福建省福州市安凱中學(xué)高三數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析

福建省福州市安凱中學(xué)高三數(shù)學(xué)文測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A.(－∞,－1) B.(－1,0) C.[－1,0) D.(－∞,0)參考答案：B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象，可知，可求的取值范圍.【詳解】若滿足，則需滿足

，解得：.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和不等式的關(guān)系，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.2.甲乙兩人從4門(mén)課程中各選修兩門(mén)，則甲乙所選的課程中至少有1門(mén)不相同的選法共有（）種．A．30 B．36 C．60 D．72參考答案：A【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．【專題】應(yīng)用題；排列組合．【分析】“至少1門(mén)不同”包括兩種情況，兩門(mén)均不同和有且只有1門(mén)相同，再利用分步計(jì)數(shù)原理，即可求得結(jié)論．【解答】解：甲、乙所選的課程中至少有1門(mén)不相同的選法可以分為兩類：1、甲、乙所選的課程中2門(mén)均不相同，甲先從4門(mén)中任選2門(mén)，乙選取剩下的2門(mén)，有C42C22=6種．2、甲、乙所選的課程中有且只有1門(mén)相同，分為2步：①?gòu)?門(mén)中先任選一門(mén)作為相同的課程，有C41=4種選法；②甲從剩余的3門(mén)中任選1門(mén)乙從最后剩余的2門(mén)中任選1門(mén)有C31C21=6種選法，由分步計(jì)數(shù)原理此時(shí)共有C41C31C21=24種．綜上，由分類計(jì)數(shù)原理，甲、乙所選的課程中至少有1門(mén)不相同的選法共有6+24=30種．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合知識(shí)，合理分類、正確分步是解題的關(guān)鍵．3.已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值是（）A．3B．4C．D．參考答案：B略4.若變量x，y滿足約束條件，則z=2x+y的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C【考點(diǎn)】7D：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用．【分析】先根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，設(shè)z=2x+y，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=2x+y過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)B時(shí)，從而得到m值即可．【解答】解：作出可行域，作出目標(biāo)函數(shù)線，可得直線與y=x與3x+2y=5的交點(diǎn)為最優(yōu)解點(diǎn)，∴即為B（1，1），當(dāng)x=1，y=1時(shí)zmax=3．故選C．5.與向量的夾角相等,且模為1的向量是（

）A． B．或 C． D．或參考答案：B【知識(shí)點(diǎn)】平面向量基本定理及向量坐標(biāo)運(yùn)算F2設(shè)與向量的夾角相等,且模為1的向量為（x，y），則解得或，【思路點(diǎn)撥】要求的向量與一對(duì)模相等的向量夾角相等，所以根據(jù)夾角相等列出等式，而已知的向量模是相等的，所以只要向量的數(shù)量積相等即可．再根據(jù)模長(zhǎng)為1，列出方程，解出坐標(biāo)．6.若不等式對(duì)成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A. B. C. D.[1,+∞)參考答案：A【分析】設(shè)，由題意將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求，利用導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性求得最大值，代入解不等式即可.【詳解】設(shè)，由，則在上恒成立，∴單調(diào)遞減，則；當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，，恒成立；綜上知：當(dāng)m時(shí)，不等式對(duì)成立.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最值的問(wèn)題，考查了絕對(duì)值不等式的解法，考查了恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題.7.在△ABC中，若，則等于

（

）A．

B．C．

D．參考答案：D8.某種電路開(kāi)關(guān)閉合后會(huì)出現(xiàn)紅燈或綠燈閃爍，已知開(kāi)關(guān)第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為，兩次閉合后都出現(xiàn)紅燈的概率為，則在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下第二次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【分析】設(shè)“開(kāi)關(guān)第一次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事件A，“第二次閉合出現(xiàn)紅燈”為事件B，則由題意可得P（A）=，P（AB）=，由此利用條件概率計(jì)算公式求得P（B/A）的值．【解答】解：設(shè)“開(kāi)關(guān)第一次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事件A，“第二次閉合出現(xiàn)紅燈”為事件B，則由題意可得P（A）=，P（AB）=，則在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下第二次出現(xiàn)紅燈的概率是：P（B/A）===．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意條件概率計(jì)算公式的靈活運(yùn)用．9.已知、、三點(diǎn)不共線，且點(diǎn)滿足0，則下列結(jié)論正確的是

（

）A．

B．C．

D．參考答案：D10.已知數(shù)列中，，且數(shù)列是等差數(shù)列，則等于A．

B．

C．5

D．參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F，且EF=1，則四面體A—EFB的體積V等于

。參考答案：連結(jié)BD交AC與O,則OA為四面體A—EFB的高且,,所以。12.給出以下四個(gè)命題：①已知命題；命題.則命題是真命題；②圓恰有2條公切線；③在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布.若內(nèi)取值的概率為0.4，則在內(nèi)取值的概率為0.8；④某企業(yè)有職工150人，其中高級(jí)職稱15人，中級(jí)職稱45人，一般職員90人，若用分層抽樣的方法抽出一個(gè)容量為30的樣本，則一般職員抽出20人.其中正確命題的序號(hào)為_(kāi)________（把你認(rèn)為正確的命題序號(hào)都填上）參考答案：13.已知某四棱錐，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，且俯視圖如右圖所示.若該四棱錐的側(cè)視圖為直角三角形，則它的體積為_(kāi)_________．參考答案：易知14.拋物線的準(zhǔn)線方程為＿＿＿＿＿.參考答案：15.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為參考答案：16.已知數(shù)列{an}中，a1=1，a2=3，對(duì)任意n∈N*，an+2≤an+3?2n，an+1≥2an+1恒成立，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=．參考答案：2n+1﹣n﹣2【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【分析】an+1≥2an+1，利用遞推可得：an+1≥2an+1≥22an﹣1+2+1≥…≥2na1+2n﹣1+2n﹣2+…+2+1=2n+1﹣1，即an≥2n﹣1．（n=1時(shí)也成立）．由an+2≤an+3?2n，即an+2﹣an≤3?2n，利用“累加求和”方法結(jié)合an+1≥2an+1，可得an≤2n﹣1，因此an=2n﹣1．即可得出．【解答】解：∵an+1≥2an+1，∴an+1≥2an+1≥22an﹣1+2+1≥23an﹣2+22+2+1≥…≥2na1+2n﹣1+2n﹣2+…+2+1==2n+1﹣1，∴an≥2n﹣1．（n=1時(shí)也成立）．由對(duì)任意n∈N*，an+2≤an+3?2n，即an+2﹣an≤3?2n，∴a3﹣a1≤3×2，a4﹣a2≤3×22，…，an﹣2﹣an﹣4≤3×2n﹣4an﹣1﹣an﹣3≤3×2n﹣3，an﹣an﹣2≤3×2n﹣2，an+1﹣an﹣1≤3×2n﹣1．∴an+1+an≤1+3+3×2+3×22+…+3×2n﹣2+3×2n﹣1=1+3×=3×2n﹣2．（n≥2）．∵an+1≥2an+1，∴3an+1≤3×2n﹣2．∴an≤2n﹣1．∴2n﹣1≤an≤2n﹣1，∴an=2n﹣1，∴數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=﹣n=2n+1﹣2﹣n．故答案為：2n+1﹣n﹣2．17.已知在直角三角形中，，，點(diǎn)是斜邊上的一個(gè)三等分點(diǎn)，則

．參考答案：4三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為梯形，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2，AP=AD=AB=，∠PAB=∠PAD=α．（1）試在棱PA上確定一個(gè)點(diǎn)E，使得PC∥平面BDE，并求出此時(shí)的值；（2）當(dāng)α=60°時(shí)，求證：CD⊥平面PBD．參考答案：考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：（1）連接AC，BD，相交于O，過(guò)O作OE∥PC，與PA交于E，如圖1，則PC∥平面BDE；（2）當(dāng)α=60°時(shí)，△PAD和△PAB都是等邊三角形，PB=PD，過(guò)A作AF⊥BD，則F為BD的中點(diǎn)，利用勾股定理可以判斷線線垂直，進(jìn)一步判斷線面垂直．解答： 解：（1）連接AC，BD，相交于O，過(guò)O作OE∥PC，與PA交于E，如圖1，則PC∥平面BDE，此時(shí)AE：EP=AO：OC=AD：BC=：=1：2；（2）當(dāng)α=60°時(shí)，△PAD和△PAB都是等邊三角形，PB=PD，過(guò)A作AF⊥BD，則F為BD的中點(diǎn)，所以PF⊥BD，BD=2，所以AF=PF=BD=1，所以PF2+AF2=PA2，所以PF⊥AF，所以PF⊥平面ABCD，所以PF⊥CD，過(guò)D作DH⊥BC，則DH=AB=，HC=，所以CD=2，所以CD2+BD2=BC2，所以CD⊥BD，BD∩PF=F，所以CD⊥平面PBD．點(diǎn)評(píng)：本題考查了線面平行的判定以及線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的運(yùn)用；關(guān)鍵是適當(dāng)作輔助線，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系解答．19.已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是橢圓C上的一點(diǎn)，若，，的面積為1.（1）求橢圓C的方程；（2）過(guò)F2的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求四邊形AOBE面積的最大值.參考答案：（1）（2）【分析】（1）由橢圓的定義及勾股定理可求出a，又c，可得b，由此能求出橢圓C的方程．（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、向量加法的意義以及三角形的面積公式，結(jié)合基本不等式求解即可．【詳解】（1）由題設(shè)，，所以.又，所以.的方程為.（2）由題設(shè)不平行于軸，設(shè)：，聯(lián)立，得.，.因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅?，四邊形面積.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，于是四邊形面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．20.（本小題滿分13分）已知：函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的對(duì)稱軸方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值．參考答案：解：（Ⅰ）

……………5分

……………7分

函數(shù)關(guān)于直線

對(duì)稱

所以對(duì)稱軸方程為

……………9分

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，

由函數(shù)圖象可知，的最大值為1，最小值為……12分所以函數(shù)的最大值為，最小值為 ………13分

略21.如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ACDE所在的平面與平面ABC垂直，AD與CE的交點(diǎn)為M，，且AC=BC.（1）求證：平面EBC；（2）求.參考答案：(1)∵四邊形是正方形，

∴∵面面,面面,∴,∴平面EBC；(2)V=.

略22.（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足的前n項(xiàng)和為，其中.（I）試求的值并證明數(shù)列為等比數(shù)列；（II）設(shè)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.參考答案：（1）見(jiàn)解析；（2）

【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和D1D4（1）證明：∵a1=，an+1=，∴a2=2a1+2﹣2=1，a3=﹣a2﹣2=﹣3．bn+1=a2n+2=2a2n+1+2（2n+1）﹣2=2a2n+1+4n，又a2n+1=﹣a2n﹣2n，∴bn+1=2（﹣a2n﹣2n）+4n=﹣2a2n=﹣2bn，b1=a2=1，∴數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為﹣2；（2）由（I）可得：a2n+1=﹣a