常微分方程的數(shù)值解法簡(jiǎn)介

常微分方程的數(shù)值解法簡(jiǎn)介常微分方程的數(shù)值解法內(nèi)容初值問(wèn)題邊值問(wèn)題剛性問(wèn)題資料來(lái)源：中國(guó)科技大學(xué)課程：數(shù)值計(jì)算方法。初值問(wèn)題的數(shù)值解法對(duì)于一個(gè)常微分方程：通常會(huì)有無(wú)窮個(gè)解。如：因此，我們要加入一個(gè)限定條件。通常會(huì)在端點(diǎn)出給出，如下面的初值問(wèn)題：為了使解存在唯一，一般，要加限制條件在f上，要求f對(duì)y滿(mǎn)足Lipschitz條件：初值問(wèn)題的數(shù)值解法常微分方程的解是一個(gè)函數(shù)，但是，計(jì)算機(jī)沒(méi)有辦法對(duì)函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算。因此，常微分方程的數(shù)值解并不是求函數(shù)的近似，而是求解函數(shù)在某些節(jié)點(diǎn)的近似值。例：我們對(duì)區(qū)間做等距分割：設(shè)解函數(shù)在節(jié)點(diǎn)的近似為由數(shù)值微分公式，我們有，則：向前差商公式可以看到，給出初值，就可以用上式求出所有的初值問(wèn)題的數(shù)值解法基本步驟如下：③解差分方程，求出格點(diǎn)函數(shù)①對(duì)區(qū)間作分割：求在上的近似值。稱(chēng)為分割上的格點(diǎn)函數(shù)②由微分方程出發(fā)，建立求格點(diǎn)函數(shù)的差分方程。這個(gè)方程應(yīng)該滿(mǎn)足：A、解存在唯一；B、穩(wěn)定，收斂；C、相容數(shù)值方法，主要研究步驟②，即如何建立差分方程，并研究差分方程的性質(zhì)。這種方法，稱(chēng)為數(shù)值離散方法。求的是在一系列離散點(diǎn)列上，求未知函數(shù)y在這些點(diǎn)上的值的近似。我們的目的，就是求這個(gè)格點(diǎn)函數(shù)初值問(wèn)題的數(shù)值解法為了考察數(shù)值方法提供的數(shù)值解，是否有實(shí)用價(jià)值，需要知道如下幾個(gè)結(jié)論：①步長(zhǎng)充分小時(shí)，所得到的數(shù)值解能否逼近問(wèn)題得真解；即收斂性問(wèn)題②誤差估計(jì)③產(chǎn)生得舍入誤差，在以后得各步計(jì)算中，是否會(huì)無(wú)限制擴(kuò)大；穩(wěn)定性問(wèn)題初值問(wèn)題的數(shù)值解法1Euler公式做等距分割，利用數(shù)值微分代替導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，建立差分方程。1.1向前差商公式所以，可以構(gòu)造差分方程稱(chēng)為局部截?cái)嗾`差。顯然，這個(gè)誤差在逐步計(jì)算過(guò)程中會(huì)傳播，積累。因此還要估計(jì)這種積累初值問(wèn)題的數(shù)值解法定義在假設(shè)yi=y(xi)，即第

i

步計(jì)算是精確的前提下，考慮的截?cái)嗾`差Ri=y(xi+1)

yi+1稱(chēng)為局部截?cái)嗾`差/*localtruncationerror*/。定義若某算法的局部截?cái)嗾`差為O(hp+1)，則稱(chēng)該算法有p

階精度。初值問(wèn)題的數(shù)值解法1.2向后差商公式是隱格式，要迭代求解可以由向前差商公式求出初值問(wèn)題的數(shù)值解法1.3梯形法－基于數(shù)值積分的公式對(duì)微分方程做積分，則：初值問(wèn)題的數(shù)值解法類(lèi)似，可以算出其誤差估計(jì)式：2階的方法所以，有格式為：是個(gè)隱式的方法，要用迭代法求解局部截?cái)嗾`差初值問(wèn)題的數(shù)值解法2Runge－Kutta法一般的Runge－Kutta法構(gòu)造常見(jiàn)的為3階，4階公式初值問(wèn)題的數(shù)值解法初值問(wèn)題的數(shù)值解法3線(xiàn)性多步法用若干節(jié)點(diǎn)處的y

及y’值的線(xiàn)性組合來(lái)近似y(xn+1)。)...(...110111101knknnnknknnnffffhyyyy--+---+++++++++=bbbbaaa其通式可寫(xiě)為：當(dāng)

10時(shí)，為隱式公式;

1=0則為顯式公式。初值問(wèn)題的數(shù)值解法寫(xiě)成向量的形式：4微分方程組初值問(wèn)題的數(shù)值解法各種方法都可以直接運(yùn)用過(guò)來(lái)。Euler公式以?xún)蓚€(gè)方程的方程組為例初值問(wèn)題的數(shù)值解法Runge-Kutta公式初值問(wèn)題的數(shù)值解法初值問(wèn)題的數(shù)值解法5.高階方程