2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)專家點(diǎn)撥-函數(shù)與方程

費(fèi)g2◎北隼大隼然數(shù)學(xué)，盧

狀元必讀專家點(diǎn)撥

狀元必讀［明確離點(diǎn)且注重難總］

一、考點(diǎn)突破

二次函數(shù)是初中代數(shù)的重要內(nèi)容之一，是歷屆中考試題的重要考點(diǎn)，尤其是二次函數(shù)的

性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，在試題中經(jīng)常出現(xiàn)，題型既有選擇、填空題，也有

中檔難度的解答題，有時(shí)還與幾何部分的知識(shí)結(jié)合，作為綜合題、探究題出現(xiàn)，難度較大。

主要考查：

(1)二次函數(shù)與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和相應(yīng)一元二次方程的根的關(guān)系；

(2)二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)和相應(yīng)一元二次方程的根的判別式的關(guān)系；

(3)二次函數(shù)與相應(yīng)一元二次不等式的關(guān)系。

二、重難點(diǎn)提示

重點(diǎn)：理解二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是相應(yīng)一元二次方程的根；理解二次函數(shù)的

圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)和相應(yīng)一元二次方程的根的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系；利用二次函數(shù)的圖象求

相應(yīng)一元二次方程的近似解；利用二次函數(shù)的圖象求62+灰+。＞0、法+。＜0的

解集。

難點(diǎn)：二次函數(shù)與相應(yīng)一元二次方程的關(guān)系。

白^專家點(diǎn)撥［特離級(jí)行家傾力打宣】

一、知識(shí)脈絡(luò)圖

二、知識(shí)點(diǎn)撥

1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aWO),當(dāng)y=0時(shí)得到一元二次方程at?+bx+c-Q(a

70),那么一元二次方程的解就是二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此，二次函數(shù)的

圖象與x軸交點(diǎn)的情況決定一元二次方程的根的情況。

判別式△>0△=0△<0

111!l1y

二次函數(shù)y=ax2+bx+c

3〉0)與五軸的交點(diǎn)

/\

xf\017^2X\J.[/

0X

T.0Xl=xX

2

1iy

y’

rXE

二次函數(shù)yax2+bx+c00

(a<0)與x軸的交點(diǎn)710飛、

/1\/

/

一元二次方程有兩個(gè)不相等

芮實(shí)數(shù)根無實(shí)數(shù)根

?+bx+c=O的實(shí)數(shù)根

b

2-b±-J2b2-Aac/.必■w

(占<X。a

2.二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系

一元二次不等式?2+笈+。>0(或依2+法+0<0)的解集，即二次函數(shù)

y=ax2+bx+c(aW0)使其函數(shù)值y>0(或y<0)的自變量x的取值范圍，通過觀

察二次函數(shù)的圖象，可以看出自變量x的取值在一定的范圍內(nèi)時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的取值范

圍。反之，當(dāng)函數(shù)值y的取值在某一范圍內(nèi)時(shí)可以找出自變量x對(duì)應(yīng)的取值范圍。

判別式△>0△=0△<0

yl

1y

21

二次函數(shù)y=ax+bx+c

(a＞0)與x軸的交點(diǎn)

xko

1產(chǎn)2X\\

V

J-0

一元二次方程有兩個(gè)不相等

的實(shí)數(shù)根

axz+dx+c=0的實(shí)數(shù)根

mrb無實(shí)數(shù)根

-bt“2-Aac

Wo2a/f?-w

(X]<x2)

ax24-ix4-c>0(a>0)X<XX>X2全體實(shí)數(shù)

ltx—2a

z

ax+ix+c<0(a>0)jq<x<x2無解集無解集

狀元典上過【超空例題剖析激話解題思維】

能力提升類

3

例1在直角坐標(biāo)系中，拋物線丁=%2+如——加2(/〃＞0)與x軸交于4,B兩點(diǎn)。若

4

112

A,B兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離分別為04,OB,且滿足---------=-,求m的值。

OBOA3

3

一點(diǎn)通：設(shè)方程/+/nx-二加2=0的兩根分別為X]、X,,且須＜X2，由一元二次方

I12

程的根與系數(shù)的關(guān)系及，〃的取值范圍判斷出不＜0,々＞0,再由右-下=彳求出

I]2

OA=\xl\=-xi,OB=X2,再把。4=|xJ=—%，。8=%代入一一一五=§即可求出相

的值。

解：設(shè)方程爐.+/研—13,2=o的兩根分別為毛、/，且西＜9,

3,

則有x,+x2=-m<0,xtx2-——m~<0,

112

所以玉＜0,x,＞0,由---------=-,可知0A＞08,又加＞0,

-OBOA3

所以拋物線的對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)，于是。4=|5|=—玉，OB=x?,

.112x,+x,2

所CC以H一+一=一，n即ri」——,

%x23xtx23

-m2

故

解得加=2。

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)及一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)已知

條件求出。4=%|=—玉，08=/是解答此題的關(guān)鍵。

例2已知一元二次方程7f—（左+I3）x—左+2=0的兩實(shí)數(shù)根不、x2,滿足

1<x2<2,求實(shí)數(shù)Z的取值范圍。

一點(diǎn)通:此題單從方程的知識(shí)考慮是很難找到解決辦法的，如果把方程與函數(shù)聯(lián)系起來,

將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，問題就能迎刃而解。

解：令曠=7/一（&+13）%-4+2,則由已知條件可知|,此拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)

（王,0）,（々,0）。0<$<1,1<々<2,并且開口向上，根據(jù)這些特點(diǎn)，畫出其大致圖象

（如圖所示），由圖象可得

當(dāng)x=0時(shí),y>0,

<當(dāng)x=1時(shí)，y<0,

當(dāng)x=2時(shí)，y>0,

-k+2>0,

即<7-k-13-k+2<0,

28-2k-26-k+2>0,

4

解這個(gè)不等式組得-2<Z<—

3

點(diǎn)評(píng)：本題用到了建模的思想，即建立二次函數(shù)模型，用函數(shù)的知識(shí)解決方程問題有時(shí)

會(huì)更簡(jiǎn)單，同時(shí)本題還運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想方法，把變化的數(shù)用“形”清楚地顯示出來,

列出不等式組是解題關(guān)鍵。

綜合運(yùn)用類

例3設(shè)上是任意實(shí)數(shù)，討論關(guān)于x的方程Ji—1=x+Z的解的個(gè)數(shù)。

一點(diǎn)通：如果直接去絕對(duì)值分類討論，會(huì)非常復(fù)雜，故可以考慮借助于函數(shù)圖象利用數(shù)

形結(jié)合方法進(jìn)行討論。

解：由方程的解可以看出是函數(shù)^=,2一1］和函數(shù)y=x+左的交點(diǎn)的橫

坐標(biāo)，作出函數(shù)y=,2—］的圖象，如圖所示。

當(dāng)y=x+A處于4與4之間時(shí)，有四個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)女的值為1＜%＜：；

當(dāng)y=x+A處于4的上方(4處)或4與乙(,3處)之間時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)人的值

為一1＜%＜1或左＞*；

4

當(dāng)丁=兀+左處于4時(shí),，有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)%的值為％=—1；

當(dāng)y=%+女處于乙的下方時(shí)(4處)，無交點(diǎn)，此時(shí)攵的值為左＜—1；

故其解的個(gè)數(shù)如下：

當(dāng)左＜—1時(shí)，原方程無實(shí)數(shù)解；當(dāng)人=—1時(shí)，原方程有一個(gè)實(shí)數(shù)解；當(dāng)一1(左＜1或

人＞9時(shí)，原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解；當(dāng)&=2、k=i時(shí)，原方程有三個(gè)實(shí)數(shù)解；當(dāng)1＜%＜9

444

時(shí)，原方程有四個(gè)實(shí)數(shù)解。

點(diǎn)評(píng)：數(shù)形結(jié)合使問題變得更直觀，便于找到分類的依據(jù)和符合要求的女值。

例4設(shè)機(jī)，〃為正整數(shù)，且二次函數(shù)y=/+(3—相/)x—3帆/的圖象與x軸的

兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為4,二次函數(shù)丁=一？+(2/—〃)x+2m的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的

距離為辦。如果4Nd?對(duì)一切實(shí)數(shù)"亙成立，求加，〃的值。

一點(diǎn)通：先分別求出一元二次方程/+(3—皿)x—3加=0和方程一/+(2^-/7)x+

2加=0的根，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出①、力的值，再根據(jù)42必即可得到關(guān)于血,

n的不等式，求出m,〃的值即可。

解：:一元二次方程/+(3—mt)工一3〃"=0可化為Cx—int)(x+3)=0,

**?此方程的兩根分別為mt和-3,

d\=\mt+3\；

「一元二次方程一如十(2f—〃)工+2〃，=0可化為(x—2/)(x+n)=0,

?,?此方程的兩根分別為2/和一〃，

.\d2=\2t+n\o

■di*2,即|皿+31212f+川，

222

A|n?r+3||2/+/?|,(/n—4)1+(6/n—4H)t+9—n2^0①

由加工2題意知，n?—4W0,且①式對(duì)一切實(shí)數(shù)f恒成立，

m2-4>0]機(jī)>2[/n>2

(6m-4/?)2-4(/M2-4)(9-/?2)<0[4(??m-6)~<0[/wn-6=0

m=3[m=6

或〈。

n-2[/?=1

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)問題，先求出兩函數(shù)與x軸的交點(diǎn),

再根據(jù)題意得到關(guān)于〃、機(jī)的不等式是解答此題的關(guān)鍵。

思維拓展類

例5已知/+力2=1,對(duì)于滿足條件x+y=l,盯NO的一切實(shí)數(shù)對(duì)(x,y),不等

^ay2-xy+bx2>0①恒成立。當(dāng)乘積4匕取最小值時(shí)，求力,〃的值。

一點(diǎn)通：首先利用條件x+y=1可將不等式①轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量x的一元二次不等式，

再利用二次函數(shù)的知識(shí)來進(jìn)行分析和求解。

解：由x+y=l,孫NO可知OWxWl,0<y<1o在①式中，令x=0,y=l,

得a20；令x=l,y=0得。20。

將y=l—x代入①式，得

a(l—x)—-%(1—x)+bx~20,

即(1+a+人)％2-(2a+1)龍+a20。②

易知1+。+/?>0,0<—^^—<1,故二次函數(shù)歹=(1+。+匕)--(2。+1)%+。

2(1+a+Z?)

的圖象(拋物線)的開口向上，且頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在0和1之間。

由題設(shè)，知不等式②對(duì)于滿足條件0<%<1的一切實(shí)數(shù)x恒成立，所以它的判別式

1

△=(2a+l)92-4(l+a+力)?〃4()，即

4

a2+b2=1,

由方程組，1③

ab=—,

I4

消去。，得16。4-1機(jī)/2+1=0,

由［、］22—5/3T22+y/~3

所以。=------或。=-------O

44

又

V6—V2V6+V2

所以a=-------或Q=-------o

44

于是方程組③的解為

fV6-V2V6+V2

a=----------,(a=----------

4-p.4

<或<

〃屈+啦,屈—V2

b=----------ib------------

4I4

所以滿足條件的。力的值有兩組，分別為4=遙—四，b=G6和

44

A/6+V2V6—V2

a=--------，b=---------。

44

點(diǎn)評(píng)：首先確定出0為后面的分析做鋪墊，利用二次函數(shù)的知識(shí)得到關(guān)系

式a。21是求解的關(guān)鍵。

4

狀元造記【萬潮招及叼總結(jié)】

1.二次函數(shù)y=ax2+"+c（awo）的圖象與％軸的交點(diǎn)有三種情況：（1）當(dāng)

4ac>0時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）當(dāng)。2-4ac=0時(shí)有一個(gè)交點(diǎn)；（3）當(dāng)。2-4ac<0時(shí)沒

有交點(diǎn)。

2.當(dāng)二次函數(shù)y=a/+6x+c（aH0）的圖象與％軸有交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是當(dāng)

y=0時(shí)自變量x的值，即一元二次方程ax2+bx+c^O的根。

3.一元二次方程的圖象解法體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法，我們從中可以發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)與

一元二次方程之間的必然聯(lián)系，一元二次方程是二次函數(shù)的特殊情況（即y=0時(shí)的情況）,

一方面，我們可以利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的根，另一方面，也可以借助一元二

次方程的根來判斷圖象的位置，這樣使所畫的拋物線比較準(zhǔn)確。下面提供三種方法求一元二

次方程的近似解：

（1）直接作函數(shù)丁=。/+4c+c的圖象，則圖象與*軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程

ax2+bx+c=O的根。

（2）先將方程變?yōu)镚?+法=一c,再分別作拋物線丁=〃工2和直線y=-c,則

兩圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程+以+c=0的根。

（3）先將方程變?yōu)槿纾?—方―。，再分別作拋物線y=a/和直線y=—法—c,則

兩圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程以2+法+。=0的根。

4.利用函數(shù)性質(zhì)來解決生活中出現(xiàn)的實(shí)際問題，要注意自變量的取值范圍和實(shí)際意義。

高頻疑點(diǎn)【網(wǎng)員用Q問題透視】

問題：拋物線y=f—4x—5與x軸交于點(diǎn)A、8,點(diǎn)P在拋物線上，若鉆的面

積為27,則滿足條件的點(diǎn)P有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

一點(diǎn)通：由y=0,可求得A,3兩點(diǎn)的坐標(biāo)，也就求得了A3之間的距離，根據(jù)△Q48

的面積為27,可得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，代入函數(shù)解析式可得點(diǎn)P的個(gè)數(shù)。

解：?.?拋物線y=f-4x-5與x軸交于點(diǎn)A、B.

0=X?—4x—5,

.?%=-1,%2=5,

AB=5—（—1）=6,

?.?△Q鉆的面積為27,

.?.點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為2X27+6=9,

①當(dāng)縱坐標(biāo)為9時(shí)，

X2-4x—5=9,

2

X-4X-14=0,

A>0,

二在拋物線上有2個(gè)點(diǎn);

②當(dāng)縱坐標(biāo)為—9時(shí)，

4x-5=-9,

X2-4X+4=0

△=0,

在拋物線上有1個(gè)點(diǎn)；

,滿足條件的點(diǎn)P有3個(gè)，故選C。

錯(cuò)因分析：本題易出錯(cuò)的地方是，沒有正確地理解9是點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，從而

忘記討論縱坐標(biāo)是-9這種情況。

狀元試題【其成黃練，功壬狀元】

(答題時(shí)間：50分鐘)

1.已知拋物線y=--8-1與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(m,0),則代數(shù)式機(jī)2—〃z+2010的

值為()

A.2008B.2009C.2010D.2011

2.已知拋物線y=ox?+bx+c(a>0)的對(duì)稱軸為直線x=-l,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為

(x,,0),且0<玉<1,下列結(jié)論：①9a-3/7+c>0；?b<a；?3a+c>0；其中正

確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

3.已知二次函數(shù)y=—/+2(m—1?+2加—加之的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則此圖象的頂點(diǎn)

A和圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)B,C構(gòu)成的AABC的面積是()

13

A.-B.1C.-D.2

22

4.二次函數(shù)y=a/+ox+c的圖象永遠(yuǎn)在x軸上方的條件是()

A.a>0,b2-4ac>0B.a>0,b~-4ac<0

C.a<0,/?2-4?c>0D.a<O,b~-4ac<0

*5.設(shè)關(guān)于x的方程ax?+(a+2)x+9a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根當(dāng)，/，且

x,<1<x2,那么a的取值范圍是。

*6.方程W(x—1)—%=()有三個(gè)不相等的實(shí)根，則女的取值范圍是。

7.已知點(diǎn)A(1,0)、B(2,0),若二次函數(shù)y=r+(q-3)x+3的圖象與線段AB

只有一個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍是。

*8.〃？和“為何整數(shù)時(shí)，方程2/一2/收+〃=0的兩根xt,x2滿足

1<%,<2,2<x2<3?

*9.為使方程,2一2島+"=美x+b有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求人的取值范圍。

*10.設(shè)〃是實(shí)數(shù)，二次函數(shù)y=—-2px—〃的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A(x”0)、

B(X2,0)o

(1)求證：2pX]+x；+3p>0；

(2)若A、B兩點(diǎn)之間的距離不超過|2p-3|,求〃的最大值。

**11.對(duì)a>。>c>0,有拋物線y=x2~(a+b+c)x+(ab+bc+ac),,

(1)若拋物線與x軸有交點(diǎn)，求證：以a,b,c為邊不能構(gòu)成一個(gè)三角形;

(2)若拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為須)，求證：b+c<x0<a；

(3)當(dāng)方程有實(shí)根6,9時(shí)，求正整數(shù)a,仇c的值。

小率體理性格，細(xì)節(jié)決定命運(yùn),

f等試題答案

1.D解析：因?yàn)辄c(diǎn)(加,0)是拋物線y=/—x—l上的點(diǎn)。所以代入此函數(shù)關(guān)系式得

m2—m-1=0,即一〃2=1,所以〃/一加+2010=2011。故應(yīng)選擇D。

2.C解析：因?yàn)椤?=-1,所以。=2”。因?yàn)閍>0,所以6>“，由已知條件可大

2a

致畫出二次函數(shù)的圖象，由圖象可知當(dāng)x=-3時(shí)，y>0,即9a—3b+c>0,所以

9a-3x2a+c>0,即3a+c>0,故①，③正確，②錯(cuò)誤，故應(yīng)選擇C。

3.B解析：由此函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以m―1=0,即〃2=1,所以該二次函數(shù)

解析式為了=一一+1。令y=0,則一，+1=0,即V—1=0,所以*=±1。所以BC

—1—(—1)—2,即SA/18c=gx2x1=1。故應(yīng)選擇B。

4.B解析：由二次函數(shù)y=a%2+ox+c的圖象永遠(yuǎn)在％軸的上方，則有且

b2-4ac<0,即函數(shù)圖象開口向上，且不會(huì)與x軸相交，故應(yīng)選擇B。

22

5.——<a<0解析：awO,記y=/+(l+—)x+9,則它的圖象是開口向上的拋

11a

22

物線，因?yàn)榘?lt;1<%2，故當(dāng)x=l時(shí)，y<0,即1+(1H—)+9<0,解得----<<0o

a11

6.-；<k<0解析：原方程變形為W(x—1)=%。

—[x2-x,x>0,

令必=忖(工一1)=19

<0.

,2=k。

11

如圖，其圖象分別為G、Co函數(shù)y=x92—x(九20)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(一,——)。由圖象

224

知，當(dāng)一!<%<0時(shí)，直線C2與曲線Cl相交，有三個(gè)不同的交點(diǎn)。

7.—1〈?！匆?或者〃=3-2百解析：分兩種情況：

2

(1)因?yàn)槎魏瘮?shù)y=x2+(“—3)x+3的圖象與線段AB只有一個(gè)交點(diǎn)，且A(l,0)、

B(2,0),則卜+(a-3)xl+3]x(22+(a—3)x2+3]40,解得-iWaW-；。

由儼+(。-3)xl+3=0,得a=—1,此時(shí)，/=1,乙=3符合題意；

,13

由2~+(a—3)x2+3=0,得。=—，此時(shí)，x,=2,x=—,不符合題意。

222

所以—1?Q<--o

2

2

(2)令x+(Q—3)x+3=0,由判別式△=(),得Q二3±2，§\

當(dāng)。=3+2后時(shí)，%,=x2=-V3,不符合題意；

當(dāng)。=3-2^/3時(shí)，x}=x2=V3,符合題意。

綜上，。的取值范圍是—lWa<—,或者〃=3-2仃。

2

8.解：設(shè)y=27-2mr+〃，二次函數(shù)y=2/-2/nx+〃的兩根匹，與滿足條件

1<<2,2<x2<3,必須同時(shí)滿足：

<A=4m2-8〃>0,①

/(I)=2-2m+/!>0,②

/(2)=8-4m+H<0,③

1/(3)=18—6m+>0,④

②一③，得一6+2機(jī)20,所以加之3；

③一④，得一10+2加<0,所以〃z<5。

所以34/nv5,即〃2=3或4。

把m=3分別代入②③④，得〃二4。

把機(jī)=4分別代入②③④，得〃=7或8。

再把各組機(jī),拉值代入①。

當(dāng)根=4,〃=8時(shí)，A=0,故舍去。

772=3111=4

所以所求相，〃的值是1，或<'

〃=4n=l.

9.解：方程,2-2瓜+l|=g+b的實(shí)根就是函數(shù)y=——2岳+:與

y=*x+匕的圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)?，F(xiàn)作函數(shù)y=|x2-2岳+，與y=5尤+方的圖象,

如圖，這里6取不同的值，直線/也就不同，但這些直線是互相平行的。

從圖中可以看出/介于4和乙之間時(shí)，這條直線才與函數(shù)y=產(chǎn)—2?+的圖象有4

卜2—2島+1|=+%+〃有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，4過點(diǎn)P,可求出6的表

個(gè)交點(diǎn)，即方程

....1V3-V213-76

達(dá)式