新高中數(shù)學(xué)函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)多選題專題復(fù)習(xí)及解析

新高中數(shù)學(xué)函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)多選題專題復(fù)習(xí)及解析一、函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)多選題1．設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，如：，，又稱為取整函數(shù)，在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應(yīng)用，諸如停車收費，出租車收費等均按“取整函數(shù)”進(jìn)行計費，以下關(guān)于“取整函數(shù)”的描述，正確的是（）A．，B．，若，則C．，D．不等式的解集為或【答案】BCD【分析】通過反例可得A錯誤，根據(jù)取整函數(shù)的定義可證明BC成立，求出不等式的解后可得不等式的解集，從而可判斷D正確與否.【詳解】對于A，，則，故，故A不成立.對于B，，則，故，所以，故B成立.對于C，設(shè)，其中，則，，若，則，，故；若，則，，故，故C成立.對于D，由不等式可得或，故或，故D正確.故選：BCD【點睛】本題考查在新定義背景下恒等式的證明與不等式的解法，注意把等式的證明歸結(jié)為整數(shù)部分和小數(shù)部分的關(guān)系，本題屬于較難題.2．定義在R上的函數(shù),若在區(qū)間上為增函數(shù),且存在,使得.則下列不等式一定成立的是()A． B．C． D．【答案】ABC【分析】先由推出關(guān)于對稱，然后可得出B答案成立，對于答案ACD，要比較函數(shù)值的大小，只需分別看自變量到對稱軸的距離的大小即可【詳解】因為所以所以關(guān)于對稱，所以又因為在區(qū)間上為增函數(shù)，所以因為所以所以選項B成立因為所以比離對稱軸遠(yuǎn)所以，所以選項A成立因為所以，所以比離對稱軸遠(yuǎn)所以，即C答案成立因為，所以符號不定所以，無法比較大小，所以不一定成立所以D答案不一定成立故選：ABC【點睛】本題考查的是函數(shù)的性質(zhì)，由條件得出關(guān)于對稱是解題的關(guān)鍵.3．下列選項中的范圍能使得關(guān)于的不等式至少有一個負(fù)數(shù)解的是（）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】將不等式變形為，作出函數(shù)的圖象，根據(jù)恰有一個負(fù)數(shù)解時判斷出臨界位置，再通過平移圖象得到的取值范圍.【詳解】因為，所以且，在同一坐標(biāo)系中作出的圖象如下圖：當(dāng)與在軸左側(cè)相切時，僅有一解，所以，所以，將向右移動至第二次過點時，，此時或（舍），結(jié)合圖象可知：，所以ACD滿足要求.故選：ACD.【點睛】本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，著重考查數(shù)形結(jié)合的思想，難度較難.利用數(shù)形結(jié)合可解決的常見問題有：函數(shù)的零點或方程根的個數(shù)問題、求解參數(shù)范圍或者解不等式、研究函數(shù)的性質(zhì)等.4．下列命題正確的是（）A．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減則或B．函數(shù)的有兩個零點，一個大于0，一個小于0的一個充分不必要條件是．C．已知函數(shù)，若，則的取值范圍為D．已知函數(shù)滿足，，且與的圖像的交點為則的值為8【答案】BD【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，可判定A不正確；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和充分條件、必要條件的判定，可得判定B是正確；根據(jù)函數(shù)的定義域，可判定C不正確；根據(jù)函數(shù)的對稱性，可判定D正確，即可求解.【詳解】對于A中，冪函數(shù)，可得，解得或，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以A不正確；對于B中，若函數(shù)的有兩個零點，且一個大于0，一個小于0，則滿足，解得，所以是函數(shù)的有兩個零點，且一個大于0，一個小于0的充分不必要條件，所以B是正確；對于C中，由函數(shù)，則滿足，解得，即函數(shù)的定義域為，所以不等式中至少滿足，即至少滿足，所以C不正確；對于D中，函數(shù)滿足，可得函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，又由，可得，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則，所以D正確.故選：BD.【點睛】本題主要考查了以函數(shù)的基本性質(zhì)為背景的命題的真假判定，其中解答中熟記函數(shù)的基本性質(zhì)，逐項判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.5．設(shè)函數(shù)g(x)=sinωx(ω＞0)向左平移個單位長度得到函數(shù)f(x)，已知f(x)在[0，2π]上有且只有5個零點，則下列結(jié)論正確的是（）A．f(x)的圖象關(guān)于直線對稱B．f(x)在(0，2π)上有且只有3個極大值點，f(x)在(0，2π)上有且只有2個極小值點C．f(x)在上單調(diào)遞增D．ω的取值范圍是[)【答案】CD【分析】利用正弦函數(shù)的對稱軸可知，不正確；由圖可知在上還可能有3個極小值點，不正確；由解得的結(jié)果可知，正確；根據(jù)在上遞增，且，可知正確.【詳解】依題意得，，如圖：對于，令，，得，，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故不正確；對于，根據(jù)圖象可知，，在有3個極大值點，在有2個或3個極小值點，故不正確，對于，因為，，所以，解得，所以正確；對于，因為，由圖可知在上遞增，因為，所以，所以在上單調(diào)遞增，故正確；故選：CD.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的相位變換，考查了正弦函數(shù)的對稱軸和單調(diào)性和周期性，考查了極值點的概念，考查了函數(shù)的零點，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.6．已知定義域為R的奇函數(shù)，滿足，下列敘述正確的是（）A．存在實數(shù)k，使關(guān)于x的方程有7個不相等的實數(shù)根B．當(dāng)時，恒有C．若當(dāng)時，的最小值為1，則D．若關(guān)于的方程和的所有實數(shù)根之和為零，則【答案】AC【分析】根據(jù)奇函數(shù)，利用已知定義域的解析式，可得到對稱區(qū)間上的函數(shù)解析式，然后結(jié)合函數(shù)的圖象分析各選項的正誤，即可確定答案【詳解】函數(shù)是奇函數(shù)，故在R上的解析式為：繪制該函數(shù)的圖象如所示：對A：如下圖所示直線與該函數(shù)有7個交點，故A正確；對B：當(dāng)時，函數(shù)不是減函數(shù)，故B錯誤；對C：如下圖直線，與函數(shù)圖交于，故當(dāng)?shù)淖钚≈禐?時有，故C正確對D：時，函數(shù)的零點有、、；若使得其與的所有零點之和為0，則或，如圖直線、，故D錯誤故選：AC【點睛】本題考查了分段函數(shù)的圖象，根據(jù)奇函數(shù)確定對稱區(qū)間上函數(shù)的解析式，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)的圖象分析命題是否成立7．已知函數(shù)，則方程的根的個數(shù)可能為（）A．2 B．6 C．5 D．4【答案】ACD【分析】先畫出的圖象，再討論方程的根，求得的范圍，再數(shù)形結(jié)合，得到答案.【詳解】畫出的圖象如圖所示：令，則，則，當(dāng)，即時，，此時，由圖與的圖象有兩個交點，即方程的根的個數(shù)為2個，A正確；當(dāng)時，即時，，則故，，當(dāng)時，即，則有2解，當(dāng)時，若，則有3解；若，則有2解，故方程的根的個數(shù)為5個或4個，CD正確；故選：ACD【點睛】本題考查了函數(shù)的根的個數(shù)問題，函數(shù)圖象的畫法，考查了分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想，難度較大.8．已知當(dāng)時，；時，以下結(jié)論正確的是（）A．在區(qū)間上是增函數(shù)；B．；C．函數(shù)周期函數(shù)，且最小正周期為2；D．若方程恰有3個實根，則或；【答案】BD【分析】利用函數(shù)的性質(zhì)，依次對選項加以判斷，ABC考查函數(shù)的周期性及函數(shù)的單調(diào)性，重點理解函數(shù)周期性的應(yīng)用，是解題的關(guān)鍵，D選項考查方程的根的個數(shù)，需要轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)，在同一圖像中分別研究兩個函數(shù)，臨界條件是直線與函數(shù)相切，結(jié)合圖像將問題簡單化.【詳解】對于A，時，即在區(qū)間上的單調(diào)性與在區(qū)間上單調(diào)性一致，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，，，，故B正確；對于C，當(dāng)時，，當(dāng)時，不是周期函數(shù)，故C錯誤；對于D，由時，；時，可求得當(dāng)時，；直線恒過點，方程恰有3個實根，即函數(shù)和函數(shù)的圖像有三個交點，當(dāng)時，直線與函數(shù)（）相切于點，則，解得，要函數(shù)和函數(shù)的圖像有三個交點，則的取值范圍為：；當(dāng)時，當(dāng)時，直線與函數(shù)有兩個交點，設(shè)直線與函數(shù)（）相切于點，則，解得綜上，方程有3個實根，則或,故D正確.故選：BD.【點睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，單調(diào)性，及函數(shù)零點個數(shù)的判斷，主要考查學(xué)生的邏輯推理能力，數(shù)形結(jié)合能力，屬于較難題.9．狄利克雷是德國著名數(shù)學(xué)家，是最早倡導(dǎo)嚴(yán)格化方法的數(shù)學(xué)家之一，狄利克雷函數(shù)（Q是有理數(shù)集）的出現(xiàn)表示數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)的理解開始了深刻的變化，從研究“算”到研究更抽象的“概念、性質(zhì)、結(jié)構(gòu)”．關(guān)于的性質(zhì)，下列說法正確的是（）A．函數(shù)是偶函數(shù)B．函數(shù)是周期函數(shù)C．對任意的，，都有D．對任意的，，都有【答案】ABC【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷A選項的正誤；驗證，可判斷B選項的正誤；分、兩種情況討論，結(jié)合函數(shù)的定義可判斷C選項的正誤；取，可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，任取，則，；任取，則，.所以，對任意的，，即函數(shù)為偶函數(shù)，A選項正確；對于B選項，任取，則，則；任取，則，則.所以，對任意的，，即函數(shù)為周期函數(shù)，B選項正確；對于C選項，對任意，，則，；對任意的，，則，.綜上，對任意的，，都有，C選項正確；對于D選項，取，若，則，D選項錯誤.故選：ABC.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知函數(shù)的定義依次討論各選項，分自變量為無理數(shù)和有理數(shù)兩種情況討論，對于D選項，可取，驗證.10．設(shè)函數(shù)是定義在區(qū)間上的函數(shù)，若對區(qū)間中的任意兩個實數(shù)，都有則稱為區(qū)間上的下凸函數(shù).下列函數(shù)中是區(qū)間上的下凸函數(shù)的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，求得，可判定A正確；根據(jù)特殊值法，可判定B不正確；根據(jù)函數(shù)的圖象變換，結(jié)合函數(shù)的圖象，可判定C、D正確.【詳解】對于A中，任取且，則，，可得，滿足，所以A正確；對于B中，取，則，可得，所以，，此時，不符合題意，所以B不正確；對于C中，函數(shù)，由冪函數(shù)的圖象向上移動5個單位，得到函數(shù)的圖象，如圖所示，取且，由圖象可得，，因為，所以，符合題意，所以是正確的；對于D中，函數(shù)由函數(shù)的圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位，得到的圖象，如圖所示，取且，由圖象可得，，因為，所以，符合題意，所以是正確的；【點睛】本題主要考查了函數(shù)的新定義及其應(yīng)用，其中解答中正確理解函數(shù)的新定義，以及結(jié)合函數(shù)的圖象求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合法，以及推理與運算能力，屬于中檔試題.11．已知函數(shù)，下列關(guān)于函數(shù)的零點個數(shù)的說法中，正確的是（）A．當(dāng)，有1個零點 B．當(dāng)時，有3個零點C．當(dāng)，有4個零點 D．當(dāng)時，有7個零點【答案】ABD【分析】令得，利用換元法將函數(shù)分解為和，作出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【詳解】令，得，設(shè)，則方程等價為，函數(shù)，開口向上，過點，對稱軸為對于A，當(dāng)時，作出函數(shù)的圖象：，此時方程有一個根，由可知，此時x只有一解，即函數(shù)有1個零點，故A正確；對于B，當(dāng)時，作出函數(shù)的圖象：，此時方程有一個根，由可知，此時x有3個解，即函數(shù)有3個零點，故B正確；對于C，當(dāng)時，圖像如A，故只有1個零點，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，作出函數(shù)的圖象：，此時方程有3個根，其中，，由可知，此時x有3個解，由，此時x有3個解，由，此時x有1個解，即函數(shù)有7個零點，故D正確；故選：ABD．【點睛】方法點睛：本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查復(fù)合函數(shù)的零點的判斷，利用換元法和數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解，屬于難題．12．下列命題正確的有（）A．已知且，則B．，則C．的極大值和極小值的和為D．過的直線與函數(shù)有三個交點，則該直線斜率的取值范圍是【答案】ACD【分析】由等式關(guān)系、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求的范圍；利用指對數(shù)互化，結(jié)合對數(shù)的運算法求；利用導(dǎo)數(shù)確定零點關(guān)系，結(jié)合原函數(shù)式計算極值之和即可；由直線與有三個交點，即可知有兩個零點且不是其零點即可求斜率范圍.【詳解】A選項，由條件知且，所以，即；B選項，有，，而；C選項，中且開口向上，所以存在兩個零點且、，即為兩個極值點，所以；D選項，令直線為與有三個交點，即有三個零點，所以有兩個零點即可∴，解得故選：ACD【點睛】本題考查了指對數(shù)的運算及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)研究極值，由函數(shù)交點情況求參數(shù)范圍，屬于難題.13．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，下列說法正確的是（）A．時，函數(shù)解析式為B．函數(shù)在定義域上為增函數(shù)C．不等式的解集為D．不等式恒成立【答案】BC【分析】對于A，利用奇函數(shù)定義求時，函數(shù)解析式為；對于B，研究當(dāng)時，的單調(diào)性，結(jié)合奇函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱，知在上的單調(diào)性；對于C，求出，不等式，轉(zhuǎn)化為，利用單調(diào)性解不等式；對于D，分類討論與兩種情況是否恒成立.【詳解】對于A，設(shè)，，則，又是奇函數(shù)，所以，即時，函數(shù)解析式為，故A錯；對于B，，對稱軸為，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，由奇函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱，所以在上為增函數(shù)，故B對；對于C，由奇函數(shù)在上為增函數(shù)，則時，，解得，（舍去），即，所以不等式，轉(zhuǎn)化為，又在上為增函數(shù)，得，解得，所以不等式的解集為，故C對；對于D，當(dāng)時，，當(dāng)時，不恒大于0，故D錯；故選：BC【點睛】方法點睛：考查了解抽象不等式，要設(shè)法把隱性劃歸為顯性的不等式求解，方法是：（1）把不等式轉(zhuǎn)化為的模型；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式的函數(shù)符號“”脫掉，得到具體的不等式（組）來求解，但要注意奇偶函數(shù)的區(qū)別.考查了利用奇偶性求函數(shù)解析式，求函數(shù)解析式常用的方法：（1）已知函數(shù)類型，用待定系數(shù)法求解析式；（2）已知函數(shù)奇偶性，用奇偶性定義求解析式；（3）已知求，或已知求，用代入法、換元法或配湊法；（4）若與或滿足某個等式，可構(gòu)造另一個等式，通過解方程組求解；14．已知函數(shù)其中，下列關(guān)于函數(shù)的判斷正確的為（）A．當(dāng)時，B．當(dāng)時，函數(shù)的值域C．當(dāng)且時，D．當(dāng)時，不等式在上恒成立【答案】AC【分析】對于A選項，直接代入計算即可；對于B選項，由題得當(dāng)時，，進(jìn)而得當(dāng)時，，故的值域；對于C選項，結(jié)合B選項得當(dāng)且時，進(jìn)而得解析式；對于D選項，取特殊值即可得答案.【詳解】解：對于A選項，當(dāng)時，，故A選項正確；對于B選項，由于當(dāng)，函數(shù)的值域為，所以當(dāng)時，，由于，所以，因為，所以，所以當(dāng)時，，綜上，當(dāng)時，函數(shù)的值域，故B選項錯誤；對于C選項，由B選項得當(dāng)時，，故當(dāng)且時，，故C選項正確；對于D選項，取，，則，，不滿足式，故D選項錯誤.故選：AC.【點睛】本題考查函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查分析能力與運算求解能力，是難題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意得當(dāng)時，，且當(dāng)，函數(shù)的值域為，進(jìn)而利用函數(shù)平移與伸縮變換即可求解.15．已知，，則（）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)條件求得表達(dá)式，根據(jù)對數(shù)性質(zhì)結(jié)合放縮法得A正確，根據(jù)不等式性質(zhì)得B正確，通過作差法判斷C錯，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性與放縮法可得D正確．【詳解】解：∵，，∴，，因為，又由，所以，選項A正確；，，則，，所以，選項B正確；因為，，則，，此時，所以，故選項C不正確；由和知與均遞減，再由，的大小關(guān)系知，故選項D正確.故選：ABD【點睛】本題考查了數(shù)值大小比較，關(guān)鍵運用了指對數(shù)運算性質(zhì)，作差法和放縮法．16．已知函數(shù)，若x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，則下列結(jié)論正確的是（）A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1C．1<x4<2 D．0<x1x2x3x4<1【答案】BCD【分析】由解析式得到函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)各分段的性質(zhì)有，，，即可知正確選項.【詳解】由函數(shù)解析式可得圖象如下：∴由圖知：，，而當(dāng)時，有，即或2，∴，而知：，∴，.故選：BCD【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用分段函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)圖象，由二次函數(shù)、對數(shù)運算性質(zhì)確定的范圍及關(guān)系.17．已知函數(shù)，則（）A．的值域為B．當(dāng)時，C．當(dāng)時，存在非零實數(shù)，滿足D．函數(shù)可能有三個零點【答案】BC【分析】A．考慮時的情況，求解出各段函數(shù)值域再進(jìn)行判斷；B．先根據(jù)條件分析的單調(diào)性，再根據(jù)與的大小關(guān)系進(jìn)行判斷；C．作出的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象的對稱性進(jìn)行分析判斷；D．根據(jù)條件先分析出，再根據(jù)有三個零點確定出滿足的不等式，由此判斷出是否有解，并判斷結(jié)論是否正確.【詳解】A．當(dāng)時，，當(dāng)時，，取，此時，所以此時的值域為，故A錯誤；B．當(dāng)時，的對稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，又因為在上單調(diào)遞減，且，所以在上單調(diào)遞減，又因為，所以，所以，故B正確；C．作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖象可知：關(guān)于原點對稱，且與相交于，因為點在函數(shù)的圖象上，所以點在函數(shù)的圖象上，所以，所以當(dāng)時，存在使得，故C正確；D．由題意知：有三個根，所以不是單調(diào)函數(shù)，所以，又因為，所以，所以，且，若方程有三個根，則有，所以或，這與矛盾，所以函數(shù)不可能有三個零點，故D錯誤，故選：BC.【點睛】思路點睛：函數(shù)與方程的綜合問題，采用數(shù)形結(jié)合思想能高效解答問題，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化能使問題轉(zhuǎn)化為更簡單的問題，常見的圖象應(yīng)用的命題角度有：（1）確定方程根的個數(shù)；（2）求參數(shù)范圍；（3）求不等式解集；（4）研究函數(shù)性質(zhì).18．已知為定義在上且周期為5的函數(shù)，當(dāng)時，.則下列說法中正確的是（）A．的增區(qū)間為，B．若與在上有10個零點，則的范圍是C．當(dāng)時，的值域為，則的取值范圍D．若與有3個交點，則的取值范圍為【答案】BC【分析】首先作出的圖象幾個周期的圖象，由于單調(diào)區(qū)間不能并，可判斷選項A不正確；利用數(shù)形結(jié)合可判斷選項B、C；舉反例如時經(jīng)分析可得與有3個交點，可判斷選項D不正確，進(jìn)而可得正確選項.【詳解】對于選項A：單調(diào)區(qū)間不能用并集，故選項A不正確；對于選項B：由圖知若與在上有10個零點，則的范圍是，故選項B正確；對于選項C：，，由圖知當(dāng)時，的值域為，則的取值范圍，故選項C正確；對于選項D：當(dāng)時，直線為過點，也過點，當(dāng)時，，直線過點，而點不在圖象上，由圖知：當(dāng)時，直線為與有3個交點，由排除法可知選項D不正確，故選：BC【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，