常微分方程 §23 恰當(dāng)方程與積分因子

§2.3恰當(dāng)方程與積分因子

11/14/2023常微分方程11/14/2023常微分方程一、恰當(dāng)方程的定義及條件如果我們恰好碰見(jiàn)了方程就可以馬上寫(xiě)出它的隱式解11/14/2023常微分方程定義1則稱(chēng)微分方程是恰當(dāng)方程.如是恰當(dāng)方程.1恰當(dāng)方程的定義11/14/2023常微分方程需考慮的問(wèn)題(1)方程(1)是否為恰當(dāng)方程?(2)若(1)是恰當(dāng)方程,怎樣求解?(3)若(1)不是恰當(dāng)方程,有無(wú)可能轉(zhuǎn)化為恰當(dāng)方程求解?2方程為恰當(dāng)方程的充要條件定理1為恰當(dāng)方程的充要條件是11/14/2023常微分方程證明“必要性”設(shè)(1)是恰當(dāng)方程,故有從而故11/14/2023常微分方程“充分性”即應(yīng)滿(mǎn)足11/14/2023常微分方程因此事實(shí)上11/14/2023常微分方程故(8)注:若(1)為恰當(dāng)方程,則其通解為11/14/2023常微分方程二、恰當(dāng)方程的求解1不定積分法例1

驗(yàn)證方程是恰當(dāng)方程,并求它的通解.11/14/2023常微分方程解:故所給方程是恰當(dāng)方程.11/14/2023常微分方程即積分后得:故從而方程的通解為11/14/2023常微分方程2分組湊微法

采用“分項(xiàng)組合”的方法,把本身已構(gòu)成全微分的項(xiàng)分出來(lái),再把余的項(xiàng)湊成全微分.---應(yīng)熟記一些簡(jiǎn)單二元函數(shù)的全微分.如11/14/2023常微分方程11/14/2023常微分方程例2

求方程的通解.解:故所給方程是恰當(dāng)方程.把方程重新“分項(xiàng)組合”得即或?qū)懗晒释ń鉃?11/14/2023常微分方程例3

驗(yàn)證方程是恰當(dāng)方程,并求它滿(mǎn)足初始條件y(0)=2的解.解:故所給方程是恰當(dāng)方程.把方程重新“分項(xiàng)組合”得即11/14/2023常微分方程或?qū)懗晒释ń鉃?故所求的初值問(wèn)題的解為:11/14/2023常微分方程3線(xiàn)積分法定理1充分性的證明也可用如下方法:由數(shù)學(xué)分析曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的定理知:11/14/2023常微分方程從而(1)的通解為11/14/2023常微分方程例4

求解方程解:故所給方程是恰當(dāng)方程.11/14/2023常微分方程故通解為:11/14/2023常微分方程三、積分因子非恰當(dāng)方程如何求解?對(duì)變量分離方程:不是恰當(dāng)方程.是恰當(dāng)方程.11/14/2023常微分方程對(duì)一階線(xiàn)性方程:不是恰當(dāng)方程.則是恰當(dāng)方程.可見(jiàn),對(duì)一些非恰當(dāng)方程,乘上一個(gè)因子后,可變?yōu)榍‘?dāng)方程.11/14/2023常微分方程1定義例5解:對(duì)方程有11/14/2023常微分方程由于把以上方程重新“分項(xiàng)組合”得即11/14/2023常微分方程也即故所給方程的通解為:2積分因子的確定即11/14/2023常微分方程盡管如此,方程還是提供了尋找特殊形式積分因子的途徑.11/14/2023常微分方程變成即11/14/2023常微分方程此時(shí)求得積分因子11/14/2023常微分方程11/14/2023常微分方程3定理微分方程11/14/2023常微分方程11/14/2023常微分方程例6

求微分方程的通解.解:由于故它不是恰當(dāng)方程,又由于11/14/2023常微分方程利用恰當(dāng)方程求解法得通解為

積分因子是求解積分方程的一個(gè)極為重要的方法,絕大多數(shù)方程求解都可以通過(guò)尋找到一個(gè)合適的積分因子來(lái)解決,但求微分方程的積分因子十分困難,需要靈活運(yùn)用各種微分法的技巧和經(jīng)驗(yàn).下面通過(guò)例子說(shuō)明一些簡(jiǎn)單積分因子的求法.11/14/2023常微分方程例7

求解方程解:方程改寫(xiě)為:或:易看出,此方程有積分因子11/14/2023常微分方程即故方程的通解為:例8

求解方程解:故方程不是恰當(dāng)方程,11/14/2023常微分方程方法1:即故方程的通解為:11/14/2023常微分方程方法2:方程改寫(xiě)為:容易看出方程左側(cè)有積分因子:故方程的通解為:11/14/2023常微分方程方法3:方程改寫(xiě)為:這是齊次方程,即故通解為:變量還原得原方程的通解為:11/14/2023常微分方程方法4: