考點31導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點

考點31導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點1.【2022全國乙卷】已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)+axe?x．

(1)當(dāng)a=1時，求曲線f(x)在點(0,f(0))處的切線方程：

(2)若f(x)在區(qū)間(?1,0)，(0,+∞)各恰有一個零點，求【答案】解：(1)當(dāng)a=1時，f′(x)=1x+1+1?xe?x，x=0，f′(x)=2，又x=0時，f(0)=0，

所以曲線f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y?0=2(x?0)，即y=2x．

(2)令g(x)=exln(x+1)+ax(x>?1)=exf(x)，有g(shù)(0)=0，

f(x)在區(qū)間(?1,0)，(0,+∞)各恰有一個零點，也即g(x)在區(qū)間(?1,0)，(0,+∞)各恰有一個零點，

則g′(x)=ex[ln(x+1)+11+x]+a，

(Ⅰ)若a≥?1時，則g′(x)=ex[ln(x+1)+11+x]+a

令φx=ln(x+1)+11+x，φ′x=xx+12，φx分別在(?1,0)和(0,+∞)單調(diào)遞減和單調(diào)遞增，易知當(dāng)x=0時，φx取得最小值1，

所以ex[ln(x+1)+11+x]?1>ex?1，

當(dāng)x>0時，ex?1>0，于是g(x)在(0,+∞)遞增，g(x)>g(0)=0與g(x)在(0,+∞)上有一個零點矛盾．

(Ⅱ)若a<?1時，令G(x)=g′(x)則

G′(x)=ex[ln(x+1)+21+x?1(1+x)2]=ex?(x)

?′(x)=【解析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)切線，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)零點．2.【2021全國甲卷】已知a>0且a≠1，函數(shù)f(x)=xa(1)當(dāng)a=2時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若曲線y=f(x)與直線y=1有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．【答案】解：(1)當(dāng)a=2時,f(x)=x22x(x>0)，

求導(dǎo)f′(x)=x(2?xln2)2x(x>0)，

令f′(x)>0,即0<x<2ln2,此時f(x)單調(diào)遞增．

令f′(x)<0，即x>令g故g(x)max=g(e)=1e,當(dāng)x>e時,g(x)∈(0,1e)．

因為g(1)=0,要使得條件成立，則0<ln?aa【解析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像的交點個數(shù)，屬于較難題．

(1)求導(dǎo)f′(x)=x(2?xln2)2x(x>0)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求解單調(diào)區(qū)間；3.【2021新高考Ⅱ卷】已知函數(shù)f(x)=(x?1)ex(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)從下面兩個條件中選一個，證明：f(x)有一個零點．①1②0<a<12【答案】解：(1)由函數(shù)的解析式可得：f′x當(dāng)a≤0時，若x∈?∞,0，則f′若x∈0,+∞，則f′當(dāng)0<a<12時，若x∈?∞,若x∈ln2a,0若x∈0,+∞，則f′當(dāng)a=12時，f′x當(dāng)a>12時，若x∈?∞,0若x∈0,ln2a若x∈ln2a,+∞(2)若選擇條件①：由于12<a≤e22又f(?ba)=(?ba?1)ef>2a=2a=aln由于1<2a≤e2，故結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間0,+∞上沒有零點．綜上可得，f(x)有一個零點．若選擇條件②：由于0<a<12，故0<2a<1，則當(dāng)b≥0時，e2>4,4a<2，而函數(shù)在區(qū)間0,+∞上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間0,+∞上有一個零點．當(dāng)b<0時，構(gòu)造函數(shù)Hx=e當(dāng)x∈?∞,0時，H′當(dāng)x∈0,+∞時，H′注意到H0=0，故Hxf(x)=(x?1)e當(dāng)x>1?b1?a取x0=即：f0而函數(shù)在區(qū)間0,+∞上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間0,+∞上有一個零點．f≤2a=2a=aln由于0<a<12，0<2a<1，故結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間?∞,0上沒有零點．綜上可得，f(x)有一個零點．【解析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及零點問題，屬于拔高題．

(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性即可；(2)由題意結(jié)合(1)中函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點存在定理即可證得題中的結(jié)論．4.【2020全國Ⅰ卷】已知函數(shù)f(x)=e(1)

當(dāng)a=1時，討論f(x)的單調(diào)性;(2)

若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍．【答案】解：由題意，f(x)的定義域為(?∞,+∞)，且f′(x)=ex?a．

(1)當(dāng)a=1時，f′(x)=ex?1，令f′(x)=0，解得x=0，

∴當(dāng)x∈(?∞,0)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈(0,+∞)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

∴f(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

(2)①當(dāng)a≤0時，f′(x)=ex?a>0恒成立，

f(x)在(?∞,+∞)上單調(diào)遞增，不合題意；

②當(dāng)a>0時，令f′(x)=0，解得x=lna，

當(dāng)x∈(?∞,lna)時，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈(lna,+∞)時，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

∴f(x)的極小值也是最小值為f(lna)=a?a(lna+2)=?a(1+lna)，

又當(dāng)x→?∞時，f(x)→+∞，當(dāng)x→+∞時，f(x)→+∞，

∴要使f(x)有兩個零點，只要f(lna)<0即可，

則1+lna>0，可得a>1【解析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求極值，考查利用函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，是中檔題．

(1)當(dāng)a=1時，f′(x)=ex?1，利用導(dǎo)數(shù)即可求單調(diào)性；

(2)分a≤0和a>0兩種情況討論，當(dāng)a≤0時，f′(x)=ex?a>0恒成立，f(x)在(?∞,+∞)上單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)5.【2020全國Ⅲ卷】設(shè)函數(shù)f(x)=x3+bx+c，曲線y=f(x)在點(12,f((1)求b;(2)若f(x)有一個絕對值不大于1的零點，證明：f(x)所有零點的絕對值都不大于1．【答案】解：(1)f′(x)=3x由題意知：f′(12)=(2)由(1)可得f(x)=x由題意知直線y=c與函數(shù)y=34x?設(shè)g(x)=34x?當(dāng)x∈(?∞,?12)時，g′(x)<0

，

當(dāng)x∈(?12,12)時，g′(x)>0，

當(dāng)x∈(12,+∞)時，g′(x)<0，

故g(x)在(?∞,?12)