第4章 綜合指標分析

第四章綜合指標分析第四節(jié)變異指標第三節(jié)平均指標第二節(jié)相對指標第一節(jié)總量指標目錄CONTENTS2原始數據加工數據統(tǒng)計指標靜態(tài)分布動態(tài)趨勢總量指標絕對規(guī)模相對指標相對關系平均指標集中趨勢變異指標離散趨勢水平指標絕對規(guī)模速度指標相對變化因素分析趨勢預測人口總數人口性別比例平均年齡年齡標準差不同年份人口數人口自然增長率人口數量模型4第一節(jié)總量指標一總量指標的概念二總量指標的作用總量指標的種類三四四總量指標的計量單位總量指標的種類五Excel應用舉例一、總量指標

反映社會經濟現(xiàn)象在一定條件下的總規(guī)模、總水平或工作總量的統(tǒng)計指標，即數量指標，也稱為絕對數?？偭恐笜耸钦J識社會經濟現(xiàn)象的起點；是實行社會管理的基本依據；是計算其他統(tǒng)計指標的基礎。總量指標的作用：總體標志總量總體單位總量按反映的總體內容不同分為：總量指標的基本分類按反映的時間狀況不同分為：時期指標時點指標按計量單位不同分為：實物指標價值指標勞動指標總體標志總量總體單位總量一個總體中只有一個單位總量，但可以有多個標志總量，它們由總體單位的數量標志值匯總而來。例如：研究某城市居民家庭消費水平，居民家庭月消費總額是標志總量；居民家庭數是總體單位總量?？傮w單位某一數量標志的標志值總和總體所包含的總體單位的數量總量指標的基本分類時期指標時點指標表明現(xiàn)象總體在一段時期內發(fā)展過程的總量，如在某一段時期內的出生人數、死亡人數表明現(xiàn)象總體在某一時刻（瞬間）的數量狀況，如在某一時點的總人口數具有可加性、數值大小與時期長短有直接關系、需要連續(xù)登記匯總不具有可加性、數值大小與時期長短沒有直接關系、由一次性登記調查得到總量指標的基本分類出生人數人口總數死亡人數t1時段t2時段t3時段t關于一個人口總體的總量指標時期指標時點指標實物單位自然單位度量衡單位標準實物單位價值單位勞動單位總量指標的計量單位多個單位的結合運用：復合單位雙重單位多重單位（如：人·次、噸·公里）（如：人/平方公里）（如：艘/噸/千瓦）適用范圍綜合能力差強大小如：臺、件如：米、平方米如：標準噸如：工日、工時如：元

公頃

人輛計量單位單一單位復合單位：工時、噸公里等自然單位：個、臺等度量衡單位：噸等12第二節(jié)相對指標一相對指標的概念和作用二相對指標的表現(xiàn)形式相對指標的種類和計算方法三四四正確運用相對指標的原則甲企業(yè)乙企業(yè)利潤總額資金占用資金利潤率500萬元5000萬元3000萬元40000萬元16.7%12.5%比較兩廠經濟效益不可比不可比可比第二節(jié)相對指標指用兩個有聯(lián)系的指標進行對比的比值來反映社會經濟現(xiàn)象數量特征和數量關系的綜合指標，也稱為相對數。相對指標將對比基礎抽象化，是一種抽象化的數值；抽象化掩蓋了絕對數的規(guī)模。相對指標的特點：總人數30人男生人數20人女生人數10人男生比重為2/3女生比重為1/3男女比例為2:1總量指標非總量指標相對指標無名數有名數用倍數、系數、成數、﹪、‰等表示用雙重計量單位表示的復名數相對指標的基本表現(xiàn)形式倍數與成數應當用整數的形式來表述5倍、3成、近7成3.25倍、8.6成

分母為1分母為1.00分母為10分母為100分母為1000反映現(xiàn)象間數量對比關系；男：女=10：7三次產業(yè)之比為2：3：5彌補總量指標的不足，使不能直接對比的現(xiàn)象找到共同的比較基礎；大小企業(yè)經濟效益對比，勞動生產率高低用來綜合反映有關經濟現(xiàn)象之間的聯(lián)系程度。例如：比率、速度、程度2021年GDP增長8.1%相對指標的作用：相對指標的種類與計算結構相對數比例相對數比較相對數計劃完成程度相對數強度相對數動態(tài)相對數掌握它們的計算和作用。

說明⒈為無名數；⒉同一總體各組的結構相對數之和為1；⒊用來分析現(xiàn)象總體的內部構成狀況；4.分子分母不能互換結構相對數公式概念總體內某一部分數值與總體全部數值對比的比值。說明總體內部構成情況。表示：一般用％分子與分母比較同:總體、內容、時間；異：范圍哦，恩格爾系數就是結構相對數。例：某工廠共生產某種產品1000件，其中合格品為940件，次品為60件。則

⒈為無名數，可用百分數或一比幾或幾比幾表示；⒉用來反映組與組之間的聯(lián)系程度或比例關系；3.分子、分母可互換。說明比例相對數概念公式分子與分母比較同一總體內不同組成部分的指標數值對比的結果，表明總體內部的比例關系。同：總體、內容、時間；異：范圍哦，男女性別比是比例相對數。例：我國某年國民收入使用額為19715億元，其中消費額為12945億元，積累額為6770億元。則

⒈為無名數，一般用倍數、系數表示；⒉用來說明現(xiàn)象發(fā)展的不均衡程度；3.注意對比指標必須是同質現(xiàn)象；4.分子、分母可互換說明比較相對數概念公式兩個同類現(xiàn)象在同一時間不同國家、不同地區(qū)、不同單位對比。分子與分母比較同：時間、內容；異：總體例：某年某地區(qū)甲、乙兩個公司商品銷售額分別為5.4億元和3.6億元。則

是同一現(xiàn)象在不同時期的兩個數值進行動態(tài)對比得出的相對數。動態(tài)相對數公式⒈為無名數；⒉用來反映現(xiàn)象的數量在時間上的變動程度;3.分子分母不能互換、同一總體說明分子與分母比較同：總體、內容；異：時間

強度相對數是同總體同時間兩個不同性質有聯(lián)系的指標數值對比的結果。（不同指標對比）⒈一般為有名數，有時用無名數；⒉分子分母有時可互換，形成正指標和逆指標如：勞動生產率具有平均含義，但不同于平均指標(分子、分母的不完全對應性）。說明分子與分母比較同：總體、時間；異：內容哦，人口密度就是強度相對數。強度相對數無名數的強度相對數一般用﹪、‰表示。其特點是分子來源于分母，但分母并不是分子的總體，二者所反映現(xiàn)象數量的時間狀況不同。例：某年某地區(qū)年平均人口數為100萬人，在該年度內出生的人口數為8600人。則該地區(qū)

作用：①反映一國一地的發(fā)展水平、力量強弱。②反映事物存在的密度、普遍程度、運動強度、負擔強度。③反映經濟效益的高低。例：某地區(qū)某年末現(xiàn)有總人口為100萬人，醫(yī)院床位總數為24700張。則該地區(qū)

（正指標）（逆指標）為用雙重計量單位表示的復名數，反映的是一種依存性的比例關系或協(xié)調關系，可用來反映經濟效益、經濟實力、現(xiàn)象的密集程度等。有名數的強度相對數

直接應用上述公式:A.計劃任務數表現(xiàn)為絕對數和平均數時計劃完成程度相對數例1：己知某廠2021年的計劃產品產量為2000件，實際產量為2400件。則：

超額完成（或未完成）絕對數=實際完成數－計劃數例2：己知某企業(yè)勞動生產率計劃達到8000元/人，某種產品計劃單位成本為100元，該企業(yè)實際勞動生產率達到9200元/人，該產品實際單位成本為90元。則：

計算結果表明，該企業(yè)勞動生產率實際比計劃提高了15%，而某產品單位成本實際比計劃降低了10%。（正指標）（逆指標）計劃執(zhí)行進度相對數的計算方法

可以分段檢查計劃進行的松緊情況。例3.某企業(yè)某年計劃生產某種產品2000件，第一、第二、第三季度實際產量分別為：450件、560件、600件。截至第三季度末，該產品的產量計劃執(zhí)行進度為：

計算結果表明，截至第三季度末，應完成全年計劃任務的75%，而實際計劃執(zhí)行進度為80.5%，說明達到了進度要求。計劃執(zhí)行過程中要時刻監(jiān)督，可以用該指標衡量計劃完成的程度。在檢查中長期計劃的完成情況時，根據計劃指標的性質不同，計算可分為水平法和累計法。水平法

根據計劃末期（最后一年）實際達到的水平與計劃規(guī)定的同期應達到的水平相比較，來確定全期是否完成計劃。

例4：某旅游公司按5年計劃規(guī)定的最后一年的接待人數應達到50萬人，實際執(zhí)行情況如下表。采用水平法計算，只要有連續(xù)1年時間（可以跨年度）實際完成水平達到最后一年計劃水平，就算完成了5年計劃，余下的時間就是提前完成計劃時間。在此例中，實際從5年計劃的第四年第三季度到第五年第二季度連續(xù)1年的人數達到了50萬人，剩下下半年時間就是提前完成計劃時間。年度第一年第二年第三年第四年第五年上半年下半年第一季度第二季度第三季度第四季度第一季度第二季度第三季度第四季度接待人數4345222511121212.212.8131314

累計法根據整個計劃期間實際完成的累計數與同期計劃數相比較，來確定計劃完成程度。

例5：同例4數據，如果該旅游公司五年計劃累計接待游客208萬人。提前完成計劃時間=（計劃期月數－實際完成月數）+（超額完成計劃數/超額期日均完成數）

計算結果說明：該旅游公司超額12.98%完成五年計劃。提前兩個季度完成計劃任務（43+45+22+25+11+12+12+12.2+12.8+13=208）。

B.計劃任務數表現(xiàn)為相對數時例6：己知某廠2021年的計劃規(guī)定產品產量要比上年實際提高5﹪而實際提高了7﹪。則

例7：己知某廠2021年的計劃規(guī)定產品成本比上年降低5%，實際降低提高6﹪。則

即實際比計劃單位成本下降了1.05%.百分點相當于百分數的計量單位，一個百分點就指1﹪。

上例6中，實際比計劃多提高的百分點為（7﹪-5﹪）×100=2（個百分點）實際工作中常用，但并不是相對數正確選擇對比基礎；指標對比要有可比性；相對指標要與總量指標結合運用；多種相對指標結合運用。使用相對指標應注意的問題正確選擇對比基礎本單位歷史水平本行業(yè)（全國）平均（先進）水平經濟效益指數＝某經濟效益指標實際值該經濟效益指標標準值價格定基指數＝某期價格水平某固定基期的價格水平經濟發(fā)展、價格水平均較為正常的時期注意指標間的可比性

2019年的工業(yè)總產值（當年價格）1980年的工業(yè)總產值（當年價格）2018年中國的國民收入（人民幣元）2018年美國的國民收入（美元）

相對指標抽象掉了具體的數量差異:1:2=50%10000:20000=50%1998年相對于1997年，美國的GDP增長速度為3.9％，同期中國GDP增長速度為7.8％，恰好為美國的2倍；但根據同期匯率（1美元兌換8.3元人民幣），1998年中國GDP總量約合9671億美元，約相當于同期美國GDP總量84272億美元的1/9。相對指標應當結合總量指標使用結構相對數比例相對數比較相對數動態(tài)相對數計劃完成相對數強度相對數（部分與總體關系）（部分與部分關系）（橫向對比關系）（縱向對比關系）（實際與計劃關系）（關聯(lián)指標間關系）多種相對指標應當結合運用人口性別比為1.03：11999年末我國共有總人口12.6億人，其中男性人口為6.4億，女性人口為6.2億。男性人口的比重為50.8﹪比1980年末的9.9億人增加了28﹪人口密度是美國的4.5倍人口密度為130人/平方公里人口出生率為15.23‰女性人口的比重為49.2﹪數據分布特征的測度數據特征的測度眾數中位數平均數方差和標準差峰態(tài)系數四分位差全距偏態(tài)系數分布的形狀集中趨勢離散程度平均差離散系數45第三節(jié)平均指標一平均指標的含義、特點、作用和種類二數值平均數四三位置平均數第三節(jié)平均指標又稱平均數，是反映社會經濟現(xiàn)象總體各單位某一數量標志在一定時間、地點和條件下所達到的一般水平的綜合指標。反映總體分布的集中趨勢。平均指標平均數數值平均數位置平均數算術平均數調和平均數幾何平均數中位數眾數平均指標的作用概括說明總體的數量特征；對比同類現(xiàn)象在不同條件下的差異；分析現(xiàn)象的依存關系；消除不同總體數量差異，進行估計推算?；拘问剑豪褐苯映袚摺⒁鈪^(qū)分算術平均數與強度相對數算術平均數算術平均數與強度相對數的比較1、概念不同。強度相對數是兩個有聯(lián)系而性質不同的總體對比而形成相對數指標。算術平均數是反映同質總體單位標志值一般水平的指標。2、主要作用不同。強度相對數反映兩不同總體現(xiàn)象形成的密度、強度。算術平均數反映同一現(xiàn)象在同一總體中的一般水平。3、計算公式及內容不同。算術平均數分子、分母分別是同一總體的標志總量和總體單位數，分子、分母的元素具有一一對應的關系，即分母每一個總體單位都在分子可找到與之對應的標志值，反之，分子每一個標志值都可以在分母中找到與之對應的總體單位。而強度相對數是兩個總體現(xiàn)象之比，分子分母沒有一一對應關系。STAT算術平均數83名女生的身高變量一般水平、代表性數值分布的集中趨勢、中心數值算術平均數算術平均數的計算算術平均數=總體標志總量總體單位總數數據集數據個數N簡單算術平均數A.簡單算術平均數——適用于總體資料未經分組整理、尚為原始資料的情況式中：為算術平均數;為總體單位總數；為第i個單位的標志值。算術平均數的計算方法算術平均數的計算方法某班40名學生《統(tǒng)計學》成績如下：【例】89、88、76、99、74、60、82、60、89、86、92、85、70、93、99、94、82、77、79、97、78、95、84、79、63、72、87、84、79、65、98、67、59、83、66、65、73、81、56、77簡單算術平均數特點受各變量值本身大小的影響不會超過變量值的變動范圍受極端變量值的影響較明顯B.加權算術平均數——適用于總體資料經過分組整理形成變量數列的情況式中：為算術平均數;為第組的次數；為組數；為第組的標志值或組中值。算術平均數的計算方法【例】某企業(yè)某日工人的日產量資料如下：日產量（件）工人人數（人）15161718192061017282217合計100計算該企業(yè)該日全部工人的平均日產量。算術平均數的計算方法

解：算術平均數的計算方法若上述資料為組距數列，則應取各組的組中值作為該組的代表值用于計算；此時求得的算術平均數只是其真值的近似值。說明【例】某企業(yè)50名工人加工零件均值計算表如下：按零件分組組中值x頻數fxf105～110110～115115～120120～125125～130130～135135～140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5358141064322.5562.5940.01715.01275.0795.0550.0合計-----506160.0算術平均數的計算方法解：加權算術平均數的大小，不僅取決于研究對象的變量值，而且受各變量值重復出現(xiàn)的頻數的影響，頻數大的組對算術平均數影響就大。分析：成績（分）人數（人）甲班乙班丙班603915010013950平均成績（分）619980起到權衡輕重的作用算術平均數的計算方法決定平均數的變動范圍思考1思考：若分組資料中的各組權數f均相等，即加權算術平均數簡單算術平均數表現(xiàn)為次數、頻數、單位數；即公式中的表現(xiàn)為頻率、比重；即公式中的指變量數列中各組標志值出現(xiàn)的次數，是變量值的承擔者，反映了各組的標志值對平均數的影響程度權數絕對權數相對權數思考2思考:絕對權數與相對權數的區(qū)別權重比重重要程度234567819權數與加權234567819權數與加權234567819權數與加權234567819權數與加權234567819權數與加權234567819算術平均數的計算取決于變量值和權數的共同作用：變量值決定平均數的范圍；權數則決定平均數的位置⒈變量值與其算術平均數的離差之和衡等于零，即：⒉變量值與其算術平均數的離差平方和為最小，即：算術平均數的主要數學性質離差的概念12345678-1-1-213交替標志平均數1、概念：交替標志又稱是非標志，它是一個只有兩種答案的標志。如：性別只有男、女；一批產品只有合格品、不合格品等就可用是非標志來反映。2、表示形式：1：具有某種屬性的單位標志值。0：不具有某種屬性的單位標志值。N：全部總體單位數。N1：具有某種屬性的總體單位數。N2：不具有某種屬性的總體單位數。P=N1/N：具有某種屬性的單位數所占的比重。Q=N2/N：不具有某種屬性的單位數所占的比重。其中：P+Q=1交替標志平均數是總體各單位標志值倒數的算術平均數的倒數，又叫倒數平均數調和平均數具體分為簡單調和平均數和加權調和平均數

調和平均數與算術平均數基本原理是一致的，主要區(qū)別是掌握資料不同。A.簡單調和平均數——適用于總體資料未經分組整理、尚為原始資料的情況式中：為調和平均數;

為變量值的個數；

為第個變量值。調和平均數的計算方法簡單調和平均數—舉例(1)我各買1公斤?(2)我各買1元?…

2.50元/kg2.00元/kg1.00元/kg(加權算術平均)兩種計算結果為什么不一致?(1)平均價格=(2.5+2+1)/3=1.833(元/公斤)(2)平均價格:加權算術平均數=(2.5*0.4+2*0.5+1*1)/1.9=1.579(元/公斤)加權調和平均=(1+1+1)/(1/2.5+1/2+1/1)=1.579(元/公斤)舉例計算:B.加權調和平均數——適用于總體資料經過分組整理形成變量數列的情況式中：為第組的變量值；為第組的標志總量。調和平均數的計算方法——當已知各組變量值和標志總量時，作為算術平均數的變形使用。因為：調和平均數的應用x、f

為已知若只知

x和xf

，而f

未知，則不能使用加權算術平均方式，只能使用其變形即加權調和平均方式。蘋果單價購買量總金額品種（元）（公斤）（元）紅富士236青香蕉1.859日產量（件）各組工人日總產量（件）10111213147001100456019501400合計9710【例】某企業(yè)某日工人的日產量資料如下：計算該企業(yè)該日全部工人的平均日產量。調和平均數的應用即該企業(yè)該日全部工人的平均日產量為12.1375件。調和平均數的應用解調和平均數的特點易受極端值的影響，且受極小值的影響比受極大值的影響更大；只要有一個變量值為零，就不能計算調和平均數；應用范圍較小。調和平均數與算術平均數

當m=xf時：加權調和平均數公式就變成加權算術平均數公式結論是:調和平均與算術平均的計算只是由于資料不同而出現(xiàn)的差異,其經濟含義完全一致。算術平均數與調和平均數的其他應用

（教材P94）產值利潤率（%）一季度二季度企業(yè)數（個）實際產值（萬元）企業(yè)數（個）實際利潤（萬元）5－1010－2020－303070505700205002250050802071035142250合計150487001506474一季度的平均產值潤率二季度的平均產值利潤率比值的平均數的計算方法由于比值（平均數或相對數）不能直接相加，求解比值的平均數時，需將其還原為構成比值的分子、分母原值總計進行對比設比值分子變量分母變量則有：己知，采用基本平均數公式己知，采用加權算術平均數公式己知，采用加權調和平均數公式比值比值的平均數的計算方法【例A】某季度某工業(yè)公司18個工業(yè)企業(yè)產值計劃完成情況如下：計劃完成程度（﹪）組中值（﹪）企業(yè)數（個）計劃產值（萬元）90以下90～100100～110110以上8595105115231038002500172004400合計—1824900計算該公司該季度的平均計劃完成程度。比值的平均數的計算方法【例A】某季度某工業(yè)公司18個工業(yè)企業(yè)產值計劃完成情況如下：計劃完成程度（﹪）組中值（﹪）企業(yè)數（個）計劃產值（萬元）90以下90～100100～110110以上8595105115231038002500172004400合計—1824900計算該公司該季度的平均計劃完成程度。分析：

應采用加權算術平均數公式計算比值的平均數的計算方法【例B】某季度某工業(yè)公司18個工業(yè)企業(yè)產值計劃完成情況如下（按計劃完成程度分組）：組別企業(yè)數（個）計劃產值（萬元）實際產值（萬元）12342310380025001720044006802375180605060合計182490026175計算該公司該季度的平均計劃完成程度。比值的平均數的計算方法【例B】某季度某工業(yè)公司18個工業(yè)企業(yè)產值計劃完成情況如下（按計劃完成程度分組）：組別企業(yè)數（個）計劃產值（萬元）實際產值（萬元）12342310380025001720044006802375180605060合計182490026175計算該公司該季度的平均計劃完成程度。求解比值的平均數的方法分析：

應采用簡單算數平均數基本公式計算比值的平均數的計算方法【例C】某季度某工業(yè)公司18個工業(yè)企業(yè)產值計劃完成情況如下：計劃完成程度（﹪）組中值（﹪）企業(yè)數（個）實際產值（萬元）90以下90～100100～110110以上8595105115231036802375180605060合計—1826175計算該公司該季度的平均計劃完成程度。計劃完成程度（﹪）組中值（﹪）X企業(yè)數（個）計劃產值（萬元）90以下90～100100～110110以上8595105115231038002500172004400合計—1824900求解比值的平均數的方法【例C】某季度某工業(yè)公司18個工業(yè)企業(yè)產值計劃完成情況如下：分析：

應采用調和平均數的基本公式計算計算該公司該季度的平均計劃完成程度。是N項變量值連乘積的開N次方根。幾何平均數用于計算現(xiàn)象的平均比率或平均速度應用：各個比率或速度的連乘積等于總比率或總速度；相乘的各個比率或速度不為零或負值。應用的前提條件：A.簡單幾何平均數——適用于總體資料未經分組整理尚為原始資料的情況式中：為幾何平均數;為變量值的個數；為第個變量值。幾何平均數的計算方法【例】某流水生產線有前后銜接的四道工序。某日各工序產品的合格率分別為95﹪、94﹪、96﹪、97﹪，求整個流水生產線產品的平均合格率。分析：設最初投產100A個單位，則第一道工序的合格品為100A×0.95；第二道工序的合格品為（100A×0.95）×0.94；……第四道工序的合格品為（100A×0.95×0.94×0.96）×0.97；因該流水線的最終合格品即為第四道工序的合格品，故該流水線總的合格品應為100A×0.95×0.94×0.96×0.97；則該流水線產品總的合格率為：

即該流水線總的合格率等于各工序合格率的連乘積，符合幾何平均數的適用條件，故需采用幾何平均法計算。

解：思考若上題中不是由四道連續(xù)作業(yè)的工序組成的流水生產線，而是四個獨立作業(yè)的車間，且各車間的合格率同前，又假定各車間的產量相等均為100件，求該企業(yè)的平均合格率。幾何平均數的計算方法因各車間彼此獨立作業(yè)，所以有第一車間的合格品為：100×0.95；第二車間的合格品為：100×0.94；……第四車間的合格品為：100×0.97。則該企業(yè)全部合格品應為各車間合格品的總和，即總合格品=100×0.95+……+100×0.97幾何平均數的計算方法分析：不再符合幾何平均數的適用條件，需按照求解比值的平均數的方法計算。又因為

應采用加權算術平均數公式計算，即B.加權幾何平均數——適用于總體資料經過分組整理形成變量數列的情況式中：為幾何平均數;為第組的次數；為組數；為第組的標志值或組中值。幾何平均數的計算方法【例】某金融機構以復利計息。近10年來的年利率有前4年為6﹪，中間3年為8﹪，后3年為10﹪。求平均年利率。設本金為V，則至各年末的本利和應為：第1年末的本利和為：

第2年末的本利和為：………………

第10年末的本利和為：分析：第2年的計息基礎第10年的計息基礎

則該筆本金10年總的本利率為：即10年總本利率等于各年本利率的連乘積，符合幾何平均數的適用條件，故計算平均年本利率應采用幾何平均法。

解：幾何平均數的計算方法思考若上題中不是按復利而是按單利計息，且各年的利率與上相同，求平均年利率。分析第1年末的應得利息為：

第2年末的應得利息為：

第10年末的應得利息為：

…………設本金為V，則各年末應得利息為：則該筆本金10年應得的利息總和為：=V（0.06×4+0.08×3+0.1×3）這里的利息率或本利率不再符合幾何平均數的適用條件，需按照求解比值的平均數的方法計算。因為假定本金為V

所以，應采用加權算術平均數公式計算平均年利息率，即：

解：（比較：按復利計息時的平均年利率為7.79﹪）

【例】甲投資銀行某項投資的年利率是按復利計算的，將過去20年的年利率資料整理為如表所示。要求：計算20年的平均年利率。

解：即平均年利率為8.27%?！纠恳阎呈?011-2015年國內生產總值的發(fā)展速度（以上年為100%）分別為112%、108%、114%、116%和113%。要求：計算這5年國內生產總值的平均發(fā)展速度。解：注意：如果已知的是各年的增長速度，要計算若干年的平均增長速度，則需要先將增長率加上100%得到發(fā)展速度，再根據上述方法計算平均發(fā)展速度，最后用平均發(fā)展速度減100%得到平均增長速度。幾何平均數的特點受極端值的影響較算術平均數小；變量值應該均大于零；應用范圍較小，僅適用于具有等比或近似等比關系的數據；幾何平均數的對數是各變量值對數的算術平均數。是否為比率或速度各個比率或速度的連乘積是否等于總比率或總速度是否為其他比值是否否是否是幾何平均法算術平均法求解比值的平均數的方法數值平均數計算公式的選用順序指標算術平均與幾何平均更為常用一些，其中幾何平均數對小的極端值敏感，算術平均數對大的極端值敏感。注意某系83名女生身高資料（按序排列）次序統(tǒng)計量的概念

身高人數（CM）（人）152115421552156415711582159216012161716281634身高人數（CM）（人）1643165816651673168716911705171217231741總計83152154154155155156156156156157158158159159160160160160160160160160160160160160161161161161161161161162162162162162162162162163163163163164164164165165165165165165165165166166166166166167167167168168168168168168168169170170170170170171171172172172174將變量值按順序排列起來，當反映分布集中趨勢的度量值僅僅由數列中某個位置的值來確定時，這個值就稱為次序統(tǒng)計量，也可以稱為位置平均數。位置平均數與數值平均數的基本區(qū)別在于其不需要依據每一個變量值來計算。某系83名女生身高資料（按序排列）次序統(tǒng)計量的概念身高人數（CM）（人）152115421552156415711582159216012161716281634身高人數（CM）（人）1643165816651673168716911705171217231741總計83將變量值按順序排列起來，當反映分布集中趨勢的度量值僅僅由數列中某個位置的值來確定時，這個值就稱為次序統(tǒng)計量，也可以稱為位置平均數。位置平均數與數值平均數的基本區(qū)別在于其不需要依據每一個變量值來計算。152154154155155156156156156157158158159159160160160160160160160160160160160160161161161161161161161162162162162162162162162163163163163164164164165165165165165165165165166166166166166167167167168168168168168168168169170170170170170171171172172172174數列中點的值即第42個值指總體中出現(xiàn)次數最多的變量值，用表示,它不受極端數值的影響，用來說明總體中大多數單位所達到的一般水平。眾數位置平均數眾數（mode）：出現(xiàn)次數最多即出現(xiàn)頻率最高的變量值。身高人數（CM）（人）152115421552156415711582159216012161716281634身高人數（CM）（人）1643165816651673168716911705171217231741總計83152154154155155156156156156157158158159159160160160160160160160160160160160160161161161161161161161162162162162162162162162163163163163164164164165165165165165165165165166166166166166167167167168168168168168168168169170170170170170171171172172172174眾數的確定方法某年級83名女生身高資料

身高人數（CM）（人）152115421552156415711582159216012161716281634

身高人數（CM）（人）1643165816651673168716911705171217231741總計83眾數MO＝160結論：根據定義確定單項式分布數列的眾數。

身高人數比重（CM）（人）（%）150-15533.61155-1601113.25160-1653440.96165-1702428.92170以上1113.25

總計83100某年級83名女生身高資料眾數的確定方法眾數的原理及應用83名女生身高原始數據83名女生身高組距數列日產量（件）工人人數（人）101112131470100380150100合計800【例A】已知某企業(yè)某日工人的日產量資料如下:眾數的確定（單值數列）計算該企業(yè)該日全部工人日產量的眾數。眾數的確定（組距數列）【例B】某車間50名工人月產量的資料如下：月產量（件）工人人數（人）向上累計次數（人）200以下200～400400～600600以上373283104250合計50—計算該車間工人月產量的眾數。概約眾數：眾數所在組的組中值，在本例為500件【例】某高校電影院在安排2016年影片放映計劃時，為滿足學生的需求，分別按性別隨機抽取男女學生共400名，登記其對影片類型的取向。要求：分析學生對影片取向的集中趨勢。解：對于男生而言，眾數即為動作片這種影片類型；對于女生而言，眾數即為言情片這種影片類型；男女生對影片類型的綜合取向，眾數即為動作片這種影片類型。當數據分布存在明顯的集中趨勢，且有顯著的極端值時，適合使用眾數；眾數不一定存在，存在時也不一定是唯一的；當數據分布的集中趨勢不明顯或存在兩個以上分布中心時，不適合使用眾數（前者無眾數，后者為雙眾數或多眾數，也等于沒有眾數）眾數的原理及應用出生1981.01980.01979.01978.01977.01976.01975.0160140120100806040200沒有突出地集中在某個年份413名學生出生時間分布直方圖眾數的原理及應用（無眾數）192.5190.5188.5186.5184.5182.5180.5178.5176.5174.5172.5170.5168.5166.5164.5162.5160.5158.5156.5154.5152.5150.5148.56050403020100413名學生的身高分布直方圖（雙眾數）當數據分布呈現(xiàn)出雙眾數或多眾數時，可以斷定這些數據來源于不同的總體。出現(xiàn)了兩個明顯的分布中心眾數的特點眾數不受分布數列的極大或極小值影響，代表性強；當分組數列中沒有明顯的集中趨勢，近似均勻分布時，該分配數列無眾數；如果與眾數組相鄰的上下兩組的次數相等，則眾數組的組中值就是眾數值；缺乏敏感性。將總體各單位標志值按大小順序排列后，指處于數列中間位置的標志值，用表示中位數不受極端數值的影響，在總體標志值差異很大時，具有較強的代表性。中位數的作用：位置平均數中位數把標志值數列分為兩個部分,一部分標志值小于或等于它,另一部分標志值大于或等于它.中位數的確定（未分組原始資料）首先，將標志值按大小排序；其次，按(n+1)/2確定中位數的位置；最后，按下面的方式確定中位數。（n為奇數）（n為偶數）中位數的位次為：

即第5個單位的標志值就是中位數

【例A】某售貨小組9個人，某天的銷售量按從小到大的順序排列為26件、30件、33件、35件、39件、40件、42件、43件、46件，則中位數的確定（未分組資料）中位數的位次為

中位數應為第5和第6個單位標志值的算術平均數，即

【例B】若上述售貨小組為10個人，某天的銷售量按從小到大的順序排列為26件、30件、33件、35件、36件、39件、40件、42件、43件、46件，則中位數的確定（未分組資料）【例】某班第一、第二兩個小組《統(tǒng)計學》期末考試成績排序結果如表所示，要求計算第一、第二兩個小組考試成績的中位數。

解：兩個學習小組的考試成績已經分別按由低到高的順序排列第一小組，有7名學生，中位數所處的位置=4，即第四名學生的成績75分就是中位數；第二小組，有8名學生，中位數的位置=4.5，即中位數是處于中間位置的兩名學生成績的平均數

中位數

中位數的確定（分組資料）單項數列確定中位數方法：首先，由確定中位數的位置；其次，按次數累計確定中位數。

組距數列確定中位數方法：首先，按確定中位數所在組的位置；其次，再按下限公式或上限公式確定中位數。下限公式上限公式中位數的確定（組距數列）共個單位共個單位共個單位共個單位LU中位數組組距為d共個單位假定該組內的單位呈均勻分布共有單位數

中位數下限公式為

該段長度應為【例C】某學校40名同學獲獎學金資料如下：獎學金金額（元/人）獲獎人數（人）向上累計次數（人）5001000150020002500300056897551119283540合計40—計算該學校獎學金金額的中位數。中位數的位次：

中位數的確定（單值數列）中位數的確定（組距數列）【例D】某車間160名工人日產量的資料如下：日產量（件）工人人數（人）向上累計次數（人）100以下100～110110～120120~130130~140140~1501500以上1018493526148102877112138152160合計160—計算該車間工人日產量的中位數。

中位數一定存在；中位數與算術平均數相近；中位數不受極端值影響；變量值與中位數離差絕對值之和最小；缺乏敏感性；有些離散型變量的單項式數列，當次數分布偏態(tài)時，中位數的代表性會受影響。中位數的作用及用法中位數一定存在；中位數與算術平均數相近；中位數不受極端值影響；變量值與中位數離差絕對值之和最小。中位數的作用及用法

變量值34556910中位數5平均值6與中位數離差-2-100145與平均數離差-3-2-1-1034絕對數值之和

13

14分位數1、分位數的概念中位數也稱為二分位數，因為它具有通過一個點，將一組數據分為兩半，一半在其之下，一半在其之上的特點。與其原理類似，分位數還有四分位數、十分位數、百分位數等。四分位數，是指將按升序排列的一組數據劃分為4等分的3個變量值。十分位數，是指將按升序排列的一組數據通過9個點劃分為10等分的9個變量值。百分位數，是將按升序排列的一組數據通過99個點劃分為100個等分的99個變量值。2、分位數的計算四分位數、十分位數、百分位數的計算方法與中位數類似，在此只介紹四分位數的計算方法。設下四分位數為

，上四分位數為

，各四分位數的位置分別為：【例】某學習小組的統(tǒng)計學考試成績如下表，要求（1）計算中位數、四分位數；（2）如果增加一個學生的成績95分，試計算16個學生統(tǒng)計學考試成績的中位數、四分位數。解：（1）（2）算術平均數、眾數和中位數的比較(對稱分布)正偏態(tài)分布（右）負偏態(tài)分布(左）XfXfXf算術平均數、眾數和中位數的比較應用平均指標的基本原則總體的同質性是計算和應用平均指標的前提；應用算術平均數、調和平均數、幾何平均數、眾數和中位數，應注意各自特點和適用條件；用組平均數補充總體平均數。141第四節(jié)標志變異指標一標志變異指標的概念二標志變異指標的作用二三標志變異指標的計算集中趨勢弱、離散趨勢強集中趨勢強、離散趨勢弱第四節(jié)標志變異指標

標志變異指標統(tǒng)計上用來反映總體各單位標志值之間差異程度大小的綜合指標，也稱做標志變動度。

平均指標是一個代表性數值，它反映總體各單位某一數量標志的一般水平，而把總體各單位之間的差異抽象化了。但總體各單位之間的差異是客觀存在的，這種差異也是統(tǒng)計總體的重要特征之一。因此，要全面反映一個總體的特征，還必須測定總體各單位之間差異程度。

作用1、衡量平均指標代表性的大小2、反映社會經濟活動過程的均衡性和穩(wěn)定性3、揭示總體變量分布的離中趨勢4、計算抽樣誤差和確定樣本容量的依據。測定標志變異度的絕對量指標（與原變量值名數相同）測定標志變異度的相對量指標（表現(xiàn)為無名數）全距平均差標準差全距系數平均差系數標準差系數標志變異指標的種類指所研究的數據中，最大值與最小值之差，又稱極差。全距最大變量值或最高組上限或開口組假定上限最小變量值或最低組下限或開口組假定下限【例A】某售貨小組5人某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，則標志變異指標的種類【例B】某季度某工業(yè)公司18個工業(yè)企業(yè)產值計劃完成情況如下：計劃完成程度（﹪）組中值（﹪）企業(yè)數（個）計劃產值（萬元）90以下90～100100～110110以上8595105115231038002500172004400合計—1824900計算該公司該季度計劃完成程度的全距。標志變異指標的種類優(yōu)點:計算方法簡單、易懂；缺點:易受極端數值的影響，不能全面反映所有標志值差異大小及分布狀況，準確程度差往往應用于生產過程的質量控制中全距的特點標志變異指標的種類二、四分位差1、四分位差是指一組數據的上四分位數與下四分位數之差。四分位差2、優(yōu)缺：計算簡單，意義清楚，反映現(xiàn)象的差異程度較粗略和不全面，實用價值甚小。全距和四分位差均只使用部分數據進行計算。特點：（1）它反映了中間50%數據的離散程度（2）主要用于對順序數據離散程度的測度（3）不受極端值的影響（4）用于衡量中位數的代表性【例】某學習小組的統(tǒng)計學考試成績如下表，要求（1）計算中位數、四分位數；（2）如果增加一個學生的成績95分，試計算16個學生統(tǒng)計學考試成績的中位數、四分位數。解：（1）（2）

【例】前面例子中，依據人數分別為15、16的2個學習小組的《統(tǒng)計學》成績計算了中位數、四分位數，試計算學生成績的四分位差，并比較中位數的代表性。

解：（1）已知（2）已知結論：兩組數據的中位數均為76分，因為，相對而言，第二組的中位數代表性相對大些，成績波動范圍小些。⑴簡單平均差——適用于未分組資料是各個數據與其算術平均數的離差絕對值的算術平均數，用A.D表示平均差計算公式：總體算術平均數總體單位總數第個單位的變量值標志變異指標的種類【例A】有甲乙兩個工作組各有10名員工，其年齡如下：甲：20222935363843484960乙：31363738393939404041求甲乙組年齡的平均差。解：

即乙組員工平均年齡代表性大于甲組員工。標志變異指標的種類⑵加權平均差——適用于分組資料平均差的計算公式總體算術平均數第組變量值出現(xiàn)的次數第組的變量值或組中值【例B】計算下表中某公司日產量的平均差日產量（件）組中值（件）職工人數（人）150～170170～190190～210210～230230～25016018020022024031219106合計—50

解：即該公司日產量的平均差為13.264件。優(yōu)點:不易受極端數值的影響，能綜合反映全部單位標志值的實際差異程度；缺點:用絕對值的形式消除各標志值與算術平均數離差的正負值問題，不便于作數學處理和參與統(tǒng)計分析運算。平均差的特點一般情況下都是通過計算另一種標志變異指標——標準差，來反映總體內部各單位標志值的差異狀況平均差的應用1、兩個總體平均數相等條件下可以直接比較兩個總體的平均差說明平均數代表性和總體內部差異程度。平均差越小說明代表性強，內部差異小。2、兩個總體平均數不相等條件下不能直接比較平均差，應該計算平均差系數并比較系數。平均差系數與代表性成反比，與內部差異成正比。⑴簡單標準差——適用于未分組資料是各個數據與其算術平均數的離差平方的算術平均數的開平方根，用來表示；標準差的平方又叫作方差，用

來表示。標準差計算公式：總體單位總數第個單位的變量值總體算術平均數【例A】有甲乙兩個工作組各有10名員工，其年齡如下：甲：20222935363843484960乙：31363738393939404041求甲乙組年齡的標準差。解：（比較：甲乙的平均差分別為8.6歲和2歲）

即乙組年齡標準差小于甲組，平均年齡代表性更強。

⑵加權標準差——適用于分組資料標準差的計算公式總體算術平均數第組變量值出現(xiàn)的次數第組的變量值或組中值【例B】計算下表中某公司日產量的標準差。日產量（件）組中值（件）職工人數（人）150～170170～190190～210210～230230～25016018020022024031219106合計—50解：

（比較：其工資的平均差為13.264元）即該公司日產量的標準差為21.48元。

由同一資料計算的標準差的結果一般要略大于平均差。證明：當a,b,c≥0時，有標準差的特點不易受極端數值的影響，能綜合反映全部單位標志值的實際差異程度；用平方的方法消除各標志值與算術平均數離差的正負值問題，可方便地用于數學處理和統(tǒng)計分析運算.簡單標準差加權標準差標準差的簡捷計算避免離差平方和計算過程的出現(xiàn)目的:變量值平方的平均數變量值平均數的平方1.總體方差與標準差的計算公式總體標準差2.樣本方差和標準差未分組數據：組距分組數據：未分組數據：組距分組數據：方差的計算公式標準差的計算公式注意：樣本方差用自由度n-1去除!【例】考察一臺機器的生產能力，利用抽樣程序來檢驗其生產出來的產品質量是否穩(wěn)定。根據標準，如果樣本零件尺寸的標準差大于0.3厘米，則表明零件的質量不穩(wěn)定，需對該機器進行停工檢修。抽樣搜集的數據如表，試判斷該機器是否需要停工檢修。解：結論：由于計算出來的樣本標準差為0.2126厘米，小于0.3厘米，表明該臺機器還不需要停工檢修?！纠恳蟾鶕闃荧@得的表中數據計算120名職工通信費用支出額的方差和標準差。解：

計算結果表明，樣本中每名職工月通信費用支出額與月平均通信費用支出額165.5元的水平相比，差異有大有小，但平均偏差是51.4元。注意：標準差是一個重要的偏差，描述了各觀察值與均值的平均距離。測定標志變異度的絕對量指標（與原變量值名數相同）測定標志變異度的相對量指標（表現(xiàn)為無名數）全距平均差標準差全距系數平均差系數標準差系數標志變異指標的種類可比變異系數指標身高的差異水平：cm體重的差異水平：kg用變異系數可以相互比較可比平均差系數標準差系數變異系數用來對比不同水平的同類現(xiàn)象，特別是不同類現(xiàn)象總體平均數代表性的大小:——標準差系數小的總體，其平均數的代表性大；反之，亦然。應用:各種變指標與其算術平均數之比。一般用V表示?！纠看笠粚W生抽取100人，身高和體重的平均分別為168cm和52kg，相應的標準差分別為9cm和5kg，比較身高和體重的差異。解：

身高的標準差系數為：體重的標準差系數為：

因為，所以體重的差異大于身高差異。

【例】為了調查2015年職工的年收入，某管理局從其所屬的兩家企業(yè)中各隨機抽取10名職工，調查獲得他們的年收入數據如表所示，要求計算甲、乙企業(yè)的職工年平均收入及離散系數，說明兩組數據的離散程度及平均數的代表性。

結論：計算結果表明，v乙<v甲，說明乙企業(yè)職工年收入的離散程度小于甲企業(yè)的。表明乙企業(yè)職工年收入平均水平比的甲企業(yè)的更具有代表性。v甲=4667014354.25=30.76%v乙=5338015277.4=28.62%解：3.標準分數標準分數是指一組數據中的單個變量值與其平均數的離差除以標準差的值，也稱為標準化值，記為

。標準分數的計算公式為

（樣本數據）

（總體數據）

（1）測度某一個變量值在一組數據中相對位置；（2）判斷一組數據是否有離群點(離群數