【考試必備】河北衡水中學中考提前自主招生數學模擬試卷(6套)附解析

中學自主招生數學試卷一．選擇題（每題3分，滿分36分）1．﹣的倒數是（）A． B．﹣ C． D．﹣2．下列標志的圖形中，是軸對稱圖形的是但不是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．下列運算中，結果是a6的式子是（）A．a2?a3 B．a12﹣a6 C．（a3）3 D．（﹣a）64．下列調查方式，你認為最合適的是（）A．了解北京市每天的流動人口數，采用抽樣調查方式 B．旅客上飛機前的安檢，采用抽樣調查方式 C．了解北京市居民”一帶一路”期間的出行方式，采用全面調查方式 D．日光燈管廠要檢測一批燈管的使用壽命，采用全面調查方式5．若x＝﹣4，則x的取值范圍是（）A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜66．已知|a|＝3，b2＝16，且|a+b|≠a+b，則代數式a﹣b的值為（）A．1或7 B．1或﹣7 C．﹣1或﹣7 D．±1或±77．無論a取何值時，下列分式一定有意義的是（）A． B． C． D．8．在平面直角坐標系中，將點A（1，﹣2）向上平移3個單位長度，再向左平移2個單位長度，得到點A′，則點A′的坐標是（）A．（﹣1，1） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2）9．如圖，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，則AB的長是（）A．2 B．3 C．4 D．510．如圖，AB為半圓O的直徑，C是半圓上一點，且∠COA＝60°，設扇形AOC、△COB、弓形BmC的面積為S1、S2、S3，則它們之間的關系是（）A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2 D．S3＜S2＜S111．如圖，已知菱形ABCD中，∠A＝40°，則∠ADB的度數是（）A．40° B．50° C．60° D．70°12．已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，則下列結論中正確的是（）A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．9a+3b+c＞0 D．c+8a＜0二．填空題（滿分18分，每小題3分）13．據測算，我國每年因沙漠造成的直接經濟損失超過5400000萬元，這個數用科學記數法表示為萬元．14．已知扇形的弧長為4π，圓心角為120°，則它的半徑為．15．如圖，在⊙O中，CD是直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，連接BC，若AB＝2cm，∠BCD＝22°30′，則⊙O的半徑為cm．16．如圖，將直線y＝x向下平移b個單位長度后得到直線l，l與反比例函數y＝（x＞0）的圖象相交于點A，與x軸相交于點B，則OA2﹣OB2的值為．17．若一次函數y＝（1﹣2m）x+m的圖象經過點A（x1，y1）和點B（x2，y2），當x1＜x2時，y1＜y2，且與y軸相交于正半軸，則m的取值范圍是．18．如圖（1）是重慶中國三峽博物館，又名重慶博物館，中央地方共建國家級博物館圖（2）是側面示意圖．某校數學興趣小組的同學要測量三峽博物館的高GE．如（2），小杰身高為1.6米，小杰在A處測得博物館樓頂G點的仰角為27°，前進12米到達B處測得博物館樓頂G點的仰角為39°，斜坡BD的坡i＝1：2.4，BD長度是13米，GE⊥DE，A、B、D、E、G在同一平面內，則博物館高度GE約為米．（結果精確到1米，參考數據tan27°≈0.50，tan39°≈0.80）三．解答題19．（6分）計算：（1）sin30°﹣cos45°+tan260°（2）2﹣2+﹣2sin60°+|﹣|20．（6分）求不等式組的非負整數解．21．（8分）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E，F分別為OB，OD的中點，延長AE至G，使EG＝AE，連接CG．（1）求證：△ABE≌△△CDF；（2）當線段AB與線段AC滿足什么數量關系時，四邊形EGCF是矩形？請說明理由．22．（8分）今年西寧市高中招生體育考試測試管理系統(tǒng)的運行，將測試完進行換算統(tǒng)分改為計算機自動生成，現場公布成績，降低了誤差，提高了透明度，保證了公平．考前張老師為了解全市初三男生考試項目的選擇情況（每人限選一項），對全市部分初三男生進行了調查，將調查結果分成五類：A、實心球（2kg）；B、立定跳遠；C、50米跑；D、半場運球；E、其它．并將調查結果繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你根據統(tǒng)計圖解答下列問題：（1）將上面的條形統(tǒng)計圖補充完整；（2）假定全市初三畢業(yè)學生中有5500名男生，試估計全市初三男生中選50米跑的人數有多少人？（3）甲、乙兩名初三男生在上述選擇率較高的三個項目：B、立定跳遠；C、50米跑；D、半場運球中各選一項，同時選擇半場運球、立定跳遠的概率是多少？請用列表法或畫樹形圖的方法加以說明并列出所有等可能的結果．23．（9分）隨著經濟水平的不斷提升，越來越多的人選擇到電影院去觀看電影，體驗視覺盛宴，并且更多的人通過淘票票，貓眼等網上平臺購票，快捷且享受更多優(yōu)惠，電影票價格也越來越便宜．2018年從網上平臺購買5張電影票的費用比在現場購買3張電影票的費用少10元，從網上平臺購買4張電影票的費用和現場購買2張電影票的費用共為190元．（1）請問2018年在網上平臺購票和現場購票的每張電影票的價格各為多少元？（2）2019年“元旦”當天，南坪上海城的“華誼兄弟影院”按照2018年在網上平臺購票和現場購票的電影票的價格進行銷售，當天網上和現場售出電影票總票數為600張．“元旦”假期剛過，觀影人數出現下降，于是該影院決定將1月2日的現場購票的價格下調，網上購票價格保持不變，結果發(fā)現現場購票每張電影票的價格每降價0.5元，則當天總票數比“元旦”當天總票數增加4張，經統(tǒng)計，1月2日的總票數中有通過網上平臺售出，其余均由電影院現場售出，且當天票房總收益為19800元，請問該電影院在1月2日當天現場購票每張電影票的價格下調了多少元？24．（9分）如圖所示，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點D在⊙O上，過點C的切線交AD的延長線于點E，且AE⊥CE，連接CD．（1）求證：DC＝BC；（2）若AB＝5，AC＝4，求tan∠DCE的值．25．（10分）若關于x的二次函數y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數）與x軸交于兩個不同的點A（x1，0），B（x2，0）與y軸交于點C，其圖象的頂點為點M，O是坐標原點．（1）若A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）求此二次函數的解析式并寫出二次函數的對稱軸；（2）如圖1，若a＞0，b＞0，△ABC為直角三角形，△ABM是以AB＝2的等邊三角形，試確定a，b，c的值；（3）設m，n為正整數，且m≠2，a＝1，t為任意常數，令b＝3﹣mt，c＝﹣3mt，如果對于一切實數t，AB≥|2t+n|始終成立，求m、n的值．26．（10分）已知：如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與坐標軸分別交于點A，B（﹣3，0），C（1，0），點P是線段AB上方拋物線上的一個動點．（1）求拋物線解析式；（2）當點P運動到什么位置時，△PAB的面積最大？（3）過點P作x軸的垂線，交線段AB于點D，再過點P作PE∥x軸交拋物線于點E，連接DE，請問是否存在點P使△PDE為等腰直角三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，說明理由．

參考答案一．選擇題1．解：﹣的倒數是：﹣．故選：B．2．解：A、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不合題意；B、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不合題意；C、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不合題意；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，符合題意．故選：D．3．解：A、a2?a3＝a5，故本選項錯誤；B、不能進行計算，故本選項錯誤；C、（a3）3＝a9，故本選項錯誤；D、（﹣a）6＝a6，正確．故選：D．4．解：A、了解北京市每天的流動人口數，采用抽樣調查方式，正確；B、旅客上飛機前的安檢，采用全面調查方式，故錯誤；C、了解北京市居民”一帶一路”期間的出行方式，抽樣調查方式，故錯誤；D、日光燈管廠要檢測一批燈管的使用壽命，采用抽樣調查方式，故錯誤；故選：A．5．解：∵36＜37＜49，∴6＜＜7，∴2＜﹣4＜3，故x的取值范圍是2＜x＜3．故選：A．6．解：∵|a|＝3，∴a＝±3；∵b2＝16，∴b＝±4；∵|a+b|≠a+b，∴a+b＜0，∴a＝3，b＝﹣4或a＝﹣3，b＝﹣4，（1）a＝3，b＝﹣4時，a﹣b＝3﹣（﹣4）＝7；（2）a＝﹣3，b＝﹣4時，a﹣b＝﹣3﹣（﹣4）＝1；∴代數式a﹣b的值為1或7．故選：A．7．解：當a＝0時，a2＝0，故A、B中分式無意義；當a＝﹣1時，a+1＝0，故C中分式無意義；無論a取何值時，a2+1≠0，故選：D．8．解：∵將點A（1，﹣2）向上平移3個單位長度，再向左平移2個單位長度，得到點A′，∴點A′的橫坐標為1﹣2＝﹣1，縱坐標為﹣2+3＝1，∴A′的坐標為（﹣1，1）．故選：A．9．解：∵△ABO∽△CDO，∴＝，∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，∴＝，解得：AB＝4．故選：C．10．解：作OD⊥BC交BC與點D，∵∠COA＝60°，∴∠COB＝120°，則∠COD＝60°．∴S扇形AOC＝；S扇形BOC＝．在三角形OCD中，∠OCD＝30°，∴OD＝，CD＝，BC＝R，∴S△OBC＝，S弓形＝＝，＞＞，∴S2＜S1＜S3．故選：B．11．解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∠ADB＝∠CDB，∴∠A+∠ADC＝180°，∵∠A＝40°，∴∠ADC＝140°，∴∠ADB＝×140°＝70°，故選：D．12．解：A、∵二次函數的圖象開口向下，圖象與y軸交于y軸的正半軸上，∴a＜0，c＞0，∵拋物線的對稱軸是直線x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∴abc＜0，故本選項錯誤；B、∵圖象與x軸有兩個交點，∴b2﹣4ac＞0，故本選項錯誤；C、∵對稱軸是直線x＝1，與x軸一個交點是（﹣1，0），∴與x軸另一個交點的坐標是（3，0），把x＝3代入二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）得：y＝9a+3b+c＝0，故本選項錯誤；D、∵當x＝3時，y＝0，∵b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax+c，把x＝4代入得：y＝16a﹣8a+c＝8a+c＜0，故選：D．二．填空題13．解：5400000＝5.4×106萬元．故答案為5.4×106．14．解：因為l＝，l＝4π，n＝120，所以可得：4π＝，解得：r＝6，故答案為：615．解：連結OB，如圖，∵∠BCD＝22°30′，∴∠BOD＝2∠BCD＝45°，∵AB⊥CD，∴BE＝AE＝AB＝×2＝，△BOE為等腰直角三角形，∴OB＝BE＝2（cm）．故答案為：2．16．解：∵平移后解析式是y＝x﹣b，代入y＝得：x﹣b＝，即x2﹣bx＝5，y＝x﹣b與x軸交點B的坐標是（b，0），設A的坐標是（x，y），∴OA2﹣OB2＝x2+y2﹣b2＝x2+（x﹣b）2﹣b2＝2x2﹣2xb＝2（x2﹣xb）＝2×5＝10，故答案為：10．17．解：∵當1＜2時，y1＜y2，∴函數值y隨x的增大而增大，∴1﹣2m＞0，解得m＜∵函數的圖象與y軸相交于正半軸，∴m＞0，故m的取值范圍是0＜m＜故答案為0＜m＜18．解：如圖，延長CF交GE的延長線于H，延長GE交AB的延長線于J．設GE＝xm．在Rt△BDK中，∵BD＝13，DK：BK＝1：2.4，∴DK＝5，BK＝12，∵AC＝BF＝HJ＝1.6，DK＝EJ＝5，∴EH＝5﹣1.6＝3.4，∵CH﹣FH＝CF，∴﹣＝12，∴﹣＝12，∴x＝12.6≈13（m），故答案為13．三．解答題19．解：（1）原式＝＝（2）原式＝＝20．解：解不等式組得﹣2＜x≤5，所以原不等式組的非負整數解為0，1，2，3，4，5．21．證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF，∵點E，F分別為OB，OD的中點，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：當AC＝2AB時，四邊形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，∵E是OB的中點，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，∵EG＝AE，OA＝OC，∴OE是△ACG的中位線，∴OE∥CG，∴EF∥CG，∴四邊形EGCF是平行四邊形，∵∠OEG＝90°，∴四邊形EGCF是矩形．22．解：（1）被調查的學生總人數：150÷15%＝1000人，選擇B的人數：1000×（1﹣15%﹣20%﹣40%﹣5%）＝1000×20%＝200；補全統(tǒng)計圖如圖所示；（2）5500×40%＝2200人；（3）根據題意畫出樹狀圖如下：所有等可能結果有9種：BB、BC、BD、CB、CC、CD、DB、DC、DD，同時選擇B和D的有2種可能，即BD和DB，P（同時選擇B和D）＝．23．解：（1）設現場購買每張電影票為x元，網上購買每張電影票為y元．依題意列二元一次方程組∵經檢驗解得（2）設1月2日該電影院影票現場售價下調m元，那么會多賣出張電影票．依題意列一元二次方程：（45﹣m）[（600+）×（1﹣）]＝19800﹣25×（600+）（1﹣）整理得：16m2﹣120m＝0m（16m﹣120）＝0解得m1＝0（舍去）m2＝7.5答：（1）2018年在網上平臺購票和現場購票的每張電影票的價格分別為25元和45元；（2）1月2日當天現場購票每張電影票的價格下調了7.5元．24．（1）證明：連接OC．（1分）∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．∵CE是⊙O的切線，∴∠OCE＝90°．（2分）∵AE⊥CE，∴∠AEC＝∠OCE＝90°．∴OC∥AE．∴∠OCA＝∠CAD．∴∠CAD＝∠BAC．（4分）∴．∴DC＝BC．（5分）（2）解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°．∴BC＝＝3．（6分）∵∠CAE＝∠BAC，∠AEC＝∠ACB＝90°，∴△ACE∽△ABC．（7分）∴．∴，．（8分）∵DC＝BC＝3，∴．（9分）∴tan∠DCE＝．（10分）25．解：（1）函數的表達式為：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），則﹣8a＝3，解得：a＝﹣，故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+x+3；（2）如圖所示，△ABC為直角三角形，則∠ACB＝90°，∵△AMB是等邊三角形，則點C是MB的中點，則BC＝MC＝1，則BO＝BC＝，同理OC＝，OA＝2﹣＝，則點A、B、C的坐標分別為（﹣，0）、（，0），（0，﹣），則函數的表達式為：y＝a（x+）（x﹣）＝a（x2+x﹣），即﹣a＝﹣，解得：a＝，則函數表達式為：y＝x2+x﹣；（3）y＝ax2+bx+c＝x2+（3﹣mt）x﹣3mt，則x1+x2＝mt﹣3，x1x2＝﹣3mt，AB＝x2﹣x1＝＝|mt+3|≥|2t+n|，則m2t2+6mt+9≥4t2+4tn+n2，即：（m2﹣4）t2+（6m﹣4n）t+（9﹣n2）≥0，由題意得：m2﹣4＞0，△＝（6m﹣4n）2﹣4（m2﹣4）（9﹣n2）≤0，解得：mn＝6，故：m＝3，n＝2或m＝6，n＝1．26．解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3過點B（﹣3，0），C（1，0）∴解得：∴拋物線解析式為y＝﹣x2﹣2x+3（2）過點P作PH⊥x軸于點H，交AB于點F∵x＝0時，y＝﹣x2﹣2x+3＝3∴A（0，3）∴直線AB解析式為y＝x+3∵點P在線段AB上方拋物線上∴設P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0）∴F（t，t+3）∴PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t∴S△PAB＝S△PAF+S△PBF＝PF?OH+PF?BH＝PF?OB＝（﹣t2﹣3t）＝﹣（t+）2+∴點P運動到坐標為（﹣，），△PAB面積最大（3）存在點P使△PDE為等腰直角三角形設P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），則D（t，t+3）∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t∵拋物線y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4∴對稱軸為直線x＝﹣1∵PE∥x軸交拋物線于點E∴yE＝y(tǒng)P，即點E、P關于對稱軸對稱∴＝﹣1∴xE＝﹣2﹣xP＝﹣2﹣t∴PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t|∵△PDE為等腰直角三角形，∠DPE＝90°∴PD＝PE①當﹣3＜t≤﹣1時，PE＝﹣2﹣2t∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣2∴P（﹣2，3）②當﹣1＜t＜0時，PE＝2+2t∴﹣t2﹣3t＝2+2t解得：t1＝，t2＝（舍去）∴P（，）綜上所述，點P坐標為（﹣2，3）或（，）時使△PDE為等腰直角三角形．中學自主招生數學試卷一．選擇題（每題3分，滿分36分）1．﹣的倒數是（）A． B．﹣ C． D．﹣2．下列標志的圖形中，是軸對稱圖形的是但不是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．下列運算中，結果是a6的式子是（）A．a2?a3 B．a12﹣a6 C．（a3）3 D．（﹣a）64．下列調查方式，你認為最合適的是（）A．了解北京市每天的流動人口數，采用抽樣調查方式 B．旅客上飛機前的安檢，采用抽樣調查方式 C．了解北京市居民”一帶一路”期間的出行方式，采用全面調查方式 D．日光燈管廠要檢測一批燈管的使用壽命，采用全面調查方式5．若x＝﹣4，則x的取值范圍是（）A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜66．已知|a|＝3，b2＝16，且|a+b|≠a+b，則代數式a﹣b的值為（）A．1或7 B．1或﹣7 C．﹣1或﹣7 D．±1或±77．無論a取何值時，下列分式一定有意義的是（）A． B． C． D．8．在平面直角坐標系中，將點A（1，﹣2）向上平移3個單位長度，再向左平移2個單位長度，得到點A′，則點A′的坐標是（）A．（﹣1，1） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，2）9．如圖，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，則AB的長是（）A．2 B．3 C．4 D．510．如圖，AB為半圓O的直徑，C是半圓上一點，且∠COA＝60°，設扇形AOC、△COB、弓形BmC的面積為S1、S2、S3，則它們之間的關系是（）A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2 D．S3＜S2＜S111．如圖，已知菱形ABCD中，∠A＝40°，則∠ADB的度數是（）A．40° B．50° C．60° D．70°12．已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，則下列結論中正確的是（）A．abc＞0 B．b2﹣4ac＜0 C．9a+3b+c＞0 D．c+8a＜0二．填空題（滿分18分，每小題3分）13．據測算，我國每年因沙漠造成的直接經濟損失超過5400000萬元，這個數用科學記數法表示為萬元．14．已知扇形的弧長為4π，圓心角為120°，則它的半徑為．15．如圖，在⊙O中，CD是直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，連接BC，若AB＝2cm，∠BCD＝22°30′，則⊙O的半徑為cm．16．如圖，將直線y＝x向下平移b個單位長度后得到直線l，l與反比例函數y＝（x＞0）的圖象相交于點A，與x軸相交于點B，則OA2﹣OB2的值為．17．若一次函數y＝（1﹣2m）x+m的圖象經過點A（x1，y1）和點B（x2，y2），當x1＜x2時，y1＜y2，且與y軸相交于正半軸，則m的取值范圍是．18．如圖（1）是重慶中國三峽博物館，又名重慶博物館，中央地方共建國家級博物館圖（2）是側面示意圖．某校數學興趣小組的同學要測量三峽博物館的高GE．如（2），小杰身高為1.6米，小杰在A處測得博物館樓頂G點的仰角為27°，前進12米到達B處測得博物館樓頂G點的仰角為39°，斜坡BD的坡i＝1：2.4，BD長度是13米，GE⊥DE，A、B、D、E、G在同一平面內，則博物館高度GE約為米．（結果精確到1米，參考數據tan27°≈0.50，tan39°≈0.80）三．解答題19．（6分）計算：（1）sin30°﹣cos45°+tan260°（2）2﹣2+﹣2sin60°+|﹣|20．（6分）求不等式組的非負整數解．21．（8分）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E，F分別為OB，OD的中點，延長AE至G，使EG＝AE，連接CG．（1）求證：△ABE≌△△CDF；（2）當線段AB與線段AC滿足什么數量關系時，四邊形EGCF是矩形？請說明理由．22．（8分）今年西寧市高中招生體育考試測試管理系統(tǒng)的運行，將測試完進行換算統(tǒng)分改為計算機自動生成，現場公布成績，降低了誤差，提高了透明度，保證了公平．考前張老師為了解全市初三男生考試項目的選擇情況（每人限選一項），對全市部分初三男生進行了調查，將調查結果分成五類：A、實心球（2kg）；B、立定跳遠；C、50米跑；D、半場運球；E、其它．并將調查結果繪制成以下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請你根據統(tǒng)計圖解答下列問題：（1）將上面的條形統(tǒng)計圖補充完整；（2）假定全市初三畢業(yè)學生中有5500名男生，試估計全市初三男生中選50米跑的人數有多少人？（3）甲、乙兩名初三男生在上述選擇率較高的三個項目：B、立定跳遠；C、50米跑；D、半場運球中各選一項，同時選擇半場運球、立定跳遠的概率是多少？請用列表法或畫樹形圖的方法加以說明并列出所有等可能的結果．23．（9分）隨著經濟水平的不斷提升，越來越多的人選擇到電影院去觀看電影，體驗視覺盛宴，并且更多的人通過淘票票，貓眼等網上平臺購票，快捷且享受更多優(yōu)惠，電影票價格也越來越便宜．2018年從網上平臺購買5張電影票的費用比在現場購買3張電影票的費用少10元，從網上平臺購買4張電影票的費用和現場購買2張電影票的費用共為190元．（1）請問2018年在網上平臺購票和現場購票的每張電影票的價格各為多少元？（2）2019年“元旦”當天，南坪上海城的“華誼兄弟影院”按照2018年在網上平臺購票和現場購票的電影票的價格進行銷售，當天網上和現場售出電影票總票數為600張．“元旦”假期剛過，觀影人數出現下降，于是該影院決定將1月2日的現場購票的價格下調，網上購票價格保持不變，結果發(fā)現現場購票每張電影票的價格每降價0.5元，則當天總票數比“元旦”當天總票數增加4張，經統(tǒng)計，1月2日的總票數中有通過網上平臺售出，其余均由電影院現場售出，且當天票房總收益為19800元，請問該電影院在1月2日當天現場購票每張電影票的價格下調了多少元？24．（9分）如圖所示，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點D在⊙O上，過點C的切線交AD的延長線于點E，且AE⊥CE，連接CD．（1）求證：DC＝BC；（2）若AB＝5，AC＝4，求tan∠DCE的值．25．（10分）若關于x的二次函數y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數）與x軸交于兩個不同的點A（x1，0），B（x2，0）與y軸交于點C，其圖象的頂點為點M，O是坐標原點．（1）若A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）求此二次函數的解析式并寫出二次函數的對稱軸；（2）如圖1，若a＞0，b＞0，△ABC為直角三角形，△ABM是以AB＝2的等邊三角形，試確定a，b，c的值；（3）設m，n為正整數，且m≠2，a＝1，t為任意常數，令b＝3﹣mt，c＝﹣3mt，如果對于一切實數t，AB≥|2t+n|始終成立，求m、n的值．26．（10分）已知：如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與坐標軸分別交于點A，B（﹣3，0），C（1，0），點P是線段AB上方拋物線上的一個動點．（1）求拋物線解析式；（2）當點P運動到什么位置時，△PAB的面積最大？（3）過點P作x軸的垂線，交線段AB于點D，再過點P作PE∥x軸交拋物線于點E，連接DE，請問是否存在點P使△PDE為等腰直角三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，說明理由．

參考答案一．選擇題1．解：﹣的倒數是：﹣．故選：B．2．解：A、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不合題意；B、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不合題意；C、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，不合題意；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，符合題意．故選：D．3．解：A、a2?a3＝a5，故本選項錯誤；B、不能進行計算，故本選項錯誤；C、（a3）3＝a9，故本選項錯誤；D、（﹣a）6＝a6，正確．故選：D．4．解：A、了解北京市每天的流動人口數，采用抽樣調查方式，正確；B、旅客上飛機前的安檢，采用全面調查方式，故錯誤；C、了解北京市居民”一帶一路”期間的出行方式，抽樣調查方式，故錯誤；D、日光燈管廠要檢測一批燈管的使用壽命，采用抽樣調查方式，故錯誤；故選：A．5．解：∵36＜37＜49，∴6＜＜7，∴2＜﹣4＜3，故x的取值范圍是2＜x＜3．故選：A．6．解：∵|a|＝3，∴a＝±3；∵b2＝16，∴b＝±4；∵|a+b|≠a+b，∴a+b＜0，∴a＝3，b＝﹣4或a＝﹣3，b＝﹣4，（1）a＝3，b＝﹣4時，a﹣b＝3﹣（﹣4）＝7；（2）a＝﹣3，b＝﹣4時，a﹣b＝﹣3﹣（﹣4）＝1；∴代數式a﹣b的值為1或7．故選：A．7．解：當a＝0時，a2＝0，故A、B中分式無意義；當a＝﹣1時，a+1＝0，故C中分式無意義；無論a取何值時，a2+1≠0，故選：D．8．解：∵將點A（1，﹣2）向上平移3個單位長度，再向左平移2個單位長度，得到點A′，∴點A′的橫坐標為1﹣2＝﹣1，縱坐標為﹣2+3＝1，∴A′的坐標為（﹣1，1）．故選：A．9．解：∵△ABO∽△CDO，∴＝，∵BO＝6，DO＝3，CD＝2，∴＝，解得：AB＝4．故選：C．10．解：作OD⊥BC交BC與點D，∵∠COA＝60°，∴∠COB＝120°，則∠COD＝60°．∴S扇形AOC＝；S扇形BOC＝．在三角形OCD中，∠OCD＝30°，∴OD＝，CD＝，BC＝R，∴S△OBC＝，S弓形＝＝，＞＞，∴S2＜S1＜S3．故選：B．11．解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∠ADB＝∠CDB，∴∠A+∠ADC＝180°，∵∠A＝40°，∴∠ADC＝140°，∴∠ADB＝×140°＝70°，故選：D．12．解：A、∵二次函數的圖象開口向下，圖象與y軸交于y軸的正半軸上，∴a＜0，c＞0，∵拋物線的對稱軸是直線x＝1，∴﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0，∴abc＜0，故本選項錯誤；B、∵圖象與x軸有兩個交點，∴b2﹣4ac＞0，故本選項錯誤；C、∵對稱軸是直線x＝1，與x軸一個交點是（﹣1，0），∴與x軸另一個交點的坐標是（3，0），把x＝3代入二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）得：y＝9a+3b+c＝0，故本選項錯誤；D、∵當x＝3時，y＝0，∵b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax+c，把x＝4代入得：y＝16a﹣8a+c＝8a+c＜0，故選：D．二．填空題13．解：5400000＝5.4×106萬元．故答案為5.4×106．14．解：因為l＝，l＝4π，n＝120，所以可得：4π＝，解得：r＝6，故答案為：615．解：連結OB，如圖，∵∠BCD＝22°30′，∴∠BOD＝2∠BCD＝45°，∵AB⊥CD，∴BE＝AE＝AB＝×2＝，△BOE為等腰直角三角形，∴OB＝BE＝2（cm）．故答案為：2．16．解：∵平移后解析式是y＝x﹣b，代入y＝得：x﹣b＝，即x2﹣bx＝5，y＝x﹣b與x軸交點B的坐標是（b，0），設A的坐標是（x，y），∴OA2﹣OB2＝x2+y2﹣b2＝x2+（x﹣b）2﹣b2＝2x2﹣2xb＝2（x2﹣xb）＝2×5＝10，故答案為：10．17．解：∵當1＜2時，y1＜y2，∴函數值y隨x的增大而增大，∴1﹣2m＞0，解得m＜∵函數的圖象與y軸相交于正半軸，∴m＞0，故m的取值范圍是0＜m＜故答案為0＜m＜18．解：如圖，延長CF交GE的延長線于H，延長GE交AB的延長線于J．設GE＝xm．在Rt△BDK中，∵BD＝13，DK：BK＝1：2.4，∴DK＝5，BK＝12，∵AC＝BF＝HJ＝1.6，DK＝EJ＝5，∴EH＝5﹣1.6＝3.4，∵CH﹣FH＝CF，∴﹣＝12，∴﹣＝12，∴x＝12.6≈13（m），故答案為13．三．解答題19．解：（1）原式＝＝（2）原式＝＝20．解：解不等式組得﹣2＜x≤5，所以原不等式組的非負整數解為0，1，2，3，4，5．21．證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，∴∠ABE＝∠CDF，∵點E，F分別為OB，OD的中點，∴BE＝OB，DF＝OD，∴BE＝DF，在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）解：當AC＝2AB時，四邊形EGCF是矩形；理由如下：∵AC＝2OA，AC＝2AB，∴AB＝OA，∵E是OB的中點，∴AG⊥OB，∴∠OEG＝90°，同理：CF⊥OD，∴AG∥CF，∴EG∥CF，∵EG＝AE，OA＝OC，∴OE是△ACG的中位線，∴OE∥CG，∴EF∥CG，∴四邊形EGCF是平行四邊形，∵∠OEG＝90°，∴四邊形EGCF是矩形．22．解：（1）被調查的學生總人數：150÷15%＝1000人，選擇B的人數：1000×（1﹣15%﹣20%﹣40%﹣5%）＝1000×20%＝200；補全統(tǒng)計圖如圖所示；（2）5500×40%＝2200人；（3）根據題意畫出樹狀圖如下：所有等可能結果有9種：BB、BC、BD、CB、CC、CD、DB、DC、DD，同時選擇B和D的有2種可能，即BD和DB，P（同時選擇B和D）＝．23．解：（1）設現場購買每張電影票為x元，網上購買每張電影票為y元．依題意列二元一次方程組∵經檢驗解得（2）設1月2日該電影院影票現場售價下調m元，那么會多賣出張電影票．依題意列一元二次方程：（45﹣m）[（600+）×（1﹣）]＝19800﹣25×（600+）（1﹣）整理得：16m2﹣120m＝0m（16m﹣120）＝0解得m1＝0（舍去）m2＝7.5答：（1）2018年在網上平臺購票和現場購票的每張電影票的價格分別為25元和45元；（2）1月2日當天現場購票每張電影票的價格下調了7.5元．24．（1）證明：連接OC．（1分）∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA．∵CE是⊙O的切線，∴∠OCE＝90°．（2分）∵AE⊥CE，∴∠AEC＝∠OCE＝90°．∴OC∥AE．∴∠OCA＝∠CAD．∴∠CAD＝∠BAC．（4分）∴．∴DC＝BC．（5分）（2）解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°．∴BC＝＝3．（6分）∵∠CAE＝∠BAC，∠AEC＝∠ACB＝90°，∴△ACE∽△ABC．（7分）∴．∴，．（8分）∵DC＝BC＝3，∴．（9分）∴tan∠DCE＝．（10分）25．解：（1）函數的表達式為：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），則﹣8a＝3，解得：a＝﹣，故拋物線的表達式為：y＝﹣x2+x+3；（2）如圖所示，△ABC為直角三角形，則∠ACB＝90°，∵△AMB是等邊三角形，則點C是MB的中點，則BC＝MC＝1，則BO＝BC＝，同理OC＝，OA＝2﹣＝，則點A、B、C的坐標分別為（﹣，0）、（，0），（0，﹣），則函數的表達式為：y＝a（x+）（x﹣）＝a（x2+x﹣），即﹣a＝﹣，解得：a＝，則函數表達式為：y＝x2+x﹣；（3）y＝ax2+bx+c＝x2+（3﹣mt）x﹣3mt，則x1+x2＝mt﹣3，x1x2＝﹣3mt，AB＝x2﹣x1＝＝|mt+3|≥|2t+n|，則m2t2+6mt+9≥4t2+4tn+n2，即：（m2﹣4）t2+（6m﹣4n）t+（9﹣n2）≥0，由題意得：m2﹣4＞0，△＝（6m﹣4n）2﹣4（m2﹣4）（9﹣n2）≤0，解得：mn＝6，故：m＝3，n＝2或m＝6，n＝1．26．解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3過點B（﹣3，0），C（1，0）∴解得：∴拋物線解析式為y＝﹣x2﹣2x+3（2）過點P作PH⊥x軸于點H，交AB于點F∵x＝0時，y＝﹣x2﹣2x+3＝3∴A（0，3）∴直線AB解析式為y＝x+3∵點P在線段AB上方拋物線上∴設P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0）∴F（t，t+3）∴PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t∴S△PAB＝S△PAF+S△PBF＝PF?OH+PF?BH＝PF?OB＝（﹣t2﹣3t）＝﹣（t+）2+∴點P運動到坐標為（﹣，），△PAB面積最大（3）存在點P使△PDE為等腰直角三角形設P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），則D（t，t+3）∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t∵拋物線y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4∴對稱軸為直線x＝﹣1∵PE∥x軸交拋物線于點E∴yE＝y(tǒng)P，即點E、P關于對稱軸對稱∴＝﹣1∴xE＝﹣2﹣xP＝﹣2﹣t∴PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t|∵△PDE為等腰直角三角形，∠DPE＝90°∴PD＝PE①當﹣3＜t≤﹣1時，PE＝﹣2﹣2t∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣2∴P（﹣2，3）②當﹣1＜t＜0時，PE＝2+2t∴﹣t2﹣3t＝2+2t解得：t1＝，t2＝（舍去）∴P（，）綜上所述，點P坐標為（﹣2，3）或（，）時使△PDE為等腰直角三角形．中學自主招生數學試卷一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分．在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置上）（第2題）1．下列計算結果是x（第2題）A．x2?x3B．x6－xC．x10÷x2D．(x3)22．如圖，一個有蓋的圓柱形玻璃杯中裝有半杯水，若任意放置這個水杯，則水面的形狀不可能是A．B．C．D．3．eq\r(258eq\f(1,256))的值等于A．15eq\f(1,16)B．±15eq\f(1,16)C．16eq\f(1,16)D．±16eq\f(1,16)4．點P（m，n）在平面直角坐標系中的位置如圖所示，則坐標（m＋1，n－1）對應的點可能是A．AB．BC．CD．DABCABCDPOyx（第4題）（第6題）yxOABCMmn（第5題）5．完全相同的4個小矩形如圖所示放置，形成了一個長、寬分別為m，n的大長方形，則圖中陰影部分的周長是A．4mB．4nC．2m＋nD．m＋2n6．如圖，□OABC的周長為14，∠AOC＝60°，以O為原點，OC所在直線為x軸建立直角坐標系，函數y＝eq\f(k,x)（x＞0）的圖像經過□OABC的頂點A和BC的中點M，則k的值為A．2eq\r(3)B．4eq\r(3)C．6D．12

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）7．已知某種紙一張的厚度為0.0087cm．用科學記數法表示0.0087是▲．8．分解因式2x2－4xy＋2y2的結果是▲．9．若式子eq\r(1－2x)在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是▲．10．計算(EQ\R(,6)－eq\r(18))×eq\r(\f(1,3))＋2eq\r(6)的結果是▲．11．若x1，x2是一元二次方程x2－2x－4＝0的兩個實數根，則x1＋x2－x1x2＝▲．12．如圖，點I為△ABC的重心，過點I作PQ∥BC交AB于點P，交AC于點Q．若AB＝6，AC＝4，BC＝5，則PQ的長為▲．13．已知甲、乙兩組數據的折線圖如圖所示，則甲的方差▲乙的方差（填“＞”、“＝”或“＜”）．序號序號（第13題）12345612345670數據甲組數據乙組數據甲、乙數據折線統(tǒng)計圖ABCIPQ（第12題）14．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，⊙O的半徑為2，eq\o(\s\up5(⌒),AC)的長為π，則∠ADC的大小是15．如圖，將邊長為8正方形紙片ABCD沿著EF折疊，使點C落在AB邊的中點M處，點D落在點D'處，MD'與AD交于點G，則△AMG的內切圓半徑的長為▲．AADCBO（第14題）（第15題）ABCDEFGMD'O16．若關于x的不等式組eq\b\lc\{(\a\vs3\al(eq\f(2x＋1,2)＋3＞－1,x＜m))的所有整數解的和是－7，則m的取值范圍是▲．

三、解答題（本大題共11小題，共88分．請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（7分）先化簡，再求值：(eq\f(1,x2－4)＋eq\f(1,x＋2))÷eq\f(x－1,x－2)，其中－2≤x≤2，且x為整數，請你選一個合適的x值代入求值．18．（7分）解方程eq\f(2,3x－1)－1＝eq\f(3,6x－2)．19．（8分）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是CD邊上一點，作等邊△BEF，連接AF．BCDAEFP（第19題）BCDAEFP（第19題）（2）EF與AD交于點P，∠DPE＝48°，求∠CBE的度數．20．（8分）某品牌電腦銷售公司有營銷員14人，銷售部為制定營銷人員月銷售電腦定額，統(tǒng)計了這14人某月的銷售量如下（單位：臺）：銷售量200170130805040人數112532（1）該公司營銷員銷售該品牌電腦的月銷售平均數是▲臺，中位數是▲臺，眾數是▲臺．（2）銷售部經理把每位營銷員月銷售量定為90臺，你認為是否合理？說明理由．21．（8分）甲、乙、丙、丁四名同學進行一次乒乓球單打比賽，要從中選兩位同學打第一場比賽．（1）若由甲挑一名選手打第一場比賽，選中乙的概率是▲；（2）任選兩名同學打第一場，求恰好選中甲、乙兩位同學的概率．ABCM（第22題）22．（7分）如圖，已知M為△ABC的邊BC上一點，請用圓規(guī)和直尺作出一條直線l，使直線l過點M，且B關于ABCM（第22題）23．（8分）某校學生步行到郊外春游．一班的學生組成前隊，速度為4km/h，二班的學生組成后隊，速度為6km/h．前隊出發(fā)1h后，后隊才出發(fā)，同時，后隊派一名聯絡員騎自行車在兩隊之間不間斷地來回進行聯絡，他騎車的速度為akm/h．若不計隊伍的長度，如圖，折線A﹣B﹣C、A﹣D﹣E分別表示后隊、聯絡員在行進過程中，離前隊的路程y(km)與后隊行進時間x(h)之間的部分函數圖像．（1）聯絡員騎車的速度a＝▲；（2）求線段AD對應的函數表達式；（3）求聯絡員折返后第一次與后隊相遇時的時間？AABCDEO12x/heq\f(3,2)eq\f(1,2)y/km4（第23題）24．（8分）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，∠BAD＝90°，點E在BC的延長線上，且∠DEC＝∠BAC．（1）求證：DE是⊙O的切線；ABCDEO（第24題）（2）若AC∥DE，當AB＝ABCDEO（第24題）25．（8分）如圖，A、B、C三個城市位置如圖所示，A城在B城正南方向180km處，C城在B城南偏東37°方向．已知一列貨車從A城出發(fā)勻速駛往B城，同時一輛客車從B城出發(fā)勻速駛往C城，出發(fā)1小時后，貨車到達P地，客車到達M地，此時測得∠BPM＝26°，兩車又繼續(xù)行駛1小時，貨車到達Q地，客車到達N地，此時測得∠BNQ＝45°，求兩車的速度．（參考數據：sin37°≈eq\f(3,5)，cos37°≈eq\f(4,5)，tan37°≈eq\f(3,4)，sin26°≈eq\f(2,5)，cos26°≈eq\f(9,10)，tan26°≈eq\f(1,2)）（第（第25題）A37°45°BPC北東MQN26°26．（8分）已知點A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函數y＝x2＋mx＋n的圖像上，當x1＝1、x2＝3時，y1＝y(tǒng)2．（1）若P（a，b1），Q（3，b2）是函數圖象上的兩點，b1＞b2，則實數a的取值范圍是（▲）A．a＜1B．a＞3C．a＜1或a＞3D．1＜a＜3（2）若拋物線與x軸只有一個公共點，求二次函數的表達式．（3）若對于任意實數x1、x2都有y1＋y2≥2，則n的范圍是▲．27．（11分）如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BDC＝90°，AB＝AD，∠DCB＝60°，CD＝8．（1）若P是BD上一點，且PA＝CD，求∠PAB的度數．（2）①將圖1中的△ABD繞點B順時針旋轉30°，點D落在邊BC上的E處，AE交BD于點O，連接DE，如圖2，求證：DE2＝DO?DB；②將圖1中△ABD繞點B旋轉α得到△A'BD'(A與A'，D與D'是對應點)，若CD'＝CD，則cosα的值為▲．ABABCD（圖1）ABCDEO（圖2）參考答案及評分標準說明：本評分標準每題給出了一種或幾種解法供參考．如果考生的解法與本解答不同，參照本評分標準的精神給分．一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分）題號123456答案ADCBBB二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）7．8.7×10－38．2(x－y)29．x≤eq\f(1,2)10．eq\r(2)＋eq\r(6)11．612．eq\f(10,3)13．＞14．135°15．eq\f(4,3)16．－3＜m≤－2或2＜m≤3三、解答題（本大題共11小題，共88分）17．（本題7分）解：(eq\f(1,x2－4)＋eq\f(1,x＋2))÷eq\f(x－1,x－2)＝eq\f(1＋x－2,(x＋2)(x－2))eq\f(x－2,x－1)＝eq\f(x－1,(x＋2)(x－2))eq\f(x－2,x－1)＝eq\f(1,x＋2)． 5分當x＝0時，原式＝eq\f(1,0＋2)＝eq\f(1,2)或當x＝－1時，原式=eq\f(1,－1+2)＝1． 7分18．（本題7分）解：eq\f(2,3x－1)－1＝eq\f(3,6x－2)兩邊同時乘以2(3x－1)，得4－2(3x－1)＝3 2分4－6x＋2＝3－6x＝－3x＝eq\f(1,2) 5分檢驗：當x＝eq\f(1,2)時，2(3x－1)＝2×(3×eq\f(1,2)－1)≠0．所以，x＝eq\f(1,2)是原方程的解． 7分19.（本題8分）（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC．∵△BEF是等邊三角形，∴BF＝BE，∠FBE＝∠FEB＝60°．∵∠ABC＝60°，∴∠ABC＝∠FBE，∴∠ABC－∠ABE＝∠FBE－∠ABE，即∠EBC＝∠FBA．∴△EBC≌△FBC（SAS）．∴CE＝AF． 4分（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠D＝∠ABC＝60°．∴∠C＝180°－∠D＝120°．在△PDE中，∠D＋∠DPE＋∠PED＝180°，∴∠DEP＝72°．由（1）得，∠FEB＝60°，∴∠BED＝∠DEP＋∠BEP＝72°＋60°＝132°．∴∠CBE＝∠BED－∠C＝132°－120°＝12°． 8分20．（本題8分）（1）90，80，80． 6分（2）不合理，因為若將每位營銷員月銷售量定為90臺，則多數營銷員可能完不成任務． 8分21．（本題8分）解：（1）eq\f(1,3)． 2分（2）隨機選兩位同學打第一場比賽，可能出現的結果有12種，即（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，?。?、（乙，甲）、（乙，丙），（乙，丁）、（丙，甲）、（丙，乙）、（丙，?。ⅲǘ?，甲）、（丁，乙），（丁，丙）、并且它們出現的可能性相等．恰好選中甲、乙兩位同學（記為事件A）的結果有2種，即（甲，乙）、（乙，甲），所以P（A）＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)． 8分22．（本題7分）略 7分23．（本題8分）解：（1） 2分（2）設線段AD所表示的y與x之間的函數表達式為y＝kx＋b．因為y＝kx＋b的圖像過點（0，）與（eq\f(1,2)，），所以eq\b\lc\{(\a\al(b＝，,eq\f(1,2)k＋b＝．))解方程組，得eq\b\lc\{(\a\al(k＝－8，,b＝．))所以線段AD所表示的y與x之間的函數表達式為y＝－8x＋． 5分（3）根據題意，聯絡員出發(fā)eq\f(1,2)h后與第一次追上一班，此時，聯絡員與二班相距3km，折返后需要eq\f(3,12+6)＝eq\f(1,6)(h)，因為eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3)，所以，聯絡員出發(fā)eq\f(2,3)h后與第一次后隊相遇． 8分24．（本題8分）證明：（1）如圖，連接BD，交AC于點F．∵∠BAD＝90°，∴BD是直徑．∴∠BCD＝90°．∴∠DEC＋∠CDE＝90°．∵∠DEC＝∠BAC，∴∠BAC＋∠CDE＝90°．∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC＋∠CDE＝90°．∴∠BDE＝90°，即BD⊥DE．∵點D在⊙O上，ABCDEO（第24題）F∴ABCDEO（第24題）F（2）∵DE∥AC，∠BDE＝90°，∴∠BFC＝90°．∴CB＝AB＝12，AF＝CF＝eq\f(1,2)AC，∵∠CDE＋∠BDC＝90°，∠BDC＋∠CBD＝90°．∴∠CDE＝∠CBD．∵∠DCE＝∠BCD＝90°，∴△BCD∽△DCE，∴eq\f(BC,CD)＝eq\f(CD,CE)，∴CD＝6．∴BD＝6eq\r(5)．同理：△CFD∽△BCD，∴eq\f(CF,BC)＝eq\f(CD,BD)，∴CF＝eq\f(12eq\r(5),5)．∴AC＝2AF＝eq\f(24eq\r(5),5)． 8分25．（本題8分）解：設貨車、客車的速度分別為xkm/h、ykm/h，由題意，得AP＝PQ＝xkm，BM＝MN＝y(tǒng)km.如圖，過點M作ME⊥AB，垂足為E．A37°45°BPCA37°45°BPC北東MQN26°EF∵sinB＝中學自主招生數學試卷一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分．在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置上）（第2題）1．下列計算結果是x（第2題）A．x2?x3B．x6－xC．x10÷x2D．(x3)22．如圖，一個有蓋的圓柱形玻璃杯中裝有半杯水，若任意放置這個水杯，則水面的形狀不可能是A．B．C．D．3．eq\r(258eq\f(1,256))的值等于A．15eq\f(1,16)B．±15eq\f(1,16)C．16eq\f(1,16)D．±16eq\f(1,16)4．點P（m，n）在平面直角坐標系中的位置如圖所示，則坐標（m＋1，n－1）對應的點可能是A．AB．BC．CD．DABCABCDPOyx（第4題）（第6題）yxOABCMmn（第5題）5．完全相同的4個小矩形如圖所示放置，形成了一個長、寬分別為m，n的大長方形，則圖中陰影部分的周長是A．4mB．4nC．2m＋nD．m＋2n6．如圖，□OABC的周長為14，∠AOC＝60°，以O為原點，OC所在直線為x軸建立直角坐標系，函數y＝eq\f(k,x)（x＞0）的圖像經過□OABC的頂點A和BC的中點M，則k的值為A．2eq\r(3)B．4eq\r(3)C．6D．12

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）7．已知某種紙一張的厚度為0.0087cm．用科學記數法表示0.0087是▲．8．分解因式2x2－4xy＋2y2的結果是▲．9．若式子eq\r(1－2x)在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是▲．10．計算(EQ\R(,6)－eq\r(18))×eq\r(\f(1,3))＋2eq\r(6)的結果是▲．11．若x1，x2是一元二次方程x2－2x－4＝0的兩個實數根，則x1＋x2－x1x2＝▲．12．如圖，點I為△ABC的重心，過點I作PQ∥BC交AB于點P，交AC于點Q．若AB＝6，AC＝4，BC＝5，則PQ的長為▲．13．已知甲、乙兩組數據的折線圖如圖所示，則甲的方差▲乙的方差（填“＞”、“＝”或“＜”）．序號序號（第13題）12345612345670數據甲組數據乙組數據甲、乙數據折線統(tǒng)計圖ABCIPQ（第12題）14．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，⊙O的半徑為2，eq\o(\s\up5(⌒),AC)的長為π，則∠ADC的大小是15．如圖，將邊長為8正方形紙片ABCD沿著EF折疊，使點C落在AB邊的中點M處，點D落在點D'處，MD'與AD交于點G，則△AMG的內切圓半徑的長為▲．AADCBO（第14題）（第15題）ABCDEFGMD'O16．若關于x的不等式組eq\b\lc\{(\a\vs3\al(eq\f(2x＋1,2)＋3＞－1,x＜m))的所有整數解的和是－7，則m的取值范圍是▲．

三、解答題（本大題共11小題，共88分．請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（7分）先化簡，再求值：(eq\f(1,x2－4)＋eq\f(1,x＋2))÷eq\f(x－1,x－2)，其中－2≤x≤2，且x為整數，請你選一個合適的x值代入求值．18．（7分）解方程eq\f(2,3x－1)－1＝eq\f(3,6x－2)．19．（8分）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是CD邊上一點，作等邊△BEF，連接AF．BCDAEFP（第19題）BCDAEFP（第19題）（2）EF與AD交于點P，∠DPE＝48°，求∠CBE的度數．20．（8分）某品牌電腦銷售公司有營銷員14人，銷售部為制定營銷人員月銷售電腦定額，統(tǒng)計了這14人某月的銷售量如下（單位：臺）：銷售量200170130805040人數112532（1）該公司營銷員銷售該品牌電腦的月銷售平均數是▲臺，中位數是▲臺，眾數是▲臺．（2）銷售部經理把每位營銷員月銷售量定為90臺，你認為是否合理？說明理由．21．（8分）甲、乙、丙、丁四名同學進行一次乒乓球單打比賽，要從中選兩位同學打第一場比賽．（1）若由甲挑一名選手打第一場比賽，選中乙的概率是▲；（2）任選兩名同學打第一場，求恰好選中甲、乙兩位同學的概率．ABCM（第22題）22．（7分）如圖，已知M為△ABC的邊BC上一點，請用圓規(guī)和直尺作出一條直線l，使直線l過點M，且B關于ABCM（第22題）23．（8分）某校學生步行到郊外春游．一班的學生組成前隊，速度為4km/h，二班的學生組成后隊，速度為6km/h．前隊出發(fā)1h后，后隊才出發(fā)，同時，后隊派一名聯絡員騎自行車在兩隊之間不間斷地來回進行聯絡，他騎車的速度為akm/h．若不計隊伍的長度，如圖，折線A﹣B﹣C、A﹣D﹣E分別表示后隊、聯絡員在行進過程中，離前隊的路程y(km)與后隊行進時間x(h)之間的部分函數圖像．（1）聯絡員騎車的速度a＝▲；（2）求線段AD對應的函數表達式；（3）求聯絡員折返后第一次與后隊相遇時的時間？AABCDEO12x/heq\f(3,2)eq\f(1,2)y/km4（第23題）24．（8分）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，∠BAD＝90°，點E在BC的延長線上，且∠DEC＝∠BAC．（1）求證：DE是⊙O的切線；ABCDEO（第24題）（2）若AC∥DE，當AB＝ABCDEO（第24題）25．（8分）如圖，A、B、C三個城市位置如圖所示，A城在B城正南方向180km處，C城在B城南偏東37°方向．已知一列貨車從A城出發(fā)勻速駛往B城，同時一輛客車從B城出發(fā)勻速駛往C城，出發(fā)1小時后，貨車到達P地，客車到達M地，此時測得∠BPM＝26°，兩車又繼續(xù)行駛1小時，貨車到達Q地，客車到達N地，此時測得∠BNQ＝45°，求兩車的速度．（參考數據：sin37°≈eq\f(3,5)，cos37°≈eq\f(4,5)，tan37°≈eq\f(3,4)，sin26°≈eq\f(2,5)，cos26°≈eq\f(9,10)，tan26°≈eq\f(1,2)）（第（第25題）A37°45°BPC北東MQN26°26．（8分）已知點A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函數y＝x2＋mx＋n的圖像上，當x1＝1、x2＝3時，y1＝y(tǒng)2．（1）若P（a，b1），Q（3，b2）是函數圖象上的兩點，b1＞b2，則實數a的取值范圍是（▲）A．a＜1B．a＞3C．a＜1或a＞3D．1＜a＜3（2）若拋物線與x軸只有一個公共點，求二次函數的表達式．（3）若對于任意實數x1、x2都有y1＋y2≥2，則n的范圍是▲．27．（11分）如圖1，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BDC＝90°，AB＝AD，∠DCB＝60°，CD＝8．（1）若P是BD上一點，且PA＝CD，求∠PAB的度數．（2）①將圖1中的△ABD繞點B順時針旋轉30°，點D落在邊BC上的E處，AE交BD于點O，連接DE，如圖2，求證：DE2＝DO?DB；②將圖1中△ABD繞點B旋轉α得到△A'BD'(A與A'，D與D'是對應點)，若CD'＝CD，則cosα的值為▲．ABABCD（圖1）ABCDEO（圖2）參考答案及評分標準說明：本評分標準每題給出了一種或幾種解法供參考．如果考生的解法與本解答不同，參照本評分標準的精神給分．一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分）題號123456答案ADCBBB二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）7．8.7×10－38．2(x－y)29．x≤eq\f(1,2)10．eq\r(2)＋eq\r(6)11．612．eq\f(10,3)13．＞14．135°15．eq\f(4,3)16．－3＜m≤－2或2＜m≤3三、解答題（本大題共11小題，共88分）17．（本題7分）解：(eq\f(1,x2－4)＋eq\f(1,x＋2))÷eq\f(x－1,x－2)＝eq\f(1＋x－2,(x＋2)(x－2))eq\f(x－2,x－1)＝eq\f(x－1,(x＋2)(x－2))eq\f(x－2,x－1)＝eq\f(1,x＋2)． 5分當x＝0時，原式＝eq\f(1,0＋2)＝eq\f(1,2)或當x＝－1時，原式=eq\f(1,－1+2)＝1． 7分18．（本題7分）解：eq\f(2,3x－1)－1＝eq\f(3,6x－2)兩邊同時乘以2(3x－1)，得4－2(3x－1)＝3 2分4－6x＋2＝3－6x＝－3x＝eq\f(1,2) 5分檢驗：當x＝eq\f(1,2)時，2(3x－1)＝2×(3×eq\f(1,2)－1)≠0．所以，x＝eq\f(1,2)是原方程的解． 7分19.（本題8分）（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC．∵△BEF是等邊三角形，∴BF＝BE，∠FBE＝∠FEB＝60°．∵∠ABC＝60°，∴∠ABC＝∠FBE，∴∠ABC－∠ABE＝∠FBE－∠ABE，即∠EBC＝∠FBA．∴△EBC≌△FBC（SAS）．∴CE＝AF． 4分（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠D＝∠ABC＝60°．∴∠C＝180°－∠D＝120°．在△PDE中，∠D＋∠DPE＋∠PED＝180°，∴∠DEP＝72°．由（1）得，∠FEB＝60°，∴∠BED＝∠DEP＋∠BEP＝72°＋60°＝132°．∴∠CBE＝∠BED－∠C＝132°－120°＝12°． 8分20．（本題8分）（1）90，80，80． 6分（2）不合理，因為若將每位營銷員月銷售量定為90臺，則多數營銷員可能完不成任務． 8分21．（本題8分）解：（1）eq\f(1,3)． 2分（2）隨機選兩位同學打第一場比賽，可能出現的結果有12種，即（甲，乙）、（甲，丙）、（甲，?。?、（乙，甲）、（乙，丙），（乙，?。ⅲū?，甲）、（丙，乙）、（丙，?。ⅲǘ?，甲）、（丁，乙），（丁，丙）、并且它們出現的可能性相等．恰好選中甲、乙兩位同學（記為事件A）的結果有2種，即（甲，乙）、（乙，甲），所以P（A）＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)． 8分22．（本題7分）略 7分23．（本題8分）解：（1） 2分（2）設線段AD所表示的y與x之間的函數表達式為y＝kx＋b．因為y＝kx＋b的圖像過點（0，）與（eq\f(1,2)，），所以eq\b\lc\{(\a\al(b＝，,eq\f(1,2)k＋b＝．))解方程組，得eq\b\lc\{(\a\al(k＝－8，,b＝．))所以線段AD所表示的y與x之間的函數表達式為y＝－8x＋． 5分（3）根據題意，聯絡員出發(fā)eq\f(1,2)h后與第一次追上一班，此時，聯絡員與二班相距3km，折返后需要eq\f(3,12+6)＝eq\f(1,6)(h)，因為eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3)，所以，聯絡員出發(fā)eq\f(2,3)h后與第一次后隊相遇． 8分24．（本題8分）證明：（1）如圖，連接BD，交AC于點F．∵∠BAD＝90°，∴BD是直徑．∴∠BCD＝90°．∴∠DEC＋∠CDE＝90°．∵∠DEC＝∠BAC，∴∠BAC＋∠CDE＝90°．∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC＋∠CDE＝90°．∴∠BDE＝90°，即BD⊥DE．∵點D在⊙O上，ABCDEO（第24題）F∴ABCDEO（第24題）F（2）∵DE∥AC，∠BDE＝90°，∴∠BFC＝90°．∴CB＝AB＝12，AF＝CF＝eq\f(1,2)AC，∵∠CDE＋∠BDC＝90°，∠BDC＋∠CBD＝90°．∴∠CDE＝∠CBD．∵∠DCE＝∠BCD＝90°，∴△BCD∽△DCE，∴eq\f(BC,CD)＝eq\f(CD,CE)，∴CD＝6．∴BD＝6eq\r(5)．同理：△CFD∽△BCD，∴eq\f(CF,BC)＝eq\f(CD,BD)，∴CF＝eq\f(12eq\r(5),5)．∴AC＝2AF＝eq\f(24eq\r(5),5)． 8分25．（本題8分）解：設貨車、客車的速度分別為xkm/h、ykm/h，由題意，得AP＝PQ＝xkm，BM＝MN＝y(tǒng)km.如圖，過點M作ME⊥AB，垂足為E．A37°45°BPCA37°45°BPC北東MQN26°EF∵sinB＝中學自主招生數學試卷一．選擇題（每小題3分，共30分1．（3分）﹣的絕對值是（）A．2 B． C．﹣ D．﹣22．（3分）俗話說：“水滴石穿”，水滴不斷的落在一塊石頭的同一個位置，經過若干年后，石頭上形成了一個深度為0.000000039cm的小洞，則0.000000039用科學記數法可表示為（）A．3.9×10﹣8 B．﹣3.9×10﹣8 C．0.39×10﹣7 D．39×10﹣93．（3分）如圖，將一個圓柱體放置在長方體上，其中圓柱體的底面直徑與長方體的寬相平，則該幾何體的左視圖是（）A． B． C． D．4．（3分）下列運算正確的是（）A．a2+a2＝a4 B．a6÷a2＝a3 C．（﹣2a）3＝﹣8a3 D．（a+1）2＝a2+15．（3分）如圖，把一塊含有45°的直角三角形的兩個頂點放在直尺的對邊上．如果∠1＝20°，那么∠2的度數是（）A．15° B．20° C．25° D．30°6．（3分）在“經典誦讀”比賽活動中，某校10名學生參賽成績如圖所示，對于這10名學生的參賽成績，下列說法正確的是（）A．眾數是90分 B．中位數是95分 C．平均數是95分 D．方差是157．（3分）如圖，PA、PB分別與⊙O相切于A、B兩點，若∠C＝65°，則∠P的度數為（）A．65° B．130° C．50° D．100°8．（3分）若函數y＝（m﹣1）x2﹣6x+m的圖象與x軸有且只有一個交點，則m的值為（）A．﹣2或3 B．﹣2或﹣3 C．1或﹣2或3 D．1或﹣2或﹣39．（3分）如圖，點A在雙曲線y═（x＞0）上，過點A作AB⊥x軸，垂足為點B，分別以點O和點A為圓心，大于OA的長為半徑作弧，兩弧相交于D，E兩點，作直線DE交x軸于點C，交y軸于點F（0，2），連接AC．若AC＝1，則k的值為（）A．2 B． C． D．10．（3分）如圖，點A在x軸上，點B，C在反比例函數y＝（k＞0，x＞0）的圖象上．有一個動點P從點A出發(fā)，沿A→B→C→O的路線（圖中“→”所示路線）勻速運動，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，設△POM的面積為S，點P的運動時間為t，則S關于t的函數圖象大致為（）A． B． C． D．二．填空題（每題3分，共15分）11．（3分）計算：+（﹣1）0﹣（）﹣2＝．12．（3分）如圖，隨機閉合開關S1，S2，S3中的兩個，能夠讓燈泡發(fā)光的概率為．13．（3分）不等式組的解集是．14．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以點A為圓心，AC的長為半徑作交AB于點E，以點B為圓心，BC的長為半徑作交AB于點D，則陰影部分的面積為．15．（3分）如圖，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝2+4，點M、N分別在線段AC、AB上，將△ANM沿直線MN折疊，使點A的對應點D恰好落在線段BC上，當△DCM為直角三角形時，折痕MN的長為．三．解答題16．（8分）先化簡，再求值：（﹣）÷，其中x滿足x2﹣2x﹣2＝0．17．（9分）某校在一次社會實踐活動中，組織學生參觀了虎園、烈士陵園、博物館和植物園，為了解本次社會實踐活動的效果，學校隨機抽取了部分學生，對“最喜歡的景點”進行了問卷調查，并根據統(tǒng)計結果繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖．其中最喜歡烈士陵園的學生人數與最喜歡博物館的學生人數之比為2：1，請結合統(tǒng)計圖解答下列問題：（1）本次活動抽查了名學生；（2）請補全條形統(tǒng)計圖；（3）在扇形統(tǒng)計圖中，最喜歡植物園的學生人數所對應扇形的圓心角是度；（4）該校此次參加社會實踐活動的學生有720人，請求出最喜歡烈士陵園的人數約有多少人？18．（9分）如圖，AB是半圓O的直徑，點P是半圓上不與點A，B重合的動點，PC∥AB，點M是OP中點．（1）求證：四邊形OBCP是平行四邊形；（2）填空：①當∠BOP＝時，四邊形AOCP是菱形；②連接BP，當∠ABP＝時，PC是⊙O的切線．19．（9分）某數學活動小組實地測量湛河兩岸互相平行的一段東西走向的河的寬度，在河的北岸邊點A處，測得河的南岸邊點B處在其南偏東45°方向，然后向北走20米到達點C處，測得點B在點C的南偏東33°方向，求出這段河的寬度．（結果精確到1米，參考數據：sin33°＝0.54，cos33°≈0.84，tan33°＝0.65，≈1.41）20．（9分）如圖，已知反比例函數y＝（m≠0）的圖象經過