ch函數(shù)極限定義與性質(zhì)

復(fù)習(xí)注意：但未必是的函數(shù);3.N與n無(wú)關(guān),N不是唯一的.幾何解釋:推論數(shù)列極限的性質(zhì)1.有界性(全局性）定理1收斂的數(shù)列必定有界.注意：有界性是數(shù)列收斂的必要條件.推論

無(wú)界數(shù)列必定發(fā)散.2.唯一性定理2每個(gè)收斂的數(shù)列只有一個(gè)極限.3.子列的收斂性定理3如果數(shù)列收斂，則它的任一個(gè)子數(shù)列也收斂，且極限相同.第三節(jié)函數(shù)極限的定義一、自變量的變化過(guò)程二、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限三、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限新課

第一章

一、自變量的變化過(guò)程xsinx/x播放二、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)“無(wú)限接近”.通過(guò)上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:問(wèn)題:即如何表示x

與f(x)無(wú)限接近于A

？先分x+

與x-

來(lái)說(shuō)明定義設(shè)f(x)在x>0有定義,對(duì)任意給定的無(wú)論多么小的正數(shù)

,總存在正數(shù)X,當(dāng)x>X時(shí)，恒有|f(x)

A|<

，則稱(chēng)常數(shù)A是函數(shù)f(x)當(dāng)x

+

時(shí)的極限.1.x

+

時(shí)f(x)的極限幾何意義2.x

-

時(shí)f(x)的極限定義設(shè)f(x)在x<0有定義,對(duì)任意給定的正數(shù)

,總存在正數(shù)X,當(dāng)x<-X時(shí)，恒有|f(x)

A|<

，則稱(chēng)常數(shù)A是函數(shù)f(x)當(dāng)x

-

時(shí)的極限.記為無(wú)論多么小幾何意義3.x

時(shí)f(x)的極限定理：幾何意義注否幾何意義<<<例證4.水平漸近線

(horizontalasymptote)例如：三、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限雖在x=1處無(wú)定義，但從它的圖形上可見(jiàn)，當(dāng)點(diǎn)從1的左側(cè)或右側(cè)無(wú)限地接近于1時(shí),f(x)無(wú)限地接近于4.1xyo4注意:

x→x0時(shí)，f(x)有無(wú)極限與f(x)在x0處有無(wú)定義無(wú)關(guān)約定

x→x0但

x≠x0稱(chēng)4為f(x)當(dāng)x→1時(shí)f(x)的極限.例？三、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限問(wèn)題:1.x

x0時(shí)f(x)的極限定義若存在常數(shù)A,對(duì)任意給定的正數(shù)

>0,總存在正數(shù)

>0,只要f的定義域中的點(diǎn)x

滿足0<|x

x0|<

時(shí)，恒有|f(x)

A|<

成立，則稱(chēng)常數(shù)

A是函數(shù)f(x)

當(dāng)x

x0時(shí)的極限,

簡(jiǎn)稱(chēng)A是f(x)在x0處的極限.說(shuō)明如：δ也并不是唯一.2.幾何解釋:例1.證例2證函數(shù)在點(diǎn)x=1處沒(méi)有定義.例3證用定義證明的過(guò)程：1.把|f(x)

A|化簡(jiǎn)為|f(x)

A|

k|x

x0|;2.

要|f(x)

A|

,只要k|x

x0|

;4.驗(yàn)證.重要結(jié)論冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)及反三角函數(shù)等基本初等函數(shù)，在其定義域內(nèi)的每點(diǎn)處的極限都存在且等于函數(shù)在該點(diǎn)處的值.2.單側(cè)極限:問(wèn)題：設(shè)如何證明?左極限定義右極限定義定理由此有左右極限存在但不相等,例4證重點(diǎn)5例5解：由圖可知

(如作業(yè)P18

二6)四、函數(shù)極限的性質(zhì)定理1

若極限(或)存在，則極限是惟一的.1.極限的惟一性M-Myxoy=f(x)I有界函數(shù)的有界性:設(shè)f(x)在區(qū)間I上有定義則稱(chēng)f(x)在I

上有界.否則稱(chēng)無(wú)界.例：無(wú)界2.有極限的函數(shù)的局部有界性

補(bǔ)充函數(shù)有界的另一種定義:設(shè)

f(x)在區(qū)間

I內(nèi)有定義,若

M1

和M2

使x

I,都有M1<f(x)<M2

,則稱(chēng)f(x)在

I內(nèi)有界,而M1和M2稱(chēng)為f(x)在

I上的一個(gè)下界和一個(gè)上界.

定理2定理2

2.有極限的函數(shù)的局部有界性定理3(局部保號(hào)性)3.極限的局部保號(hào)性定理3

局部保號(hào)性推論>>0?不能!定理(保序性)推論由此也可證“極限的唯一性”>>?不能!當(dāng)?shù)獳=B=04.函數(shù)極限的歸并性(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)定義定理例如,則例如,函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等.(Heine定理，又稱(chēng)歸并原則)即判別極限不存在的一個(gè)命題例6例6證二者不相等,另證五、小結(jié)1.函數(shù)極限的統(tǒng)一定義(見(jiàn)下表)過(guò)程時(shí)刻從此時(shí)刻以后過(guò)程時(shí)刻從此時(shí)刻以后2.二、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限二、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限二、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限二、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限二、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限二、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限二、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限二、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限sinx/xx一、填空題:練習(xí)題練習(xí)題答案?jìng)渥?/p>

Heine定理海涅定理

lim[x->a]f(x)=b存在的充要條件是:對(duì)屬于函數(shù)f(x)定義域的任意數(shù)列，且lim[n->∞]an=a，an≠a，有l(wèi)im[n->∞]f(an)=b。

海涅定理是溝通函數(shù)極限和數(shù)列極限之間的橋梁。根據(jù)海涅定理，求函數(shù)極限則可化為求數(shù)列極限，同樣求數(shù)列極限也可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)極限。因此，函數(shù)極限