公約數(shù)與公倍數(shù)問(wèn)題

知識(shí)框架數(shù)學(xué)運(yùn)算問(wèn)題一共分為十四個(gè)模塊，其中一塊是計(jì)算問(wèn)題。公約數(shù)與公倍數(shù)問(wèn)題是計(jì)算問(wèn)題中數(shù)的性質(zhì)里面的一種。在公務(wù)員的考試中，公約數(shù)與公倍數(shù)問(wèn)題考查點(diǎn)只有兩種類型。無(wú)論生活場(chǎng)景如何改變，同學(xué)只要牢牢把握這兩種類型，就能輕松搞定公約數(shù)與公倍數(shù)問(wèn)題。核心點(diǎn)撥1.題型簡(jiǎn)介（1）約數(shù)與倍數(shù)

若數(shù)a能被b整除，則稱數(shù)a為數(shù)b的倍數(shù)，數(shù)b為數(shù)a的約數(shù)。其中，一個(gè)數(shù)的最小約數(shù)是1，最大約數(shù)是它本身。（2）公約數(shù)與最大公約數(shù)幾個(gè)自然數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)自然數(shù)的公約數(shù)。公約數(shù)中最大的一個(gè)，稱為這幾個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)。（3）公倍數(shù)與最大公倍數(shù)幾個(gè)自然數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)自然數(shù)的公倍數(shù)。公倍數(shù)中最小的一個(gè)，稱為這幾個(gè)自然數(shù)的最小公倍數(shù)?？荚囶}型一般是已知兩個(gè)數(shù)，求它們的最大公約數(shù)或最小公倍數(shù)。2.核心知識(shí)（1）兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)一般采用短除法，即用共同的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除，直到所得的商互質(zhì)為止。A、把共同的質(zhì)因數(shù)連乘起來(lái)，就是這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。B、把共同的質(zhì)因數(shù)和各自獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)連乘起來(lái)，就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。如：求24、36的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)。

24、36的最大公約數(shù)為其共同質(zhì)因數(shù)的乘積，即2×2×3=12；24、36的最小公倍數(shù)為其共同質(zhì)因數(shù)及獨(dú)有質(zhì)因數(shù)的乘積，即(2×2×3)×(2×3)=72。（2）三個(gè)數(shù)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)A、求取三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)時(shí)，短除至三個(gè)數(shù)沒(méi)有共同的因數(shù)（除1外），然后把所有共同的質(zhì)因數(shù)連乘起來(lái)。B、求取三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)時(shí)，短除到三個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)，然后把共同的質(zhì)因數(shù)和各自獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)連乘起來(lái)。如：求24、36、90的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)。進(jìn)階訓(xùn)練解法九成熟，剩下35%的中等題也能搞定，考試成功更進(jìn)一步！1.兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)

例3：（2007．江西）

能被15和12整除的最小正整數(shù)是：

A.60

B.120

C.180

D.30【答案】A【解析】[題鑰]

“能被15和12整除的最小正整數(shù)”即為15和12的最小公倍數(shù)，采用短除法來(lái)求最小公倍數(shù)

[解析]

短除法：

5和4除1以外沒(méi)有共同的因數(shù)；

最小公倍數(shù)：

把共同的質(zhì)因數(shù)和各自獨(dú)有的質(zhì)因數(shù)連乘起來(lái)，就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，所以15和12的最小公倍數(shù)為：3×5×4=60。

因此，選A。2.三個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)

例4：

6枚1分硬幣疊在一起與5枚2分硬幣一樣高，6枚2分硬幣疊在一起與5枚5分硬幣一樣高，如果用1分、2分、5分硬幣分別疊成的三個(gè)圓柱體一樣高，這些硬幣的幣值為4元4角2分，那么這三種硬幣總共有多少枚？A.180

B.181

C.182

D.183【答案】C【解析】[題鑰]

此題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是要確定多少枚1分、2分或5分的硬幣疊成的圓柱體高度相同。

[解析]

根據(jù)“6枚1分硬幣疊在一起與5枚2分硬幣一樣高，6枚2分硬幣疊在一起與5枚5分硬幣一樣高”，

其中6、5、5的最小公倍數(shù)為30，則：

36枚1分硬幣、30枚2分硬幣、25枚5分硬幣疊成的圓柱體一樣高；

此時(shí)這些硬幣的幣值之和為221分，恰好為2元2角1分，是4元4角2分的一半，

故4元4角2分由72枚1分硬幣、60枚2分硬幣和50枚5分硬幣組成，

即共有硬幣72+60+50=182枚。

因此，選C。例5.(2008.國(guó)考)

甲、乙、丙、丁四個(gè)人去圖書館借書，甲每隔5天去一次，乙每隔11天去一次，丙每隔17天去一次，丁每隔29天去一次。如果5月18日他們四個(gè)人在圖書館相遇，問(wèn)下一次四個(gè)人在圖書館相遇是幾月幾號(hào)？A.10月18日

B.10月14日

C.11月18日

D.11月14日【答案】D【解析】[題鑰]

每隔n天去一次即每（n+1）天去一次，該題轉(zhuǎn)化為求6、12、18、30這四個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)問(wèn)題。

[解析]

每隔n天去一次即每(n+1)天去一次，那么：

甲每5+1=6天去一次圖書館，

乙每11+1=12天去一次圖書館，

丙每17+1=18天去一次圖書館，

丁每29+1=30天去一次圖書館；

要