咸寧市重點(diǎn)中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

咸寧市重點(diǎn)中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有五人分五錢(qián)，令上兩人與下三人等，問(wèn)各得幾何？”其意思為：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢(qián)，甲、乙兩人所得之和與丙、丁、戊所得之和相同，且是甲、乙、丙、丁、戊所得以此為等差數(shù)列，問(wèn)五人各得多少錢(qián)？”（“錢(qián)”是古代一種重量單位），這個(gè)問(wèn)題中戊所得為（）A.錢(qián) B.錢(qián)C.錢(qián) D.錢(qián)2．已知，則的最小值是（）A.3 B.8C.12 D.203．設(shè)拋物線(xiàn)C:的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為．是拋物線(xiàn)C上異于的一點(diǎn)，過(guò)作于，則線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)（）A.經(jīng)過(guò)點(diǎn) B.經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.平行于直線(xiàn) D.垂直于直線(xiàn)4．美學(xué)四大構(gòu)件是：史詩(shī)、音樂(lè)、造型（繪畫(huà)、建筑等）和數(shù)學(xué)．素描是學(xué)習(xí)繪畫(huà)的必要一步，它包括明暗素描和結(jié)構(gòu)素描，而學(xué)習(xí)幾何體結(jié)構(gòu)素描是學(xué)習(xí)素描最重要的一步．某同學(xué)在畫(huà)切面圓柱體（用與圓柱底面不平行的平面去截圓柱，底面與截面之間的部分叫做切面圓柱體，原圓柱的母線(xiàn)被截面所截剩余的部分稱(chēng)為切面圓柱體的母線(xiàn)）的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)“切面”是一個(gè)橢圓，若切面圓柱體的最長(zhǎng)母線(xiàn)與最短母線(xiàn)所確定的平面截切面圓柱體得到的截面圖形是有一個(gè)底角為60度的直角梯形，則該橢圓的離心率為（）A. B.C. D.5．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐內(nèi)切球的表面積為A.B.C.D.6．曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是A. B.C. D.7．已知數(shù)列是等比數(shù)列，，數(shù)列是等差數(shù)列，，則的值是()A. B.C. D.8．已知等比數(shù)列中，，前三項(xiàng)之和，則公比的值為（）A1 B.C.1或 D.或9．已知，，，則最小值是（）A.10 B.9C.8 D.710．已知雙曲線(xiàn)：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)在第二象限的交點(diǎn)為，若，則雙曲線(xiàn)的離心率是（）A B.C. D.11．已知雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，它的焦距為2，則雙曲線(xiàn)的方程為（）A B.C. D.12．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入，那么輸出的a值為（）A.3 B.27C.-9 D.9二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．，若2是與的等比中項(xiàng)，則的最小值為_(kāi)__________.14．定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足：有成立且，則不等式的解集為_(kāi)_________15．寫(xiě)出一個(gè)公比為3，且第三項(xiàng)小于1的等比數(shù)列______16．已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足不等式組，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為_(kāi)_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）求在區(qū)間上的最值.18．（12分）如圖在四棱錐中，底面是菱形，，平面平面，，，為的中點(diǎn)，是棱上的一點(diǎn)，且.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）已知橢圓（）的左、右焦點(diǎn)為，，，離心率為（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程（2）的左頂點(diǎn)為，過(guò)右焦點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，記直線(xiàn)，，的斜率分別為，，，求證：20．（12分）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，（1）求拋物線(xiàn)的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，試問(wèn)拋物線(xiàn)上是否存在定點(diǎn)使得直線(xiàn)與的斜率互為倒數(shù)？若存在求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在說(shuō)明理由21．（12分）已知，C是圓B：（B是圓心）上一動(dòng)點(diǎn)，線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)P（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的方程；（2）設(shè)E，F(xiàn)為與x軸的兩交點(diǎn)，Q是直線(xiàn)上動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)QE，QF分別交于M，N兩點(diǎn)，求證：直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn)22．（10分）已知橢圓C：，右焦點(diǎn)為F(，0)，且離心率為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)M，N是橢圓C上不同的兩點(diǎn)，且直線(xiàn)MN與圓O：相切，若T為弦MN的中點(diǎn)，求|OT||MN|的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)題意將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的問(wèn)題即可解決【詳解】解：由題意，可設(shè)甲、乙、丙、丁、戊五人分得的錢(qián)分別為，，，，則，，，，成等差數(shù)列，設(shè)公差為，整理上面兩個(gè)算式，得：，解得，故選：2、A【解析】利用基本不等式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選：A3、A【解析】依據(jù)題意作出焦點(diǎn)在軸上的開(kāi)口向右的拋物線(xiàn)，根據(jù)垂直平分線(xiàn)的定義和拋物線(xiàn)的定義可知，線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即可求解.【詳解】如圖所示：因?yàn)榫€(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到的距離相等，又點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，根據(jù)定義可知，，所以線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn).故選：A.4、A【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為，由題意知，，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)為，可以求出的值，即可得離心率.【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，依題意知，最長(zhǎng)母線(xiàn)與最短母線(xiàn)所在截面如圖所示從而因此在橢圓中長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義和橢圓離心力的求解，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】由三視圖可知該幾何體是一個(gè)三棱錐，根據(jù)等積法求出幾何體內(nèi)切球的半徑，再計(jì)算內(nèi)切球的表面積【詳解】解：由三視圖知該幾何體是一個(gè)三棱錐，放入棱長(zhǎng)為2的正方體中，如圖所示：設(shè)三棱錐內(nèi)切球的半徑為，則由等體積法得，解得，所以該三棱錐內(nèi)切球的表面積為故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖求三棱錐內(nèi)切球表面積的應(yīng)用問(wèn)題，屬于中檔題6、D【解析】先求導(dǎo)數(shù)，得切線(xiàn)的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式得切線(xiàn)方程.【詳解】，選D.點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義以及直線(xiàn)點(diǎn)斜式方程，考查基本求解能力，屬基礎(chǔ)題.7、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)即可求解.【詳解】為等比數(shù)列，，，，；為等差數(shù)列，，，，，∴.故選：B.8、C【解析】根據(jù)條件列關(guān)于首項(xiàng)與公比的方程組，即可解得公比，注意等比數(shù)列求和公式使用條件.【詳解】等比數(shù)列中，，前三項(xiàng)之和，若，，，符合題意；若，則，解得，即公比的值為1或，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列求和公式以及基本量計(jì)算，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.9、B【解析】利用題設(shè)中的等式，把的表達(dá)式轉(zhuǎn)化成展開(kāi)后，利用基本不等式求得的最小值【詳解】∵，，，∴＝，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立故選：B10、B【解析】根據(jù)得到三角形為等腰三角形，然后結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義得到，設(shè)，進(jìn)而作，得出，由此求出結(jié)果【詳解】因?yàn)?，所以，即所以，由雙曲線(xiàn)的定義，知，設(shè)，則，易得，如圖，作，為垂足，則，所以，即，即雙曲線(xiàn)的離心率為.故選：B11、B【解析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，可得，再結(jié)合焦距為2和，求得，即可得解.【詳解】解：因?yàn)殡p曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)方程為，所以，即，又因焦距為2，即，即，因?yàn)椋?，所以，所以雙曲線(xiàn)的方程為.故選：B.12、B【解析】分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是利用循環(huán)累乘值，并判斷滿(mǎn)足時(shí)輸出的值【詳解】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得，時(shí)，不滿(mǎn)足條件，；不滿(mǎn)足條件，；不滿(mǎn)足條件，；滿(mǎn)足條件，退出循環(huán)，輸出的值為27故選：二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】根據(jù)等比中項(xiàng)列方程，結(jié)合基本不等式求得的最小值.【詳解】由題可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：14、【解析】由，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解即可【詳解】設(shè),又有成立，函數(shù)，即是上的增函數(shù)，，即,，故答案為：15、（答案不唯一）【解析】由條件確定該等比數(shù)列的首項(xiàng)的可能值，由此確定該數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，則，由已知可得，∴，所以，故可取，故滿(mǎn)足條件的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可能為，故答案為：（答案不唯一）16、##【解析】畫(huà)出可行域，通過(guò)平移基準(zhǔn)直線(xiàn)到可行域邊界來(lái)求得的最大值.【詳解】，畫(huà)出可行域如下圖所示，由圖可知，當(dāng)時(shí)，取得最大值.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）最小值為0，最大值為4【解析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求得切線(xiàn)方程.（2）結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得在區(qū)間上的最值.【小問(wèn)1詳解】，所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為.【小問(wèn)2詳解】，所以在區(qū)間遞增；在區(qū)間遞減，，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.18、（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）推導(dǎo)出PQ⊥AD，從而PQ⊥平面ABCD，連接AC，交BQ于N，連接MN，則AQ∥BC，推導(dǎo)出MN∥PA，由此能證明PA∥平面BMQ（2）連結(jié)BD，以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，以QA、QB、QP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角M﹣BQ﹣P的余弦值【詳解】（1）由已知PA＝PD，Q為AD的中點(diǎn)，∴PQ⊥AD，又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，PQ?面PAD，∴PQ⊥平面ABCD，連接AC，交BQ于N，連接MN，∵底面ABCD是菱形，∴AQ∥BC，∴△ANQ∽△BCN，，又，∴，∴MN∥PA，又MN?平面BMQ，PA?平面BMQ，∴PA∥平面BMQ（2）連結(jié)BD，∵底面底面是菱形，∴△ABD是正三角形，∴由（1）知PQ⊥平面ABCD，∴PQ⊥AD，PQ⊥BQ，以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，以QA、QB、QP分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則Q（0，0，0），A（1，0，0），B（0，，0），P（0，0，），設(shè)平面BMQ的法向量＝（x，y，z），∴，由（1）知MN∥PA，∴，∴，取z＝1，得，平面BQP的法向量，設(shè)二面角M﹣BQ﹣P的平面角為θ，則cosθ＝，∴二面角M﹣BQ﹣P的余弦值為19、（1）；（2）證明見(jiàn)解析【解析】(1)由可求出，結(jié)合離心率可知，進(jìn)而可求出，即可求出標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)由題意知，，則由直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程可得直線(xiàn)的解析式為，與橢圓進(jìn)行聯(lián)立，設(shè)，，結(jié)合韋達(dá)定理可得，從而由斜率的計(jì)算公式對(duì)進(jìn)行整理化簡(jiǎn)從而可證明.【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以．又因?yàn)殡x心率，所以，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（2）證明：由題意知，，，則直線(xiàn)的解析式為，代入橢圓方程，得設(shè)，，則．又因?yàn)椋?，所以【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是聯(lián)立直線(xiàn)和橢圓的方程后，結(jié)合韋達(dá)定理，用表示交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，從而代入進(jìn)行整理化簡(jiǎn).20、（1）（2）存在，【解析】（1）利用拋物線(xiàn)的焦半徑公式求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得p,可得答案;（2）根據(jù)題意可設(shè)直線(xiàn)方程，和拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，利用直線(xiàn)與的斜率互為倒數(shù)列出等式，化簡(jiǎn)可得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】（1）則，，，，故C的方程為：；【小問(wèn)2詳解】假設(shè)存在定點(diǎn)，使得直線(xiàn)與的斜率互為倒數(shù)，由題意可知，直線(xiàn)AB的斜率存在，且不為零，，，，，所以Δ>0y1+即或，，，則，，使得直線(xiàn)與的斜率互為倒數(shù).21、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)，利用橢圓的定義求解；（2）（解法1）設(shè)，得到，的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求得M，N的坐標(biāo)，寫(xiě)出直線(xiàn)的方程求解；（解法2）上同解法1，由對(duì)稱(chēng)性分析知?jiǎng)又本€(xiàn)MN所過(guò)定點(diǎn)一定在x軸上，設(shè)所求定點(diǎn)為，由C，D，T三點(diǎn)共線(xiàn)，然后由求解；（解法3）設(shè)，由，，設(shè)：，：，其中，與橢圓方程聯(lián)立，整理得，由F，M，N三點(diǎn)的橫坐標(biāo)為該方程的三個(gè)根，得到：求解.【小問(wèn)1詳解】解：由題知，則，由橢圓的定義知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)，6為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，所以軌跡的方程為【小問(wèn)2詳解】（解法1）易知E，F(xiàn)為橢圓的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，不妨設(shè)，，設(shè)，則，，于是：，：，聯(lián)立得，解得或，易得，同理當(dāng)，即時(shí)，：；當(dāng)時(shí)，有，于是：，即綜上直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn)（解法2）上同解法1，得，，由對(duì)稱(chēng)性分析知?jiǎng)又本€(xiàn)MN所過(guò)定點(diǎn)一定在x軸上，設(shè)所求定點(diǎn)為，由C，D，T三點(diǎn)共線(xiàn)，得，即，于是，整理得，由t的任意性知，即，所以直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn)（解法3）設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)MN即為x軸；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，則，設(shè)：，：，其中，聯(lián)立，得，整理得，易知F，M，N三點(diǎn)的橫坐標(biāo)為該方程的三個(gè)根，所以：，由及的任意性，知直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn)22、（1）；（2）[，3].【解析】（1）由題可得，即求；（2）當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在或?yàn)?，易求，當(dāng)直線(xiàn)MN斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)MN的方程為：，利用直線(xiàn)與圓相切可得，再聯(lián)立橢圓方程并應(yīng)用韋達(dá)定理求得，