遲后為y[n-1],y[n-1]乘-a后與x[n]乘以b相加，即為上式所表示的運(yùn)算關(guān)系。上圖表明：這個(gè)系統(tǒng)要求有記憶，這就需要初始條件。但如果所描述的系統(tǒng)是初始松弛的，則存儲(chǔ)在該單元內(nèi)的初始值就為零。二、連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的方框圖表示由描述連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的微分方程可知,只要將實(shí)現(xiàn)差分方程的方塊圖中的延遲器換為微分器即可得到連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)框圖.然而,由于微分器在實(shí)際中不易實(shí)現(xiàn),故常用積分器來替代為此,需要將微分方程換為積分方程。現(xiàn)考慮由一階微分方程描述的因果連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)：先將方程改寫為由上式可見，它涉及三種基本運(yùn)算：相加、乘以系數(shù)和微分。但由于微分器不僅實(shí)現(xiàn)困難，而且對(duì)誤差和噪聲又極為敏感。為此，將式(2.128)改為(2.128)然后從積分。若所描述的系統(tǒng)是初始松馳的，則(2.130)從的積分就是y(t)(因?yàn)椋?，結(jié)果可得這種形式的系統(tǒng)就可用方框圖來表示(見下圖）。+b其中為積分器圖2.32(2.131)式系統(tǒng)方框圖表示(2.131)圖2.31積分器的方框圖表示注意:在連續(xù)時(shí)間情況下,積分器就代表了該系統(tǒng)的記憶存儲(chǔ)單元,若(2.130)式的積分是從某一有限點(diǎn)開始,這時(shí)為(2.132)(2.132)式表明:y(t)的表征要求有一個(gè)初始條件,即值,這個(gè)值就是積分器在時(shí)刻存儲(chǔ)的值。2.5奇異函數(shù)

按照對(duì)單位沖激信號(hào)的定義，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)有許多完全不同的信號(hào)，當(dāng)時(shí)，其寬度都趨于零，幅度趨于無窮大，其面積始終保持1。即它們?cè)跇O限條件下都滿足沖激信號(hào)的定義。諸如此類的信號(hào)還有許多。這表明關(guān)于函數(shù)的定義是不嚴(yán)格的之所以出現(xiàn)這種情況，是因?yàn)檫@樣的函數(shù)已經(jīng)超出了常規(guī)函數(shù)的范疇，對(duì)這種函數(shù)的定義和運(yùn)算都不能完全按常規(guī)的意義去理解。像這樣的非常規(guī)函數(shù)，通常被稱為奇異函數(shù)或廣義函數(shù)。需要利用廣義函數(shù)或分配函數(shù)的理論對(duì)其作出嚴(yán)格的定義。2.5.1作為理想化短脈沖的單位沖激如前所述,當(dāng)時(shí),的極限就是單位沖激函數(shù),即所以式(2.134)這是單位沖激的一個(gè)基本性質(zhì)。如果取可得(見P68)可改寫為即由理想化短脈沖引出了單位沖激。但事實(shí)上還有許多其它信號(hào),當(dāng)足夠小時(shí),當(dāng)作用于一個(gè)LTI系統(tǒng)時(shí),其表現(xiàn)全像是沖激。所以就想到應(yīng)該將單位沖激借助于一個(gè)LTI系統(tǒng)對(duì)它的響應(yīng)如何來考慮。2.5.2通過卷積定義單位沖激1、通常,一個(gè)信號(hào)總是用它在自變量每一點(diǎn)的值來定義,但是,單位沖激主要考慮的不是在每個(gè)t值它怎么樣,而是在卷積的意義下它有何作為。因此,從線性系統(tǒng)分析的觀點(diǎn),可以將單位沖激定義為一個(gè)信號(hào),其對(duì)任何x(t)有(2.138)根據(jù)(2.138)的運(yùn)算定義,可得到有關(guān)單位沖激的全部性質(zhì)。例如：若令x(t)=1(對(duì)全部t），則所以單位沖激的面積為1

。2、有時(shí)也用另一種完全等效的定義。為了求得這另一種形式，取任意信號(hào)g(t),將其反轉(zhuǎn)得到g(-t),然后再與所卷積。即當(dāng)t=0，得（2.139)令x(t)為一已知信號(hào)固定某一t,定義則有這就是(2.138)式。因此（2.139)式是單位沖激的一個(gè)等效運(yùn)算定義;即:單位沖激是這樣一種信號(hào),當(dāng)它與某一信號(hào)g(t)相乘并在到上積分,其結(jié)果就是g(0)。例：考慮信號(hào)則由（2.139）式可得另一方面,若考慮信號(hào)可得(2.141)(2