2023-2024學年上海市楊浦區(qū)高一下冊期中數(shù)學質(zhì)量檢測模擬試題合集2套（含解析）

2023-2024學年上海市楊浦區(qū)高一下冊期中數(shù)學質(zhì)量檢測模擬試題一、填空題1．已知某扇形的圓心角為，半徑為3，則該扇形的弧長為______.【正確答案】根據(jù)扇形的弧長公式直接計算出扇形的弧長.【詳解】因為扇形的弧長，所以，故答案為.2．已知為角α終邊上一點，則=______．【正確答案】/0.2【分析】求出到原點的距離，利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得，的值，再求出即可.【詳解】為角α終邊上一點，，則，，.故3．若，則=__________.【正確答案】2【分析】將對數(shù)式化為指數(shù)式，由此求得.【詳解】由于，所以.故4．已知集合，，則________________.（結(jié)果用區(qū)間表示）【正確答案】先求出集合A，B，再根據(jù)交集的定義即可求出.【詳解】，，.故答案為.5．已知，則=______．【正確答案】/0.6【分析】由得到，再由求解.【詳解】解：因為，所以，故6．函數(shù)的嚴格減區(qū)間為______．【正確答案】/【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)型復合函數(shù)求出單調(diào)遞減區(qū)間作答.【詳解】函數(shù)的定義域為R，令，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在R上是增函數(shù)，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的嚴格減區(qū)間為.故7．化簡：=______．【正確答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導公式化簡作答.【詳解】.故8．若銳角滿足則______.【正確答案】【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關系式可求，的值，利用兩角差的余弦公式即可計算得解．【詳解】、為銳角，，，，，，．故答案為．本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系式，兩角差的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應用，屬于基礎題．9．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當時，（b為常數(shù)），則=______．【正確答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用求出，再利用奇函數(shù)定義求出作答.【詳解】R上的奇函數(shù)，當時，，則，解得，所以.故10．若及是關于x的方程的兩個實根，則實數(shù)k的值為________【正確答案】【分析】根據(jù)韋達定理得到，結(jié)合列出關于的方程，由判別式即可求解.【詳解】因為及是關于x的方程的兩個實根，則，，因為且，所以，即，解得：或，因為方程有兩個實根，所以，解得：或，所以，故答案為.11．已知函數(shù)的圖象恒過定點A，若點A在一次函數(shù)的圖象上，其中，，則的最小值是______．【正確答案】9【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)求出點的坐標，再借助“1”的妙用求出最小值作答.【詳解】函數(shù)中，當，即時，恒有，因此點，而點A在一次函數(shù)的圖象上，則，又，，于是，當且僅當，即時取等號，所以當時，取得最小值9.故912．函數(shù)的定義域為，其圖象上任一點滿足．命題：①函數(shù)一定是偶函數(shù)；②函數(shù)可能既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)；③函數(shù)可以是奇函數(shù)；④函數(shù)是偶函數(shù)，則值域是或；⑤若函數(shù)值域是，則一定是奇函數(shù)．其中正確命題的序號是_________．（填上所有正確的序號）【正確答案】③⑤【分析】結(jié)合的奇偶性、值域等知識確定正確答案.【詳解】由于的定義域是，則，，所以④錯誤.當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，所以的圖象有如下四種情況：（1）（2）（3）（4）根據(jù)圖象可知③⑤正確，①②④故二、單選題13．已知是定義在上的函數(shù)，那么“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“函數(shù)在上的最大值為”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】利用兩者之間的推出關系可判斷兩者之間的條件關系.【詳解】若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上的最大值為，若在上的最大值為，比如，但在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，故在上的最大值為推不出在上單調(diào)遞增，故“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“在上的最大值為”的充分不必要條件，故選：A.14．已知θ為第二象限角，若，則在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【正確答案】C【分析】由，得到，再對k賦值，根據(jù)判斷.【詳解】解：因為θ為第二象限角，所以，則，當時，，當時，，因為，所以，所以第三象限，故選;C15．若，且，則的形狀為（

）A．直角三角形 B．鈍角三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【正確答案】D【分析】由，利用余弦定理得到，再由，利用正弦定理結(jié)合商數(shù)關系得到判斷.【詳解】因為，所以，因為，所以，又因為，所以，即，所以，故是等邊三角形，故選：D.16．若奇函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，又為銳角三角形兩內(nèi)角，則A． B．C． D．【正確答案】C【分析】由“奇函數(shù)y＝f（x）在[﹣1，0]上為單調(diào)遞減函數(shù)”可知f（x）在[0，1]上為單調(diào)遞減函數(shù)，再由“α、β為銳角三角形的兩內(nèi)角”可得到α+β，轉(zhuǎn)化為β＞0，兩邊再取正弦，可得1＞sinα＞sin（β）＝cosβ＞0，由函數(shù)的單調(diào)性可得結(jié)論．【詳解】∵奇函數(shù)y＝f（x）在[﹣1，0]上為單調(diào)遞減函數(shù)∴f（x）在[0，1]上為單調(diào)遞減函數(shù)，∴f（x）在[﹣1，1]上為單調(diào)遞減函數(shù)，又α、β為銳角三角形的兩內(nèi)角，∴α+β，∴β＞0，∴1＞sinα＞sin（β）＝cosβ＞0，∴f（sinα）＜f（cosβ），故選：C．本題主要考查奇偶性和單調(diào)性的綜合運用，還考查了三角函數(shù)的單調(diào)性，屬中檔題．三、解答題17．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的定義域；(2)解不等式.【正確答案】(1)；(2).【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義域建立不等式組，求解即可；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和定義域求解.【詳解】（1）依題意有解得，∴的定義域為；（2）∵，∴，∴，解得，又∵，∴.不等式的解集為.18．如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，銳角α、β的頂點與坐標原點O重合，始邊與x軸的正半軸重合，它們的終邊與單位圓分別交于A、B兩點，已知A、B兩點的橫坐標分別為和．(1)求，的值．(2)求，的值．【正確答案】(1)，；(2)，.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用三角函數(shù)定義求出，再利用平方關系求解作答.（2）利用（1）的結(jié)論，利用二倍角的正余弦公式、和角的正余弦公式求解作答.【詳解】（1）依題意，，而為銳角，所以，.（2）由（1）知，，，，于是，，所以，.19．設常數(shù)，函數(shù).(1)若函數(shù)是奇函數(shù)，求實數(shù)的值；(2)當時，用定義證明在上是嚴格單調(diào)減函數(shù).【正確答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，由求解；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性定義求解.【詳解】（1）解：由題意知：函數(shù)的定義域為，是奇函數(shù)，，即，即，整理可得.；（2）任取，且，則，因為，所以，所以，即，所以在上是嚴格單調(diào)減函數(shù).20．某動物園要為剛?cè)雸@的小動物建造一間兩面靠墻的三角形露天活動室，地面形狀如圖所示，已知已有兩面墻的夾角為，墻AB的長度為12米，（已有兩面墻的可利用長度足夠大），(1)若，求△ABC的周長（結(jié)果精確到0.01米）；(2)為了使小動物能健康成長，要求所建的三角形露天活動室面積，△ABC的面積盡可能大.如何建造能使得該活動室面積最大？并求出最大面積.【正確答案】(1)35.18米；(2)，最大面積為.【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理直接計算作答.（2）利用余弦定理建立關系，再借助均值不等式求解作答.【詳解】（1）在中，由正弦定理得：，，所以△ABC的周長為(米).（2）在中，由余弦定理得：，則，即，當且僅當時取“=”，，所以當，即是正三角形時，，面積取得最大值.21．已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的值域；(2)求函數(shù)嚴格增區(qū)間；(3)若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【正確答案】(1)(2)(3)【分析】（1）首先化簡函數(shù)，再代入函數(shù)的定義域，求函數(shù)的值域；（2）由（1）可知，，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求解；（3）參變分離得恒成立；轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.【詳解】（1）.因為，所以，所以，所以的值域為；（2）因為，又在上嚴格增，所以當時，嚴格增，解得所以函數(shù)的嚴格增區(qū)間為；（3）因為，所以不等式等價于恒成立；即，因為，所以當時，有最大值；所以實數(shù)的取值范圍為.2023-2024學年上海市楊浦區(qū)高一下冊期中數(shù)學質(zhì)量檢測模擬試題一、填空題1．用弧度制表示與角終邊相同的角的集合為________．【正確答案】【分析】根據(jù)角度和弧度關系，以及終邊相同角的關系，即可求解.【詳解】因為所以與終邊相同的角的集合是.故2．已知角的終邊經(jīng)過點，則=__________．【正確答案】－【詳解】試題分析：由已知，，所以由余弦函數(shù)的定義得3．已知扇形的圓心角為，半徑為5，則扇形的面積為______.【正確答案】【分析】利用弧長公式先求解弧長，再利用扇形的面積公式求解.【詳解】因為扇形的圓心角為，半徑為，所以扇形的弧長，所以面積.故答案為.本題主要考查扇形的弧長公式與面積公式，側(cè)重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng)，屬于基礎題..4．已知，則__________.【正確答案】-3【分析】根據(jù)正切的和角公式計算可得答案.【詳解】∵，∴，故-3.5．已知，則___．【正確答案】/－0.6【分析】誘導公式化簡后，弦化切，再代入計算．【詳解】因為，所以．故．6．函數(shù)的最小正周期為________【正確答案】【詳解】試題分析：因為，所以其最小正周期是三角函數(shù)周期7．函數(shù)的定義域為___．【正確答案】【分析】由二次根式中被開方數(shù)非負及正弦函數(shù)性質(zhì)可得．【詳解】由題意，，又，所以，故．8．已知向量與的夾角為π，且，則與方向上的數(shù)量投影是___．【正確答案】【分析】根據(jù)數(shù)量投影的定義計算.【詳解】由題意與方向上的數(shù)量投影是.故．9．在△ABC中，，則△ABC的形狀為___三角形．（填銳角、直角、鈍角）【正確答案】鈍角【分析】由正弦定理得邊的關系，再由余弦定理確定最大角的大小，得三角形形狀．【詳解】因為，由正弦定理得，因此最大，從而角最大，設，則，所以角為鈍角，為鈍角三角形，故鈍角．10．如圖，在中，，是線段的兩個三等分點，，則_____．【正確答案】【分析】依題意可知即可得解.【詳解】據(jù)題設知，．又．所以所以．又與不共線，所以所以．故11．設V是已知平面M上素有向量的集合，對于映射，記的象為．若映射滿足：對所有及任意實數(shù)都有，則f稱為平面M上的線性變換，現(xiàn)有下列命題：①設f是平面M上的線性變換，，則；②若是平面M上的單位向量，對，設，則f是平面M上的線性變換；③對，設，則f是平面M上的線性變換；④設f是平面M上的線性變換，，則對任意實數(shù)k均有．其中的真命題是______（寫出所有真命題的編號）．【正確答案】①③④【分析】取，可判斷①；取，可判斷④；根據(jù)線性變換的定義驗證即可判斷②③.【詳解】取，可知①為真；因為，所以，，當時，，所以②為假；因為，所以，，所以，故③正確；取，可知④為真.故①③④12．已知函數(shù)，若的圖象關于直線對稱，且在上單調(diào)，則的最大值是______．【正確答案】13【分析】根據(jù)的對稱軸，以及其單調(diào)性，初步求得的取值范圍，再對取值進行驗證，即可求得結(jié)果.【詳解】由題意可得，，則，．因為在上單調(diào)，所以，所以，即，解得，則，即．當時，在上不單調(diào)，所以，即不符合題意；當，即時，在上單調(diào)，所以，即符合題意，故的最大值是13．故答案為.本題考查三角函數(shù)中的參數(shù)范圍問題，解決問題的關鍵是充分挖掘函數(shù)對稱性和單調(diào)性，屬困難題.二、單選題13．已知，是兩個不平行的向量，若向量與向量平行，則實數(shù)t等于（

）A．－ B．－1 C．0 D．－2【正確答案】A【分析】由平面向量共線定理求解．【詳解】向量與向量平行,則存在實數(shù),使得,即，又，是兩個不平行的向量，所以，解得，故選：A．14．為了得到函數(shù)的圖像，只需要將函數(shù)的圖像（

）A．向左平移個單位 B．向左平移個單位C．向右平移個單位 D．向右平移個單位【正確答案】B【分析】由三角函數(shù)的平移變換求解即可【詳解】解：函數(shù)的圖像向左平移個單位得.故選：B15．為測量A，B兩地之間的距離，甲同學選定了與A，B不共線的C處，構(gòu)成△ABC，以下是測量數(shù)據(jù)的不同方案：①測量∠A，|AC|，|BC|；②測量∠A，∠B，|BC|；③測量∠C，|AC|，|BC|；④測量∠A，∠B，∠C．要求甲同學選擇的方案能唯一確定A，B兩地之間的距離，這樣方案的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【正確答案】B【分析】根據(jù)正弦定理、余弦定理分析三角形解的個數(shù)．【詳解】選擇方案①，由正弦定理得，，角可能有兩解，從而不一定能唯一確定；選擇方案②，∠A，∠B確定后是確定的，由正弦定理可得是唯一的；選擇方案③，直接由余弦定理求解，是唯一的；選擇方案④，三角形只有三個角的大小，沒法求得邊長，不唯一，因此可選擇方案有②和③兩個．故選：B．三、解答題16．在△ABC中，G滿足，過G的直線與AB，AC分別交于M，N兩點．若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【正確答案】D【分析】由向量的線性運算性質(zhì)得是三角形的重心，由此可用表示出，由三點共線得出，再利用基本不等式求得最小值．【詳解】延長交于，因為，所以是的重心，從而是中點，又，，因為三點共線，所以，即，，當且僅當，即，時等號成立，所以的最小值是，故選：D．17．已知，，(1)若與的夾角為120°，求；(2)若與垂直，求與的夾角.【正確答案】(1)(2)【分析】（1）利用數(shù)量積去求的值；（2）先求得與的夾角夾角的余弦值，再去求與的夾角.【詳解】（1）（2）由與垂直，可得，則則，又，則即與的夾角為18．三角比內(nèi)容豐富，公式很多．若仔細觀察、大膽猜想、科學求證，你也能發(fā)現(xiàn)其中的一些奧秘．現(xiàn)有如下兩個恒等式：（1）；（2）．根據(jù)以上恒等式，請你猜想出一個一般性的結(jié)論并證明．【正確答案】，證明見詳解.【分析】觀察結(jié)構(gòu)猜想等式，利用三角恒等變換證明即可.【詳解】猜想證明：由誘導公式可得，所以19．如圖，某漁船在海上處捕魚時，天氣預報幾小時后會有惡劣天氣，該漁船的東偏北方向上有一個小島可躲避惡劣天氣，在小島的正北方向有一航標燈距離小島25海里，漁船向小島行駛50海里后到達處，測得，海里.（1）求處距離航標燈的距離；（2）求的值.【正確答案】（1）海里；（2）.【分析】(1)利用余弦定理,即可求解.（2）利用正弦定理，即可求解.【詳解】解析：（1）∵，，，∴由余弦定理得，∴海里，（2），由正弦定理得，∴.20．已知函數(shù).(1)把f（x）表示為的形式，并寫出函數(shù)的振幅和初始相位；(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)記函數(shù)在上的值域為A，若，求實數(shù)a的取值范圍．【正確答案】(1)振幅為，初始相位為；(2)，Z；(3)【分析】（1）利用二倍角公式以及兩角和的正弦公式恒等變形即可求解；（2）利用整體法求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）利用函數(shù)