高等數(shù)學(xué)（上冊） 課件 朱泰英 3-4極值與最值

二、最大值與最小值問題一、函數(shù)的極值及其求法第四節(jié)函數(shù)的極值與最大值最小值

第三章定義:在其中當(dāng)時,(1)則稱為的極大值點(diǎn)

,稱為函數(shù)的極大值

;(2)則稱為的極小值點(diǎn)

,稱為函數(shù)的極小值

.極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)

.一、函數(shù)的極值及其求法注意:為極大值點(diǎn)為極小值點(diǎn)不是極值點(diǎn)2)對常見函數(shù),極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為

0

或

不存在的點(diǎn).1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).例如,為極大值點(diǎn),是極大值是極小值為極小值點(diǎn),函數(shù)定理1(極值第一判別法)且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(1)“左正右負(fù)”,(2)“左負(fù)右正”,(自證)點(diǎn)擊圖中任意處動畫播放\暫停例1.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求極值可疑點(diǎn)令得令得3)列表判別是極大值點(diǎn)，其極大值為是極小值點(diǎn)，其極小值為定理2(極值第二判別法)二階導(dǎo)數(shù),且則在點(diǎn)取極大值;則在點(diǎn)取極小值.證:(1)存在由第一判別法知(2)類似可證.例2.求函數(shù)的極值.解:

1)求導(dǎo)數(shù)2)求駐點(diǎn)令得駐點(diǎn)3)判別因故為極小值;又故需用第一判別法判別.定理3(判別法的推廣)則:數(shù),且1)當(dāng)為偶數(shù)時,是極小點(diǎn);是極大點(diǎn).2)當(dāng)為奇數(shù)時,為極值點(diǎn),且不是極值點(diǎn).當(dāng)充分接近時,上式左端正負(fù)號由右端第一項(xiàng)確定,故結(jié)論正確.證:利用在點(diǎn)的泰勒公式,可得例如

,

例2中所以不是極值點(diǎn).極值的判別法(定理1~

定理3)都是充分的.說明:當(dāng)這些充分條件不滿足時,不等于極值不存在.例如:為極大值,但不滿足定理1~定理3的條件.二、最大值與最小值問題則其最值只能在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到.求函數(shù)最值的方法:(1)求在內(nèi)的極值可疑點(diǎn)(2)

最大值最小值特別:

當(dāng)在內(nèi)只有一個極值可疑點(diǎn)時,

當(dāng)在上單調(diào)時,最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.若在此點(diǎn)取極大值,則也是最大值.(小)

對應(yīng)用問題,有時可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的可疑點(diǎn)是否為最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn).(小)例3.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解:

顯然且故函數(shù)在取最小值0;在及取最大值5.因此也可通過例3.求函數(shù)說明:求最值點(diǎn).與最值點(diǎn)相同,由于令(自己練習(xí))在閉區(qū)間上的最大值和最小值.(k為某常數(shù))例4.鐵路上AB段的距離為100km,工廠C

距A處20AC⊥

AB,要在AB

線上選定一點(diǎn)D

向工廠修一條已知鐵路與公路每公里貨運(yùn)為使貨物從B運(yùn)到工

20解:

設(shè)則令得又所以為唯一的極小值點(diǎn),故AD=15km時運(yùn)費(fèi)最省.總運(yùn)費(fèi)廠C的運(yùn)費(fèi)最省,從而為最小值點(diǎn),問D點(diǎn)應(yīng)如何取?km,公路,價(jià)之比為3:5,用開始移動,例5.

設(shè)有質(zhì)量為5kg

的物體置于水平面上,受力F

作解:

克服摩擦的水平分力正壓力即令則問題轉(zhuǎn)化為求的最大值問題.設(shè)摩擦系數(shù)問力F與水平面夾角

為多少時才可使力F的大小最小?令解得而因而F

取最小值.解:即令則問題轉(zhuǎn)化為求的最大值問題.清楚(視角

最大)?觀察者的眼睛1.8m,例6.

一張1.4m高的圖片掛在墻上,它的底邊高于解:

設(shè)觀察者與墻的距離為xm,則令得駐點(diǎn)根據(jù)問題的實(shí)際意義,觀察者最佳站位存在,唯一,駐點(diǎn)又因此觀察者站在距離墻2.4m

處看圖最清楚.問觀察者在距墻多遠(yuǎn)處看圖才最內(nèi)容小結(jié)1.連續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點(diǎn):使導(dǎo)數(shù)為0或不存在的點(diǎn)(2)第一充分條件過由正變負(fù)為極大值過由負(fù)變正為極小值(3)第二充分條件為極大值為極小值(4)判別法的推廣定理3最值點(diǎn)應(yīng)在極值點(diǎn)和邊界點(diǎn)上找;應(yīng)用題可根據(jù)問題的實(shí)際意義判別.思考與練習(xí)2.連續(xù)函數(shù)的最值1.

設(shè)則在點(diǎn)a

處().的導(dǎo)數(shù)存在,取得極大值;取得極小值;的導(dǎo)數(shù)不存在.B提示:

利用極限的保號性2.

設(shè)在的某鄰域內(nèi)連續(xù),且則在點(diǎn)處(A)不可導(dǎo);(B)可導(dǎo),且(C)取得極大值;(D)取得極小值