數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例

數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例(1)

歸納法：由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法。

（結(jié)論一定可靠，但需逐一核對，實(shí)施較難）（結(jié)論不一定可靠，但有利于發(fā)現(xiàn)問題，形成猜想）（1）完全歸納法：考察全體對象，得到一般結(jié)論的推理方法。（2）不完全歸納法,考察部分對象,得到一般結(jié)論的推理方法。歸納法分為完全歸納法和不完全歸納法。歸納法如何解決不完全歸納法存在的問題呢？必須尋找一種用有限個步驟，就能處理完無限多個對象的方法。

什么是數(shù)學(xué)歸納法?一般地,當(dāng)要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時,可以用以下兩個步驟:(1)證明當(dāng)n=n0時命題成立;(2)假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立,證明n=k+1時命題也成立.在完成了這兩個步驟后,就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數(shù)都成立.這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.用數(shù)學(xué)歸納法證明時,要分兩個步驟,兩者缺一不可.(1)證明了第一步,就獲得了遞推的基礎(chǔ),但僅靠這一步還不能說明結(jié)論的正確性.在這一步中,只需驗證命題結(jié)論成立的最小的正整數(shù)就可以了,沒有必要驗證命題對幾個正整數(shù)成立.(2)證明了第二步,就獲得了推理的依據(jù).僅有第二步而沒有第一步,則失去了遞推的基礎(chǔ);而只有第一步而沒有第二步,就可能得出不正確的結(jié)論,因為單靠第一步,我們無法遞推下去,所以我們無法判斷命題對n0+1,n0+2,…,是否正確.在第二步中,n=k命題成立,可以作為條件加以運(yùn)用,而n=k+1時的情況則有待利用命題的已知條件,公理,定理,定義加以證明.完成一,二步后,最后對命題做一個總的結(jié)論.用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式的步驟及注意事項：①明確初始值n0并驗證真假。（必不可少）②“假設(shè)n=k時命題正確”并寫出命題形式。③分析“n=k+1時”命題是什么，并找出與“n=k”時命題形式的差別。弄清左端應(yīng)增加的項。④明確等式左端變形目標(biāo)，掌握恒等式變形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆項、配方等，并用上假設(shè)。重點(diǎn)：兩個步驟、一個結(jié)論；注意：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉?？擅鞔_為：

數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法，它是在可靠的基礎(chǔ)上，利用命題自身具有的傳遞性，運(yùn)用“有限”的手段，來解決“無限”的問題。它克服了完全歸納法的繁雜、不可行的缺點(diǎn)，又克服了不完全歸納法結(jié)論不可靠的不足，使我們認(rèn)識到事情由簡到繁、由特殊到一般、由有限到無窮。

數(shù)學(xué)歸納法的核心思想一.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題例2用數(shù)學(xué)歸納法證明

1×4＝411）此時n0=__左＝_______右=

__________

2）假設(shè)n=k時命題成立，即

當(dāng)n=k時，等式左邊共有___項，第(k－1)項是__________________。

k(K－1)×[3(k－1)＋1]1(1＋1)2=41×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2

1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2

3）當(dāng)n=k+1時，命題的形式是4）此時，左邊增加的項是5)從左到右如何變形？

1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)[(k+1)+1]2(k+1)[3(k+1)+1]證明：（1）當(dāng)n=1時，左邊＝1×4＝4，右邊＝1×22＝4，等式成立。（2）假設(shè)n=k時命題成立，即

1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2

這就是說，當(dāng)n=k+1時等式也成立。根據(jù)（1）和（2），可知等式對任何n∈N＊都成立

當(dāng)n=k+1時左邊=1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)(3(k+1)+1)=k(k+1)2+(k+1)(3(k+1)+1)=(k+1)[k(k+1)+3(k+1)+1]=(k+1)[k2+4k+4]=(k+1)[(k+1)+1]2

＝右邊練習(xí)鞏固

1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：在驗證n=1成立時，左邊計算所得的結(jié)果是22.某個命題與正整數(shù)n有關(guān)，如果當(dāng)時命題成立，那么可推得當(dāng)n=k+1時命題也成立.現(xiàn)已知當(dāng)n=5時該命題不成立，那么可推得 （）A．當(dāng)n=6時該命題不成立 B．當(dāng)n=6時該命題成立C．當(dāng)n=4時該命題不成立 D．當(dāng)n=4時該命題成立C特別提示:數(shù)學(xué)歸納法證題的關(guān)鍵是“一湊假設(shè),二湊結(jié)論”,在證題的過程中,歸納推理一定要起到條件的作用,即證明n=k+1成立時必須用到歸納遞推這一條件.二.用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題

例1用數(shù)學(xué)歸納法證明：

34n+2＋52n+1能被14整除．證明：(i)當(dāng)n＝1時，34×1+2＋52×1+1＝754＝14×16，∴當(dāng)n＝1時，34n+2＋52n+1能被14整除．(ii)設(shè)n＝k(k≥1，k∈N*)時，34k+2＋52k+1能被14整除．那么當(dāng)n＝k＋1時34(k+1)+2＋52(k+1)+1＝34k+2·34＋52k+1·52

＝81·34k+2＋25·52k+1＝(25＋56)·34k+2＋25·52k+1

＝25·(34k+2＋52k+1)＋56·34k+2．∵(34k+2＋52k+1)能被14整除，56能被14整除，

∴

34n+2＋52n+1能被14整除．即n＝k＋1時，命題成立．

根據(jù)(i)、(ii)可知,34n+2＋52n+1能被14整除．

例3平面內(nèi)有n(n≥2)條直線，其中任何兩條不平行,任何三條不過同一點(diǎn),證明交點(diǎn)的個數(shù)為:三.用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題n圖形f(n)1234…kK+1f(1)=0f(2)=1=f(1)+1f(3)=3=f(2)+2f(4)=6=f(3)+3f(k)f(k+1)=f(k)+k……特別提示:用數(shù)學(xué)歸納法證幾何問題,應(yīng)特別注意語言敘述正確,清