2022-2023學(xué)年南京市第二十七高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)期末考試

2022-2023學(xué)年南京市第二十七高級(jí)中學(xué)高二上期末考試卷

一.選擇題(共8小題)

I.在等比數(shù)列伍“｝中，4=3,公比q=2,則4=()

A.24B.48C.54D.66

2.曲線y=6在點(diǎn)(1,1)處的切線與直線y=fcv平行，則實(shí)數(shù)%=()

A.-2B.--C.-D.1

22

3.已知平面a的一個(gè)法向量4=(3,0,2),平面尸的一個(gè)法向量=(2,1,6),若"J_￡,

2z

=(

x

9

A41

-1

?2B.

4.若直線3x+4y+m=0與圓Y+y--2y=0相切，則實(shí)數(shù)"?取值的集合為()

A.{-1,1}B.{-9,1}C.{1}D.{-8.2}

5.已知6+C；=30,貝IJ”=()

A.3B.4C.5D.6

6.函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)y=r(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y=/(x)的圖象可能是()

7.安排3名志愿者完

成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有()

A.12利?B.18種C.24種D.36種

8.己知數(shù)列｛”“｝首項(xiàng)為2,且見(jiàn)L“=2"T,則為=()

A.2"B.2'-'+｝C.2"-2D.2,,+|-2

多選題(共4小題)

9.下列四個(gè)選項(xiàng)中，不正確的是（）

A.數(shù)列行,獲，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是4=扁

B.數(shù)列的圖象是一群孤立的點(diǎn)

C.數(shù)列1,-1,L—1,…與數(shù)列—1,1,—1,1,…是同一數(shù)列

D.數(shù)列1」，…，上是遞增數(shù)列

24In

10.下列結(jié)論中正確的有（）

A.若^=5皿（，則y'=0

B.若/（x）=3d_1（1）x,則/（1）=3

C.#y=-y/x+x,則y'=----5y=+l

2yjx

D.若y=sinx+cosx,則y'=cosx+sinx

11.已知7名同學(xué)排成一排，下列說(shuō)法正確的是（）

A.甲不站兩端，共有用父種排法

B.甲、乙必須相鄰，共有父反種排法

C.甲、乙不相鄰，共有反反種排法

D.甲不排左端，乙不排右端，共有4-24+8種排法

12.如圖，在四面體。48c中，點(diǎn)M在棱。4上，且滿足OM=2M4,點(diǎn)N,G分別是線

段3C,MN的中點(diǎn)，則用向量OA,OB,OC表示向量中正確的為（）

B.OG^-OA--OB+-OC

344

113

C.GM=-OA+-OB+-OCD.GM=-OA--OC

23262

三.填空題（共4小題）

13.已知A（2,I,3）、B（Y,2,x）、C（1,-x,2）,若向量04+08與OC垂直（。為

坐標(biāo)原點(diǎn)），則x等于—.

14.已知函數(shù)，（x）=k>g4-x2+4x-3）,則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是；值域?yàn)?

2

15.求和：5“=1+（1+；）+（1+：+；）+（1+；+；+（）+…+（1+；+；+…+/?）=--.

乙乙4■4*■o4r*乙

16.如圖，圓形花壇分為4部分，現(xiàn)在這4部分種植花卉，要求每部分種植一種花卉，且相

鄰部分不能種植同一種花卉，現(xiàn)有5種不同的花卉供選擇，則不同的種植方案共有

種.（用數(shù)字作答）

四.解答題（共6小題）

17.已知等比數(shù)列伍“｝的首項(xiàng)為2,前〃項(xiàng)和為S“，K252-3S3+S4=0.

（1）求心;

（2）已知數(shù)列也｝滿足：b,=〃a“,求數(shù)列收｝的前〃項(xiàng)和7；.

22

18.已知雙曲線C$-]=l（a>0力>0）的實(shí)軸長(zhǎng)為4,一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（-230）.

ab

（I）求雙曲線的方程；

（II）已知斜率為1的直線/與雙曲線C交于A,3兩點(diǎn)，且1=4行，求直線/的方程.

19.從4面不同顏色（紅、黃、藍(lán)、綠）的旗子中，選出3面排成一排作為一種信號(hào)，共能

組成多少種信號(hào)？

20.為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢

建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元.該建筑物每

年的能源消耗費(fèi)用C（單位：萬(wàn)元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：

C(x)=—竺一(掇k10),設(shè)/(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和.

3x+5

(I)求f(x)的表達(dá)式；

(H)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用/(%)達(dá)到最小，并求最小值.

21.三棱柱A8C-A8c中，AB=ABt=AA,=AC=2,NS4c=120。，線段A4的中點(diǎn)為

M,RBC±AM.

(1)求證：AM_L平面43C；

(2)點(diǎn)尸在線段8c上，且4P=§4G，求二面角P-qA-A的余弦值.

22.已知函數(shù)f(x)=(x2-ar-a)e",awR.

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)a=0時(shí)，證明：f(x)>x2(lnx+2).

2022-2023學(xué)年南京市第二十七高級(jí)中學(xué)高二上期末考試卷

參考答案與試題解析

一.選擇題(共8小題)

1.在等比數(shù)列{〃〃}中，q=3,公比夕=2,則〃4=()

A.24B.48C.54D.66

【解答】解：在等比數(shù)列{4}中，4=3,公比9=2,

?

貝！jaA==3x2=24.

故選：A.

2.曲線y=&在點(diǎn)(1,1)處的切線與直線y=平行，則實(shí)數(shù)k=()

A.-2B.--C.-D.1

22

【解答]解：由＞=4=工2,得？=―-=,

2A/X

?曲線y=正在點(diǎn)(1,1)處的切線與直線y=H平行，

??=y島=；-

故選：C.

3.已知平面。的一個(gè)法向量〃]=(3,0,2),平面/?的一個(gè)法向量4=(2,1,6),若。_1_4，

則4=()

9

A.-B.4C.-1D.1

2

【解答】解：若a工0，則勺J_%,

所以勺=6+0+64=0,解得4=—1.

故選：C.

4.若直線3x+4y+m=0與圓V+丁-2》=0相切，則實(shí)數(shù)m取值的集合為()

A.{-1,1}B.{-9,1}C.{1}D.{-8.2}

【解答】解:由圓+)廣-2y=0,得+(y—1)~=1,

方程表示圓心為(0,1),半徑等于1的圓.

由圓心(0,1)到直線3x+4y+"?=0的距離=，

V32+42

?直線3x+4y+，〃=0與圓x2+y?-2y=0相切，

-I/4+'=1,解得加=1或加=-9,

732+42

實(shí)數(shù)，〃取值的集合為{-9,1}.

故選：B.

5.己知A；+C；=30,則〃=()

A.3B.4C.5D.6

【解答】解：4+C：=%—1)+若^:3〃(7)=30,整理得“2一〃_20=0,

解得"=Y(舍)，“=5.

故選：C.

6.函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)y=/"(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)y=/(x)的圖象可能是()

【解答】解：由當(dāng)

/(力＜0時(shí)，函數(shù)/(X)單調(diào)遞減，當(dāng)廣⑴〉。時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，

則由導(dǎo)函數(shù)y=r(x)的圖象可知：f(x)先單調(diào)遞減，再單調(diào)遞增，然后單調(diào)遞減，最后單

調(diào)遞增，排除A,C,

且第二個(gè)拐點(diǎn)(即函數(shù)的極大值點(diǎn))在x軸上的右側(cè)，排除3,

故選：D.

7.安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安

排方式共有()

A.12種B.18種C.24種D.36種

【解答】解：4項(xiàng)工作分成3組，可得：C：=6,

安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，

可得：6xA；=36種.

故選：D.

8.已知數(shù)列｛4｝首項(xiàng)為2,且%-%=2同,則a.=（）

A.2"B.2,,-|+1C.2"-2D.2）,+|-2

+,,,_|2

【解答】解:an+l-an=2",an-an_t=2",an_t-an_2=2....a2-at=2,

23n+1

由累加法得an-ay=2+2+...+2"-'+2"=曳=2-4,

又4=2,則a'=22,

故選：D.

-.多選題（共4小題）

9.下列四個(gè)選項(xiàng)中，不正確的是（）

A.數(shù)列|§,獲，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是羔

B.數(shù)列的圖象是一群孤立的點(diǎn)

C.數(shù)列1,-1,1,-1,…與數(shù)列一1,1,一1,1,…是同一數(shù)列

D.數(shù)列1」，…，-L是遞增數(shù)列

242n

【解答】解：對(duì)于A,當(dāng)通項(xiàng)公式為q=/一時(shí)，不符合題意，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

n+\23

對(duì)于3,由數(shù)列的通項(xiàng)公式以及可知，數(shù)列的圖象是一群孤立的點(diǎn)，故選項(xiàng)B正確;

對(duì)于C,由于兩個(gè)數(shù)列中的數(shù)排列的次序不同，因此不是同一數(shù)列，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，數(shù)列［一，…，是遞減數(shù)列，故選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

242n

故選：ACD.

10.下列結(jié)論中正確的有（）

A.若丁=§抽?，則y'=0

B.若/(幻=3/一r(1)x,則((1)=3

D.若y=sinx+cosx,則y'=cosx+sinx

【解答】解：A：y=O,A正確.

B:f'（x）=6x-f（1）,將x=l代入方程中，解得/（1）=3,B正確.

Cy'=------f=+1=----T=+1,C正確.

2?2-Jx

￡>:/=cosx-sinx,￡>錯(cuò)誤.

故選：ABC.

11.已知7名同學(xué)排成一排，下列說(shuō)法正確的是（）

A.甲不站兩端，共有用4種排法

B.甲、乙必須相鄰，共有父&種排法

C.甲、乙不相鄰，共有反父種排法

D.甲不排左端，乙不排右端，共有&種排法

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于A,甲不站兩端，則甲4；種排法，剩下6人全排列即可，共有共有用或種排法，A正

確；

對(duì)于8,甲、乙必須相鄰，將甲乙看成一個(gè)整體，與其他5人全排列，有&《種排法，8錯(cuò)

誤；

對(duì)于C,甲、乙不相鄰，將其他5人排好，將甲乙插入到其空位中，有&&種排法，C錯(cuò)

誤；

對(duì)于。，用排除法分析：7人全排列，有A；種排法，其中甲在左端有人種排法，乙在右端

有4種排法，甲在左端且乙在右端的排法有父種，

則有8種排法，。正確；

故選：AD.

12.如圖，在四面體。4BC中，點(diǎn)M在棱。4上，且滿足QW=2M4,點(diǎn)N,G分別是線

段BC,MV的中點(diǎn)，則用向量OA,OB,0C表示向量中正確的為（）

()

213

A.GN=-OA+-OB+-OCB.OG=-OA--OB+-OC

334344

113

C.GM=-OA+-O5+二。CD.GM=-OA--OC

23262

【解答】解：連接ON,因?yàn)辄c(diǎn)N,G分別是線段8C,MN的中點(diǎn),

所以O(shè)G=1OM+1ON=1X2OA+1X1(O8+OC),

222322

化簡(jiǎn)可得OG=lQ4+1o8+1oC.

344

GM=GA+AM^-OA--OA+-OC=-OA--OCAD

23262

三.填空題(共4小題)

13.已知A(2,1,3)、3(-4,2,x)、C(1,-x,2),若向量Q4+OB與OC垂直(。為

坐標(biāo)原點(diǎn))，則x等于4.

【解答】解：0A=(2,l,3),OB=(-4,2,x),OC=(1,-x,2)；

OA+OB=(―2,3,x+3)；

向量。4+08與OC垂直;

(0/4+O8)?OC=-2—3x+2x+6=0；

/.x=4.

故答案為：4.

14.已知函數(shù)，(幻=1。81(-/+以-3),則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是_[2_3)_；值域?yàn)?

2

【解答】解：對(duì)于函數(shù)/(%)=1。8](-/+4工一3),由一X2+4X-3>0,求得1VXV3,可得

函數(shù)的定義域?yàn)?1,3).

/(x)的增區(qū)間，即函數(shù)y=-產(chǎn)+4x-3在y>0的條件下的減區(qū)間，

由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，函數(shù)丫=-9+4》-3的最大值為1,在y>0的條件下的減區(qū)間[2,

3).

ye(O,1].；.f(x)=log1y的值域?yàn)閇0,+8),

2

故答案為：[2,3)；[0,+00).

15.求和：5=1+(1+-)+(1+-+-)+(1+-+-+-)+...+(1+-+i+...+-^-7)=

“224248242"-1

2?-2+

【解答】解:"J+%…+擊=匕牛=2-(#,

1-2

s“=1+(1+；)+(1+；+()+(1+；+(+()+…+(1+；+(+…+擊)

=(2-(3°)+(2-4)')+(2-(2)2)+…+(2-(3"T)

2222

=2"-口+g+(g)2+...+(；尸]

=2n-[2-(1)"-']

=2n-2+(1)"-'.

故答案為:2〃-2+(今，

16.如圖，圓形花壇分為4部分，現(xiàn)在這4部分種植花卉，要求每部分種植一種花卉，且相

鄰部分不能種植同一種花卉，現(xiàn)有5種不同的花卉供選擇，則不同的種植方案共有^60

【解答】解：根據(jù)題意，對(duì)于區(qū)域1,有5種不同的花卉供選擇，有5種選法,

對(duì)于區(qū)域2,與區(qū)域1相鄰，有4種選法，

對(duì)于區(qū)域3和4,若3與1的選擇相同，4有4種選法，

若3與1的選擇不同，3有3種選法，4有3種選法，此時(shí)有3x3=9種選法，

則區(qū)域3和4有4+9=13種選法，

故有5x4x13=260種選法；

故答案為：260.

四.解答題(共6小題)

17.已知等比數(shù)列｛/｝的首項(xiàng)為2,前”項(xiàng)和為且2s2-353+64=0.

<1)求死;

(2)已知數(shù)列｛4｝滿足:b?=na?,求數(shù)列｛a｝的前〃項(xiàng)和工.

【解答】解:(1)等比數(shù)列｛”,｝的首項(xiàng)為2,前〃項(xiàng)和為S”,且2s2-353+64=0,

可得邑-邑=2(&-邑)，

即有a4=2%，可得公比4=幺=2,

%

則為=22一=2"；

(2)bn=nan=n-2",

則7；=L2+2-22+3"+...+(〃-l).2"T+〃2,

27；,=l-22+2-23+3-24+...+(?-l)-2"+n-2',+l,

上面兩式相減可得-7；=2+2?+23+...+2'-'+2"-n-2"+,

2(1-2")?

=------------n-2,

1-2

化簡(jiǎn)可得/=2+(〃-1)?2角.

22

18.已知雙曲線C:=-]=l(a>0力>0)的實(shí)軸長(zhǎng)為4,一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2^,0).

a~b~

(I)求雙曲線的方程；

(II)己知斜率為I的直線/與雙曲線C交于A,B兩點(diǎn),且|48|=4逐，求直線/的方程.

【解答】解：(I)由2a=4得a=2,又。=2舊，則從=,2_/=8,

故雙曲線的方程為=

48

(II)設(shè)直線/的方程為y=x+m,代入雙曲線方程可得f-2/nv-M-8=0,

2

設(shè)A(X],%),B(x2,%)，則%+工2=2根，石工2=一"7-8.

因?yàn)镮AB|=亞?Ja+w)2-4痞=4石，

所以亞?)4加2—4x(—加2-8)=4。府+4=4#，解得加=±1,

所以直線/的方程為y=x±l.

19.從4面不同顏色(紅、黃、藍(lán)、綠)的旗子中，選出3面排成一排作為一種信號(hào)，共能

組成多少種信號(hào)？

【解答】解：從4面不同顏色旗子中，選出3面排成一排能組成C：A；=24種信號(hào).

20.為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢

建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元.該建筑物每

年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬(wàn)元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：

C(x)=*-(瓚/10),設(shè)/(處為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和.

3x4-5

(I)求/(%)的表達(dá)式；

(II)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用/(%)達(dá)到最小，并求最小值.

【解答】解：(/)每年能源消耗費(fèi)用為C(x)=4—,建造費(fèi)用為6x,

3元+5

/(x)=20C(x)+6x=--------+6x?(1效*10).

3x+5

740075

(〃),［(幻=6--；,令/。)=0得》=5或》=(舍).

(3x+5)3

.?.當(dāng)L,x<5時(shí),f\x)<0,當(dāng)5<x,10時(shí)，/,(x)>0.

.??/(X)在口,5)上單調(diào)遞減，在［5,10］上單調(diào)遞增.

.?.當(dāng)x=5時(shí)，f(x)取得最小值/(5)=70.

.??當(dāng)隔熱層修建5c加厚時(shí)，總費(fèi)用最小，最小值為70萬(wàn)元.

21.三棱柱A3C-ABC中，AB=ABt=AA,=AC=2,N84C=120。，線段A片的中點(diǎn)為

M,且3c.

(1)求證：AMJ"平面ABC；

(2)點(diǎn)P在線段gG上，且4P=求二面角尸-gA-A的余弦值.

【解答】解：（1）證明：因?yàn)锳B]=AA,=AB=2,

所以=2,

所以△A8M為等邊三角形,

因?yàn)楹螢锳M中點(diǎn)，

所以AM,

所以

因?yàn)?C_LAM,ABQBC=B,ABu面ABC,8Cu面ABC,

所以AM_L面ABC.

（2）由（1）可知AM_L面ABC,以A為原點(diǎn)，AC為x軸，過(guò)A作ACJ.y軸，A"為z軸

建立空間直角坐標(biāo)系，

所以A（0,0,0）,8（6，-1,0）,M（0,0,5,

由于Mg=gA8=（等，--,0）,則與（半，--,也）,A（-等，-?拒）'C（0,2,

0）,

B、P=-B、C\=-BC=-（-6，3,0）,P（--,一，揚(yáng)，

33362

設(shè)面A男尸法向量〃=（x,y,z）,

——-x+—y+5/3z=0

LLI1H,A戶—0

所以4即62

*x一；y+6z=0

n-AB1=0

令x=3得，y=6,z=—1,

所以〃=（3,6，1），

設(shè)面81AA的法向量加=3，b,c),

——-x+—y+y/3z=0

所以底例二°即32

[m-AB=0

]+Gz=