彈性半空間非赫茲輪軌法向壓力分布

彈性半空間非赫茲輪軌法向壓力分布

車輪接觸滑動度的計(jì)算是風(fēng)-列車-橋梁耦合振動分析的中心問題之一。目前在鐵路部門應(yīng)用較為普遍的輪軌接觸蠕滑力計(jì)算模型均為赫茲接觸型,如Kalker線性接觸理論、Kalker簡化理論和Shen-Hedrick-Elkins理論等。赫茲法向接觸理論認(rèn)為接觸點(diǎn)處的曲率半徑為常數(shù),接觸斑為橢圓,接觸斑內(nèi)的壓力為半橢球體分布。實(shí)際上輪軌滾動接觸問題不完全符合赫茲接觸條件,如輪軌接觸型面是由多條不同曲率半徑圓弧組成,輪軌滾動接觸過程的接觸點(diǎn)常常位于這些不同半徑圓弧的交界處,這就不滿足接觸點(diǎn)處曲率半徑是常數(shù)的條件,輪軌之間彈性擠壓量和法向壓力分布的大小和接觸斑區(qū)域與按照赫茲理論求得的結(jié)果均存在一定的差異,在輪緣發(fā)生單接觸斑內(nèi)兩點(diǎn)接觸時的這一差異尤其顯著。在列車-橋梁耦合振動分析中引入橫向風(fēng)作用后會使得車輛相對于軌道發(fā)生較為明顯的橫移,從而使得輪軌發(fā)生輪緣接觸的頻率大為增加。在輪緣接觸情況下,赫茲接觸橢圓面積小于非赫茲接觸面積,最大赫茲正壓力大于最大非赫茲正壓力,這種差異是顯著的,此時輪軌之間還存在大自旋蠕滑,而目前常用的輪軌蠕滑力模型在計(jì)算大自旋蠕滑時均存在較大不足,基于赫茲接觸理論的蠕滑力計(jì)算理論僅能在工程精度內(nèi)處理非輪緣單點(diǎn)接觸的情況?？紤]到基于Kalker精確理論的DUVOROL數(shù)表和TPLP數(shù)表并未公開發(fā)布,本文在以非赫茲接觸理論計(jì)算輪軌接觸法向壓力分布的基礎(chǔ)上,根據(jù)修正的FastSim程序計(jì)算了輪軌在單點(diǎn)接觸、輪緣接觸和單接觸斑內(nèi)兩點(diǎn)接觸情況下的蠕滑力,并編制了便于風(fēng)-列車-橋梁耦合分析應(yīng)用的蠕滑力插值數(shù)表MFTTLM(ModifiedFastSimTractionTable-LM)。1接觸區(qū)域的離散化輪軌接觸非赫茲法向壓力分布的計(jì)算以彈性半空間理論為基礎(chǔ),使用數(shù)值計(jì)算方法得到壓力的分布。兩個彈性體發(fā)生法向接觸時的控制方程為{w1+w2+f12=δ(x,y)∈Cw1+w2+f12＞δ(x,y)?Cp(x,y)≥0(x,y)∈Cp(x,y)=0(x,y)?C∫∫Cp(x,y)dxdy=Ρ(1)???????????????????????????w1+w2+f12=δw1+w2+f12＞δp(x,y)≥0p(x,y)=0∫∫Cp(x,y)dxdy=P(x,y)∈C(x,y)?C(x,y)∈C(x,y)?C(1)式中,C為接觸區(qū)域;w1、w2分別表示接觸切向平面中坐標(biāo)同為(x,y),位于兩個彈性體1、2上的兩個點(diǎn)發(fā)生的彈性變形;f12為接觸切向平面(x,y)坐標(biāo)處的法向間隙;δ為兩個彈性體沿接觸區(qū)域的法向分別在兩個無窮遠(yuǎn)處的相對接近量;p(x,y)為法向壓力分布;P為總的法向壓力大小。對接觸區(qū)域C進(jìn)行離散化,令每個單元內(nèi)各點(diǎn)的彈性位移、法向間隙和壓力大小均為常數(shù)并以單元形心處的值wi、fi和pi來表達(dá)?？紤]到車輪與鋼軌為兩個具有相同彈性常數(shù)(彈性模量E和泊松比ν)的接觸體,在每一個單元形心,控制方程(1)中第1式變形為wi=12(δ-fi)i=1,2,?,n(2)wi=12(δ?fi)i=1,2,?,n(2)根據(jù)Boussinesq關(guān)于彈性半空間在表面集中力作用下的應(yīng)力與變形關(guān)系,在每一個單元形心均存在wi=n∑j=1φijpji=1,2,?,n(3)wi=∑j=1nφijpji=1,2,?,n(3)因此得到每個單元的位移方程n∑j=1φijpj=12(δ-fi)i=1,2,?,n(4)∑j=1nφijpj=12(δ?fi)i=1,2,?,n(4)式中,φij為影響系數(shù),表示j單元內(nèi)部的單位法向均布壓力在i單元形心處產(chǎn)生的法向位移。對于矩形單元,其表達(dá)式為φij=1-ν2πExj+aj∫xj-ajyj+bj∫yj-bjdxdy√(x-xi)2+(y-yi)2(5)對于2a×2b的矩形單元,Love給出了影響系數(shù)的解析表達(dá)式。應(yīng)當(dāng)注意到,在計(jì)算i=j的影響系數(shù)時,式(5)和Love給出的表達(dá)式均為奇異?？紤]到在對接觸區(qū)域進(jìn)行離散時,矩形單元的長寬比越大越容易產(chǎn)生壓力分布的奇異性,正方形單元在矩形類型單元中可以保持最好的離散精度,本文采用正方形對接觸區(qū)域進(jìn)行離散,此時i=j情況下的影響系數(shù)可以通過對式(5)進(jìn)行積分變換得到φij=1-ν2πE8aln(√2+1)(6)根據(jù)每個單元上的位移方程式(4)可以得到離散后的整個接觸區(qū)域的位移方程組[φ11φ12?φ1nφ21φ22?φ2n???φn1φn2?φnn〗[p1p2?pn〗=[(δ-f1)/2(δ-f2)/2?(δ-fn)/2〗記為[Φ][Ρ]=[D](7)位移方程式(7)中方程左邊的法向壓力pi與方程右邊的接近量δ均為未知量,可以使用迭代的方法進(jìn)行求解,具體求解步驟為:①對可能的接觸區(qū)域進(jìn)行離散,根據(jù)輪軌接觸幾何參數(shù)和輪軌踏面的外型計(jì)算接觸區(qū)域各個單元形心處的法向間隙fi(i=1,2,3,…,n)。②指定初始接近量δ,計(jì)算可能的接觸區(qū)域C。③形成當(dāng)前接觸區(qū)域C的影響系數(shù)矩陣,求解法向壓力大小pi(i=1,2,3,…,n)。④判斷接觸區(qū)域C是否全部滿足控制方程(1)中第3式。如果否,則修正接觸區(qū)域C,進(jìn)入步驟③。⑤判斷接觸區(qū)域C是否在一定的收斂誤差范圍內(nèi)滿足控制方程(1)中第5式。如果否,則修正接近量δ,進(jìn)入步驟②,否則計(jì)算結(jié)束。2輪軌接觸的彈性常數(shù)在計(jì)算得到輪軌接觸的接近量和法向壓力分布后,使用FastSim算法計(jì)算輪軌接觸區(qū)域上的蠕滑力。FastSim算法以Kalker的簡化理論為基礎(chǔ),但并不局限于橢圓接觸斑,還可以應(yīng)用于多點(diǎn)接觸的情況并可以得到較好的結(jié)果。當(dāng)將FastSim算法應(yīng)用于非橢圓接觸區(qū)域中時,關(guān)鍵的問題在于合適地確定接觸區(qū)域的彈性常數(shù)L。彈性常數(shù)L與接觸等效橢圓的半軸長ai、bi和半軸長之比ai/bi相關(guān)。當(dāng)輪軌發(fā)生單接觸斑內(nèi)單點(diǎn)接觸時,將非赫茲法向接觸計(jì)算得到的接觸區(qū)域使用長度為l、寬度為w的最小矩形面積包容,定義λ=lw(8)作為對赫茲接觸橢圓半軸長比的修正,同時根據(jù)下式對赫茲接觸橢圓進(jìn)行尺寸修正{aebe=λπaebe=A(9)式中,ae、be為等效接觸橢圓的尺寸;A為非赫茲接觸區(qū)域的面積。以此便可以計(jì)算彈性常數(shù)L。在得到相對赫茲接觸情況進(jìn)行修正之后的彈性常數(shù),在真實(shí)的接觸區(qū)域之上根據(jù)真實(shí)的法向壓力分布應(yīng)用FastSim算法,便可計(jì)算得到輪軌接觸的縱向和橫向蠕滑力。對于輪軌接觸單接觸區(qū)域內(nèi)兩點(diǎn)接觸的情況,利用上面的彈性常數(shù)確定方法對不同的等效橢圓確定不同的彈性常數(shù),在每一個等效接觸橢圓所對應(yīng)的真實(shí)接觸區(qū)域上應(yīng)用FastSim算法,計(jì)算得到輪軌接觸的縱向和橫向蠕滑力。根據(jù)上述的輪軌蠕滑力計(jì)算方法(修正的FastSim),考慮LM磨耗型踏面和60kg/m鋼軌,軌底坡為1∶40,輪緣內(nèi)側(cè)距為1353mm,軌距為1435mm,名義滾動圓半徑r0=420mm,輪重P0=105kN,鋼軌和車輪為同質(zhì)材料,取彈性模量E=210GPa,泊松比ν=0.28,靜摩擦系數(shù)fs=0.3,動摩擦系數(shù)fk=0.29,取行車速度v=30m/s,搖頭角位移ψ和速度˙ψ均為0,輪對橫移y=0~12mm?˙y/ν=0、0.0001、0.0005和0.0010分別對應(yīng)工況(1)、(2)、(3)和(4),計(jì)算得到的左右輪對接觸點(diǎn)處的縱向和橫向蠕滑力隨輪對橫移的變化見圖1和圖2。3輪緣接觸的模型模擬Kalker的三維彈性體非Hertz滾動接觸理論(精確理論)是到目前為止最完善的三維滾動接觸理論,基于此理論的計(jì)算機(jī)程序CONTACT可以求解非Hertz接觸條件下的輪軌滾動接觸蠕滑問題?？紤]到修正的FastSim著重于處理輪緣接觸時的蠕滑力求解,以下僅列出修正的FastSim與CONTACT在計(jì)算輪緣接觸時兩種蠕滑力結(jié)果的對比見表1。計(jì)算輪軌蠕滑力時采用TB錐形踏面和60kg/m鋼軌,軌底坡為1∶40,輪緣內(nèi)側(cè)距為1353mm,軌距為1435mm,名義滾動圓半徑r0=420mm。接觸斑內(nèi)總的法向壓力N=83.6kN,鋼軌和車輪為同質(zhì)材料,取剪切模量G=82GPa,泊松比ν=0.28,靜摩擦系數(shù)fs=0.3,動摩擦系數(shù)fk=0.29。輪對的橫移為11.0mm,搖頭角位移為1.0°。計(jì)算所采用的蠕滑率數(shù)據(jù)確保了輪緣接觸時接觸斑經(jīng)歷由負(fù)向滑動(飽和)→完全黏著→正向滑動(飽和)的整個過程,具有較強(qiáng)的代表性。由表1可見,修正的FastSim與CONTACT的縱向、橫向蠕滑力計(jì)算誤差不超過5%,蠕滑力的合力誤差小于1%,具有比較精確的計(jì)算結(jié)果。因此可以認(rèn)為,修正的FastSim在計(jì)算輪緣接觸時的蠕滑力是可靠的。LM磨耗型踏面和60kg/m鋼軌在輪對橫移為10.0mm、搖頭角位移為0°時發(fā)生單接觸斑內(nèi)兩點(diǎn)接觸,表2為不同蠕滑率下的各種蠕滑力計(jì)算方法得到的蠕滑力差異,計(jì)算條件如本節(jié)開始時所述。由表2可知,在計(jì)算兩點(diǎn)接觸時,Shen-Hedrick-Elkins(S-H-E)理論計(jì)算得到的蠕滑力與修正的FastSim(MF)計(jì)算得到的蠕滑力相比較,縱向蠕滑力的最大相對誤差為11.06%,橫向蠕滑力的最大相對誤差為-34.48%。而FastSim與修正的FastSim計(jì)算結(jié)果對比表明,縱向蠕滑力的最大相對誤差為-7.73%,橫向蠕滑力的最大相對誤差為11.87%。考慮到對于輪軌接觸單接觸區(qū)域兩點(diǎn)(或多點(diǎn))接觸的情況,分別考慮各個接觸等效橢圓計(jì)算蠕滑力的效果要好于將輪軌接觸視為單點(diǎn)接觸,可以認(rèn)為修正的FastSim算法在計(jì)算單接觸斑內(nèi)兩點(diǎn)接觸的蠕滑力時的精度相對于Shen-Hedrick-Elkins理論和FastSim算法均有較大的提高。4平均速度計(jì)算盡管修正的FastSim在計(jì)算輪緣接觸和單接觸斑內(nèi)兩點(diǎn)接觸情況下的蠕滑力時相對目前通用于列車-橋梁耦合中的蠕滑力計(jì)算方法可以給出更加準(zhǔn)確的結(jié)果,更加適合應(yīng)用于風(fēng)-列車-橋梁耦合振動分析之中以便更好地反映橫向風(fēng)對列車-橋梁耦合的影響,但是對于風(fēng)-列車-橋梁耦合動力時程分析所遭遇的大規(guī)模數(shù)值迭代分析而言,修正的FastSim算法計(jì)算蠕滑力的速度(在Pentim4,2.66GHz的CPU,512M的DDR內(nèi)存配置下,計(jì)算一次蠕滑力的平均時間為6s)是不可接受的。因此,針對當(dāng)前鐵路車輛車輪踏面的行業(yè)標(biāo)準(zhǔn),基于修正的FastSim編制了LM磨耗型踏面與60kg/m鋼軌匹配時的蠕滑力插值數(shù)表MFTTLM(ModifiedFastSimTractionTable-LM)。編制插值數(shù)表的基本原理見文獻(xiàn)。5接觸模式分析考慮橫向風(fēng)影響之后的列車-橋梁耦合振動分析需要準(zhǔn)確地處理更多幾率的輪緣接觸,同時為了更好地處理單接觸斑內(nèi)兩點(diǎn)接觸的情況,在以非赫茲接觸理論計(jì)算輪軌接觸法向壓力分布的基礎(chǔ)上,根據(jù)修正的FastSim算法計(jì)算