二次函數(shù)綜合(動(dòng)點(diǎn))問題-三角形存在問題培優(yōu)教（學(xué)）案(一)(橫版)

...wd......wd......wd...二次函數(shù)綜合〔動(dòng)點(diǎn)〕問題——三角形存在問題〔一〕適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級(jí)初中三年級(jí)適用區(qū)域全國(guó)新課標(biāo)課時(shí)時(shí)長(zhǎng)〔分鐘〕60分鐘知識(shí)點(diǎn)1、三角形的性質(zhì)和判定2、求作等腰三角形，直角三角形的方法教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能1、掌握各類三角形的判定以及性質(zhì)；2、會(huì)用“兩圓一線〞、“兩線一圓〞求作等腰三角形和直角三角形；過程與方法1、首先要明確各種三角形的性質(zhì)以及判定；2、理解等腰三角形的特征，明確腰相等，可以任意兩腰相等；3、理解直角三角形的特征，明確有一個(gè)角是直角，可以是任意的內(nèi)角；4、先研究三角形的性質(zhì)，再將三角形放到二次函數(shù)圖像中進(jìn)展綜合運(yùn)用。5、充分運(yùn)用數(shù)學(xué)結(jié)合、轉(zhuǎn)化、方程等數(shù)學(xué)思想來幫助解題。情感、態(tài)度與價(jià)值觀1、培養(yǎng)學(xué)生的處理圖像綜合運(yùn)用的能力；2、讓學(xué)生養(yǎng)成從特殊到一般，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的學(xué)習(xí)方法；3、形成對(duì)圖形的處理能力，形成解題技巧，樹立對(duì)解決此類問題的信心。教學(xué)重點(diǎn)是否存在一點(diǎn)使得三角形是等腰三角形、直角三角形，如果存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)教學(xué)難點(diǎn)是否存在一點(diǎn)使得三角形是等腰三角形、直角三角形，如果存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)教學(xué)過程一、課堂導(dǎo)入1、在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A〔4，4〕、B〔-4，4〕，試在x軸上找出點(diǎn)P，使△APB為直角三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)2、在平面直角坐標(biāo)系中找出所有的點(diǎn)C，使得△ABC是以AB為腰的等腰三角形，且C點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)為自然數(shù)．畫出C點(diǎn)的位置并寫出C點(diǎn)的坐標(biāo)．問題：這是我們?cè)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系那章學(xué)習(xí)的內(nèi)容，如果我們將二次函數(shù)容納其中，在拋物線上求作一點(diǎn)，使得三角形是等腰三角形〔等邊三角形、直角三角形等〕并求出該點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),又該如何解答呢二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式：1、列二次函數(shù)解應(yīng)用題與列整式方程解應(yīng)用題的思路和方法是一致的，不同的是，學(xué)習(xí)了二次函數(shù)后，表示量與量的關(guān)系的代數(shù)式是含有兩個(gè)變量的等式．對(duì)于應(yīng)用題要注意以下步驟：(1)審清題意，弄清題中涉及哪些量，量有幾個(gè)，量與變量之間的根本關(guān)系是什么，找出等量關(guān)系(即函數(shù)關(guān)系)．(2)設(shè)出兩個(gè)變量，注意分清自變量和因變量，同時(shí)還要注意所設(shè)變量的單位要準(zhǔn)確．(3)列函數(shù)表達(dá)式，抓住題中含有等量關(guān)系的語(yǔ)句，將此語(yǔ)句抽象為含變量的等式，這就是二次函數(shù)．(4)按題目要求，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應(yīng)的問題。(5)檢驗(yàn)所得解是否符合實(shí)際：即是否為所提問題的答案．(6)寫出答案．2、常見題目類型(1)幾何類(三角形、四邊形、圓等)一般問題是求圖形的面積，首先可以根據(jù)特殊圖形的面積公式來求解，這時(shí)關(guān)鍵是表示出公式里各個(gè)局部的代數(shù)式；其次，如果不是特殊的圖形，可以通過特殊圖形的面積相加減來表示；最后，還可以通過構(gòu)造特殊圖形來進(jìn)展表示求解；總之，要根據(jù)題目給的條件實(shí)際運(yùn)用。(2)橋梁?jiǎn)栴}這類題型是出現(xiàn)較多的類型，首先應(yīng)該建設(shè)適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，將橋梁的拱形轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)來進(jìn)展求解，強(qiáng)調(diào)的是特殊點(diǎn)的表示與運(yùn)用。(3)銷售問題這類題型會(huì)在考試中頻繁出現(xiàn)，解題的方法就是：圍繞總利潤(rùn)=〔售價(jià)-進(jìn)價(jià)〕×數(shù)量這個(gè)公式去進(jìn)展，難度大一點(diǎn)的就是會(huì)涉及提價(jià)跟降價(jià)兩種情況，關(guān)鍵是要根據(jù)題意分別表示出降價(jià)或者提價(jià)后商品的售價(jià)、數(shù)量〔進(jìn)價(jià)一般不變〕，然后再通過公式將各個(gè)局部組合在一起就可以了。二次函數(shù)的應(yīng)用：1、應(yīng)用類型一、利用二次函數(shù)求實(shí)際問題中的最大〔小〕值：這類問題常見有面積、利潤(rùn)銷售量的最大〔小〕值，一般這類問題的解題方法是：先表示出二次函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題來求解即可。2、應(yīng)用類型二、利用二次函數(shù)解決拋物線形建筑問題:這類型的題目關(guān)鍵是要求出二次函數(shù)解析式，再根據(jù)解析式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)。3、應(yīng)用類型三、利用二次函數(shù)求跳水、投籃、網(wǎng)球等實(shí)際問題；這類型的題目關(guān)鍵是要求出二次函數(shù)解析式，再根據(jù)解析式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)。三、知識(shí)講解考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)1三角形的性質(zhì)和判定：1、等腰三角形性質(zhì)：兩腰相等，兩底角相等，三線合一〔中線、高線、角平分線〕。判定：兩腰相等，兩底角相等，三線合一〔中線、高線、角平分線〕的三角形是等腰三角形。2、直角三角形性質(zhì)：滿足勾股定理的三邊關(guān)系，斜邊上的中線等于斜邊的一半。判定：有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形。3、等腰直角三角形性質(zhì)：具有等腰三角形和等邊三角形的所以性質(zhì)，兩底角相等且等于45°。判定：具有等腰三角形和等邊三角形的所以性質(zhì)的三角形是等腰直角三角形4、等邊三角形性質(zhì)：三邊相等，三個(gè)角相等且等于60°，三線合一，具有等腰三角形的一切性質(zhì)。判定：三邊相等，三個(gè)角相等，有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形?？键c(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)2求作等腰三角形、直角三角形的方法：圖一兩圓一線圖解圖二兩線一圓圖解總結(jié)：〔1〕通過“兩圓一線〞可以找到所有滿足條件的等腰三角形，要求的點(diǎn)〔不與A、B點(diǎn)重合〕即在兩圓上以及兩圓的公共弦上〔2〕通過“兩線一圓〞可以找到所有滿足條件的直角三角形，要求的點(diǎn)〔不與A、B點(diǎn)重合〕即在圓上以及在兩條與直徑AB垂直的直線上。考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)3等腰三角形、直角三角形可能的情況：A(1)當(dāng)所求三角形是等腰三角形時(shí)，可以是三角形任意兩邊相等，即：AB=AC、AB=BC、AC=BC如圖；ACBCBA(2)當(dāng)所求三角形是直角三角形時(shí)，可以是三角形任意的內(nèi)角為直角,即：∠A=90°、∠B=90°、∠C=90°，如以下圖；ACBCB考點(diǎn)/易錯(cuò)點(diǎn)4二次函數(shù)中三角形的存在性問題解題思路：〔1〕先分類，羅列線段的長(zhǎng)度，如果是等腰三角形則分別令三邊兩兩相等去求解；如果是直角三角形則分別令每個(gè)內(nèi)角等腰90°去分類討論；〔2〕再畫圖；〔3〕后計(jì)算。四、例題精析【例題1】【題干】〔揚(yáng)州〕拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A〔-1，0〕、B〔3，0〕、C〔0，3〕三點(diǎn)，直線l是拋物線的對(duì)稱軸．〔1〕求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；〔2〕設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；〔3〕在直線l上是否存在點(diǎn)M，使△MAC為等腰三角形假設(shè)存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)y=-x2+2x+3；(2)P〔1，2〕；(3)M〔1，6〕〔1，-6〕〔1，1〕〔1，0〕．【解析】解：〔1〕將A〔-1，0〕、B〔3，0〕、C〔0，3〕代入拋物線y=ax2+bx+c中，得：a-b+c∴拋物線的解析式：y=-x2+2x+3．〔2〕連接BC，直線BC與直線l的交點(diǎn)為P；∵點(diǎn)A、B關(guān)于直線l對(duì)稱，∴PA=PB，∴BC=PC+PB=PC+PA設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b〔k≠0〕，將B〔3，0〕，C〔0，3〕代入上式，得：3k+b∴直線BC的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-x+3；當(dāng)x=1時(shí)，y=2，即P的坐標(biāo)〔1，2〕．〔3〕拋物線的對(duì)稱軸為：x=-bMA2=m2+4，MC2=〔3-m〕2+1=m2-6m+10，AC2=10；①假設(shè)MA=MC，則MA2=MC2，得：m2+4=m2-6m+10，得：m=1；②假設(shè)MA=AC，則MA2=AC2，得：m2+4=10，得：m=±6；③假設(shè)MC=AC，則MC2=AC2，得：m2-6m+10=10，得：m1=0，m2=6；當(dāng)m=6時(shí)，M、A、C三點(diǎn)共線，構(gòu)不成三角形，不合題意，故舍去；綜上可知，符合條件的M點(diǎn)，且坐標(biāo)為M〔1，6〕〔1，-6〕〔1，1〕〔1，0〕．【例題2】【題干】〔攀枝花〕如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A〔-3，0〕，B〔1，0〕，C〔0，-3〕．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕假設(shè)點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，設(shè)△PAC的面積為S，求S的最大值并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；〔3〕設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，DE⊥x軸于點(diǎn)E，在y軸上是否存在點(diǎn)M，使得△ADM是直角三角形假設(shè)存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)y=x2+2x-3；(2)P的坐標(biāo)為〔-32，-154〕；(3)〔0，3【解析】解：〔1〕由于拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A〔-3，0〕，B〔1，0〕，可設(shè)拋物線的解析式為：y=a〔x+3〕〔x-1〕，將C點(diǎn)坐標(biāo)〔0，-3〕代入，得：a〔0+3〕〔0-1〕=-3，解得a=1，則y=〔x+3〕〔x-1〕=x2+2x-3，所以拋物線的解析式為：y=x2+2x-3；〔2〕過點(diǎn)P作x軸的垂線，交AC于點(diǎn)N．設(shè)直線AC的解析式為y=kx+m，由題意，得-3k∴直線AC的解析式為：y=-x-3．設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為〔x，x2+2x-3〕，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為〔x，-x-3〕，∴PN=PE-NE=-〔x2+2x-3〕+〔-x-3〕=-x2-3x．∵S△PAC=S△PAN+S△PCN，S=12PN?OA=12×3〔-x2-3x〕=-32〔x+32〕∴當(dāng)x=-32時(shí)，S有最大值278，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔-32〔3〕在y軸上是存在點(diǎn)M，能夠使得△ADM是直角三角形．理由如下：∵y=x2+2x-3=y=〔x+1〕2-4，∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為〔-1，-4〕，∵A〔-3，0〕，∴AD2=〔-1+3〕2+〔-4-0〕2=20．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為〔0，t〕，分三種情況進(jìn)展討論：①當(dāng)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖3①，由勾股定理，得AM2+AD2=DM2，即〔0+3〕2+〔t-0〕2+20=〔0+1〕2+〔t+4〕2，解得t=32所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為〔0，32〕；②當(dāng)D為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖3②，由勾股定理，得DM2+AD2=AM2，即〔0+1〕2+〔t+4〕2+20=〔0+3〕2+〔t-0〕2，解得t=-72所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為〔0，-72③當(dāng)M為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖3③，由勾股定理，得AM2+DM2=AD2，即〔0+3〕2+〔t-0〕2+〔0+1〕2+〔t+4〕2=20，解得t=-1或-3，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為〔0，-1〕或〔0，-3〕；綜上可知，在y軸上存在點(diǎn)M，能夠使得△ADM是直角三角形，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為〔0，32〕或〔0，-7【例題3】【題干】〔東營(yíng)〕在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A〔0，2〕，點(diǎn)C〔1，0〕，如以下圖，拋物線y=ax2-ax-2經(jīng)過點(diǎn)B．〔1〕求點(diǎn)B的坐標(biāo)；〔2〕求拋物線的解析式；〔3〕在拋物線上是否還存在點(diǎn)P〔點(diǎn)B除外〕，使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形假設(shè)存在，求所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔3，1〕；(2)y=12x2-12x-2；(3)P1〔-1，-1〕，P2【解析】解：〔1〕過點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°，∴∠BCD=∠CAO，又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BDC≌△COA，∴BD=OC=1，CD=OA=2，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔3，1〕；〔2〕∵拋物線y=ax2-ax-2過點(diǎn)B〔3，1〕，∴1=9a-3a-2，解得：a=12∴拋物線的解析式為y=12x2-12x-2〔3〕假設(shè)存在點(diǎn)P，使得△ACP是等腰直角三角形，①假設(shè)以AC為直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則延長(zhǎng)BC至點(diǎn)P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，過點(diǎn)P1作P1M⊥x軸，如圖〔1〕，∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC，∴CM=CD=2，P1M=BD=1，∴P1〔-1，-1〕，經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)P1在拋物線y=12x2-1②假設(shè)以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則過點(diǎn)A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，過點(diǎn)P2作P2N⊥y軸，如圖〔2〕，同理可證△AP2N≌△CAO，∴NP2=OA=2，AN=OC=1，∴P2〔-2，1〕，經(jīng)檢驗(yàn)P2〔-2，1〕也在拋物線y=12x2-1③假設(shè)以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則過點(diǎn)A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，過點(diǎn)P3作P3H⊥y軸，如圖〔3〕，同理可證△AP3H≌△CAO，∴HP3=OA=2，AH=OC=1，∴P3〔2，3〕，經(jīng)檢驗(yàn)P3〔2，3〕不在拋物線y=12x2-1故符合條件的點(diǎn)有P1〔-1，-1〕，P2〔-2，1〕兩點(diǎn)．五、課堂運(yùn)用【根基】1.〔曲靖模擬〕如圖，二次函數(shù)y=ax2-4x+c的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A〔-1，0〕和點(diǎn)C〔0，-5〕．〔1〕求該二次函數(shù)的解析式和它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)．〔2〕在上面所求二次函數(shù)的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P〔2，-2〕，連接OP，找出x軸上所有點(diǎn)M的坐標(biāo)，使得△OPM是等腰三角形．【答案】(1)y=x2-4x-5，B〔5，0〕；(2)M的坐標(biāo)是〔4，0〕、〔2，0〕、〔-22，0〕、〔22，0〕.【解析】解：〔1〕根據(jù)題意，得0＝解得a＝∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2-4x-5，當(dāng)y=0時(shí)，x2-4x-5=0，解得：x1=5，x2=-1，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是〔-1，0〕，∴B〔5，0〕，答：該二次函數(shù)的解析式是y=x2-4x-5，和它與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)是〔5，0〕．〔2〕令y=0，得二次函數(shù)y=x2-4x-5的圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)B〔5，0〕，由于P〔2，-2〕，符合條件的坐標(biāo)有共有4個(gè)，分別是M1〔4，0〕M2〔2，0〕M3〔-22，0〕M4〔22，0〕，答：x軸上所有點(diǎn)M的坐標(biāo)是〔4，0〕、〔2，0〕、〔-22，0〕、〔22，0〕，使得△OPM是等腰三角形．2.〔德宏州〕二次函數(shù)y=x2+bx+c圖象的對(duì)稱軸是直線x=2，且過點(diǎn)A〔0，3〕．〔1〕求b、c的值；〔2〕求出該二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；〔3〕如果某個(gè)一次函數(shù)圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)M．問在這個(gè)一次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P，使得△PBC是直角三角形假設(shè)存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)b=-4，c=3；(2)B〔3，0〕，C〔1，0〕；(3)P的坐標(biāo)是〔65，-35〕或〔2，-1〕或〔3，-32【解析】解：〔1〕二次函數(shù)y=x2+bx+c圖象的對(duì)稱軸是直線x=2，且過點(diǎn)A〔0，3〕，代入得：-b2×1解得：b=-4，c=3，答：b=-4，c=3．〔2〕把b=-4，c=3代入得：y=x2-4x+3，當(dāng)y=0時(shí)，x2-4x+3=0，解得：x1=3，x2=1，B〔3，0〕，C〔1，0〕，答：二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是〔3，0〕，〔1，0〕．〔3〕存在：理由是：y=x2-4x+3，=〔x-2〕2-1，頂點(diǎn)坐標(biāo)是〔2，-1〕，設(shè)一次函數(shù)的解析式是y=kx+b，把〔0，0〕，〔2，-1〕代入得：0＝解得：k＝∴y=-12設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)是〔x，-1取BC的中點(diǎn)M，以M為圓心，以BM為半徑畫弧交直線于Q、H，則Q、H符合條件，由勾股定理得；〔x-2〕2+(--12xx解得：x1=-65x，x∴Q〔65，-過B作BF⊥X軸交直線于F，把x=3代入y=-12x得：y=-∴F〔3，-32過C作CE⊥X軸交直線于E，同法可求：E〔1，-12∴P的坐標(biāo)是〔65，-35〕或〔2，-1〕或〔3，-32答：存在，P的坐標(biāo)是〔65，-35〕或〔2，-1〕或〔3，-33.〔淮安〕如圖．二次函數(shù)y=-x2+bx+3的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A〔4，0〕，與y軸交于點(diǎn)B．〔1〕求此二次函數(shù)關(guān)系式和點(diǎn)B的坐標(biāo)；〔2〕在x軸的正半軸上是否存在點(diǎn)P．使得△PAB是以AB為底邊的等腰三角形假設(shè)存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】y=-x2+134x+3，B〔0，3〕；(2)P的坐標(biāo)為〔78【解析】解：〔1〕把點(diǎn)A〔4，0〕代入二次函數(shù)有：0=-16+4b+3得：b=13所以二次函數(shù)的關(guān)系式為：y=-x2+134當(dāng)x=0時(shí)，y=3∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔0，3〕．〔2〕如圖：作AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)P，連接BP，則：BP=AP，設(shè)BP=AP=x，則OP=4-x，在直角△OBP中，BP2=OB2+OP2即：x2=32+〔4-x〕2解得：x=25∴OP=4-258所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為：〔78綜上可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔78【穩(wěn)固】1.〔貴陽(yáng)〕如圖，經(jīng)過點(diǎn)A〔0，-6〕的拋物線y=12x2〔1〕求此拋物線的函數(shù)關(guān)系式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；〔2〕將〔1〕中求得的拋物線向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移m〔m＞0〕個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線y1，假設(shè)新拋物線y1的頂點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，求m的取值范圍；〔3〕在〔2〕的結(jié)論下，新拋物線y1上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAB是以AB為底邊的等腰三角形請(qǐng)分析所有可能出現(xiàn)的情況，并直接寫出相對(duì)應(yīng)的m的取值范圍．【答案】(1)〔2，-8〕；(2)3＜m＜8；(3)3＜m＜10318;m=103【解析】解：〔1〕將A〔0，-6〕，B〔-2，0〕代入y=12x2得：-6＝解得：b＝∴y=12x2∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為〔2，-8〕；〔2〕將〔1〕中求得的拋物線向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移m〔m＞0〕個(gè)單位長(zhǎng)度得到新拋物線y1=12〔x-2+1〕2∴P〔1，-8+m〕，在拋物線y=12x2∴直線AC為y2=x-6，當(dāng)x=1時(shí)，y2=-5，∴-5＜-8+m＜0，解得：3＜m＜8；〔3〕∵A〔0，-6〕，B〔-2，0〕，∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為〔-1，-3〕，直線AB的解析式為y=-3x-6，∴過AB的中點(diǎn)且與AB垂直的直線的解析式為：y=13x-8∴直線y=13x-83與y=12聯(lián)立方程，求的判別式為：△=64-12〔6m-29〕≥0解得：m≤103∴①當(dāng)3＜m＜10318②當(dāng)m=10318③當(dāng)103182.〔賀州〕二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，經(jīng)過點(diǎn)A〔1，14〔1〕求二次函數(shù)的解析式；〔2〕點(diǎn)P是〔1〕中圖象上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線與直線y=-1交于點(diǎn)M，求證：FM平分∠OFP；〔3〕當(dāng)△FPM是等邊三角形時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)y=14x2；(2)見解析；(3)P的坐標(biāo)為〔23，3〕或〔-23【解析】〔1〕解：∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=ax2，將點(diǎn)A〔1，14〕代入y=ax2得：a=1∴二次函數(shù)的解析式為y=14x2〔2〕證明：∵點(diǎn)P在拋物線y=14x2∴可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔x，14x2過點(diǎn)P作PB⊥y軸于點(diǎn)B，則BF=14x2∴Rt△BPF中，PF=(14x2-∵PM⊥直線y=-1，∴PM=14x2∴PF=PM，∴∠PFM=∠PMF，又∵PM∥y軸，∴∠MFH=∠PMF，∴∠PFM=∠MFH，∴FM平分∠OFP；〔3〕解：當(dāng)△FPM是等邊三角形時(shí)，∠PMF=60°，∴∠FMH=30°，在Rt△MFH中，MF=2FH=2×2=4，∵PF=PM=FM，∴14x2解得：x=±23，∴14x2=14∴滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔23，3〕或〔-23，3〕．【拔高】1.〔江寧區(qū)二模〕如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A〔-1，0〕、B〔0，2〕，將線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°至AC．〔1〕點(diǎn)C的坐標(biāo)為_________________；〔2〕假設(shè)二次函數(shù)y=12x2①求二次函數(shù)y=12x2②當(dāng)-1≤x≤4時(shí)，直接寫出函數(shù)值y對(duì)應(yīng)的取值范圍；③在此二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)P〔點(diǎn)C除外〕，使△ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形假設(shè)存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)〔-3，1〕；(2)①y=12x2+12x-2；②-178【解析】解：〔1〕過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，∵旋轉(zhuǎn)角為90°，∴∠BAO+∠CAD=180°-90°=90°，又∵∠BAO+∠ABO=90°，∴∠CAD=∠ABO，在△ABO和△CAD中，∵∠CAD∴△ABO≌△CAD〔AAS〕，∴AD=BO=2，CD=AO=1，∴OD=AO+AD=1+2=3，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為〔-3，1〕；〔2〕①∵二次函數(shù)y=12x2∴12×〔-3〕2解得a=-1故二次函數(shù)的關(guān)系式為y=12x2+1②∵y=12x2+12x-2=12〔x+12〕∴當(dāng)-1≤x≤4時(shí)，x=-時(shí)取得最小值y=-178x=4時(shí)，取得最大值y=12〔4+12〕2-所以，函數(shù)值y的取值范圍為：-178≤y③〔i〕當(dāng)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，延長(zhǎng)CA至點(diǎn)P1，使AP1=AC=AB，則△ABP1是以AB為直角邊的等腰直角三角形，過點(diǎn)P1作P1E⊥x軸，∵AP1=AC，∠EAP1=∠DAC，∠P1EA=∠CDA=90°，∴△EP1A≌△DCA，∴AE=AD=2，EP1=CD=1，∴可求得P1的坐標(biāo)為〔1，-1〕，經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)P1在二次函數(shù)的圖象上；〔ii〕當(dāng)B點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)B作直線L⊥BA，在直線L上分別取BP2=BP3=AB，得到以AB為直角邊的等腰直角△ABP2和等腰直角△ABP3，作P2F⊥y軸，同理可證△BP2F≌△ABO，則P2F=BO=2，BF=OA=1，可得點(diǎn)P2的坐標(biāo)為〔2，1〕，經(jīng)檢驗(yàn)P2點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，同理可得點(diǎn)P3的坐標(biāo)為〔-2，3〕，經(jīng)檢驗(yàn)P3點(diǎn)不在二次函數(shù)的圖象上．綜上所述：二次函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)P1〔1，-1〕，P2〔2，1〕兩點(diǎn)，使得△ABP1和△ABP2是以AB為直角邊的等腰直角三角形．2.〔重慶〕如圖，拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)〔點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊〕，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC．〔1〕求A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；〔2〕假設(shè)點(diǎn)P為線段BC上一點(diǎn)〔不與B，C重合〕，PM∥y軸，且PM交拋物線于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)N，當(dāng)△BCM的面積最大時(shí)，求△BPN的周長(zhǎng)；〔3〕在〔2〕的條件下，當(dāng)△BCM的面積最大時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)Q，使得△CNQ為直角三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】(1)A〔-1，0〕，B〔3，0〕，C