浙江省名校2023-2024學年數(shù)學高二上期末統(tǒng)考試題含解析

浙江省名校2023-2024學年數(shù)學高二上期末統(tǒng)考試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓方程為，點在橢圓上，右焦點為F，過原點的直線與橢圓交于A，B兩點，若，則橢圓的方程為（）A. B.C. D.2．方程化簡的結果是（）A. B.C. D.3．設函數(shù)，當自變量t由2變到2.5時，函數(shù)的平均變化率是（）A.5.25 B.10.5C.5.5 D.114．已知圓：，點是直線：上的動點，過點引圓的兩條切線、，其中、為切點，則直線經(jīng)過定點（）A. B.C. D.5．直線的傾斜角是A. B.C. D.6．若雙曲線的離心率為3，則的最小值為（）A. B.1C. D.27．已知等差數(shù)列的前n項和為，公差，若（，），則（）A.2023 B.2022C.2021 D.20208．若方程表示雙曲線，則此雙曲線的虛軸長等于（）A. B.C. D.9．已知一質(zhì)點的運動方程為，其中的單位為米，的單位為秒，則第1秒末的瞬時速度為（）A. B.C. D.10．若圓的半徑為，則實數(shù)（）A. B.-1C.1 D.11．已知直四棱柱的棱長均為，則直線與側(cè)面所成角的正切值為（）A. B.C. D.12．在中，、、所對的邊分別為、、，若，，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知命題恒成立；，若p，均為真，則實數(shù)a的取值范圍__________14．已知圓C：和點，若點N為圓C上一動點，點Q為平面上一點且，則Q點縱坐標的最大值為______15．已知數(shù)列滿足，則的最小值為__________．的前20項和為________16．若橢圓和圓（c為橢圓的半焦距）有四個不同的交點，則橢圓的離心率的取值范圍是_____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓與直線相切（1）求圓O的標準方程；（2）若線段AB的端點A在圓O上運動，端點B的坐標是，求線段AB的中點M的軌跡方程18．（12分）設，已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)在處切線的方程；（2）求函數(shù)在上的最大值19．（12分）已知拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合，雙曲線E的漸近線方程為（1）求拋物線C的標準方程和雙曲線E的標準方程；（2）若O是坐標原點，直線與拋物線C交于A，B兩點，求的面積20．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，，，，，為側(cè)棱包含端點上的動點.（1）當時，求證平面；（2）當直線與平面所成角的正弦值為時，求二面角的余弦值.21．（12分）如圖，C是以為直徑的圓上異于的點，平面平面分別是的中點.（1）證明：平面；（2）若直線與平面所成角的正切值為2，求銳二面角的余弦值.22．（10分）已知命題：“，”，命題：“，”，若“且”為真命題，求實數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得，則橢圓方程可求.【詳解】由點在橢圓上得，由橢圓的對稱性可得，則，故橢圓方程為.故選：A.2、D【解析】由方程的幾何意義得到是橢圓，進而得到焦點和長軸長求解.【詳解】∵方程，表示平面內(nèi)到定點、的距離的和是常數(shù)的點的軌跡，∴它的軌跡是以為焦點，長軸，焦距的橢圓；∴；∴橢圓的方程是，即為化簡的結果故選：D3、B【解析】利用平均變化率的公式即得.【詳解】∵，∴.故選：B.4、D【解析】根據(jù)圓的切線性質(zhì)，結合圓的標準方程、圓與圓的位置關系進行求解即可.【詳解】因為、是圓的兩條切線，所以，因此點、在以為直徑的圓上，因為點是直線：上的動點，所以設，點，因此的中點的橫坐標為：，縱坐標為：，，因此以為直徑的圓的標準方程為：，而圓：，得：，即為直線的方程，由，所以直線經(jīng)過定點，故選：D【點睛】關鍵點睛：由圓的切線性質(zhì)得到點、在以為直徑的圓上，運用圓與圓的位置關系進行求解是解題的關鍵.5、D【解析】由方程得到斜率，然后可得其傾斜角.【詳解】因為直線的斜率為所以其傾斜角為故選：D6、D【解析】由雙曲線的離心率為3和，求得，化簡，結合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線的離心率為3，即，即，又由，可得，所以，當且僅當，即時，“”成立.故選：D【點睛】使用基本不等式解答問題的策略：1、利用基本不等式求最值時，要注意三點：一是各項為正；二是尋求定值；三是考慮等號成立的條件；2、若多次使用基本不等式時，容易忽視等號的條件的一致性，導致錯解；3、巧用“拆”“拼”“湊”：在使用基本不等式時，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中的“正、定、等”的條件.7、C【解析】根據(jù)題意令可得，結合等差數(shù)列前n項和公式寫出，進而得到關于的方程，解方程即可.【詳解】因為，令，得，又，，所以，有，解得.故選：C8、B【解析】根據(jù)雙曲線標準方程直接判斷.【詳解】方程即為，由方程表示雙曲線，可得，所以，，所以虛軸長為，故選：B.9、C【解析】求出即得解.【詳解】解：由題意得，故質(zhì)點在第1秒末的瞬時速度為.故選：C10、B【解析】將圓的方程化為標準方程，即可求出半徑的表達式，從而可求出的值.【詳解】由題意，圓的方程可化為，所以半徑為，解得.故選：B.【點睛】本題考查圓的方程，考查學生的計算求解能力，屬于基礎題.11、D【解析】根據(jù)題意把直線與側(cè)面所成角的正切值轉(zhuǎn)化為在直角三角形中的正切值，即可求出答案.【詳解】由題意可知直四棱柱如下圖所示：取的中點設為點，連接，在直四棱柱中，面，面，，在四邊形中，，，故且.面，面，面，.故直線與側(cè)面所成角的正切值為.故選：D.12、B【解析】利用正弦定理，以及大邊對大角，結合正弦定理，即可求得.【詳解】根據(jù)題意，由正弦定理，可得：，解得，故可得或，由，可得，故故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)題意得到命題為真命題，為假命題，結合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，命題，均為真命題，可得命題為真命題，為假命題，由命題恒成立，可得，解得；又由命題為假命題，可得，解得，所以，即實數(shù)a的取值范圍為.故答案為：.14、【解析】設出點N的坐標，探求出點Q的軌跡，再求出軌跡上在x軸上方且距離x軸最遠的點的縱坐標表達式，借助函數(shù)最值計算作答.【詳解】圓C：的圓心，半徑，圓C與x軸相切，依題意，點M在圓C上，設點，則，線段MN中點，因，則點Q的軌跡是以線段MN為直徑的圓(除點M，N外)，這個軌跡在x軸上方，于是得這個軌跡上的點到x軸的最大距離為：令，于是得，當，即時，，所以Q點縱坐標的最大值為.故答案為：【點睛】結論點睛：圓上的點到定直線距離的最大值等于圓心到該直線距離加半徑.15、①②.【解析】由題設可得，應用累加法求的通項公式，由基本不等式及確定的最小值，再應用裂項求和法求的前20和.【詳解】由題設，，∴，…，，又，∴將上式累加可得：，則，∴，當且僅當時等號成立，又，故最小，則或5，當時，；當時，；∴的最小值為.由上知：，∴前20項和為.故答案為：8，.16、【解析】當圓的直徑介于橢圓長軸和短軸長度范圍之間時，橢圓和圓有四個不同的焦點，由此列不等式，解不等式求得橢圓離心率的取值范圍.【詳解】由于橢圓和圓有四個焦點，故圓的直徑介于橢圓長軸和短軸長度范圍之間，即.由得，兩邊平方并化簡得，即①.由得，兩邊平方并化簡得，解得②.由①②得.故填.【點睛】本小題主要考查橢圓和圓的位置關系，考查橢圓離心率取值范圍的求法，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】(1)由圓心到直線的距離等于半徑即可求出.(2)由相關點法即可求出軌跡方程.【小問1詳解】已知圓與直線相切，所以圓心到直線的距離為半徑．所以，所以圓O的標準方程為：【小問2詳解】設因為AB的中點是M，則，所以，又因A在圓O上運動，則，所以帶入有：，化簡得：．線段AB的中點M的軌跡方程為:.18、（1）（2）當0≤a<2時，f（x）max=8-5a；當a≥2時，f（x）max=-a【解析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可求解；（2）先求函數(shù)的導數(shù)，令導數(shù)等于零，求得兩極值點，然后討論極值點是否在所給區(qū)間內(nèi)，再結合比較區(qū)間端點處的函數(shù)值的大小，可得答案.【小問1詳解】因為，所以，即a=0,所以，f（1）=1,所以切線方程：y-1=3（x-1），即.【小問2詳解】,令得,①當a=0時，f（x）=x3在[0，2]上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以f（x）max=f（2）=8；②當時，即a≥3時，f（x）在[0，2]上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以;③當時，即0<a<3時，f（x）在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以f（x）=max{f（0），f（2）}，（i）若f（0）≥f（2），即2≤a<3，f（x）max=f（0）=-a，（ii）若f（0）<f（2），即0<a<2，f（x）max=f（2）=8-5a；綜上，當0≤a<2時，f（x）max=f（2）=8-5a；當a≥2時，f（x）max=f（0）=-a19、（1）；（2）【解析】（1）由雙曲線的漸近線方程為，可得，繼而得到雙曲線的右焦點為，即為拋物線的焦點坐標，可得，即得解；（2）聯(lián)立直線與拋物線，可得，再由直線過拋物線的焦點，故，三角形的高為O到直線的距離，利用點到直線公式，求解即可【小問1詳解】由題意，雙曲線漸近線方程為：，所以，所以雙曲線E的標準方程為：故雙曲線故雙曲線的右焦點為，所以，，所以【小問2詳解】由題意聯(lián)立，得，又所以因為直線過拋物線的焦點，所以O到直線的距離，20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）連接交于，連接，證得，從而證得平面；（2）過作于，以為原點，建立空間直角坐標系，設，求面的法向量，由直線與平面所成角的正弦值為，求得的值，再用向量法求出二面角的余弦值.【詳解】解：（1）連接交于，連接，由題意，∵，∴，∴，又面，面，∴面.（2）過作于，則在中，，，，以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.設，則，，，，，，，，設向量為平面的一個法向量，則由，有，令，得；記直線與平面所成的角為，則，解得，此時；設向量為平面的一個法向量則由，有，令，得；∴二面角的余弦值為.【點睛】本題考查了線面平行的判定與證明，用向量法求線面角，二面角，還考查了學生的分析能力，空間想象能力，運算能力，屬于中檔題.21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由分別是的中點，得到，在由是圓的直徑，所以，結合面面垂直的性質(zhì)定理，證得面，即可證得面；（2）以C為坐標原點，為x軸，為y軸，過C垂直于面直線為z軸，建立空間直角坐標系，分別求得平面與平面的一個法向量，結合向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】證明：在，因為分別是的中點，所以，又因為是圓的直徑，所以，又由平面平面，平