第7章 庫存模型介紹

第7章庫存模型介紹第1節(jié)庫存決策基礎(chǔ)在制造業(yè)和倉儲保管業(yè)中，庫存分析的目的是為了規(guī)范以下兩個(gè)問題：什么時(shí)候開始訂購？訂購數(shù)量是多少？許多公司都努力與供應(yīng)商建立長期供需關(guān)系，以便該供應(yīng)商能為企業(yè)全年的需求提高服務(wù)。這樣，問題就從“何時(shí)”和“訂多少”轉(zhuǎn)化為“何時(shí)”與“運(yùn)送多少”了。從工業(yè)企業(yè)的角度看，庫存的作用一般有：保持生產(chǎn)運(yùn)作的獨(dú)立性；滿足需求的變化；增強(qiáng)生產(chǎn)計(jì)劃的柔性；克服原料交貨時(shí)間的波動；利用經(jīng)濟(jì)訂購量的好處。由于庫存需要付出較高的代價(jià)，而且高庫存一般是沒有必要的。高容量庫存還會引起過場得的生產(chǎn)周期，這也是應(yīng)該避免的。7.1.1庫存成本進(jìn)行庫存決策時(shí)，應(yīng)考慮以下成本：存儲成本。該成本包括存儲設(shè)施的成本、搬運(yùn)費(fèi)、保險(xiǎn)費(fèi)、盜竊損失、過時(shí)損失、折舊費(fèi)、稅金以及資金的機(jī)會成本。很明顯，存儲成本高則應(yīng)保持低庫存量并經(jīng)常補(bǔ)充庫存。生產(chǎn)準(zhǔn)備（生產(chǎn)變化）成本。生產(chǎn)一種新產(chǎn)品包括以下工作：取得所需原材料、安排特定設(shè)備的調(diào)試工作，填寫單子，確定裝卸時(shí)間和材料以及轉(zhuǎn)移庫中原來的材料。如果從生產(chǎn)一種產(chǎn)品轉(zhuǎn)到另一種產(chǎn)品不產(chǎn)生成本或沒有時(shí)間損失，則可以生產(chǎn)很小的批量，這將降低庫存水平，并最終達(dá)到節(jié)約成本的目的。目前一個(gè)挑戰(zhàn)性的目標(biāo)是在較小的生產(chǎn)批量下盡量降低生產(chǎn)準(zhǔn)備成本（這就是JIT系統(tǒng)的目標(biāo)）。訂購成本。這些成本指準(zhǔn)備購買訂單或生產(chǎn)訂單所引起的管理和辦公費(fèi)用。例如，盤點(diǎn)庫存和計(jì)算訂貨量所產(chǎn)生的成本就屬于訂購成本。該成本也包括有關(guān)跟蹤訂單系統(tǒng)的成本。短缺成本。當(dāng)某一物資的儲備耗盡時(shí)，對該物資的需求或者被取消或者必須等到在此補(bǔ)充庫存后才能得到滿足。這就涉及到權(quán)衡補(bǔ)充庫存滿足需求的成本與短缺成本之間的大小。這種平衡經(jīng)常是難以得到的，因?yàn)殡y以估計(jì)損失的利潤、失去顧客的影響以及延誤損失。雖然通常可以為短缺成本定義一個(gè)范圍，但這種假設(shè)的短缺成本往往還只限于猜測的程度。確定向供應(yīng)商訂貨的數(shù)量或者要求生產(chǎn)部門生產(chǎn)的批量時(shí)，應(yīng)該盡量使由以下四種單項(xiàng)成本綜合引起的總成本大到最小。這四項(xiàng)單項(xiàng)成本為：存儲成本、生產(chǎn)準(zhǔn)備成本、訂購成本和短缺成本。當(dāng)然，訂購時(shí)機(jī)也是影響庫存成本的關(guān)鍵因素。7.1.2獨(dú)立需求和非獨(dú)立需求在庫存管理中，有必要弄清楚獨(dú)立需求與非獨(dú)立需求之間的區(qū)別，庫存系統(tǒng)決策的基礎(chǔ)依賴于區(qū)分需求來自最終產(chǎn)品還是與該產(chǎn)品本身有關(guān)。簡單來說，獨(dú)立需求與非獨(dú)立需求之間的區(qū)別是：獨(dú)立需求中個(gè)物資的需求是互不相關(guān)的。例如，一個(gè)工作站可以生產(chǎn)相互無關(guān)的許多零件，用來滿足一些外部需求。對于非獨(dú)立需求，對任一物資的需求是對其他物資的需求的直接結(jié)果，通常，該物資是其高層次物資的一個(gè)部件。從概念上講，非獨(dú)立需求是相對直間的計(jì)算上的問題。在求得高層次物資中該物資數(shù)量的基礎(chǔ)上，該物資的需求量可以簡單地計(jì)算出來。例如，如果一個(gè)汽車公司計(jì)劃每天生產(chǎn)500輛汽車，那么顯然地它將需要2000個(gè)輪子和輪胎（加上備用輪胎）。在生產(chǎn)水平上，輪子與輪胎的需求是非獨(dú)立的。而汽車的需求是獨(dú)立的——他來自公司外部的許多渠道，而不是其他產(chǎn)品的銷售情況。它的銷售與其他產(chǎn)品的需求無關(guān)。為了確定獨(dú)立需求的物資的生產(chǎn)數(shù)量，公司經(jīng)常依賴銷售和市場研究部門，其職員將使用各種各樣的工具，包括：顧客調(diào)查，預(yù)測工具，經(jīng)濟(jì)方面和社會方面的趨勢。由于非獨(dú)立需求是不確定的，所以庫存中必須留有額外的數(shù)量。下面所列第模型是用于確定訂購數(shù)量，以及在規(guī)定的服務(wù)水平（獨(dú)立需求所占地百分比）下，公司可以及時(shí)用庫存來滿足需求的額外庫存量大小。庫存系統(tǒng)。庫存系統(tǒng)為庫存物資的管理和控制提供了組織機(jī)構(gòu)和經(jīng)營策略。該系統(tǒng)負(fù)責(zé)物資的訂購和接收：決定訂購時(shí)機(jī)，對“訂購什么”、“訂購多少”和“向誰訂購”等事項(xiàng)進(jìn)行追蹤。該系統(tǒng)必須回答以下問題：供應(yīng)上受到了訂單嗎？貨物已經(jīng)發(fā)出了嗎？日期正確嗎？是否建立了在訂貨及退還不必要商品的程序？第2節(jié)常見模型分類與介紹一般地，兩種基本的庫存模型是：定量訂購模型（也稱經(jīng)濟(jì)批量，EOQ或Q模型）和定期訂購模型（也有不同稱謂，如定期系統(tǒng)，定期盤點(diǎn)系統(tǒng)，固定訂貨間隔期系統(tǒng)以及P模型）。兩者的基本區(qū)別是：定量訂貨模型是“事件驅(qū)動”，而定期訂貨模型是“時(shí)間驅(qū)動”。也就是說，定量訂貨模型是當(dāng)規(guī)定的再訂貨水平的事件發(fā)生后，就進(jìn)行訂貨，這種事件有可能隨時(shí)發(fā)生，主要取決于對該物資的需求情況。相比而言，定期訂貨模型只限于在預(yù)定時(shí)期期末進(jìn)行訂貨，是由時(shí)間來驅(qū)動的。運(yùn)用定量訂貨模型時(shí)（當(dāng)庫存量降低到再訂購點(diǎn)R時(shí)，就進(jìn)行訂貨），必須連續(xù)監(jiān)控剩余庫存量。因此，定量訂貨模型是一種永續(xù)盤存系統(tǒng)，他要求每次從庫存里取出貨物或者往庫存里增添貨物時(shí)，必須刷新記錄以確認(rèn)是否已達(dá)到再訂購點(diǎn)。而在定期訂貨模型中，庫存盤點(diǎn)只在盤點(diǎn)期發(fā)生。兩種系統(tǒng)的其他區(qū)別因素式（參見7-1表）定期訂貨模型平均庫存較大，以防在盤點(diǎn)期（T）發(fā)生缺貨情況；定量訂購模型沒有盤點(diǎn)期。因?yàn)槠骄鶐齑媪枯^低，所以定量訂貨模型有利于貴重物資的庫存；對于重要的物資如關(guān)鍵維修零部件，定量訂貨模型將更適用，因?yàn)樵撃Ｐ蛯齑娴谋O(jiān)控更加密切，這樣可以對潛在的缺貨更快地做出反應(yīng)。由于每一次補(bǔ)充庫存或貨物出庫都要進(jìn)行記錄，為出定量訂貨模型需要的時(shí)間更長。圖7-1列出了當(dāng)兩種模型投入使用并成為一個(gè)運(yùn)作系統(tǒng)后將會產(chǎn)生的結(jié)果。可以看到，定量訂貨著重于訂購數(shù)量和再訂購點(diǎn)。從程序上看，每次每單位貨物出庫，都要進(jìn)行記錄，并且立即將剩余的庫存量與再訂購點(diǎn)進(jìn)行比較。如果庫存已經(jīng)降低到再訂購點(diǎn)，則要進(jìn)行批量為Q的訂購；如果仍位于再訂購點(diǎn)之上，則系統(tǒng)保持閑置狀態(tài)直到有再一次的出庫需求。PP定期再訂貨系統(tǒng)Q定量訂貨系統(tǒng)閑暇狀態(tài)，等待需求閑暇狀態(tài)，等待需求需求發(fā)生，庫存物資出庫或延期交貨計(jì)算庫存水平庫存水平＝現(xiàn)有庫存量＋已訂購量－延期交貨量計(jì)算庫存水平庫存水平＝現(xiàn)有庫存量＋已訂購量－延期交貨量庫存水平小于或等于再訂購點(diǎn)嗎？訂購Q單位需求發(fā)生，從庫存中提貨或延期交貨計(jì)算訂購量以使庫存達(dá)到需要的水平進(jìn)行訂購，訂購量為所需要的貨物量盤點(diǎn)期到來了嗎？圖7-1定量訂貨與定期訂貨庫存系統(tǒng)的比較對于定期訂購系統(tǒng)，只有當(dāng)庫存經(jīng)過盤點(diǎn)后才做出訂購決策。是否真正訂購依賴于進(jìn)行盤點(diǎn)的那一時(shí)刻的庫存水平。表7-1定量訂貨模型與定期訂貨模型的比較特征定量訂購模型Q定期訂貨模型P訂購量Q是固定的（每次訂購量相同）q是變化的（每次的訂購量不同）何時(shí)訂購R，即在庫存量降低到再訂購點(diǎn)時(shí)T，即在盤點(diǎn)期到來時(shí)庫存記錄每次出庫都作記錄只在盤點(diǎn)期記錄庫存大小比定期訂貨規(guī)模小比定量訂貨模型大維持所需時(shí)間由于記錄持續(xù)，所以較長物資類型昂貴、關(guān)鍵或重要物資7.2.1定量訂貨模型定量訂貨模型中要求規(guī)定一個(gè)特定的點(diǎn)R，當(dāng)庫存水平到達(dá)這一點(diǎn)時(shí)就應(yīng)當(dāng)進(jìn)行訂購且訂購量為Q。訂購點(diǎn)R往往是一個(gè)既定的數(shù)。當(dāng)可供貨量（包括目前庫存量和已訂購量）到達(dá)R時(shí)，就應(yīng)進(jìn)行批量為Q的訂購。庫存水平可定義為目前庫存量加上已訂購量減去延期交貨量。定量訂貨模型的求解可表示如下：當(dāng)庫存降低到36單位時(shí)，再訂購57單位。這類模型中最簡單的模型是所有的條件都確定的情況。如果對某一產(chǎn)品的年需求量是1000單位，那就是指確切的1000而不是1000上下偏差10%。對于生產(chǎn)準(zhǔn)備成本和存儲成本也是一樣的，即是精確的數(shù)。雖然在實(shí)際中完全確定的情況幾乎是不可能的，但這些確定條件的假定卻為對庫存模型的研究提供了很好的基礎(chǔ)。圖7-2以及對求解最優(yōu)訂購量的討論都是基于如下的一些假定。這些假定與現(xiàn)實(shí)有些不符，但他們提供了一個(gè)研究的起點(diǎn)，并使問題簡單化。產(chǎn)品需求是固定的，且在整個(gè)時(shí)期內(nèi)保持一致；提前期（從訂購到收到貨物的時(shí)間）是固定的；單位產(chǎn)品的價(jià)格是固定的；存儲成本以平均庫存為計(jì)算依據(jù)；訂購或生產(chǎn)準(zhǔn)備成本固定；所有對產(chǎn)品的需求都能滿足（不允許延期交貨）。圖7-2關(guān)于Q與R的“鋸齒形效果”表明，當(dāng)庫存水平下降到R點(diǎn)時(shí)，就應(yīng)進(jìn)行再訂購。該訂購的貨物將在提前期L期末收到，且L在這個(gè)模型中保持不變。現(xiàn)有庫存 QR 圖7-2定量訂貨模型建立模型庫時(shí)，首先應(yīng)在利息變量與效益變量指標(biāo)之間建立函數(shù)關(guān)系。如果關(guān)心的是成本，則有下面有關(guān)的等式：年總成本=年采購成本+年訂購成本+年存儲成本即：式中，TC——年總成本；D——需求量（每年）；C——單位產(chǎn)品成本；S——生產(chǎn)準(zhǔn)備成本；Q——訂購批量（最佳批量稱為經(jīng)濟(jì)訂購批量即Qopt）；R——再訂購點(diǎn)；L——提前期；H——單位產(chǎn)品的年平均存儲成本（通常，存儲成本以單價(jià)的百分率表示，例如，H=iC，式中，i是存儲成本的百分率）。在等式右邊，DC指產(chǎn)品年采購成本，（D／Q）S指年采購成本（訂購次數(shù)D／Q乘以每次訂購成本S），（Ｑ／2）H是年存儲成本（平均庫存Q/2乘以單位存儲成本H）。這些成本之間的關(guān)系如圖7-3所示。成本 TC(總成本) QH/2持有成本 DS/Q訂購成本 DC(年產(chǎn)品成本)Qopt訂購量 訂購批量（Q）圖7-3基于訂購量的年產(chǎn)品成本在模型建立過程中，第二步是確定訂購批量Qopt以使總成本最小。在圖7-3中，曲線中斜率為零的點(diǎn)是總成本最小的訂購批量，可以對總成本Q求導(dǎo)數(shù)，并設(shè)其等于零。具體計(jì)算過程如下：Qopt=因?yàn)樵撃Ｐ图俣ㄐ枨蠛吞崆捌诠潭?，且沒有安全庫存，則再訂購點(diǎn)R為：R=L式中，——日平均需求量（常數(shù)）；L——用天表示的提前期（常數(shù)）。例7-1經(jīng)濟(jì)訂購批量與再訂購點(diǎn)求經(jīng)濟(jì)訂購批量和再訂購點(diǎn)，已知：年需求量（D）=1000單位日平均需求量（d）=1000/365訂購成本(S)=5元/次存儲成本(H)=1.25元/單位·年提前期（L）=5天單價(jià)（C）=12.5元問該訂購多大批量？解：最優(yōu)訂購批量為：Qopt=＝＝89.4再訂購點(diǎn)為：R=L＝1000/6.5×5=13.7（單位）通過取近似數(shù)，可制定如下庫存政策：當(dāng)庫存水平降低到14單位時(shí)，應(yīng)訂購數(shù)量為89單位的產(chǎn)品。年總成本為：＝1000+12.50+1000/89×5+89/2×1.25注意到該例中，再求解訂購批量和再訂購點(diǎn)時(shí)并沒有用到采購成本，因?yàn)樵摮杀臼枪潭ǖ?，與訂購批量大小無關(guān)。邊生產(chǎn)邊使用的定量訂購模型上面的定量訂購模型中，假設(shè)所訂購的產(chǎn)品成批到達(dá)，但事情往往并非如此。在許多情況下，都是邊生產(chǎn)邊消耗庫存物資。在生產(chǎn)系統(tǒng)中，當(dāng)某一部門是另一部門的供應(yīng)商時(shí)，這種模型比較適用。例如，為了滿足鋁合金窗的訂購必須生產(chǎn)鋁合金板，然后將鋁合金板切斷、焊接，最后完成全部鋁合金訂單。同時(shí)公司開始與供應(yīng)商簽訂長期合同，合同一般為期6個(gè)月或1年，供應(yīng)商將每周送一次貨或更頻繁一些。假定用d表示對將要生產(chǎn)的物資的固定需求率，用p表示該物資的生產(chǎn)率，則可得到以下公式：同樣，對Q求導(dǎo)，并使其等于零，可得：Qopt=該模型如圖7-4所示?？梢钥闯霈F(xiàn)有庫存量往往少于訂購量Q。斜率＝生產(chǎn)率－使用率斜率＝生產(chǎn)率－使用率使用率進(jìn)行生產(chǎn)只使用，不生產(chǎn)圖7-4邊生產(chǎn)邊使用的定量訂購模型例7-2最佳批量產(chǎn)品X是某公司庫存中的標(biāo)準(zhǔn)項(xiàng)目。該產(chǎn)品最后一道裝配線每天都運(yùn)轉(zhuǎn)。產(chǎn)品X的某一部件（稱為部件X1）在另一個(gè)部門生產(chǎn)。該部門生產(chǎn)部件X1的生產(chǎn)率為100件/天，裝配線對部件X1的使用率為40件/天。已知下面的數(shù)據(jù)，求對部件X1的最優(yōu)訂購批量。日使用率（d）=40件年需求量（D）=10000(40件*250個(gè)工作日)日生產(chǎn)量（p）=100件生產(chǎn)準(zhǔn)備成本（S）=50元年存儲成本（H）=0.50元/件部件X1的成本（C）=7元/件提前期（L）=7天解：最佳訂購量與再訂購點(diǎn)計(jì)算如下：Qopt=＝1826(件)以上的計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)X1的庫存量降低到280件時(shí)，就應(yīng)進(jìn)行批量為1828件的訂購。在日產(chǎn)量為100件/天的情況下，需生產(chǎn)18.26天，并且能為裝配線提供45.65（1826/40）的需求量。從理論上說，該部門將有27.39天做別的工作而不生產(chǎn)部件X1。建立安全庫存前面的模型是假設(shè)需求是固定且已知的，但多數(shù)情況下需求并不固定，而是經(jīng)常變化的。因此，必須建立安全庫存以便在需求變化的情況下也能保持庫存水平。安全庫存是指為了防止由于不確定因素（如大量突發(fā)性訂貨、交貨期突然延期等）而準(zhǔn)備的緩沖庫存。對于正態(tài)分布，是指平均值。例如，如果月平均需求量為100單位，且與即下一個(gè)月的需求量保持不變，如果訂購了120單位，則安全庫存為20單位。關(guān)于安全庫存這一問題的文獻(xiàn)主要討論了與庫存物資的需求有關(guān)的兩種方法。其一是根據(jù)對庫存物資的需求量超過規(guī)定數(shù)量的概率。例如，有些目標(biāo)表述為“建立安全庫存以使需求量超過300單位的概率為5%”。其二是根據(jù)超過庫存量的預(yù)計(jì)數(shù)。例如，某目標(biāo)是建立庫存以滿足95%的需求訂單（或者有5%的訂購數(shù)量超過庫存量）。這就是說，第一種方法是有關(guān)超過某一數(shù)值的概率，第二種方法是有關(guān)短缺多少的問題。概率方法利用概率標(biāo)準(zhǔn)來確定安全庫存比較簡單。根據(jù)下面描述的模型，假設(shè)在一定時(shí)期內(nèi)需求是服從正態(tài)分布的。在強(qiáng)調(diào)一下，該方法只考慮超過庫存量的概率，而不考慮所短缺的數(shù)量。為了求解一定時(shí)期內(nèi)庫存短缺的概率，可以簡單地畫一條需求量的正態(tài)分布曲線，并在曲線上標(biāo)明所擁有的庫存量的位置?，F(xiàn)在舉些簡單的例子來說明。假設(shè)與即從下月開始平均每月需求量為100單位，標(biāo)準(zhǔn)差為20單位，如果某一月份需求量剛好為100單位，則缺貨的概率為5%。一般地，有一半的月份的需求數(shù)量將超過100單位，另一半月份的需求量將少于100單位。更進(jìn)一步說，如果每月一次訂購100單位，且貨物在月初收到，則從長期來看，這一年中將有6個(gè)月發(fā)生缺貨。如果覺得這樣頻繁地缺貨難以接受，則應(yīng)增加額外的庫存以減少短缺風(fēng)險(xiǎn)。假設(shè)增加20單位的庫存，在這種情況下，仍保持一次訂購一個(gè)月的庫存，且當(dāng)庫存量下降到20單位時(shí)，所訂的貨物就該入庫。這樣就建立了一個(gè)較小的安全庫存緩沖以減少缺貨的概率。如果需求量的標(biāo)準(zhǔn)差為20單位，則該庫存量擁有了相當(dāng)于標(biāo)準(zhǔn)差值大小的安全庫存。看標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，將平均值往右移一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，求得概率為0.8413(表中得到的是0.3413，再加上0.5)。所以，大約84%的時(shí)間不會遇到物資短缺的情況，而16%的時(shí)間會遇到?，F(xiàn)在如果我們每個(gè)月都訂購，則大約兩個(gè)月會出現(xiàn)物資短缺（0.16*12=1.92）。公司經(jīng)常用這方法來建立不發(fā)生缺貨的概率為95%的安全庫存。這意味著我們應(yīng)當(dāng)建立1.64個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的安全庫存，在我們的例子，安全庫存為33個(gè)單位（1.64*20=32.8）。再強(qiáng)調(diào)一次，這并不是說我們每月應(yīng)額外訂購33單位的物資，而是仍然每次訂購一個(gè)月的使用量，但我們應(yīng)安排好接收計(jì)劃以便貨物到達(dá)時(shí)，倉庫里仍有33單位的貨物。在這種情況下，每年大約有0.6個(gè)月將會出現(xiàn)庫存短缺或者每20個(gè)月中將由1個(gè)月會發(fā)生短缺。服務(wù)水平方法通過比擬的方法，我們來看一下用概率方法求解安全庫存的缺點(diǎn)。假設(shè)天氣預(yù)報(bào)員預(yù)報(bào)明天將下雨，你會滿足于是/否(下雨/不下雨)的預(yù)報(bào)嗎？——或者你更希望知道是零星小雨還是可能導(dǎo)致洪水的傾盆大雨？如果是冬季，你會滿足于一個(gè)簡單的有雪的預(yù)報(bào)（附有預(yù)報(bào)正確的概率嗎）？你難道不更想知道只是一場小雪還是一場將導(dǎo)致交通危險(xiǎn)或機(jī)場關(guān)閉的大雪？我們對于庫存模型的想法是一樣的。即不但對是否會發(fā)生物資短缺感興趣，而且更關(guān)注短缺的程度。而服務(wù)水平就是一個(gè)很好的度量指標(biāo)。服務(wù)水平使之可以用現(xiàn)有庫存來滿足需求的數(shù)量。例如，如果對某物資的需求量為1000單位，則95%的服務(wù)水平意味著950單位可以立即從庫存中得到滿足，而短缺50單位。（這個(gè)概念假定每次需求量很小且呈隨機(jī)分布——每次（需求）訂購1個(gè)或幾個(gè)單位。當(dāng)全部年需求只來自少數(shù)幾個(gè)顧客時(shí)，該模型就不適用了，因?yàn)槲覀冃枰銐虻臄?shù)據(jù)點(diǎn)以達(dá)到近似于正態(tài)分布。）對服務(wù)水平該部分的討論是基于一個(gè)統(tǒng)計(jì)概念：期望值z，或E(z)。E(z)是指每一訂購提前期內(nèi)缺貨預(yù)期數(shù)。這里，假定需求量服從正態(tài)分布。要計(jì)算服務(wù)水平，我們需要直到缺貨量。例如，假設(shè)平均周需求量為100單位，標(biāo)準(zhǔn)差為10單位。如果在每周期初我們有110單位的庫存，則預(yù)期缺貨量是多少呢？要解這個(gè)問題，需要將需求量分別為111，112，113，…即短缺量分別為1，2，3，……時(shí)的概率求和，該概率總數(shù)就是當(dāng)庫存為110單位時(shí)的缺貨量預(yù)期值。雖然從概念上看很簡單，但用手算的方式來解方程是不可行的。幸運(yùn)的是，羅伯特·布朗已經(jīng)總結(jié)除了期望值表。表7-2相對于標(biāo)準(zhǔn)差的短期期望值E(z)zE(z)zE(z)zE(z)z4.500-4.502.205-2.20.3990.000.0042.304.200-4.201.911-1.90.2670.300.0012.603.900-3.91.623-1.600.1690.600.0012.903.600-3.61.346-1.300.1000.900.0003.203.300-3.31.083-1.000.0561.200.0003.503.000-3.00.843-0.700.0291.500.0003.802.701-2.70.630-0.400.0141.800.0004.102.403-2.40.451-0.100.0062.100.0004.40安全庫存的標(biāo)準(zhǔn)差個(gè)數(shù)圖7-5每個(gè)訂貨周期的缺貨期望值圖7-5是表7-2的圖示形式，該圖表明了每一訂購周期中的缺貨量期望值（無論是定期模型，還是定量模型）。利用前面的例子，假設(shè)平均需求量為100單位，標(biāo)準(zhǔn)差為10單位。對于圖7-5，我們應(yīng)當(dāng)將縱坐標(biāo)都乘以10，因?yàn)樵搱D是建立在標(biāo)準(zhǔn)差為1個(gè)單位的基礎(chǔ)上的。當(dāng)z=1時(shí)，根據(jù)表7-2或圖7-5，如果我們建立10單位的安全庫存（相當(dāng)于一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差），則總短缺量為單位（0.083×10）。由于在這一時(shí)期內(nèi)平均需求量為100單位，且缺貨量只有0.83單位（不到一個(gè)單位），則我們的服務(wù)水平為（100-0.83）/100，即99.17%。如果本例中我們沒有建立安全庫存（也就是說只訂購100單位），則我們將短缺3.99單位（0.399*10）。服務(wù)水平為（100-3.99）/100，即96.01%在本例中，如果安全庫存降低1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，也就是說在每周期初只有90單位庫存而非100單位，則此時(shí)我們將短缺10.83單位，服務(wù)水平為89.17%。進(jìn)一步說，如果在每周期初只有80單位庫存，則將短缺20.08單位；如果在每周期初只有70單位庫存，則將短缺30單位；等等。由于這些圖表是建立在標(biāo)準(zhǔn)差為1的基礎(chǔ)上，所以我們需要將圖表中的數(shù)值乘以實(shí)際使用量。另舉一例，如果平均需求量為550單位，標(biāo)準(zhǔn)差為36單位，則當(dāng)庫存為568單位，安全庫存為0.5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，此時(shí)短缺期望值為0.198*36=7.128單位。所以服務(wù)水平為：（550–7.128）550=98.7%。總結(jié)一下前面對服務(wù)水平方法的討論，我們所做的只是將需求的標(biāo)準(zhǔn)差轉(zhuǎn)化成以1個(gè)單位作為基礎(chǔ)，然后，利用表7-2計(jì)算出特定服務(wù)水平下的短缺量。在概率方法下，我們直接利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表來求解滿足我們期望概率的安全庫存的標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)。服務(wù)水平方法的主要優(yōu)點(diǎn)是通過我們售給顧客的實(shí)際產(chǎn)品數(shù)來求解安全庫存。在兩種基本模型——定量訂購模型和定期訂購模型中，我們將做進(jìn)一步解釋。接下來的問題是如何在合理的服務(wù)水平下設(shè)計(jì)庫存控制系統(tǒng)以使庫存投資最小化。我們將舉例說明如何用服務(wù)水平方法來計(jì)算安全庫存。對于那些更喜歡用短缺概率方法來求解的，往往取概率為95%，z=1.64或概率取98%，z=2.0。既定服務(wù)水平下的定量訂貨模型定量訂貨系統(tǒng)是對庫存水平進(jìn)行連續(xù)監(jiān)控，且當(dāng)庫存量將至某一水平R時(shí)就進(jìn)行訂購。該模型中，缺貨的風(fēng)險(xiǎn)只發(fā)生在訂購提前期，即在訂購時(shí)點(diǎn)與會收到貨物時(shí)點(diǎn)之間。即當(dāng)庫存水平降低到再訂購點(diǎn)R時(shí)，就進(jìn)行訂購。在訂購提前期（L）期間，需求可能在一個(gè)范圍之內(nèi)變化。該范圍可以根據(jù)對以往數(shù)據(jù)的分析求得或者估計(jì)出（當(dāng)以往數(shù)據(jù)不可得時(shí)）。如前所述，安全庫存量是依據(jù)期望的服務(wù)水平而定的。訂購批量的計(jì)算往往按通常的方法進(jìn)行，如考慮需求量、短缺成本、訂購成本、存儲成本等。定量訂貨模型可以用來計(jì)算Q值，例如我們前面討論過的Qopt模型。再訂購點(diǎn)應(yīng)包括訂購提前期中的期望需求量加上期望服務(wù)水平下的安全庫存量。因此，對于定量訂貨模型，需求量確定與需求量不確定的主要區(qū)別在于再訂購點(diǎn)的計(jì)算。對于這兩種情況，訂購批量是相同的。求解安全庫存時(shí)應(yīng)考慮到需求量不確定的因素。再訂購點(diǎn)計(jì)算公式為：R=dL+zσL式中，R——再訂購點(diǎn)；d——日需求量；L——提前期（訂購點(diǎn)與收到貨物時(shí)點(diǎn)之間的時(shí)段）；Z——既定服務(wù)水平的標(biāo)準(zhǔn)差個(gè)數(shù)；σL——提前期中使用量的標(biāo)準(zhǔn)差；zσL——安全庫存。注意，如果安全庫存為正，則應(yīng)當(dāng)盡快再訂購。在沒有安全庫存時(shí)，R的值就是提前期內(nèi)的需求量。如果訂購提前期期間的使用量為20個(gè)單位，安全庫存量為5個(gè)單位，則如果庫存只剩25個(gè)單位時(shí)，就應(yīng)盡快在訂購。安全庫存量越大，則需要越快進(jìn)行訂購。計(jì)算d,σL和z訂購提前期內(nèi)的需求量只是一個(gè)估計(jì)值或者預(yù)測值。它可能是一個(gè)簡單的數(shù)（例如，如果提前期為一個(gè)月，則需求量可用前一年的需求量除以12求得）?；蛘呤翘崆捌趦?nèi)每天需求量的總和（如為期30天的提前期內(nèi)日需求量的總和）。在計(jì)算日需求量時(shí)，可以用第13章提到的任意模型來預(yù)測日需求量d。例如，如果用30天的數(shù)據(jù)來求d,則平均數(shù)為：式中，n為天數(shù)。日需求量的標(biāo)準(zhǔn)差為：因?yàn)橹傅氖且惶斓臉?biāo)準(zhǔn)差，如果提前期為若干天，則可以利用統(tǒng)計(jì)前期即一系列獨(dú)立事件的標(biāo)準(zhǔn)差等于各方差之和的平方根。例如，假設(shè)日需求標(biāo)準(zhǔn)差為10個(gè)單位，求總需求標(biāo)準(zhǔn)差。如果提起期為5天，因?yàn)槊刻於伎梢钥醋魇仟?dú)立的，則5天的標(biāo)準(zhǔn)差為：=22.36接下來，應(yīng)該求z?？梢酝ㄟ^求解期望服務(wù)水平下的短缺量E(z)，然后再查表7-2求得z。假設(shè)希望服務(wù)水平為P(例如，P可以為0.95)，一年中庫存短期量為（1-P）D，或0.05D,式中，D為年需求量。如果每次訂購Q單位，則每年將訂購D/Q次。由于表7-2是建立在σL=1基礎(chǔ)上的，因此我們從表中讀出的任意一個(gè)E(z)值都要乘以σL，也就是每次訂購短缺期望值為E(z)σL。這一年中的短期量為E(z)σLD/Q。以上的敘述可以用下面的等式表示：短期概率×年需求量=每次訂購短期量×年訂購次數(shù)（1—P）×D＝E(z)σL×D/Q可簡化為：E(z)＝式中，P——期望服務(wù)水平（例如服務(wù)水平為95%，指可用庫存滿足95%的需求）；（1－P）——沒有得到滿足的需求的部分；D——年需求量σL——提前期內(nèi)需求的標(biāo)準(zhǔn)差；Q——按通常方法計(jì)算出來的經(jīng)濟(jì)訂購批量（如Q＝）；E(z)——從σ＝1的標(biāo)準(zhǔn)化表中求得到每個(gè)訂購周期內(nèi)的短缺期望值。注意公式（7-2-9）中沒有出現(xiàn)D，這是因?yàn)镋(z)是指每次訂購周期的短期量（每年有D/Q次）?，F(xiàn)在我們來比較兩個(gè)例子。二者的區(qū)別是第一個(gè)例子中需求的變化是用整個(gè)提前期內(nèi)的標(biāo)準(zhǔn)差來表示，而第二個(gè)例子中則以每日的標(biāo)準(zhǔn)差表示。例7-3經(jīng)濟(jì)訂購批量考慮一個(gè)經(jīng)濟(jì)訂購批量的情況，已知年需求量D＝1000個(gè)單位，經(jīng)濟(jì)訂購批量Q＝200單位，期望服務(wù)水平P＝0.95，提前期內(nèi)的年需求量標(biāo)準(zhǔn)差σL＝25單位，提前期L＝15天，求再訂購點(diǎn)。解：本例中，d＝4(250個(gè)工作日，年需求量為1000單位)，提前期為15天。利用公式可得：R=dL+zσL=4×15+25z我們利用公式（15－9）來求E(z)，然后再從表中查出z，由于Q＝200,P＝0.95，L＝25天，則E(z)＝＝（1-0.95）×200/25＝0.4根據(jù)表7-2，E(z)＝0.4可求得z＝0，于是，R值為：R＝4×15+25z＝60+0=60單位。這就是說，當(dāng)庫存量降至60單位時(shí)，就應(yīng)訂購200單位。為了驗(yàn)證一下，我們來計(jì)算每年得到滿足的需求量是否真的為95%。E(z)是在標(biāo)準(zhǔn)差等于1基礎(chǔ)上的每次訂購的短期量。本例中，每次訂購短期量為：E(z)σL＝0.4×25＝10。因?yàn)橐荒暧?次訂購（1000/200），則年短期量為50單位。因?yàn)?000單位的需求中有950單位可從庫存中得到滿足，這就證實(shí)了服務(wù)水平為95%。例7-4訂購量與再訂購點(diǎn)某產(chǎn)品的日需求量服從均值為60,標(biāo)準(zhǔn)差為7的正態(tài)分布。供應(yīng)來源可靠，提前期固定為6天。訂購成本為10元，年存儲成本為0.50元/單位，不計(jì)短缺成本。假設(shè)銷售全年發(fā)生。求能用庫存滿足95%顧客需求的訂購量與再訂購點(diǎn)。解：已知＝60,S＝10元，σL＝7，H＝0.50元，D＝60×365，L＝6，則最優(yōu)訂購批量為：Qopt=＝936(單位)要求再訂購點(diǎn)，先要求得提前期內(nèi)的使用量然后再與安全庫存相加。提前期內(nèi)的需求標(biāo)準(zhǔn)差可根據(jù)每天需求方差來求得，因?yàn)槊刻斓男枨笫仟?dú)立的。接下來，需要知道在既定服務(wù)水平下需要多少個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差。按照前面的定義，E(z)＝因此，E(z)＝＝936×（1-0.95）/17.2=2.721從表7-2中，用插值法可求得當(dāng)E（z）＝2.721時(shí)，z＝-2.72。所以再訂購點(diǎn)為：R=L+zσL＝60×6+（－2.72）×17.2＝313.2(單位)所以，一旦庫存量降至313單位，則應(yīng)訂購936單位。注意，在本例中安全庫存（zσL）為負(fù)數(shù)。這就意味著如果當(dāng)庫存水平降至提前期內(nèi)的需求量（L）時(shí)，進(jìn)行訂購（Q＝936），則實(shí)際的服務(wù)水平將比期望的高。為了使服務(wù)水平降至95%，我們應(yīng)降低訂購點(diǎn)（至313），以引起更多的短缺。在這種情況下，我們實(shí)際上是期望每個(gè)訂購周期都會出現(xiàn)短缺。我們可以通過年訂購次數(shù)23.4（60×365/936）來證實(shí)我們的服務(wù)水平。每個(gè)訂購期的缺貨量為46.8單位（27.2×17.2）,這樣，年缺貨量為1095單位（46.8×23.4）。所以服務(wù)水平為0.95[(21900-1095)/21900].從這兩個(gè)例子中可以看出，這樣來求安全庫存水平相對比較簡單、直接。我們可以通過這種方法控制庫存水平以滿足期望的服務(wù)水平。7.2.2定期訂貨模型在定期訂貨系統(tǒng)中，庫存只在特定的時(shí)間進(jìn)行盤點(diǎn)，例如每周一次或每月一次。當(dāng)供應(yīng)商走訪顧客并與其簽訂合同或某些顧客為了節(jié)約運(yùn)輸費(fèi)用而將他們的訂單合在一起的情況下，必須定期進(jìn)行庫存盤點(diǎn)和訂購。另外一些公司實(shí)行定期訂貨系統(tǒng)是為了促進(jìn)庫存盤點(diǎn)。例如，銷售商X每兩周打來一次電話，則員工就明白所有銷售商X的產(chǎn)品都應(yīng)進(jìn)行盤點(diǎn)了。在定期訂貨系統(tǒng)中，不同時(shí)期的訂購量不盡相同，訂購量的大小主要取決于各個(gè)時(shí)期的使用率。它一般比定量訂購系統(tǒng)要求更高的安全庫存。定量訂貨系統(tǒng)是對庫存連續(xù)盤點(diǎn)，一旦庫存水平到達(dá)再訂購點(diǎn)，立即進(jìn)行訂購。相反地，標(biāo)準(zhǔn)定期訂貨模型是僅在盤點(diǎn)期進(jìn)行庫存盤點(diǎn)。它有可能在剛訂完貨時(shí)由于大批量的需求而使庫存降至零。這種情況只有在下一個(gè)盤點(diǎn)期才被發(fā)現(xiàn)。而新的訂貨需要一段時(shí)間才能到達(dá)。這樣，有可能在整個(gè)盤點(diǎn)期T和提前期L會發(fā)生缺貨。所以安全庫存應(yīng)當(dāng)保證在盤點(diǎn)期和提前期內(nèi)不發(fā)生缺貨。既定服務(wù)水平下的定期訂貨模型在定期訂貨系統(tǒng)中，在盤點(diǎn)期（T）進(jìn)行再訂購，同時(shí)安全庫存必須為：安全庫存＝zσT＋L對于盤點(diǎn)期為T，固定提前期為L的定期訂貨系統(tǒng)，需求是隨機(jī)分布的且均值為。訂貨量q為：訂貨量＝盤點(diǎn)期和提前期內(nèi)的平均需求＋安全庫存－現(xiàn)有庫存（如有已訂購的也應(yīng)加上）q＝（T＋L）＋zσT＋L－I式中q——訂購量；T——兩次盤點(diǎn)的間隔期；L——提前期（訂購與收到貨物之間的時(shí)間差）；——預(yù)測的日平均需求量；z——既定服務(wù)水平下的標(biāo)準(zhǔn)差倍數(shù)；σT＋L——盤點(diǎn)周期與提前期期間需求的標(biāo)準(zhǔn)差；I——現(xiàn)有庫存（包括已訂購尚未到達(dá)的）。注意：需求量÷提前期÷盤點(diǎn)期等等可以使用任意時(shí)間單位，只要整個(gè)公式中的單位保持一致。在該模型中，需求量（）可以預(yù)測出來，并且可以隨盤點(diǎn)周期而不同，或者，如果適當(dāng)，可以使用年度平均值。假定需求服從正態(tài)分布。z值可以通過以下E（z）的公式，然后借助于表7-2找出相應(yīng)當(dāng)值：E(z)＝式中E（z）——σ為1時(shí)標(biāo)準(zhǔn)化表中的期望缺貨量；P——用小數(shù)表示的服務(wù)水平（如95%表示為0.95）；T——盤點(diǎn)周期內(nèi)的需求量，其中是指日需求量，T指天數(shù)；σT＋L——盤點(diǎn)周期與提前期期間需求的標(biāo)準(zhǔn)差；例7-5訂購量某一產(chǎn)品的日需求量為10單位，標(biāo)準(zhǔn)差為3單位。盤點(diǎn)周期為30天，提前期為14天。管理部門已經(jīng)制定了滿足98%需求的政策。在盤點(diǎn)周期期初，庫存中有150單位產(chǎn)品。問訂購量應(yīng)為多少？解：訂購量為q＝（T＋L）＋zσT＋L－I＝10×（30+14）＋zσT＋L－150首先，我們得求z值和QT＋L。QT＋L的值可以按照前面的方法求得，即方差序列第總標(biāo)準(zhǔn)差等于方差之和地平方根。所以T＋L期間的需求標(biāo)準(zhǔn)差等于各天需求方差之和地平方根：σT＋L＝因?yàn)槊咳招枨笫仟?dú)立的且σd是固定的，所以：σT＋L＝＝19.90現(xiàn)在我們再來求E（z），然后通過表來查z值。在這種情況下，盤點(diǎn)周期內(nèi)的需求量為T，所以：E(z)＝＝10×30×（1-0.98）/19.90＝0.302根據(jù)表7-2，當(dāng)E（z）＝0.302時(shí)，利用插值法可求得z＝0.21。因此，訂購量為：q＝（T＋L）＋zσT＋L－I＝10×（30+14）＋0.21×19.90－150=294(單位)要滿足98%的需求，應(yīng)當(dāng)在該盤點(diǎn)期訂購294單位。7.2.3專用模型上述定量訂購模型和定期訂購模型的假設(shè)條件雖然有很大不同，但以下兩點(diǎn)是共同的：單價(jià)為常數(shù)，與訂購量無關(guān)；再訂購過程是連續(xù)的，也就是說，所訂購與儲存的物資有連續(xù)的需求，下面要介紹兩個(gè)新的模型：第一個(gè)模型說明單價(jià)隨訂購批量變化時(shí)對訂購量的影響；第二個(gè)模型是單周期存儲模型（有時(shí)也稱為靜態(tài)模型），在這種情況下，每次訂購和存儲都要對成本進(jìn)行權(quán)衡斟酌，這類模型適合用邊際分析來求解。批量折扣模型批量折扣模型適用于產(chǎn)品售價(jià)隨批量大小變化的情況。售價(jià)的變化是不連續(xù)的，例如，螺釘銷量在1~99只時(shí)可能每只2分，而每100只則售1.6元，每千只僅售13.5元。為了確定一種物資的最優(yōu)訂購量，我們可以根據(jù)不同的價(jià)格水平求出相應(yīng)當(dāng)經(jīng)濟(jì)訂購量。但是，這樣求得的解并不都是可行的，例如，將每個(gè)可行的經(jīng)濟(jì)訂購量的總成本和相應(yīng)的批量折扣訂貨量列成表格，總成本最小的訂購量Q就是最優(yōu)訂購量。如果存儲成本是根據(jù)單價(jià)的百分比來確定的，那么就不必計(jì)算每個(gè)價(jià)格水平下的經(jīng)濟(jì)訂購量。此時(shí)求解的大步驟可以簡化如下：首先求出最大的經(jīng)濟(jì)訂購量Q（相應(yīng)于最低價(jià)格），如果Q可行，那么它就是問題的答案；如果Q不可行，那么計(jì)算次大的經(jīng)濟(jì)訂購量Q（相應(yīng)于第二個(gè)最低價(jià)格）。如果Q可行，那么就把相應(yīng)于Q的成本同相應(yīng)于價(jià)格稍高的較小數(shù)量的成本進(jìn)行比較，然后根據(jù)成本最小原則確定最優(yōu)訂購量。例7-6有一批量折扣問題，有關(guān)數(shù)據(jù)如下：D＝10000件（年需求量）；S＝20元（每次的訂購成本）；i＝20%（存儲成本占單價(jià)的20%）；C＝單位成本＝[(5元/件，批量為0~499件),(4.5元/件，批量為500~999件),(3.9元/件，批量為1000件以上)]。問最優(yōu)訂購量為多少？解：本例可用定量訂貨模型求解，適用以下公式：Q＝利用上述公式進(jìn)行求解，結(jié)果如下：C＝3.90元時(shí)， Q=716，不可行；C＝4.50元時(shí)， Q=666，可行，總成本＝45599.70元；表7-3三種批量折扣價(jià)格條件下的相關(guān)成本Q=633C=5Q=666C=4.50Q=716C=3.90Q≥1000C=3.90存儲成本（Q/2）iC不可行(666/2)×0.20×4.50=299.70不可行(1000/2)×0.20×3.90=390訂購成本(D/Q)S(10000/666)×20=300(10000/1000)×20=200存儲成本與訂購成本599.70590采購成本（DC）10000×4.5010000×3.90總成本45599.7039590表7-3分別求出了不同折扣價(jià)格條件下的經(jīng)濟(jì)訂購批量及其總成本，由此可知最優(yōu)訂購批量是1000件。往往隨著訂購批量的增大，價(jià)格折扣越多，因此表面看來，訂購批量大于最優(yōu)訂購批量時(shí)似乎更為有利。因此，我們在應(yīng)用這一模型時(shí)，應(yīng)該特別注意對產(chǎn)品過時(shí)風(fēng)險(xiǎn)以及倉儲成本作一合理估計(jì)。單周期存儲模型一些存儲問題的決策僅涉及一個(gè)需求周期，或者訂購的物資只是流行一時(shí)，這樣的存儲問題稱為單周期存儲問題，或者成為報(bào)童問題（例如，一個(gè)報(bào)童每天應(yīng)該訂購多少報(bào)紙）。這類問題可用經(jīng)典的邊際方法來求解。用邊際分析方法來進(jìn)行最優(yōu)存儲決策時(shí)，最優(yōu)點(diǎn)是指這樣的一點(diǎn)：當(dāng)訂購量再增加一件時(shí)，訂購該物資產(chǎn)生的收益會小于帶來的損失。當(dāng)然，對收益和成本的權(quán)衡要根據(jù)具體問題。例如，我們可以將存儲成本與短缺損失對比，或者比較邊際收益和邊際損失。訂購的物資直接用于銷售的情況下，用邊際分析來進(jìn)行最優(yōu)決策時(shí)，存儲數(shù)量應(yīng)該是這樣的數(shù)量：銷售最后一件所得的收益大于或等于最后一件未被銷售出時(shí)所帶來的損失，這一條件用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示為：MP≥ML式中MP——售出第N件產(chǎn)品所帶來的收益；ML——第N件產(chǎn)品未售出時(shí)所帶來的損失。處理概率事件時(shí)，邊際分析依然有效。此時(shí)，我們考慮的是期望收益與期望損失。引入概率之后，邊際收益與邊際損失的關(guān)系式變?yōu)椋篜(MP)≥（1-P）ML式中P指該件產(chǎn)品售出的概率，1－P指該件產(chǎn)品未售出的概率，二者必居其一（該件產(chǎn)品要么售出，要么未售出）。求解P，可得P≥公式表明，我們應(yīng)該不斷增加存儲量，直至所增加大最后一件的售出概率等于或大于比值ML/(MP+ML)。殘值，或者說未售出產(chǎn)品的一切收益可以很容易地考慮到問題當(dāng)中，如下例所示，只需簡單地減少邊際損失。例7-7含殘值得問題某產(chǎn)品單價(jià)為100元，成本為常數(shù)，每件70元，未售出產(chǎn)品每件殘值為20元。未來一段時(shí)間的需求量預(yù)計(jì)在35~40件之間，35件肯定能售出，40件以上一定賣不出去，需求概率以及相關(guān)的累積概率分布（P）如表7-4所示。每件產(chǎn)品的邊際收益等于售價(jià)減去成本，即MP=100-70=30元。產(chǎn)品未售出的邊際損失等于單位成本減去殘值，即ML=70-20=50元。試問應(yīng)該訂購多少件？解：最后一件產(chǎn)品的售出概率P應(yīng)該滿足以下關(guān)系：P≥ML/(MP+ML)=50/(30+50)=0.625由累積概率表可知（見表7-4最后一欄），產(chǎn)品售出概率大于或等于0.625時(shí)應(yīng)該存儲37件。第37件產(chǎn)品的售出概率是0.75。存儲37件產(chǎn)品的凈收益等于期望邊際收益減去相應(yīng)當(dāng)期望邊際損失。為明了起見，表7-5列出了所有決策方案的情況。從該表的最后一欄可知，最優(yōu)點(diǎn)訂購決策是訂購37件。表7-4需求概率與累積概率需求件數(shù)需求的概率分布第幾件售出的概率350.101到351.00360.15360.90370.25370.75380.25380.50390.15390.25400.10400.1041041或更多0表7-5含殘值的邊際存儲分析（N）需求件數(shù)需求的概率分布（P）第N件售出的概率第N件產(chǎn)品的期望邊際收益P（100-70）第N件產(chǎn)品的期望邊際損失（IP）（70-20）第N件產(chǎn)品的凈收益MP-ML350.101.0030030.00360.150.9027522370.250.7522.5012.5010380.250.501525-10390.150.257.5037.50-30400.100.10345-424100注：期望邊際收益是售價(jià)100元減去成本70元之后乘以該件產(chǎn)品被售出的概率；期望邊際損失是單位成本70元減去殘值20元之后乘以該件產(chǎn)品未售出的概率。7.2.4各類庫存系統(tǒng)及其有關(guān)問題實(shí)際上，得到訂購成本、生產(chǎn)準(zhǔn)備成本、存儲成本以及短缺損失的數(shù)據(jù)非常困難，有時(shí)甚至不可能。假設(shè)條件有時(shí)不切實(shí)際，例如，圖7-6對訂購成本的線性假設(shè)與實(shí)際的跳躍增長形成了鮮明的對比。訂購成本訂購次數(shù)（假設(shè)情況）訂購次數(shù)（實(shí)際情況）圖7-6訂購成本與訂購次數(shù)的關(guān)系：線性假設(shè)與實(shí)際情況所有庫存系統(tǒng)都要做以下兩個(gè)工作：一是對每種庫存物資進(jìn)行適當(dāng)?shù)乜刂?；一是確保庫存記錄準(zhǔn)確可靠。這一部分將討論實(shí)踐中經(jīng)常使用的三類庫存系統(tǒng)（任意補(bǔ)充系統(tǒng)，單箱系統(tǒng)，雙箱系統(tǒng)）、ABC分析法（一種以價(jià)值為基礎(chǔ)的庫存分析方法）和周期盤點(diǎn)（一種提高庫存記錄精度的方法）。三種簡單的庫存系統(tǒng)任意補(bǔ)充系統(tǒng)任意補(bǔ)充系統(tǒng)強(qiáng)制系統(tǒng)以某一固定頻率（例如每周一次）對庫存進(jìn)行盤點(diǎn)，當(dāng)庫存水平下降到某一數(shù)量以下時(shí)訂購一個(gè)補(bǔ)充量。由表7-1可知，該系統(tǒng)適用定期訂貨模型）P模型）；例如，可以根據(jù)需求、訂購成本和短期損失計(jì)算出最高庫存水平M；因?yàn)榘l(fā)放每一個(gè)訂單都需要花費(fèi)一定的時(shí)間和資金，所以可以求出最小訂購批量Q；每當(dāng)盤點(diǎn)庫存時(shí)，就用M減去現(xiàn)有庫存量I，令（M－I）等于q。如果q等于或大于Q，則訂購q；否則在下一個(gè)庫存盤點(diǎn)之前不訂購。用數(shù)學(xué)語言表示如下：q＝M－I如果q≥Q，則訂購q；否則不訂購。單箱系統(tǒng)單箱系統(tǒng)對庫存進(jìn)行周期性的補(bǔ)充，以固定的時(shí)間間隔（例如一周）將庫存補(bǔ)充到預(yù)定的最高水平。單箱系統(tǒng)與任意補(bǔ)充系統(tǒng)不同，任意補(bǔ)充系統(tǒng)的庫存使用量要超過某一最小數(shù)量時(shí)才進(jìn)行下一次訂購，而單箱系統(tǒng)則是期期訂購、期期補(bǔ)充。由表7－1可知，單箱系統(tǒng)采用的也是定期訂貨模型（P模型）。雙箱系統(tǒng)在雙箱系統(tǒng)中，物資從一箱獲得，另一箱的庫存數(shù)量剛好等于再訂購點(diǎn)的庫存數(shù)量。由表7-1可知，該系統(tǒng)采用的是定量訂購模型（Q模型）。在該系統(tǒng)中，一旦第二箱的庫存被拿到第一箱，則意味著要發(fā)訂單了。實(shí)際上，兩箱可能擱在一起，二者之間只要有東西隔開就行。雙箱系統(tǒng)操作的關(guān)鍵是將庫存分為兩部分，在一部分沒有用完以前另一部分保持不動。第3節(jié)其它庫存模型介紹7.3.1允許欠貨，且生產(chǎn)時(shí)間或交貨延續(xù)時(shí)間極短的存儲模型PAGE\#"'頁：'#'

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'"朱曄,朱躍龍.幾類存儲問題數(shù)學(xué)模型的建立和應(yīng)用.江蘇廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào)[M].2000,12這類模型的特點(diǎn)是允許欠貨，且生產(chǎn)時(shí)間或交貨延續(xù)時(shí)間極短。相應(yīng)符號如下：B：在下次訂貨到達(dá)以前的欠貨最高數(shù)量；E：償還欠貨后的最高存儲量，E+B=Q；C3：單位產(chǎn)品欠貨一年(或一月)的費(fèi)用；T1：從訂貨到達(dá)時(shí)刻開始，一直到存儲量為零的時(shí)間長度；T2：存儲量為零的時(shí)刻到下次訂貨到達(dá)的時(shí)間長度；T3：：連續(xù)兩批的周期。T1、T2、T3之間有如下的關(guān)系：T1+T2=T3。作存儲圖(圖7-7)。由存儲圖可以得到：T1/T2=E/B，T2/T3=B/Q，T1/T3=(Q-B)/Q圖7-7允許欠貨，且生產(chǎn)時(shí)間或交貨延續(xù)時(shí)間極短模型的存儲圖可以看出，在T1時(shí)間長度內(nèi)的平均庫存量為：(Q-B)/2，在T2時(shí)間長度內(nèi)的存儲量為零，故在整個(gè)T3時(shí)間長度內(nèi)的平均庫存量為：則平均存儲費(fèi)用：ZB=在T1時(shí)間長度內(nèi)的欠貨量為零，在T2時(shí)間長度內(nèi)的平均欠貨量為B/2，故在整個(gè)T3時(shí)間長度內(nèi)的平均欠貨量為：平均欠貨費(fèi)用為：Z4=C3B2/(2Q)材料費(fèi)用為：Z1=PD采購費(fèi)用為：Z2=C1D/Q全年的總費(fèi)用為：Z=Z1+Z2+Z3+Z4=PD+(2.1)要求確定Q、B，使全年的總費(fèi)用達(dá)到最小，采用數(shù)學(xué)分析的方法，可通過求=0，=0取得。而==0==0解得：Q=(2.2)B=(2.3)公式(2.2)是最優(yōu)批量公式，公式(23)是欠貨量公式。7.3.2允許欠貨，且交貨時(shí)間或生產(chǎn)時(shí)間有一定的長度的存儲模型這類模型的特點(diǎn)是：允許欠貨，且交貨時(shí)間或生產(chǎn)時(shí)間有一定的長度。在上述符合的基礎(chǔ)上，再給出下面的符號：R1：該種產(chǎn)品的生產(chǎn)速度(單位時(shí)間的生產(chǎn)量)或交貨速度；R2：該種產(chǎn)品的消耗速度(單位時(shí)間的消耗量)；T1：從新的一批開始到達(dá)一直到全部欠貨付清為止的時(shí)間長度，T1=B/(R1-R2)；T2：從付清欠貨開始一直到整批訂貨全部到達(dá)為止的時(shí)間長度，T2=(Q-T1R1)R1T3：從整批訂貨全部到達(dá)開始，一直到全部存儲量消耗完為止的時(shí)間長度，T3=[(T1+T2)(R1-R2)-B]/R2=Q(R1-R2)/(R1R2)-B/R2；T4：從全部庫存用完，開始缺貨，一直到新的一批貨物全部到達(dá)為止的時(shí)間長度，T4=B/R2；T5：為連續(xù)兩批訂貨到達(dá)時(shí)刻之間的時(shí)間間隔，T5=Q/R2。驗(yàn)證：T1+T2+T3+T4==Q/R2=T5所以，T1+T2+T3+T4=T5并且可驗(yàn)證：模型的存儲圖如圖7-8。圖7-8允許欠貨，且交貨時(shí)間或生產(chǎn)時(shí)間有一定的長度模型的存儲圖在T1、T4階段的存儲量為零，在T2、T3階段的平均存儲量為：故在整個(gè)T5階段的平均存儲量為：年平均存儲費(fèi)用為：年平均欠貨量為：年平均欠貨費(fèi)用為：全年總費(fèi)用為：以下確定Q和B，使全年總費(fèi)用為最小。用數(shù)學(xué)分析的方法，求解=0，=0，計(jì)算化簡得：最優(yōu)批量公式：存儲量公式：7.3.3多品種、有一定約束條件的存儲模型在多品種的情況下，決定批量時(shí)，要考慮到其他的一些約束條件，如：倉庫的容積、各種產(chǎn)品的存貨所占用的資金總額，每年所有產(chǎn)品總的生產(chǎn)批數(shù)或訂貨批數(shù)等。這里，設(shè)企業(yè)決定在儲存這幾種材料上所占用的資金總額的年平均數(shù)不超過W，則得到以下的約束條件：≤W(7.1)式中Pi、Qi分別表示第i種材料的價(jià)格、批量。假定材料的倉庫容積為V，令Si表示第i種材料一個(gè)單位所需要的倉庫容積，則得到另一個(gè)約束條件：≤V(7.2)其目標(biāo)函數(shù)是求各種材料全年的總費(fèi)用之和達(dá)到最小，即求：Z=達(dá)到最小值。式中Di表示第i種材料全年的需求量；Cii表示第i種材料每批的采購費(fèi)用；C2i表示第i種材料一個(gè)單位全年的存儲費(fèi)用。用拉格朗日乘數(shù)法來求解，令λ1、λ2為拉格朗日乘數(shù)，當(dāng)W-=0時(shí)，規(guī)定λ1>0；當(dāng)W->0時(shí)，規(guī)定λ1=0；所以有λ1(W-)=0。同樣，當(dāng)V-=0，規(guī)定λ2>0；當(dāng)V->0，規(guī)定λ2=0；所以有λ2(V-)=0。于是問題就化為求F=-λ1(W-)-λ2(V-)達(dá)到最小值。這里用數(shù)學(xué)分析的方法，求解=0(i=1，2，…，n)，即：==0(i=1，2，…，n)解得Q=(i=1，2，…，n)(7.3)在上述n個(gè)方程的基礎(chǔ)上并考慮公式(7.1)和(7.2)，得到n+2個(gè)方程，其中有n+2個(gè)未知數(shù)，如果這個(gè)問題有解，就能得到Qi及λ1、λ2的數(shù)值來。值得注意的是，在計(jì)算過程中，可先不考慮約束條件(7.1)和(7.2)，先對每種材料按公式(1.2)，分別計(jì)算出各自的最優(yōu)批量，如果這些最優(yōu)批量已滿足約束條件(7.1)和(7.2)，那么它也就是這個(gè)問題的最優(yōu)解；如不滿足約束條件(7.1)和(7.2)，則按公式(7.3)進(jìn)行計(jì)算。可以取λ1、λ2大于零的一系列值代入公式(7.3)，直到滿足約束條件(7.1)和(7.2)為止。7.3.4允許部分失去銷售的兩級庫存模型提出背景PAGE\#"'頁：'#'

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'"王穎,劉艷.允許部分失去銷售的兩級庫存模型與策略.杭州電子工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)[M].1999,3董云庭資金時(shí)間價(jià)值對庫存策略影響的研究中國管理科學(xué),1994,(2):45-5235當(dāng)前，無論是在民用商業(yè)還是在軍事配給或其他性質(zhì)的物資流通領(lǐng)域中，幾乎都普遍存在著環(huán)節(jié)較多、分工不明、封閉性強(qiáng)、效率低下以及重復(fù)勞動等問題，解決這些問題的基本方法之一，就是逐漸實(shí)現(xiàn)以提高流通活動功能和生產(chǎn)率為主要目標(biāo)的流通系統(tǒng)化。從物流管理方面看，根據(jù)系統(tǒng)化要求，必須努力實(shí)現(xiàn)中央倉庫(CentralDepot，即：CD)的作業(yè)自動化和時(shí)控管理，以此加速實(shí)現(xiàn)物流的集中管理，必然導(dǎo)致全領(lǐng)域流通結(jié)構(gòu)的調(diào)整[1]PAGE\#"'頁：'#'

'"中國社會科學(xué)院日本研究所“PAGE\#"'頁：'#'

'"中國社會科學(xué)院日本研究所“中日流通業(yè)比較研究”課題組.中日流通業(yè)比較研究.北京:經(jīng)濟(jì)管理出版社,1994符號與術(shù)語s、S——子倉庫或中央倉庫期初基本存貨水平，子倉庫i的基本存貨為si；h、H——子倉庫或中央倉庫單位物品維持費(fèi)用；r、R——子倉庫或中央倉庫單位缺貨損失費(fèi)，指單位需求未滿足而出現(xiàn)失去銷售的費(fèi)用；d——子倉庫由于特別訂貨而發(fā)生的貨物裝運(yùn)費(fèi)和特別訂單處理費(fèi)；D、DCD——周期內(nèi)子倉庫或循環(huán)內(nèi)中央倉庫總需求；U(S)——周期內(nèi)由于正常補(bǔ)充和特別訂貨而產(chǎn)生的子倉庫對CD的總訂貨；Uij——循環(huán)內(nèi)第j個(gè)周期，子倉庫i對CD的總訂貨；X(s)——周期內(nèi)子倉庫對CD的正常補(bǔ)充訂貨；Y(s)——周期內(nèi)子倉庫對CD的特別訂貨；Yi(s)——循環(huán)內(nèi)最后一個(gè)周期里，子倉庫i的特別訂貨。庫存系統(tǒng)模型構(gòu)建基本假設(shè)子倉庫和CD的庫存水平實(shí)施周期性檢查，庫存控制采用s型補(bǔ)充策略，但CD的補(bǔ)充周期(又稱：循環(huán))是子倉庫補(bǔ)充周期的m倍(m為正整數(shù))；補(bǔ)充的前導(dǎo)時(shí)間為常數(shù)，訂貨發(fā)生在本周期末，貨物到達(dá)則在下一周期開始之前；需求是隨機(jī)變量且服從負(fù)二項(xiàng)分布(NBD)，周期內(nèi)各子倉庫需求相互獨(dú)立；采取特別訂購方式滿足超額需求，客戶愿意為此等待的概率為1-u，反之為u；CD的庫存足以滿足所有子倉庫在m個(gè)周期中的前m-1個(gè)周期的補(bǔ)充需求。當(dāng)?shù)趍個(gè)周期結(jié)束時(shí)，貨物的“補(bǔ)充流”是直接從供應(yīng)商經(jīng)由CD到達(dá)子倉庫的。而在第m個(gè)周期間，來自子倉庫的特別訂貨，必須由當(dāng)前CD的庫存現(xiàn)貨來滿足，否則便失去銷售(lostsales)?？蛻粜枨筇卣髅枋鲈谧觽}庫，客戶需求服從負(fù)二項(xiàng)分布。對于x服從負(fù)二項(xiàng)分布，其概率密度函數(shù)為：P{x=k}=f(k|p，v)=pv(1-p)k分布函數(shù)則為：F(k|p，v)=1-B(v-1|k+v)其中B(v-1|k+v)是累積二項(xiàng)分布概率。所以，當(dāng)需求D=k時(shí)，且令p=x/(1+x)，有：P{D=k}=f(k|p，v)=pv(1-p)k=xv(1+x)-v-k其累積分布函數(shù)為：F(s|p，v)=f(k|p，v)式中，0<p<1；v>1；k=0，1，2，…均值和方差則分別為：E[D]=v(1-p)/p=v/x和Var[D]=v(1-p)/p2=vx(1+1x)。子倉庫期末庫存和平均庫存(1)期末庫存：由于前導(dǎo)時(shí)間為零，各周期期初庫存現(xiàn)貨為s，則子倉庫的期末庫存期值為：Q(s|p，v)=(s-k)f(k|p，v)=sF(s|p，v)-kf(k|p，v)引用式sf(k|p，v)=[v(1-p)/p]f(s-1|p，v+1)[3]PAGE\#"'頁：'#'

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'"ＪｏｈｎｓｏｎＮ.ＬＳＫｏｔｚ.ＤｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｉｎＳｔａｔｉｓｔｉｃｓ:ＤｉｓｃｒｅｔｅＤｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ.Ｈｏｕｇｈｔｏｎ-Ｍｉｆｆｌｉｎ,Ｂｏｓｔｏｎ,ＭＡ,1969,5kf(k|p，v)=(v/x)f(k-1|p，v+1)=(v/x)F(s-1|p，v+1)(7.4)于是：Q(s|p，v)=sF(s|p，v)-(v/x)F(s-1|p，v+1)=Q(s-1|p，v)+F(s-1|p，v)這里s-Q(s|p，v)是需求得到滿足時(shí)的期望值，e(s|p，v)則為未被滿足的需求期望值。故有：e(s|p，v)=E[D]-{s-Q(s|p，v)}=v/x-s+Q(x|p，v)(7.5)(2)平均庫存周期內(nèi)平均庫存水平為：A(s|p，v)=[s+Q(s|p，v)]/2周期內(nèi)子倉庫期望費(fèi)用當(dāng)子倉庫缺貨，導(dǎo)致缺貨費(fèi)r的發(fā)生，其概率為u；倘若缺貨采用特別訂貨的方式來解決，則會發(fā)生特別訂貨費(fèi)d，此事的概率為1-u。周期內(nèi)子倉庫費(fèi)用是由維持費(fèi)與特別訂貨費(fèi)兩部分構(gòu)成。故子倉庫費(fèi)用期望值應(yīng)為：Ψ(s|p，v)=hA(s|p，v)+qe(s|p，v)這里q=ru+d(1-u)子倉庫對CD的訂貨子倉庫對CD的需求通常有：正常補(bǔ)充和特別訂貨。根據(jù)基本假設(shè)(2)，有：U(s)=X(s)+Y(s)(7.6)在部分失去銷售情況下，D>s，X(s)=min[D，s]，D≠U(s)，故D-U(s)就是“失去銷售部分”。于是，對(7.6)兩邊求均值，得：E[U(s)]=E[X(s)]+E[Y(s)]和E[U2(s)]=E[Y2(s)]+2sE[Y(s)]E[X2(s)]故可推得：E[X(s)]=kf(k|p，v)+s[1-F(s|p，v)]=s-Q(s|p，v)=v/x-e(x|p，v)(7.7)另外，X(s)的二次期望為：E[x2(s)]=k2f(k|p，v)+s2[1-F(s|p，v)]在計(jì)算Y(s)時(shí)，一般可以考慮用兩種不同的方法分別描述失去銷售情況下的庫存模型。第一種方法是：用固定比值u來反映超額需求的失去；第二種方法則是把每次超額需求的發(fā)生與否視為一個(gè)伯努利試驗(yàn)?！俺晒Α焙汀笆　狈謩e對應(yīng)于失去銷售和特別訂貨。盡管這兩種方法都具有相同的均值，但第二種方法具有更好的方差指標(biāo)[4]PAGE\#"'頁：'#'

'"ＳｃｈｎｅｉｄｅｒＨ,ＤＢＲｉｎｋｓ,ＰＫｅｌｌｅ.ＡｌｌｏｃａｔｉｏｎｏｆＳａｆｅｔｙＳｔｏｃｋｓｉｎａＷｈｏｌｅｓａｌｅＩｎｖｅｎｔｏｒｙＳｙｓｔｅｍＵｓｉｎｇＡＳｅｒｖｉｃｅｅｖｅｌ.ＩｎｄｕｓｔｒｉａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ,1993,59:58-69。正因如此，這里采用第二種方法來分析“部分失去銷售(partiallostPAGE\#"'頁：'#'

'"ＳｃｈｎｅｉｄｅｒＨ,ＤＢＲｉｎｋｓ,ＰＫｅｌｌｅ.ＡｌｌｏｃａｔｉｏｎｏｆＳａｆｅｔｙＳｔｏｃｋｓｉｎａＷｈｏｌｅｓａｌｅＩｎｖｅｎｔｏｒｙＳｙｓｔｅｍＵｓｉｎｇＡＳｅｒｖｉｃｅｅｖｅｌ.ＩｎｄｕｓｔｒｉａｌＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ,1993,59:58-69設(shè)P[Y(s)=j]為特別訂貨需求為j的概率，于是：P[Y(s)=j]=f(k|p，v)b(j|k-s，1-u)(7.8)由二項(xiàng)分布均值公式及(7.7)易得：E[X2(s)]=k2f(k|p，v)+s2[1-F(s|p，v)]E[U(s)]=v/x-ue(s|p，v)(16)利用(7.8)，于是：P[Y2(s)=j]=b(j|k-s，1-u)f(k|p，v)(7.9)通過以k-s和1-u為參數(shù)的二項(xiàng)式展開并簡化，同時(shí)結(jié)合定義，有：j2b(j|k-s，1-u)=(1-u)[k(k-1)1-u]+k(1-2u+2us)+s(s-su-u)](7.10)將(7.10)代入(7.9)，并利用