2022年數(shù)學(xué)(百色專用)一輪復(fù)習(xí)專題特訓(xùn)7圓的綜合

專題特訓(xùn)七圓的綜合題型1切線的判定與性質(zhì)及計算1．(2021·揚(yáng)州中考)如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，CB＝CD，連接BD，以點B為圓心，BA長為半徑作⊙B，交BD于點E.(1)試判斷CD與⊙B的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若AB＝2eq\r(3)，∠BCD＝60°，求圖中陰影部分的面積．解：(1)CD與⊙B相切．理由：過點B作BF⊥CD，垂足為F.∴∠BFD＝∠BAD＝90°.∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD.∵CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB.∴∠ADB＝∠CDB.又∵BD＝BD，∴△ABD≌△FBD(AAS).∴BF＝BA，即BF為⊙B的半徑．∴CD與⊙B相切；(2)∵∠BCD＝60°，CB＝CD，∴△BCD是等邊三角形．∴∠CBD＝60°.∵AD∥BC，∴∠ABC＝180°－∠BAD＝90°.∴∠ABD＝30°.∴AD＝AB·tan30°＝2.∴S陰影部分＝S△ABD－S扇形ABE＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2－eq\f(30π×（2\r(3)）2,360)＝2eq\r(3)－π.題型2圓與相似三角形的綜合2．(2021·棗莊中考)如圖，⊙O是△ABC的外接圓，點O在BC邊上，∠BAC的平分線交⊙O于點D，連接BD，CD，過點D作⊙O的切線與AC的延長線交于點P.(1)求證：DP∥BC；(2)求證：△ABD∽△DCP；(3)當(dāng)AB＝5cm，AC＝12cm時，求線段PC的長．(1)證明：連接OD.∵DP是⊙O的切線，∴DO⊥DP.∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD＝∠CAD＝eq\f(1,2)∠BAC.∵BC是圓的直徑，∴∠BAC＝90°.∴∠BAD＝45°.∴∠BOD＝2∠BAD＝90°.∴∠BOD＝∠ODP.∴DP∥BC；(2)證明：∵DP∥BC，∴∠ACB＝∠P.∵eq\x\to(AB)＝eq\x\to(AB)，∴∠ACB＝∠ADB.∴∠P＝∠ADB.∵OD＝OC，∠DOC＝90°，∴∠ODC＝∠OCD＝45°.∴∠CDP＝45°＝∠BAD.∴△ABD∽△DCP；(3)解：∵AB＝5cm，AC＝12cm，∠BAC＝90°，∴BC＝13cm.∴OC＝OD＝eq\f(13,2)cm.在Rt△COD中，CD＝eq\r(OC2＋OD2)＝eq\f(13\r(2),2)cm.∵∠BOD＝∠DOC＝90°，∴BD＝CD＝eq\f(13\r(2),2)cm.∵△ABD∽△DCP，∴eq\f(AB,DC)＝eq\f(BD,CP).∴PC＝eq\f(BD·DC,AB)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13\r(2),2)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,5)＝eq\f(169,10)cm.3．(2021·營口中考)如圖，AB是⊙O直徑，點C，D為⊙O上的兩點，且，連接AC，BD交于點E，⊙O的切線AF與BD延長線相交于點F，A為切點．(1)求證：AF＝AE；(2)若AB＝8，BC＝2，求AF的長．(1)證明：連接AD.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝∠ADF＝90°.∴∠F＋∠DAF＝90°.∵AF是⊙O的切線，∴∠FAB＝90°.∴∠F＋∠ABF＝90°.∴∠DAF＝∠ABF.∵，∴∠ABF＝∠CAD.∴∠DAF＝∠CAD.∵AD⊥EF，∴AF＝AE；(2)解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠C＝90°.∵AB＝8，BC＝2，∴AC＝eq\r(AB2－BC2)＝eq\r(82－22)＝2eq\r(15).∵AF＝AE，∴∠AEF＝∠F.∵∠C＝∠FAB＝90°，∠CEB＝∠AEF＝∠F，∴△BCE∽△BAF.∴eq\f(BC,AB)＝eq\f(CE,AF)，即eq\f(2,8)＝eq\f(CE,AF).∴CE＝eq\f(1,4)AF.∵AF＝AE，∴CE＝eq\f(1,4)AE.∵AE＋CE＝AC＝2eq\r(15)，∴AE＝eq\f(4,5)AC＝eq\f(8\r(15),5).∴AF＝AE＝eq\f(8\r(15),5).題型3圓與銳角三角函數(shù)的綜合4．如圖，AB是⊙O的直徑，點P是BA延長線上一點，過點P作⊙O的切線PC，切點是C，過點C作弦CD⊥AB于點E，連接CO，CB.(1)求證：PD是⊙O的切線；(2)若AB＝10，tanB＝eq\f(1,2)，求PA的長．(1)證明：連接OD.∵PC是⊙O的切線，∴∠PCO＝90°，即∠PCD＋∠OCD＝90°.∵CD⊥AB，∴CE＝DE.∴PC＝PD.∴∠PDC＝∠PCD.∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD.∴∠PDC＋∠ODC＝∠PCD＋∠OCD＝90°，即PD⊥OD.∴PD是⊙O的切線；(2)解：連接AC.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，OA＝OC＝5.∴tanB＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(1,2).設(shè)AC＝m，BC＝2m，則由勾股定理得m2＋(2m)2＝102.∴m＝2eq\r(5).∴AC＝2eq\r(5)，BC＝4eq\r(5).∵S△ABC＝eq\f(1,2)CE·AB＝eq\f(1,2)AC·BC，即10CE＝2eq\r(5)×4eq\r(5)，∴CE＝4，BE＝8，AE＝2.∴OE＝OA－AE＝3.∵eq\f(OE,OC)＝cos∠COP＝eq\f(OC,OP)，∴OE·OP＝OC2，即3OP＝52.∴OP＝eq\f(25,3).∴PA＝OP－OA＝eq\f(25,3)－5＝eq\f(10,3).5．(2021·黃石中考)如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B是切點，AC是⊙O的直徑，連接OP，交⊙O于點D，交AB于點E.(1)求證：BC∥OP；(2)若E恰好是OD的中點，且四邊形OAPB的面積是16eq\r(3)，求陰影部分的面積；(3)若sin∠BAC＝eq\f(1,3)，且AD＝2eq\r(3)，求切線PA的長．(1)證明：∵PA，PB是⊙O的切線，∴PA＝PB.∵OA＝OB，∴OP⊥AB.∵AC是直徑，∴∠ABC＝90°.∴BC⊥AB.∴BC∥OP；(2)解：∵OE＝DE，AB⊥OD，∴AO＝AD.∵OA＝OD，∴AD＝OA＝OD.∴△AOD是等邊三角形．∴∠AOD＝60°.設(shè)OE＝m，則AE＝BE＝eq\r(3)m，OA＝2m，OP＝4m.∵四邊形OAPB的面積是16eq\r(3)，∴eq\f(1,2)OP·AB＝16eq\r(3).∴eq\f(1,2)×4m×2eq\r(3)m＝16eq\r(3).∴m＝2或－2(舍去).∴OE＝2，AB＝4eq\r(3)，OA＝4.∵OD⊥AB，∴eq\x\to(AD)＝eq\x\to(BD).∴∠AOD＝∠BOD＝60°.∴∠AOB＝2∠AOD＝120°.∴S陰影部分＝S扇形OAB－S△AOB＝eq\f(120π×42,360)－eq\f(1,2)×4eq\r(3)×2＝eq\f(16π,3)－4eq\r(3)；(3)解：在Rt△AOE中，sin∠CAB＝eq\f(OE,AO)＝eq\f(1,3)，∴設(shè)OE＝x，則OA＝OD＝3x，DE＝2x，AE＝eq\r(OA2－OE2)＝eq\r(（3x）2－x2)＝2eq\r(2)x.在Rt△ADE中，AD2＝AE2＋DE2，∴(2eq\r(3))2＝(2eq\r(2)x)2＋(2x)2.解