2022-2023學(xué)年云南省保山市成考專升本高等數(shù)學(xué)一自考真題(含答案)

2022-2023學(xué)年云南省保山市成考專升本高

等數(shù)學(xué)一自考真題（含答案）

學(xué)校:班級(jí):姓名:考號(hào):

一、單選題（50題）

1.若f（x）為［a,b］上的連續(xù)函數(shù)，則f〃x）』-⑺dr（）o

A.小于0B.大于0C.等于0D.不確定

設(shè)f（x）為連續(xù)函數(shù)，則2=

A.f(x)+CB.f(x)+C

C./(x)D.f(x)

設(shè)區(qū)域0={(x,y)IO《xWl,O《y《2},則JJdxdy=

n

A.4B.3

C.2D.1

二次枳分['L['f(x,y)dy等于

A.|d1ylv)dr

八J0

B.|

C.[djj/(Xfy)dz

4D?Ldyj。fCr'y)ck

rsmX

X#0

/(久)=,x2

5.設(shè)函數(shù)a，*二°；在x=0處連續(xù)，則等于()。

A.2B.l/2C.lD.-2

6.

下列方程中是一階線性微分方程的為

A.xy'+y2=x

B.y+xy—sinx

C.yy'=x

D./+H=cosy

已知區(qū)域D=1-11,-141),則jJzcLrdy

7.D

A.OB.lC.2D.4

A.A.連續(xù)點(diǎn)

間斷點(diǎn)，limf(x)與都存在，且相等

B.xWi-M>*

〃間斷點(diǎn)，lim/(x)與lim/(外都存在，但不相等

C.xM“TO*

間斷點(diǎn)，lim/(x)與lim/(x)都不存在

D.1M.1-M)4

9.設(shè)f(x尸Lcos2x,g(x)=x2,則當(dāng)x―0時(shí)，比較無窮小量f(x)與g(x),

有

A.f(x)對(duì)于g(x)是高階的無窮小量

B.f(x)對(duì)于g(x)是低階的無窮小量

C.f(x)與g(x)為同階無窮小量，但非等價(jià)無窮小量

D.f(x)與g(x)為等價(jià)無窮小量

，2工+1)也等于().

A.2a'+x+CB.x+x+CC.2x+C

11.微分方程y'-y=o的通解為（）.

A.y=ex+C

B.y=e-x+C

C.y=Cex

D.y=Ce-x

…設(shè)函數(shù)k/+l,則乎=,?3

12.drA.3

B.x2

C.2x

?巴RMr-

-e2,dx

A.A.2

D「2e3

14.若xo為f(x)的極值點(diǎn)，則()

A.A.f(xo)必定存在，且f(xo)=0

B.f(xo)必定存在，但f(xo)不一定等于零

C.f(x。)可能不存在

D.f(xo)必定不存在

15.

下列命題中正確的為

A.若方為/'(幻的極值點(diǎn)，貝IJ必有f'(Xo)=O

B.若/'*0)=0,則點(diǎn)/必為f(x)的極值點(diǎn)

C.若f(x)在(。力)內(nèi)有極大值，也有極小值，則極大值必定大于極小值

D.若f(x)在點(diǎn)0處可導(dǎo)，且點(diǎn)飛為f(x)的極值點(diǎn)，則必有7(%)=0

16.如圖所示，在半徑為R的鐵環(huán)上套一小環(huán)M,桿AB穿過小環(huán)M并

勻速繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，已知轉(zhuǎn)角(p=(ot(其中(0為一常數(shù)，(p的單位為rad,

t的單位為s),開始時(shí)AB桿處于水平位置，則當(dāng)小環(huán)M運(yùn)動(dòng)到圖示位

置時(shí)(以MO為坐標(biāo)原點(diǎn)，小環(huán)Md運(yùn)動(dòng)方程為正方向建立自然坐標(biāo)軸),

下面說法不正確的一項(xiàng)是()。

8

鹿7圖

A.小環(huán)M的運(yùn)動(dòng)方程為s=2Rcot

B.小環(huán)M的速度為"分23

C.小環(huán)M的切向加速度為0

D.小環(huán)M的法向加速度為2R(o2

函數(shù)/(x)=±生。的間斷點(diǎn)

17.x+l

A.A,僅為x=+lB.僅為x=0C僅為x=-lD.為x=0,±1

18.下列函數(shù)在指定區(qū)間上滿足羅爾中值定理?xiàng)l件的是()o

A

B.f1

C.■sin€

D."l/U6L-l.L

1gJ,24等于(4—+C

s(nxA?sinx

1--人

---

B.smx

C.-cotx+C

D.cotx+C

20.

;，:-n21.則/等于(),

??n?2xB.e*os2xC.-二IX

lim-------=

x一x

A.2B.1

C.-D.0

21.2

22.：："，r>,-2i.?的凸區(qū)|lfi(

A.(-2,2)

B.(-oo,0)

C.(0,+oo)

D.(-oo,+oo)

23.曲線y=x-ex在點(diǎn)(0,-1)處切線的斜率k=

A.A.2B.lC.OD.-l

A.A.3B.lC.l/3D.O

設(shè)f(x)在點(diǎn)x=2處可導(dǎo)，且/'(2)=1,則lim，⑵二,生心

25.I2A

A.A.lB.2C.l/2D.-l

26.

設(shè)抖、力是二階常系數(shù)線性齊次方程y"+P7'+P2y=0的兩個(gè)特解，G、J為兩

個(gè)任意常數(shù)，則下列命題中正確的有

A.G%+G%為該方程的通解B.C1H+C2為不可能是該方程的通解

c.+C2力為該方程的解D.Gx+Gy?不是該方程的解

27.設(shè)回?cái)?shù)八力一工.則不定取分J/ao&等于()

A.A.sinx+C

B.cosx+C

C.-sinx+C

D.-cosx+C

28.對(duì)于微分方程y”-2y，+y=xex,利用待定系數(shù)法求其特解y*時(shí)，下列

特解設(shè)法正確的是()0

A.y*=(Ax+B)ex

B.y*=x(Ax+B)ex

C.y*=Ax3ex

D.y*=x2(Ax+B)ex

29.

設(shè)￡(-1)"-)滿足a”>a〃+i>0，n=l,2,????且lima”=0,則該級(jí)數(shù)

n-l

A.必條件收斂

B.必絕對(duì)收斂

C.必發(fā)散

D.收斂但可能為條件收斂，也可能為絕對(duì)收斂

30.微分方程y'+y=°的通解為丫二

Ae'+C

B.-ex+C

C.Cex

D.Cex

卜列等式成立的是

sinx

B.hm-

IX

sinx

D.hm------

x

32.

若y=ksin2x的一個(gè)原函數(shù)是48s2x，則廣

dr/(x,y)dx

''：等于0.

33.交換二次積分次序

R-i-

設(shè)=Jx+1x*在x=T處連續(xù)，則。=

34.Lx~()o

A.-2B.-lC.OD.2

35.設(shè)y=f(x)在［0,1］上連續(xù),且f(0)>0,f(l)<0,則下列選項(xiàng)正確的是

A.f(x)在［0,1］上可能無界

B.f(x)在［0,1］上未必有最小值

C.f(x)在［0,1］上未必有最大值

D.方程f(x)=O在(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根

「廣(2工)也

36.設(shè)F(x)為連續(xù)函數(shù)，則)。等于()

/(2)V(0)

A.A.

v［/(DV(0)］

B."

C.2

n/(DV(0)

37.

設(shè)平面n1：2x+y+4z+4=0

n2:2x-8y+z+1=0

則平面%與電的位置關(guān)系是

A.相交且垂直B.相交但不垂直

C.平行但不重合D.重合

38.

co

】imu”=0是級(jí)數(shù)收斂的

L8

A.充分條件

B.必要條件

C.充分且必要的條件

D.既非充分也非必要

39.

/(X)=酗+(一心有()個(gè)間斷點(diǎn)。

A.lB.2C.3D.4

40.

若直線/與OX軸平行，且與曲線了=*-6、相切，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為

A.(1,1)B.(-1,1)

C.(0,-1)D.(0,1)

41.設(shè)Y=e-3x,則dy等于().

A.e-3xdx

B.-e-3xdx

C.-3e-3xdx

D.3e-3xdx

42.點(diǎn)(-1,-2,-5)關(guān)于yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)是()

A.(-l,2,-5)B.(-l,2,5)C.(l,2,5)D.(l,-2,-5)

設(shè)，Gu)=l?則lim1“1等于

A—n

A.3

B.2

C.1

43.D?1/2

44()

A.A.I."

B.

)<L

()o

AM

B.e2

C.e3

D.e6

曲線y=上的水平漸近線為

2+x

A.x=-2B.x=2

C.y=1D.y=-2

46.

j,ctra為非零常數(shù))等于

A.k

B.0

C.K(a-6)

47D.k(b-a)

48.設(shè)函數(shù)f(x)=2sinx,則f(x)等于().

A.2sinxB.2cosxC.-2sinxD.-2cosx

■?sin2x

lim-------=

…x

A.2B.1

49.c.0D.-1

設(shè)］而足（1+就）

=2,則6=

x—0JC

A.2B.lC.l/2D.-2

二、填空題（20題）

C1微分方程y'=o的通解為

51.

52.設(shè)丫=8$3乂，貝IJy'=o

設(shè)函數(shù)，求--------------

53.

54.

㈣1+:產(chǎn)=--------.

55.設(shè)yi(x)、yz(x)是二階常系數(shù)線性微分方程y〃+py，+qy=O的兩個(gè)線

性無關(guān)的解，則它的通解為.

函數(shù)/(x)=2arctanx-』lna+x2)的單調(diào)增區(qū)間是________.

56.2

57.￡"T+2)dx=----------.

lim(尹)，二.

58.112-xj-------------

科級(jí)數(shù)￡工的收斂半徑是___________

59.*=i"+1

60.；了廳程''=。的通斛為?

61.過點(diǎn)Mo(l,2,-1)且與平面x-y+3z+l=0垂直的直線方程為

，-設(shè)2=/(/+齊.)可微，則察=.

62.ay--------------------------------------------------

63.

將e*展開成x的零級(jí)數(shù)，則展開式中含/項(xiàng)的系數(shù)為.

64.微分方程y?=0的通解為.

佟二_________

65.4-X

J(e*—1)d/

若/(J-)="-Js?丁大。,在工=0處連續(xù),則a=

66.，?1=。

67.

設(shè)z=ln(x—，則dz=.

］他,

OO..1?X

69.

函數(shù)/(x)=Inarcsinx的連續(xù)區(qū)間是.

設(shè)/(x)為連續(xù)函數(shù)，=/(1)=1.則lim，("二1=

70.Jx-l

三、計(jì)算題(20題)

71.求函數(shù)f(x)=x3-3x+l的單調(diào)區(qū)間和極值.

72.證明：當(dāng)4>1時(shí).x>l+lnx.

arcsinxdx.

74.

設(shè)區(qū)域D為:/+V44少20，計(jì)算JV^+yzdxdy.

D

求耶級(jí)數(shù)￡2””的收斂區(qū)間（不考慮端點(diǎn)）.

75.

76.設(shè)z=z（7）是由方程八）"=0所確定的隱函數(shù)，求黃

77.研究級(jí)數(shù)上的收斂性（即何時(shí)絕對(duì)收斂，何時(shí)條件收斂，何

時(shí)發(fā)散，其中常數(shù)a>0.

78.當(dāng)x—O時(shí)f（x）與sin2x是等價(jià)無窮小量，貝!|

79.求曲線'=3+2在點(diǎn)（1,3）處的切線方程.

80.設(shè)平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為15x2+y2W4,x>0,y>0,

其面密度

u（x,y）=2+y2,求該薄板的質(zhì)量m.

81.計(jì)算產(chǎn)於

82.將f（x）=e-2X展開為x的嘉級(jí)數(shù).

83.求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間，并求該曲線在點(diǎn)（1,1）處的切線1的

方程.

84.求微分方程'"+3一+2v=o的通解.

85.已知某商品市場(chǎng)需求規(guī)律為Q=lOOe-o-25p,當(dāng)p=10時(shí)，若價(jià)格上漲

1%,需求量增（減）百分之幾？

86.計(jì)算（中也

C、22

87.求函數(shù)/（，）一1一的單調(diào)區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).

88.求-階線性微分方程y'-；y=x滿足初始條件yI..,=0的特解,

89.設(shè)拋物線Y=l-x2與x軸的交點(diǎn)為A、B,在拋物線與x軸所圍成的

平面區(qū)域內(nèi)，以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD（如圖2-1所

示）.設(shè)梯形上底CD長(zhǎng)為2x,面積為

S（x）.

⑴寫出S（x）的表達(dá)式；

（2）求S（x）的最大值.

90.求微分方程y"-4y，+4y=e"x的通解.

四、解答題（10題）

91.

求/（x）=3,在工=一3處的騫級(jí)數(shù).

設(shè)離型變量X的分布列為：

X124

P0.2a0.4

（1）求常數(shù)a的值

92.（2）求x的期望EX

93.

求微分方程y'-4y'+4y=ed滿足初始條件=1、外必=1

的特解.

94.

設(shè)/（工）=j；'e，0r>dy,求］，（工）此（提示：利用二重積分交換順序去計(jì)算）.

95求微分方程町'-y=x2的通解.

96.

設(shè)/(n)=J；tann；?k,計(jì)算“3)+f(5)的值.

97.求由曲線xy=l及直線y=x,y=2所圍圖形的面積A。

98.

露

求lim----------?

zox-sinx

Jxdxdy

99.計(jì)算"，其中區(qū)域D滿足x2+y2q,x>0,y>0.

4I.sinx-x

----2~?

100.(本題滿分8分)…,

五、高等數(shù)學(xué)(0題)

101.要造一個(gè)容積為4dm2的無蓋長(zhǎng)方體箱子，向長(zhǎng)、寬、高各多少dm

時(shí)用料最省？

六、解答題(0題)

102.設(shè)z=z(x,y)由方程z3y-xz-l=0確定，求出。

參考答案

1.C

［解析］由于八外為g,可上的連續(xù)函數(shù)，因此［‘八外山存在，它為個(gè)研

定的常數(shù).由定枳分與變量無關(guān)的性質(zhì)，可知f/a)<k=f/(nd/,因此選c.

2.c［解析1山不定積分的性質(zhì)知選c.

［解析］JJdxdy=￡dxdy=x|'(-y|^=2,所以選C.

3.C?

4.A

5.C

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為函數(shù)連續(xù)性的概念。

lii^x)=lim=lim^-=1,

.t-*0x-*04-x-*0

由于/(0)=a?

lini^x)=/(0)

f(x)在點(diǎn)x=0連續(xù)，因此I，故a=L應(yīng)選C。

6.B

7.A

本題考查了二重積分的知識(shí)點(diǎn)。

D

8.C

解析：

lim/(x)=lim」一=1,

x*I+x

lim/(x)=lim(x-l)=-l.

可知lim/(x)與lim/(外都存在，但不相等，因此不存在，點(diǎn)x=0為/(x)

x-KT*3

的間斷點(diǎn)，因此選C.

9.C

10.B

【答案】B.

【解題指導(dǎo)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)為不定積分運(yùn)算.

J(2x+1)dx=J2xdx4-Jdx=x2+x+C.

因此選B.

ll.C所給方程為可分離變量方程.

立.

分離變H=dx.

y

兩端分別積分簿邛X,

Iny=x+C],

因此,算二Ce'.故選C.

v=/+1?.孚=2-r.

12.Cdr

13.D

y=e'2x,y'=(e'2x)'=e2x(-2x),=-2e-2x,dy=y*dx=-2e'2xdx,故選Do

14.C

15.D解析

由極值的必要條件知D正確.A]/X，'"")

y=lxl在x=0處取得極值，但不可導(dǎo)，知A不

--------------1-------------1-------------

正確."

y=9在9=0處導(dǎo)數(shù)為0,但5=0不為它的極值

點(diǎn)，可知B不正確.

如右圖所示，玉為函數(shù)y=〃x)的極大值點(diǎn)，X?為f(x)的極小值點(diǎn)，且『&2)>/(西),

可知C不正確.

因此選D.

16.D

17.C

函數(shù)人力=生3的間斷點(diǎn)為其分母值等于0的點(diǎn)，即Kl=0,x=-l,因此選C.

x+1

18.C

19.C本題考查的知識(shí)點(diǎn)為不定積分基本公式.

由于[:2dx=-cotx+C.

isinx

可知應(yīng)選C.

20.D

?二5ft的如雙點(diǎn)為坂合闕數(shù)求崢數(shù)的展式法則.

v=sin2f,

?'=<5(2x),(2.r)*=2c<>*2<

■■它3D.

I解析I當(dāng)XT8時(shí)，sinx不存在極限，但它為有界變敬，而,為無窮小盤,

X

山“有界變量與無窮小盤之積為無窮小林”的性質(zhì)可知選D.

這個(gè)題表明：既要注意無要極限的形式，又要注意其條件.

乙?\J

22.A

23.C

y=x-eT,y=l-eJ.由y'|z)=0,可知應(yīng)選C.

24.A

利用等價(jià)無窮小代換當(dāng)XTO時(shí)，sinx-x,

因此lim普士=lim.=3.

*->0xli-H)

或利用重要極限公式

22

sin3x.?3sin3x.在江A

vhm——-=hm-----=-=3.故近A.

IU5i3V

25.C

由于八2)=1,則

|im/(2)-/(2jO,litn/(2^)-/(2).I=l/w=1,因此選c.

A~*O2hJ?！猦222

26.C解析

由線性方程解的結(jié)構(gòu)定理應(yīng)選c.僅當(dāng)無、比為線性無關(guān)特解時(shí)，

A才正確.

27.A

28.D

特征方程為r2-2r+l=0,特征根為r=l(二重根)，f(x)=xex,a=l為特征

根，因此原方程特解y*=x2(Ax+BW，因此選D。

29.D解析

級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，由題設(shè)條件可知其收斂.如￡(-1)1人條件收斂，

n.ln

??1

與絕對(duì)收斂，因此選D.

In

30.C

所給方程為可分離變最方程.

分離變量^=-dx,

y

兩端分別積分J^=-fdx,

Iny=-x+G,

y=e-"G=Ce-*,故選C.

lim任±=lim±=O,可知A不正確.

x*TOx

lim電產(chǎn)=Iim4=8,可知B不正確.

x-?0x->0x，

lim^￡=lim-=l,可知C正確.

jr-*Oxx3x

lim=lim-sinx=0,可知D不正確.因此選C.

31.C解析：，一x

2

由于-cos2x為Msin2x的原函數(shù)，因此

3

(2-I'4.c

—cos2x=—sin2x=ffsmzx

13J3

“可知*=-2，應(yīng)選D?

32.D解析：3

33.B

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為交換二次積分次序.

由所給二次積分可知積分區(qū)域D可以表示為

l<y<2,y<x<2,

交換積分次序后，D可以表示為

l<x<2,l<y<x,

故應(yīng)選B.

34.A

lim/(x)=lim------=lim(x-l)=-2.

*->-lJT-lx+1

因?yàn)?(力在x=-l處連續(xù)，因此==a=-2,故選A.

Xf-1

35.D

36.C

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為牛-萊公式和不定積分的性質(zhì).

廣(2*)d(2*)=—/,(2x)

)2

可知應(yīng)選C.

平面nx的法線向量叫=(2,1,4),平面42的法線向量叼=(2,-8,1),

n,n2=0.可知兩平面垂直，因此選A.

38.B

f(r\-imA+]____

39.C~Vx=O,1,2,是f(x)的三個(gè)孤立間斷??.有

3個(gè)間斷點(diǎn)。

40.C解析：

y=x-e\/=l-e?,由于切線與Ox軸平行，因此斜率等于零，

從而有1—e*=0

可解得9=0,代入丁nx-e*得兀=-1,因此切點(diǎn)為(0,-1),可知應(yīng)選C.

41.C『=(e3V=e”?(-3x)'=-3e-”,dy=y'<k=-3e』dx故選C

42.D關(guān)于yOz平面對(duì)稱的兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，故選Do

43.B

44.A

45.A

limCl-2x)*=lim>[1-2x)]-a>=e^,因此選A.

［解析】y=J-

2+x

Um—=1,可知y=l為曲線的水平漸近線，因此選C.

46.Cz2+x

47.D

48.B本題考查的知識(shí)點(diǎn)為導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算.

f(x)=2sinx,

f(x)=2(sinx)~2cosx.

可知應(yīng)選B.

49.C1解析)理哼=理￡=四x=0'所以選c

50.A

本題考查了等價(jià)無窮小的代換的知識(shí)點(diǎn)。

當(dāng)x-*0時(shí)，ln(l+fer)?for,故lim'"工)=lim—=6=2.

x-*0JCx-*0JC

51.

j=G-^Ca.r

52.-3sin3x

53.

~r~r(2-lnx)

xlnx

54.

55.由二階線性常系數(shù)微分方程解的結(jié)構(gòu)可知所給方程的通解為

y=C*(x)+C,y,(x)其中Ci,C2為任意常數(shù).

56.(-oo2)

57.

58.e；本題考查的知識(shí)點(diǎn)為極限的運(yùn)算.

1?/2+x\x

-Ilim(1+x)~

注意：一。12一切可以變形，化為一。形式的極限.但所給

極限通?？梢韵茸冃危?/p>

14

僚析…二3

lim=lim=1=p,所以/?=—=1.

?一?*1p

59."+1

60.

j=G.

顯法指導(dǎo)：本題號(hào)傷的知識(shí)點(diǎn)為微分方程通解的概念?

一:分方程為y,=o.

lv=0.

-x---1-=i-y-----2-=-z--+--1----x---1-=-y----2--=-z--+--1-

61.1-131-13

62.

2yfi----=/i?2y+/e7?（一宗）=2"一專e：/?.

yoy2\y/y

63.

【解題指導(dǎo)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)為賽級(jí)數(shù)的展開?

由于

可知展開式中/的系數(shù)為

—1=—1.

3!6,

【錯(cuò)誤防范】級(jí)數(shù)部分是考生的薄弱環(huán)節(jié)，這是以往教學(xué)中的問題，為了能取得好成績(jī)，考

生應(yīng)依考試大綱全面復(fù)習(xí)。由試題可以看出，只要考生知道e、的展開式，問題則可解，此題只是

檢查考生是否知道這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，但是在實(shí)際考試中得分率很低.

64.y=Cl

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為微分方程通解的概念.

微分方程為/=0.

dy=0.y=C.

65.-ln|3-x|+C

,2

f(e—Ddr2_.29

lim/(x)=lim----------=limr----=lim--J--=0,

nnC又f(0)=a.則若/(J-)在上=0連續(xù)，應(yīng)有a=0.

67.

68.

*

69.(01]

70.1

71.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

(-8.+8)J'(x)二3/-3.

令，'(*)=0.得酢點(diǎn)彳,=-1.羽二1.列衰得

X(-?,-1)-1(-I.D1(1,+8)

/,(*)0-0

0-1

/U)Z

為極大（ft為極小值

函數(shù)/（X）的單調(diào)增區(qū)間為（-8,-1],[!,+?）.

函數(shù)/（X）的冷謂減區(qū)間為[-14].

/,（-!）=3為極大值為極小侑.

注意

如果將（-8「1】寫成（-8「|）.將（1,+8）寫成（I.+8）,格寫成（-1J）也對(duì).

72.

設(shè)/(x)=x-”lnx.則/(工)的定義域?yàn)?0,+8).

/*(?)=I-.

r

令y*=0得*=1.

當(dāng)X>1時(shí)，(*)=l-y>0.可知/(X)單遍增加.

由于/(1)=0,可知當(dāng)*>1時(shí)J(x)i/(l)=0,從而x-l-lnx>0.即

73.

設(shè)u=arcsinx,v'=1,則

Jarcsinxdx=xarcsinx-

=xarcsinx+(1-x2)--d(I-x1]

=xarcsinx+J\-x2+C.

74.

解利用極坐標(biāo)，區(qū)域D可以表示為

04夕《兀,04廠《2,

5g+收必=（肛dr

解利用極坐標(biāo)，區(qū)域D可以表示為

O&G&n.O&廠42,

j+)2"dy=Jdr

=舄心

8

7苧=

解:

75.

由2|x:|<l可解得I1

故所給級(jí)數(shù)收斂區(qū)間為修，3

76.

利用隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)公式，記

F(x.y.z)=x'+y'-e',

則

F：=2x.F：=-e1

：

-d-z二-.F..=-2--x,

axFl/

77.

【解析】記“”=(-1廣’二.則iu」=士,從而知y?u.?=y-?為戶級(jí)數(shù)，且

當(dāng)a>l時(shí)，y4收斂，因此1尸二絕對(duì)收斂.

?vI?■|H

當(dāng)OvaWl時(shí)，X口發(fā)散,注意到此時(shí)￡(T)”一為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，

**1n*?1n

..11

IU-I=—>----------=Iu

,1(n+1)*

limIuaI=lim-^-=0,

由萊布尼茨定理可知當(dāng)O?W1時(shí)，￡(-1)…二收斂，故此時(shí)￡(-I)""二條件收斂.

?71n~in*

78.由等價(jià)無窮小量的定義可知“始=L

79.曲線方程為尸5+2,點(diǎn)（1,3）在曲線上.

，'弓。'L,"2.因此所求曲線方程為-3=-2（x-D,或?qū)憺?x+y-5=0.

如果函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)xO處的導(dǎo)數(shù)F（xO）存在，則表明曲線y=f（x）在點(diǎn)

（xO,fxO））處存在切線，且切線的斜率為F（xO）.切線方程為

如果/'（了。）《0,則曲線y=/（x）在點(diǎn)（&/（%））處的法線方程為

y-f（%）=了亡y（*-*?）-

如果/?'（以）=0.則v="xQ為曲線丫=/（x）在點(diǎn)（心.”心））處的水平切線.

80.由二重積分物理意義知

m=2(x,y)d(r=J(x2+y2)dxdy=Jgjr'dr=

81.

【解析】令l=4,則x=J,dx=2tdt.當(dāng)x=0時(shí).,=0；當(dāng)工=1時(shí),1=I

JJdx=J2te'dt

=2(re[：-￡e'dz)=2(e-e]：)=2.

82.

【解析)由于e'=￡](-x<x<+8).可得

-Ton!

:(-2x)-3(-D-2V,_

e=>二>---------------(-OC<JC<+8),

—n!邑n!

83.

y=x-lnX的定義域?yàn)椋?,+8）.y*=

當(dāng)”=1時(shí),y'=0;當(dāng)x>l時(shí),y'>0,函數(shù)y=x-lnx單調(diào)增加.

當(dāng)0<x<I時(shí),y'<0,函數(shù)y=x-lnx單調(diào)減少.

曲線）r-lnx在點(diǎn)（l,l）處的切線方程為k1:0.

84.

【解析】特征方程為r'+3r+2=0.

特征根r,=-2,r2=-l.

方程的通解為

85.需求規(guī)律為Q=100ep225p*。）2.5當(dāng)P=10B寸

價(jià)格上漲1%需求量減少2.5%需求規(guī)律為Q=100ep225p,

2）=-PMe；；。；葭°?25）=0.2SP

網(wǎng)°）2.5.?.當(dāng)p=l（）時(shí)，價(jià)格上漲1%需求量減少

2.5%

86.

|l±Jl!_?dx=jldx+

=Inx+JInxdlnx=Inx***—(Inx)2+C,

或11+.?+In%)dlnx=p1Inx)d(1+Inx)

=y(l4In*)2+C.

87.

f(x)的定義域?yàn)?-8,0)u(0,+8).

/,(X)=2*+4/，，(X)=2-4.

rr

令/'(x)=0得”-l;令廣(x)=0,得x=：笈

列表：

X(-8f-l)-1(-1.0)0(0⑶(5.+8)

yr-0.

y"-0

/（-D=3拐點(diǎn)

y\uZu沒定義Zn/U

為極小值收0）

函數(shù)/?）的單調(diào)減少區(qū)間為（-8,-1）;單調(diào)增加區(qū)間為（-1,0）1；（0,+8）;極小值為

/（-I）=3.

曲線y"（x）的凹區(qū)間為（-8.0）U（蘇.+8）：凸區(qū)間為（0.蘇）：拐點(diǎn)為（言.0）.

說明

由于/U)在點(diǎn)M=0處沒有定義.因此/"(x)的單調(diào)措加區(qū)間為(-l.0)U(0.+8),不

能寫為(0.+8)!

88.由一階線性微分方程通解公式有

二院…5⑴戶&也+C)

=e月*(,仲&+C)

=e"'(jx"e'dx+C)=x(Jx?—dx+cj=x(x+C),

格yIj=0代人上式,可得C=-l,因此所求特解為>=/-?.

89.

由「"r'解得X=±l,則A.B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為

B(1.0)JB=2.

(I)5(?)=^-(2+2*)(1-?)=(!+*)(1-？).

(2)5'(外=-3/-2/1,令$'(幻=0,即(3*-1)d+1)=0,得0=；,蛔=-1(舍去).

1

S-(x)'1=(-6x-2),=-4<0,則S圖若為極大值.根據(jù)實(shí)際問題,S焉為最大值

90.解：原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為yn-4y*+4y=0,

特征方程及特征根為7-4，+4=0,rb2=2,

2

齊次方程的通解為r=(cl+cpe*.

在自由項(xiàng)/(x)=e-”中,a=-2不是特征根，所以設(shè)/=〃"'?代入原方程，有

故原方.程通解為y=(G+G)e”+上e”.

Io

91.

解：3==「=產(chǎn)37>3=產(chǎn)*7b13=^y^(x+3)",

(―OO<X<4-8).

(1)0.2+a+0.4=1a=0.4

(2)Ex=lX0.2+2X0.4+4X0.4=2.6

92.

(1)0.2+a+0.4=1a=0.4

(2)Ex=lX0.2+2X0.4+4X0,4=2.6

93.

解先求y"-4y'+4y=0的通解Y：

/-4廠+4=0,門，2=2

2x

所以r=(C,x+C2)e.

在自由項(xiàng)〃x)=e-2"中，a=-2不是特征根，所以設(shè)y?=Ae-x,代入原方程，有:

故原方程通解為：y=(Gx+C2)e”+點(diǎn)e-2*

因?yàn)閥'nCie"+2C產(chǎn)然-*-"，將"丹=1與yj,=1分別代入y與曠式，有:

從而G=1,G忐，于是所求為：產(chǎn)長(zhǎng)工+得卜?^-?

94.

.將f(z)代人有

1/(xJdx=Jdxjdy

=JdyjW，＞dLr

=J(a-dy

=J*(a—,)/"，＞?dy

----e*2d(a—y)，

=一?!?一［-e"，＞zj

=；(e'-1).

4

95.本題考查的知識(shí)點(diǎn)為求解一階線性微分方程.

將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式

,1,

Y----y-x.

x

y=e"(〃—dx+C)=產(chǎn)(卜仲％+C)

=e(jxe,^dx+C)=%(/4.—dx+C)

=%(%+C).

求解一階線性微分方程?？梢圆捎脙煞N解法:

解法1利用求解公式，必須先將微分方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式y(tǒng)+p(x)y=

q(x),則

y=ej(Jq(%)e，d%+c),

對(duì)所給方程xy'-y=J應(yīng)先化為標(biāo)準(zhǔn)形式y(tǒng)'-^y=*如參考答案所給解法，可得通解.

X

解法2利用常數(shù)變易法.

原方程相應(yīng)的齊次微分方程為

xy'-y=0,

分離變量

yx

兩端積分Jy=Jp

Iny=InCx,y=Cx.

令C=C(x),則y=C(x)x,代入原方程，可得

x[Cf(x)x+C(x)]-C(x)x=x^,

cy)=i,

C(x)=%+C,

可得原方程通解為y=x(x+C).

本題中考生出現(xiàn)的較常見的錯(cuò)誤是：

取p(x)=-l,g(x)=利用通解公式

y=eJ(Jq(4)e,d%+C).

這是由于沒有將所給方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程而導(dǎo)致的錯(cuò)誤.讀者應(yīng)該明

確，上述通解公式是標(biāo)準(zhǔn)方程的通解公式.

nK

解/(3)+/(5)=j^tan3j^tan5jcdx=JJtanJx(l+tan2x)dx

=J^tan3xsec2xdr=ftai?xd(tanx)

1471n1

=--tan=-tan4.

4444

96.A

nnit

解/(3)+/(5)=j^tan3xix+j^tan5AX!X=JJtanJx(l+tan2x)dx

=J^lan3xsec2jabr=j^tan\d(tanx)

1471n1

="tan=-tan9-.

4A444

97.

平面圖形見右圖中陰影部分.平面圖形見右圖中陰影部分.

=(2-ln2)-^1-0^=1-ln2.=(2-ln2)-［；-0)=g-ln2.

=lim------=6.

xsinx

也可以利用當(dāng)“TO時(shí)，l-cosx?工，得

2

「X..5x..3x/

lim----------=lim------------=lim-丁=6?

xTOx-sinxui-cosx…x

=lim------=6.

…sinx

工2

也可以利用當(dāng)"TO時(shí)，l-cosx~—,得

2

..X..3%..3X/

lim----------=lim------------=lim-r-=6?

xTOx-sinx^1-cosxx

99.積分區(qū)域D如圖2-1所示.圖2-1解

法1利用極坐標(biāo)系.D可以表示

OWrW1