2024版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第5章平面向量復(fù)數(shù)第5節(jié)解三角形的實(shí)際應(yīng)用教師用書

第五節(jié)解三角形的實(shí)際應(yīng)用考試要求：能用正弦定理、余弦定理解決簡單的實(shí)際問題．一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖(1))．2．方位角從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖(2))．3．方向角：相對(duì)于某一正方向的水平角．(1)北偏東α，即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向(如圖(3))．(2)北偏西α，即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α到達(dá)目標(biāo)方向．(3)南偏西等其他方向角類似．區(qū)分方位角與方向角(1)方位角：從正北方向起按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角．(2)方向角：正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角．4．坡角與坡度(1)坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖(4)，角θ為坡角)．(2)坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖(4)，i為坡度)．坡度又稱為坡比．5．解三角形應(yīng)用題的步驟二、基本技能·思想·活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)1．判斷下列說法的正誤，對(duì)的畫“√”，錯(cuò)的畫“×”．(1)若從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為α＝β. (√)(2)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為0，π2. ((3)若點(diǎn)P在點(diǎn)Q的北偏東44°，則點(diǎn)Q在點(diǎn)P的東偏北46°. (×)(4)方位角大小的范圍是[0，π)，方向角大小的范圍是0，π2. (2．如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A．北偏東10° B．北偏西10°C．南偏東80° D．南偏西80°D解析：由條件及圖可知，∠A＝∠CBA＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此燈塔A在燈塔B的南偏西80°.3．如圖，設(shè)點(diǎn)A，B在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測出A，C兩點(diǎn)間的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，則A，B兩點(diǎn)間的距離為()A．2522m B．25C．502m D．503mC解析：在△ABC中，∠ABC＝30°，由正弦定理得ACsin30°＝ABsin45°，即5012＝AB4．如圖，D，C，B三點(diǎn)在地面的同一條直線上，DC＝a，從C，D兩點(diǎn)測得點(diǎn)A的仰角分別為60°，30°，則點(diǎn)A離地面的高度AB＝___________．32a解析：由已知得∠DAC＝30°，△ADC為等腰三角形，AD＝3a，所以在Rt△ADB中，AB＝12AD＝35．如圖，要測量底部不能到達(dá)的電視塔AB的高度，在點(diǎn)C處測得塔頂A的仰角是45°，在點(diǎn)D處測得塔頂A的仰角是30°，并測得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，則電視塔的高度為_________．40m解析：設(shè)電視塔的高度為xm，則BC＝x，BD＝3x.在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝40或x＝－20(舍去)．故電視塔的高度為40m．考點(diǎn)1解三角形的實(shí)際應(yīng)用——應(yīng)用性考向1測量距離問題若要測量如圖所示的海洋藍(lán)洞的口徑(即A，B兩點(diǎn)間的距離)，現(xiàn)取兩點(diǎn)C，D，測得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，則圖中海洋藍(lán)洞的口徑為_________．805解析：由已知得，在△ADC中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°.由正弦定理得AC＝80sin150°sin15°＝在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，所以∠DBC＝30°.由正弦定理CDsin∠CBD得BC＝CDsin∠BDCsin∠CBD＝80×在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝1600×(8＋43)＋1600×(8－43)＋2×1600×(6+2)×(6-2)×12＝1600×16＋1600×4解得AB＝805，故圖中海洋藍(lán)洞的口徑為805.測量距離問題的2個(gè)策略(1)選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理．考向2測量高度問題如圖，為了測量河對(duì)岸電視塔CD的高度，小王在點(diǎn)A處測得塔頂D的仰角為30°，塔底C與A的連線同河岸成15°角．小王沿河岸向前走了1200m到達(dá)M處，測得塔底C與M的連線同河岸成60°角，則電視塔CD的高度為________m.6002解析：在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，由正弦定理得AMsin∠MCA＝ACsin∠AMC，即120022＝AC32，解得AC＝6006(m)．在△ACD中，因?yàn)閠an∠DAC＝DCAC＝求解高度問題的基本思想是把要求解的高度(某線段的長度)納入一個(gè)可解的三角形中，使用正、余弦定理或其他相關(guān)知識(shí)求出該高度．考向3測量角度問題如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75°的方向航行(23－2)nmile到達(dá)海島B，然后從B出發(fā)，沿北偏東15°的方向航行4nmile到達(dá)海島C.(1)求AC的長；(2)如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C，求∠CAB的大?。猓?1)由題意，在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，AB＝23－2，BC＝4.根據(jù)余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC＝(23－2)2＋42＋(23－2)×4＝24，所以AC＝26.即AC的長為26nmile.(2)根據(jù)正弦定理得，sin∠CAB＝BC·sin∠ABCAC＝4×3測量角度問題的基本思路測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實(shí)際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解．[提醒]方向角是相對(duì)于某點(diǎn)而言的，因此在確定方向角時(shí)，必須先弄清楚是哪一個(gè)點(diǎn)的方向角．1．如圖，甲船在A處觀察乙船，乙船在它的北偏東60°的方向，相距a海里的B處，且乙船正向北行駛．若甲船的速度是乙船的3倍，甲船為了盡快追上乙船，則應(yīng)取北偏東________(填角度)的方向前進(jìn)．30°解析：設(shè)兩船在C處相遇，則由題意∠ABC＝180°－60°＝120°，且ACBC＝3.由正弦定理，得ACBC＝sin120°sin∠BAC＝3，所以sin∠BAC＝12.因?yàn)?°<∠BAC<60°2．如圖所示，為測量一棵樹的高度，在地面上選取A，B兩點(diǎn)，從A，B兩點(diǎn)分別測得樹尖點(diǎn)P的仰角為30°，45°，且A，B兩點(diǎn)間的距離為60m，則樹的高度為________m.30＋303解析：在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60m，sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝22×32-22×所以PB＝12×606-24＝30(6+2)，所以樹的高度為PB·sin45°＝30(6+考點(diǎn)2解三角形的綜合應(yīng)用——綜合性考向1與平面幾何相結(jié)合(2022·臨沂一模)在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，BC＝4，∠B＝2∠D，∠ACB＝π12，求△ACD面積的最大值．解：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是圓內(nèi)接四邊形，可得∠B＋∠D＝π.因?yàn)椤螧＝2∠D，所以∠B＝2π3，∠D＝在△ABC中，因?yàn)椤螦CB＝π12，所以∠BAC＝π－2π3由正弦定理得ACsinB＝BCsin∠BAC，所以AC＝BCsin在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcosD，即24＝AD2＋CD2－AD·CD≥2AD·CD－AD·CD＝AD·CD，當(dāng)且僅當(dāng)AD＝CD時(shí)，取等號(hào)，即AD·CD≤24，所以S△ACD＝12AD·CDsinD＝34AD·CD≤63，即△ACD面積的最大值為61．三角形面積計(jì)算問題要適當(dāng)選用公式，可以根據(jù)正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊角互化．2．幾何計(jì)算問題要注意(1)根據(jù)已知的邊角畫出圖形并在圖中標(biāo)示．(2)選擇在某個(gè)三角形中運(yùn)用正弦定理或余弦定理.考向2與三角函數(shù)相結(jié)合將函數(shù)f(x)＝sinx＋3cosx的圖象上的所有點(diǎn)向右平移π6個(gè)單位長度，然后橫坐標(biāo)縮短為原來的12(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)g(x)(1)求函數(shù)g(x)的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若sinπ3-Bcosπ6+B＝14，c＝gπ6，b解：(1)f(x)＝sinx＋3cosx＝2sinx+π3，f(x)的圖象向右平移π6個(gè)單位長度得到y(tǒng)＝2sinx+π6的圖象，橫坐標(biāo)縮短為原來的12(縱坐標(biāo)不變)得到y(tǒng)＝2sin2x+π6的圖象，所以令－π2＋2kπ≤2x＋π6≤π2＋2kπ，解得－π3＋kπ≤x所以g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-π3+kπ，π(2)由(1)知，c＝gπ6＝2sin2×π因?yàn)閟inπ3-Bcosπ6+B＝cos2π6+B＝1又因?yàn)锽∈(0，π)，所以B＋π6∈π當(dāng)cosπ6+B＝12時(shí)，B＋π6＝π3，B＝π6，此時(shí)由余弦定理可知，4＋a2－2×2×acosπ6＝12，解得所以S△ABC＝12×2×(3+11)×sinπ當(dāng)cosπ6+B＝－12時(shí)，B＋π6＝2π3，B＝π2，此時(shí)由勾股定理可得，所以S△ABC＝12×2×22＝22綜上，△ABC的面積為3+112或解三角形與三角恒等變換問題的注意點(diǎn)(1)熟練記憶正、余弦定理及其適用類型、三角形內(nèi)角和定理．(2)熟練使用兩角和與差的有關(guān)三角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式．1．(2022·株洲檢測)如圖所示，在四邊形ABCD中，tan∠BAD＝－33，tan∠BAC＝32(1)求∠DAC的大??；(2)若DC＝2，求△ADC周長的最大值．解：(1)因?yàn)椤螪AC＝∠BAD－∠BAC，且tan∠BAD＝－33，tan∠BAC＝32所以tan∠DAC＝tan(∠BAD－∠BAC)＝tan∠BAD-tan∠因?yàn)椤螪AC∈(0，π)，所以∠DAC＝π3(2)由正弦定理得DCsin∠DAC＝ADsin∠所以AD＝433sin∠ACD，AC＝433所以△ADC的周長為2＋AD＋AC＝2＋433·(sin∠ACD＋sin∠ADC)＝2＋433sin∠ACD+sin2因?yàn)?<∠ACD<2π3，所以π6<∠ACD＋π6<5π6，所以所以△ADC的周長的最大值為2＋4×1＝6.2．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，(2a－c)cosB－bcosC＝0.(1)求角B的大?。?2)設(shè)函數(shù)f(x)＝2sinxcosxcosB－32cos2x，求函數(shù)f(x)的最大值及當(dāng)f(x)取得最大值時(shí)x解：(1)因?yàn)?2a－c)cosB－bcosC＝0，所以2acosB－ccosB－bcosC＝0，由正弦定理得2sinAcosB－sinCcosB－cosC·sinB＝0，即2sinAcosB－sin(C＋B)＝0.因?yàn)镃＋B＝π－A，所以sin(C＋B)＝sinA.所以sinA(2cosB－1)＝0.在△ABC中，sinA≠0，所以cosB＝12又因?yàn)锽∈(0，π)，所以B＝π3(2)因?yàn)锽＝π3，所以f(x)＝12sin2x－32cos2x＝令2x－π3＝2kπ＋π2(k∈Z)，得x＝kπ＋5π12(k∈Z)，即當(dāng)x＝kπ＋5π12(k∈Z)時(shí)，課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(三十)A組全考點(diǎn)鞏固練1．在相距2km的A，B兩點(diǎn)處測量目標(biāo)點(diǎn)C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，則A，C兩點(diǎn)之間的距離為()A．6km B．2kmC．3km D．2kmA解析：如圖，在△ABC中，由已知可得∠ACB＝45°，所以ACsin60°＝2sin45°，所以AC＝2．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－14，則bc等于(A．6 B．5C．4 D．3A解析：因?yàn)閍sinA－bsinB＝4csinC，所以由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cosA＝b2+c2-a22bc＝b3．蜚英塔俗稱寶塔，地處江西省南昌市，建于明朝天啟元年(1621年)，為中國傳統(tǒng)的樓閣式建筑．蜚英塔坐北朝南，磚石結(jié)構(gòu)，平面呈六邊形，是江西省省級(jí)重點(diǎn)保護(hù)文物，已被列為革命傳統(tǒng)教育基地．某學(xué)生為測量蜚英塔的高度，如圖，選取了與蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B兩點(diǎn)，測得AB＝357米，∠CAD＝45°，∠CBD＝30°，∠ADB＝150°，則蜚英塔的高度CD是()A．30米 B．307米C．35米 D．357米C解析：設(shè)CD＝h，在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，所以AD＝CD＝h，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，所以BD＝3CD＝3h，在△ABD中，由余弦定理知，AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，所以(357)2＝h2＋(3h)2－2h·3h-32，解得h＝所以蜚英塔的高度CD是35米．4．(多選題)某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75°，距離126nmile；在A處看燈塔C在貨輪北偏西30°，距離83nmile.貨輪由A處向正北航行到D處時(shí)，再看燈塔B在南偏東60°，則下列說法正確的是()A．A處與D處之間的距離是24nmileB．燈塔C與D處之間的距離是16nmileC．燈塔C在D處的南偏西30°D．D在燈塔B的北偏西30°AC解析：由題意可知∠ADB＝60°，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，所以B＝180°－60°－75°＝45°，AB＝126，AC＝83，在△ABD中，由正弦定理得ADsinB＝ABsin∠ADB，所以AD＝126×2232＝24(nmile)，故A正確；在△ACD中，由余弦定理得CD＝AC2+AD2-2AC·ADcos∠CAD，即CD＝832+242-2×83×24×32＝85．(2023·菏澤模擬)如圖，一座垂直建于地面的信號(hào)發(fā)射塔CD的高度為30m，地面上一人在A點(diǎn)觀察該信號(hào)塔頂部，仰角為45°，沿直線步行1min后在B點(diǎn)觀察塔頂，仰角為30°，若∠ADB＝30°，此人的身高忽略不計(jì)，則他的步行速度為()A．1m/s B．32C．22m/s D．1D解析：在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠CAD＝45°，得AD＝CD＝30m，在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，可得BD＝CDtan30°＝30在△ADB中，∠ADB＝30°，由余弦定理可得：AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB＝302＋(303)2－2×30×303cos30°＝900，則AB＝30m，所以他的步行速度為3060＝126．(2022·濱州二模)最大視角問題是1471年德國數(shù)學(xué)家米勒提出的幾何極值問題，故最大視角問題一般稱為“米勒問題”．如圖，樹頂A離地面a米，樹上另一點(diǎn)B離地面b米，在離地面c(c<b)米的C處看此樹，離此樹的水平距離為____________米時(shí)看A，B的視角最大．a(chǎn)-cb-c解析：過C作CD⊥AB則AB＝a－b，AD＝a－c，設(shè)∠BCD＝α，∠ACB＝β，CD＝x，在△BCD中，tanα＝BDCD＝b-cx，在△ACD中，tan(α＋β)＝ADCD＝a-cx，所以tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝a-cx-b-cx1+a-cx·b-cx＝7．(2023·聊城模擬)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，點(diǎn)D滿足3BD＝BC與AD·AC＝0.(1)若b＝c，求A的值；(2)求B的最大值．解：(1)因?yàn)锳D·AC＝0，所以AB+13BC·AC＝0，即23AB+13AC·AC＝0，所以因?yàn)閎＝c，所以cosA＝－12因?yàn)?<A<π，所以A＝2π(2)因?yàn)锳D·AC＝23AB+13AC·AC＝23bc·cosA+13b2＝0，所以b2＋c2－a2＋bcosB＝a2+c2-b22ac＝a2+因?yàn)?<B<π，所以B的最大值為π68．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別a，b，c.若acosB＋bcosA＝2，sinA＋sinB＝2sinC且△ABC的面積為3.求角C的大?。猓骸遖cosB＋bcosA＝2，∴c＝2.又∵sinA＋sinB＝2sinC，∴a＋b＝2c＝4.∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－2ab(1＋cosC)．∴ab＝61+∵12absinC＝3，∴3sinC即3sinC－cosC＝1，∴sinC-π6＝∵C∈(0，π)，∴C－π6∈-π6，5π6，∴C＝π3B組新高考培優(yōu)練9．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ADC＝90°，△ABC為銳角三角形，且AB＝3，AC＝7，∠ABC＝60°.(1)求sin∠BAC的值；(2)求△BCD的面積．解：(1)在銳角△ABC中，AB＝3，AC＝7，∠ABC＝60°，由正弦定理得sin∠ACB＝AB·sin∠ABC因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以cos∠ACB＝714因?yàn)閟in∠BAC＝sinπ-π3+∠ACB所以sin∠BAC＝sin∠ACB·cosπ3＋cos∠ACB·sinπ3＝321(2)因?yàn)锳B∥CD，所以∠ACD＝∠BAC，所以sin∠ACD＝sin∠BAC＝217在Rt△ACD中，AD＝AC×sin∠ACD＝7×217＝3，所以CD＝因?yàn)镾△BCD＝S△ACD，又S△ACD＝12AD×CD＝3，所以S△BCD＝310．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，tanB＋tanC＝3cos(1)求角A的大??；(2)若a＝4，b＋c＝5，求△ABC的面積．解：(1)由tanB＋tanC＝3cosAcoscosC所以sinBcosC＋cosBsinC＝3cosA，所以sin(B＋C)＝3cosA，即sinA＝3cosA.又cosA顯然不等于0，所以tanA＝3.因?yàn)锳∈(0，π)，所以A＝π3(2)由(1)知A＝π3，又a＝4，b＋c＝5根據(jù)余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－3bc，所以16＝25－3bc，所以bc＝3，所以S＝12bcsinA＝12×3×3211．(2022·張家口二模)在△ABC中，cosB(3a－bsinC)＝bsinBcosC.(1)求B；(2)若c＝2a，△ABC的面積為233，求△解：(1)由cosB(3a－bsinC)＝bsinBcosC，得3acosB－bcosBsinC＝bsinBcosC，所以3acosB＝bsinBcosC＋bcosBsinC，即3acosB＝bsin(B＋C)，所以3acosB＝bsinA.由正弦定理，得3sinAcosB＝sinBsinA.又sinA≠0，所以3cosB＝sinB，即tanB＝3，0<B<π，所以B＝π3(2)由c＝2a，△ABC的面積為233，得S△ABC＝12acsinB＝12×a×2a×32＝233，解得a＝23由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，可得b2＝2332＋4332－2×2所以△ABC的周長為a＋b＋c＝233＋2＋433＝212．已知函數(shù)f(x)＝23sinxcosx＋2sinx+π4·cos(1)求f(x)對(duì)稱軸并寫出f(x)如何變換得到函數(shù)g(x)＝2sin2x-π(2)△ABC的三內(nèi)角A，B，C對(duì)的邊分別為a，b，c，且fB2+π6＝23，a＋c解：(1)f(x)＝23sinxcosx＋2sinx+π4·cosx+π4＝3sin2＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x+π令2x＋π6＝kπ＋π2，k∈Z，解得x＝12kπ＋π6，可得函數(shù)