第六章 簡單超靜定問題

第六章

簡單超靜定問題材料力學(xué)1第六章

簡單超靜定問題本章內(nèi)容:6.1超靜定問題6.2拉伸（壓縮）超靜定問題6.3扭轉(zhuǎn)解超靜定問題6.4彎曲超靜定問題2

第六章

簡單超靜定問題

工程中的承力結(jié)構(gòu)，按靜力學(xué)特性可分為靜定結(jié)構(gòu)和超靜定結(jié)構(gòu)。關(guān)于靜定結(jié)構(gòu)的問題前面已經(jīng)做了許多討論，但如何分析超靜定結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性仍是亟待解決的問題，本章重點討論簡單超靜定結(jié)構(gòu)的問題，亦稱簡單超靜定問題，為超靜定結(jié)構(gòu)的強度、剛度和穩(wěn)定性的分析奠定基礎(chǔ)。36.1超靜定問題第六章

簡單超靜定問題1、靜定結(jié)構(gòu)與超靜定結(jié)構(gòu)若結(jié)構(gòu)的全部約束反力和內(nèi)力均可由靜力學(xué)平衡方程確定，該結(jié)構(gòu)稱為靜定結(jié)構(gòu)。關(guān)于求解靜定結(jié)構(gòu)力學(xué)量的問題，稱為靜定問題。若結(jié)構(gòu)的約束反力和內(nèi)力不能僅僅根據(jù)靜力學(xué)平衡方程確定，該結(jié)構(gòu)稱為超靜定結(jié)構(gòu)。關(guān)于求解超靜定結(jié)構(gòu)力學(xué)量的問題，稱為超靜定問題。圖6.1超靜定系統(tǒng)46.1超靜定問題第六章

簡單超靜定問題超靜定問題可分為三類：（1）結(jié)構(gòu)存在多余約束，未知力為約束反力的問題，稱為外力超靜定問題；（2）結(jié)構(gòu)的約束反力可通過靜力平衡方程求得，但結(jié)構(gòu)的內(nèi)力無法確定，稱為內(nèi)力超靜定問題；（3）未知力中既包含多余約束反力又包含桿件內(nèi)力的問題，稱為混合超靜定問題。圖6.2超靜定系統(tǒng)56.1超靜定問題第六章

簡單超靜定問題未知力的個數(shù)超過獨立平衡方程數(shù)的數(shù)目，稱為超靜定次數(shù)。多余的約束反力或內(nèi)力，習(xí)慣上稱為多余未知力。由于未知力可能是力，也可能是力偶，所以這里的力實際上指的是廣義未知力。

圖6.1c為一次外力超靜定，圖6.2a為一次內(nèi)力超靜定，圖6.2b為三次內(nèi)力超靜定。6圖6.2超靜定系統(tǒng)6.1超靜定問題第六章

簡單超靜定問題2、靜定基與相當(dāng)系統(tǒng)

將超靜定結(jié)構(gòu)的多余約束去掉后得到的靜定結(jié)構(gòu)，稱之為原系統(tǒng)的靜定基。將已知的載荷和多余未知力作用在靜定基上所得到的系統(tǒng)稱為基本系統(tǒng)。當(dāng)基本系統(tǒng)與原系統(tǒng)滿足相同的靜力平衡條件，且在解除約束處兩者變形情況一致（滿足相同的變形協(xié)調(diào)條件）時，基本系統(tǒng)與原系統(tǒng)完全相當(dāng)，這稱之為相當(dāng)系統(tǒng)。76.1超靜定問題第六章

簡單超靜定問題一個超靜定系統(tǒng)的靜定基（或相當(dāng)系統(tǒng)）的選取不是唯一的。圖6.3不同的相當(dāng)系統(tǒng)

在解除約束處提出的附加要求是基于變形協(xié)調(diào)一致的原則，常稱為變形協(xié)調(diào)條件（亦稱幾何方程）。86.1超靜定問題第六章

簡單超靜定問題3、變形比較法要使相當(dāng)系統(tǒng)代替原超靜定結(jié)構(gòu)，應(yīng)使兩者除受力相同外變形也完全一致；在去掉多余約束后的相當(dāng)系統(tǒng)上，在約束處的位移（廣義位移）應(yīng)符合原超靜定結(jié)構(gòu)在該處的約束條件，滿足變形協(xié)調(diào)關(guān)系；對于簡單的一次超靜定系統(tǒng)常采用變形疊加法列出變形協(xié)調(diào)條件，再結(jié)合物理方程得到補充方程，與靜力平衡方程一起即可求解，這稱為變形比較法。96.1超靜定問題第六章

簡單超靜定問題

分析受力和變形時的基本原則是：（1）內(nèi)力一般按真實方向假設(shè)。（2）變形與內(nèi)力一致。如假設(shè)的軸力為拉，變形應(yīng)假設(shè)為伸長；同理，假設(shè)的彎曲變形與扭轉(zhuǎn)變形也應(yīng)與假設(shè)的彎矩和扭矩的一致；兩者不能相矛盾。（3）內(nèi)力無法確定真實方向時可任意假設(shè)，但變形必須滿足與內(nèi)力一致。106.1超靜定問題第六章

簡單超靜定問題4、超靜定問題的分析步驟處理超靜定問題的核心，就是利用幾何關(guān)系、物理關(guān)系和靜力學(xué)關(guān)系，這三個基本關(guān)系進行分析求解。變形比較法求解超靜定問題的一般步驟為：（1）解除多余約束，選取靜定基；（2）建立靜力學(xué)關(guān)系，列平衡方程；（3）分析變形的幾何關(guān)系，列變形協(xié)調(diào)方程；（4）將物理關(guān)系代入變形協(xié)調(diào)方程中，化為以力為變量的補充方程；（5）將平衡方程和補充方程聯(lián)立，求解未知力。116.2拉伸（壓縮）超靜定問題第六章

簡單超靜定問題

解:本題是典型柱類超靜定問題，采用解除多余約束的解題方法。(1)有兩個未知約束力見圖a，但只有一個獨立的平衡方程。故為一次超靜定問題。(2)取固定端B為多余約束。相應(yīng)的相當(dāng)系統(tǒng)如圖b，它應(yīng)滿足變形協(xié)調(diào)關(guān)系如圖c，d。126.2變形比較法解簡單超靜定問題第六章

簡單超靜定問題(3)補充方程為

(4)由平衡方程得(5)利用相當(dāng)系統(tǒng)求得136.2變形比較法解簡單超靜定問題第六章

簡單超靜定問題例6.2設(shè)1、2、3三桿用鉸連接如圖a所示。已知1、2兩桿間的夾角為2α，兩桿的長度、橫截面面積及材料均相同，即l1=l2=l，A1=A2=A，E1=E2=E；桿3的橫截面面積為A3，其材料的彈性模量為E3，試求在沿鉛垂方向的外力F作用下各桿的軸力。解：本題是典型桁架類超靜定問題，采用直接列變形協(xié)調(diào)關(guān)系的解題方法。(1)靜力平衡方程取結(jié)點A，設(shè)三桿的軸力均為拉力，作受力圖如圖b。146.2變形比較法解簡單超靜定問題第六章

簡單超靜定問題(2)補充方程（c）在線彈性范圍內(nèi)，變形與所求軸力之間的物理關(guān)系為（d）（e）將物理關(guān)系式（d）、（e）代入變形幾何相容方程式（c），得補充方程為（f）156.2變形比較法解簡單超靜定問題第六章

簡單超靜定問題(3)各桿軸力

將補充方程（f）與靜力平衡方程（a）、（b）聯(lián)立求解，經(jīng)整理后即得166.2變形比較法解簡單超靜定問題第六章

簡單超靜定問題

解：本題是剛架類的超靜定問題，采用直接列變形協(xié)調(diào)關(guān)系的解題方法。設(shè)1，2，3桿的軸力分別為FN1、FN2和FN3

(a)

(b)(2)幾何方程

(c)176.2變形比較法解簡單超靜定問題第六章

簡單超靜定問題(3)物理方程上式帶入（c）式得補充方程

(d)聯(lián)立（a）、（b）、（d）三式，解得186.2變形比較法解簡單超靜定問題第六章

簡單超靜定問題思考：本題的另一種解法：變形協(xié)調(diào)方程為196.3扭轉(zhuǎn)超靜定問題第六章

簡單超靜定問題例6.4圓軸AB在AC段為實心圓軸，直徑D=20mm，CB段為空心圓軸，內(nèi)外徑分別為d=16mm和D=20mm。軸兩端A、B為固定端，在實心和空心交界截面C處受力偶矩Me=120N·m作用，如圖6.10a，已知軸的切變模量G=80GPa，試求該軸兩端的約束反力。

(a)

(b)為一次超靜定系統(tǒng)，變形協(xié)調(diào)條件為

(c)根據(jù)物理方程可得206.3扭轉(zhuǎn)超靜定問題第六章

簡單超靜定問題將（c）式代入（b）式，得補充方程

(d)聯(lián)立(a)、(d)兩式，解得216.4彎曲超靜定問題第六章

簡單超靜定問題

解:（1）設(shè)支座B為多余約束，相應(yīng)的多余約束力為FB，