自貢市重點(diǎn)2023年高考考前模擬數(shù)學(xué)試題含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.雙曲線工-y2=l的漸近線方程是（

A.x±2y=0C.4x±y=0D.x±4y=0

?a

14-tan

2

B.-2

3.如圖，在正四棱柱ABC。-AMG。中，=E,E分別為A8BC的中點(diǎn)，異面直線與C/所

成角的余弦值為加，貝!1（）

A.直線AE與直線C/異面，且m=也B.直線4石與直線。尸共面，且加=也

33

C.直線AE與直線CF異面，且加=立D.直線4E與直線GF共面，且機(jī)=走

33

4.小明有3本作業(yè)本，小波有4本作業(yè)本，將這7本作業(yè)本混放在?起，小明從中任取兩本.則他取到的均是自己的作

業(yè)本的概率為（）

12118

A.-B.—C.-D.—

77335

5.已知函數(shù)〃x）=2sin（3x+0）-l（。＞0,0＜0＜萬(wàn)）的一個(gè)零點(diǎn)是函數(shù)y=圖象的一條對(duì)稱軸是

直線x=-9,則當(dāng)/取得最小值時(shí)，函數(shù)/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

6

7Cl57rc17t

A.3k兀,3k兀---（ZcZ）B.3kjr------3k兀（左EZ）

_,,71

C.2k兀------,2k兀----（攵cZ）D.2k兀一一，2女兀一一（女eZ）

3636.

6.已知將函數(shù)/（x）=sin（3+。）（0<ty<6,一三<夕）的圖象向右平移g個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g（x）的圖

乙乙。

TT

象，若/（X）和g（x）的圖象都關(guān)于x=—對(duì)稱，則。的值為（）

4

3

A.2B.3C.4D.-

2

7.如圖，圓。是邊長(zhǎng)為2G的等邊三角形A8C的內(nèi)切圓，其與BC邊相切于點(diǎn)O,點(diǎn)M為圓上任意一點(diǎn)，

=xBA+yBO（x,yeR）,則2x+y的最大值為（）

A.V2B.73C.2D.2夜

2

8.若A4BC的內(nèi)角A滿足sin2A=——,則sinA-cosA的值為（）

3

A厲RV15「石n5

3333

9.如圖，在矩形OABC中的曲線分別是丁=$向，y=co&r的一部分，"冬。］,C（0,l）,在矩形Q4BC內(nèi)隨機(jī)

取一點(diǎn)，若此點(diǎn)取自陰影部分的概率為4,取自非陰影部分的概率為鳥(niǎo)，則（）

A.《<鳥(niǎo)B.Pi>P2C.6=2D.大小關(guān)系不能確定

10.已知等比數(shù)列伍“｝滿足q=3,q+4+G=21,則%+。5+。7=（）

A.21B.42C.63D.84

11.若將函數(shù)/（x）=2sint+?1-1的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的;（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)g（x）的圖象，則下列

說(shuō)法正確的是（）

A.函數(shù)g（x）在（0,看］上單調(diào)遞增B.函數(shù)g（尤）的周期是］

C.函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)［喂0）對(duì)稱D.函數(shù)g（x）在卜，高上最大值是1

3

12.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的5=_,則①處應(yīng)填寫(xiě)（）

4:15洌

A.左<3?B.鼠3?C.匕，5?D.k<5?

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如果橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一正三角形，焦點(diǎn)在X軸上，且a-C=JJ,那么橢圓

的方程是.

14.已知圓柱的兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上，圓柱的高和球半徑均為2,則該圓柱的底面半徑為.

15.有2名老師和3名同學(xué)，將他們隨機(jī)地排成一行，用J表示兩名老師之間的學(xué)生人數(shù)，則4=1對(duì)應(yīng)的排法有

種；E（J）=;

16.（2x+9）的展開(kāi)式中，V項(xiàng)的系數(shù)是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

（.［x-n

x=l-m

17.（12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線乙的參數(shù)方程為，、為參數(shù)），直線/,的參數(shù)方程.〃（為參

y=k（m-1）y=2+一

.k

數(shù)），若直線4,4的交點(diǎn)為尸，當(dāng)攵變化時(shí)，點(diǎn)P的軌跡是曲線C

（1）求曲線C的普通方程；

（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，X軸非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系，設(shè)射線人的極坐標(biāo)方程為

e=a（p..O）,tana=g[o<a<、），點(diǎn)Q為射線&與曲線C1的交點(diǎn)，求點(diǎn)Q的極徑.

7T

18.（12分）如圖，在AA5c中，AC=2,ZA=-,點(diǎn)。在線段AB上.

(1)若cosNCr>B=—,，求C￡>的長(zhǎng);

3

(2)若AD=2DB,sinZACD=V?sinZBCD,求AABC的面積.

22/T

19.（12分）設(shè)橢圓?+方=1,（4>〃>0）的左右焦點(diǎn)分別為耳，外，離心率^二夸，右準(zhǔn)線為/,M,N是/上的

兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，6M?/yv=o.

(I)若WM=|您|=2/,求9的值;

（II）證明：當(dāng)|MN|取最小值時(shí)，耳M+￡N與月耳共線.

20.（12分）如圖，在直三棱柱ABC-AB|G中，A2=BC=A4,=1,4C=遙，點(diǎn)DE分別為AC和旦G的中點(diǎn).

（I）棱A4上是否存在點(diǎn)P使得平面PBD,平面43E?若存在，寫(xiě)出Q4的長(zhǎng)并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

（H）求二面角A—的余弦值.

21.（12分）已知數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，S,,為其前〃項(xiàng)和，對(duì)于任意的〃eN*滿足關(guān)系式2s“=3?！?3.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式是4=1-------.-------,前〃項(xiàng)和為(，求證：對(duì)于任意的正數(shù)〃，總有

10§3an，10§3an+24

22.(10分)如圖，在長(zhǎng)方體ABC?！狝MGA中，45=28。=2例=4,E為44的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn),

〃為線段GA上一點(diǎn)，且滿足MG=；2G，F(xiàn)為MC的中點(diǎn).

(1)求證：EF7/平面4。。

(2)求二面角N—4C—F的余弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

2

試題分析：漸近線方程是工-y2=L整理后就得到雙曲線的漸近線.

4

2八

解：雙曲線二一y2二

4丫

2

其漸近線方程是工-y2=l

4

整理得x±2y=l.

故選A.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的漸進(jìn)方程，把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的“1”轉(zhuǎn)化成“1”即可求出漸進(jìn)方程.屬于基礎(chǔ)題.

2.B

【解析】

結(jié)合sin?a+cos2a=1求得sina,cosa的值，由此化簡(jiǎn)所求表達(dá)式，求得表達(dá)式的值.

【詳解】

sina-2cosa=l3乃34

以及二￡（肛一）,解得sina=——,cosa

si.n2-cr4-cos2a=-l1255

1aaa.a

I-tan—cos—cos----sin—1-2cos—sin—

2=2_2222

.a.aa.a■)a.,-a

I+tan—sin—cos—+sinCOS-——sin

2l+12222

l-sin?1+

cosa，

-5

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡(jiǎn)求值，考查二倍角公式，屬于中檔題.

3.B

【解析】

連接EF,C,D,DF,由正四棱柱的特征可知EFPAG，再由平面的基本性質(zhì)可知，直線4E與直線C/共

面.，同理易得AAC,D,由異面直線所成的角的定義可知，異面直線A片與G尸所成角為NOGF，然后再利用

余弦定理求解.

【詳解】

如圖所示：

連接EF,4G，G。，DF,由正方體的特征得砂PAG，

所以直線AE與直線C7共面.

由正四棱柱的特征得AB|CQ,

所以異面直線44與G/所成角為NOC/.

設(shè)貝！JAB==2,則。口二6，CtF-5/3?C、D=瓜,

3+6-5V2

由余弦定理,得，"=cosNDC\F==

2x6x布＞3

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查異面直線的定義及所成的角和平面的基本性質(zhì)，還考查了推理論證和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

4.A

【解析】

利用P=%計(jì)算即可，其中明表示事件A所包含的基本事件個(gè)數(shù)，n為基本事件總數(shù).

n

【詳解】

從7本作業(yè)本中任取兩本共有C；種不同的結(jié)果，其中，小明取到的均是自己的作業(yè)本有C；種不同結(jié)果，

C21

由古典概型的概率計(jì)算公式，小明取到的均是自己的作業(yè)本的概率為T(mén)=

C；7

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查古典概型的概率計(jì)算問(wèn)題，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.

5.B

【解析】

根據(jù)函數(shù)“X)的一個(gè)零點(diǎn)是x=1,得出dg1=O,再根據(jù)x=是對(duì)稱軸，得出一93一9=1+而，keZ,

313J662

求出W的最小值與對(duì)應(yīng)的。，寫(xiě)出了(X)即可求出其單調(diào)增區(qū)間.

【詳解】

'一c兀\'.兀①.八71(01

依題意得，f—=2sin—+(p-1=0,即sin—+(p=3,

\37\371372

S37TCD小7冗471(0.5萬(wàn)/1r、公

解得----卜①=2k、7l--或----&(p=2右?！?其中女］,女2￡Z).①

3636

\

兀co..

又sin-+(P=±1，

6;

777/)7T

即一詈+0=&乃+](其中&eZ).②

由①一②得詈=(2匕一3萬(wàn)一(或詈=(2&—&)乃+存

222

即幻=2(2匕一3-§或0=2(2&2-匕)+5(其中占，氏2，&￡Z),因此切的最小值為

因?yàn)閟in--+=sin-+(p\=±\,所以一工+/=工+44(左eZ).

k06J\9J9292

27C71271、

又0＜。＜乃，所以0=3+2,所以/(x)=2sin-x+—+—|-1=2cos-x+--1

32939J

2n5兀7T

令2左萬(wàn)一乃＜—x+—＜2%%(A:GZ),則3br----＜x＜3k7r---(ZcZ).

3936

57r7i

因此，當(dāng)0取得最小值時(shí)，/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間是3k兀一不，3k兀-7(ZwZ).

故選：B

【點(diǎn)睛】

此題考查三角函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱點(diǎn)，在對(duì)稱軸處取得最值，對(duì)稱點(diǎn)處函數(shù)值為零，屬于較易題目.

6.B

【解析】

因?yàn)閷⒑瘮?shù)/(x)=sin(3+。)(0＜。＜6,的圖象向右平移g個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象,

乙乙J

可得g(x)=sin〔G(元一?+夕(71\

=sin](DX--CD+(P,結(jié)合已知，即可求得答案.

【詳解】

將函數(shù)/(x)=sin(s+。)(0＜。＜6,一曰＜。＜3)的圖象向右平移彳個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)g(x)的圖象

/乙、乙。

.冗

=sincox---co+(p,

7T

又小)和g3的圖象都關(guān)于戶了對(duì)稱,

71.71

—3+夕=4乃+一

(仁,&eZ),

7T7t,71

得23=（匕_后2）乃，（K&eZ）,

即69=3（4-左2）（K，&GZ）,

又0<。<6,

?**69=3.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角函數(shù)圖象平移和根據(jù)圖象對(duì)稱求參數(shù)，解題關(guān)鍵是掌握三角函數(shù)圖象平移的解法和正弦函數(shù)圖象

的特征，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.C

【解析】

建立坐標(biāo)系，寫(xiě)出相應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)，得到2x+y的表達(dá)式，進(jìn)而得到最大值.

【詳解】

以D點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立坐標(biāo)系，

設(shè)內(nèi)切圓的半徑為1,以（0,1）為圓心，1為半徑的圓；

根據(jù)三角形面積公式得到-x/同長(zhǎng)xr=S='xA8xACxsin60°,

22

可得到內(nèi)切圓的半徑為1；

可得到點(diǎn)的坐標(biāo)為：B（-V3,0）,C（V3,0）,A（0,3）,￡＞（0,0）,M（cos仇1+sin。）

BM=（cos6+G,l+sin6）,84=（6,3）,6￡）=（6,0）

故得到BM=（cose+6,l+sine）=（6x+6y,3x）

故得到cos0=石x+#>y-6>,sin。=3x-1

1+sin8

x----------

cos。sin。42.4

3;_+------+—=—sin(<9+^)+-<2.

_cos6sin。2'')一333

飛F+3

故最大值為：2.

故答案為C.

【點(diǎn)睛】

這個(gè)題目考查了向量標(biāo)化的應(yīng)用，以及參數(shù)方程的應(yīng)用，以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等

式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問(wèn)題.通過(guò)向量的運(yùn)算，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類問(wèn)題的一

般方法.

8.A

【解析】

217T

由sin2A=2sinAcosA=—§,得到sinAcosA=—]<0,得出AG(,,幻，再結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可

求解.

【詳解】

21

由題意，角A滿足sin2A=2sinAcosA=——，貝！JsinAcosA=——<0,

33

又由角A是三角形的內(nèi)角，所以幻，所以sinA>cosA,

/25

因?yàn)?sinA-cosA)-=1-2sinAcosA=l-(-§)=[,

所以sinA-cosA=」5.

3

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)，以及三角函數(shù)的基本關(guān)系式和正弦的倍角公式的化簡(jiǎn)、求值問(wèn)題，著重考查了推理

與計(jì)算能力.

9.B

【解析】

先用定積分求得陰影部分一半的面積，再根據(jù)幾何概型概率公式可求得.

【詳解】

根據(jù)題意，陰影部分的面積的一半為：Jj(cosx-sinx)公=四-1，

A/2-1/廠\

于是此點(diǎn)取自陰影部分的概率為D_。4(1.4-1)_1.

r\—2x---------=-------------〉---------———

2713.22

又鳥(niǎo)=l_[<g,故

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了幾何概型，定積分的計(jì)算以及幾何意義，屬于中檔題.

10.B

【解析】

由ai+a3+a5=21得々](l+q?+q4)=211+/+q4=7/.q2=233+35+37=<72(^]+/+%)=2x21=42,選B.

11.A

【解析】

根據(jù)三角函數(shù)伸縮變換特點(diǎn)可得到g(x)解析式；利用整體對(duì)應(yīng)的方式可判斷出g(x)在(0,看)上單調(diào)遞增，A正確；

關(guān)于點(diǎn)(一1,-1)對(duì)稱，C錯(cuò)誤；根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期的求解可知8錯(cuò)誤；根據(jù)正弦型函數(shù)在區(qū)間內(nèi)值域的求

解可判斷出最大值無(wú)法取得，O錯(cuò)誤.

【詳解】

將/(X)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的;得：g(x)=2sin(2x+^)—l

當(dāng)日0,向時(shí)，2x+-e|^-,-j

?sinx在仁昌上單調(diào)遞增.?.g(x)在(0?上單調(diào)遞增，A正確；

g(x)的最小正周期為：7=1=].?.]不是g(x)的周期，8錯(cuò)誤；

當(dāng).一行時(shí)，2x+*=0,X^=-l

1ZO\12J

??.g(x)關(guān)于點(diǎn)(-強(qiáng),-1)對(duì)稱，C錯(cuò)誤；

當(dāng)xG(0,1)時(shí),2x+?(餐)g(x)G(0,1)

此時(shí)g(x)沒(méi)有最大值，。錯(cuò)誤.

本題正確選項(xiàng)：A

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)，涉及到三角函數(shù)的伸縮變換、正弦型函數(shù)周期性、單調(diào)性和對(duì)稱性、正弦型函數(shù)在一段

區(qū)間內(nèi)的值域的求解；關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用整體對(duì)應(yīng)的方式，通過(guò)正弦函數(shù)的圖象來(lái)判斷出所求函數(shù)的性質(zhì).

12.B

【解析】

模擬程序框圖運(yùn)行分析即得解.

【詳解】

A：=l,S=0;A=2,S=0H?——=—；

22+26

k=3,S=--h-1---=—；k=4,S=—I—：--1---=—3.

632+34442+410

所以①處應(yīng)填寫(xiě)“七,3?”

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查程序框圖，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.￡14—='H

:哈翳

【解析】

由題意可設(shè)橢圓方程為：：一1=l.g>b>0?

a?b2

??,短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩焦點(diǎn)組成一正三角形，焦點(diǎn)在工軸上

:.—=tan60=A/3

c

又a-c=、々，/=’：

；?■'=諼,產(chǎn)”=愕,

22

...橢圓的方程為二+二=1,

129

2

故答案為*二2+"V=1.

129

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，解三角形以及解方程組的相關(guān)知識(shí).

14.73

【解析】

由圓柱外接球的性質(zhì)，即可求得結(jié)果.

【詳解】

解：由于圓柱的高和球半徑均為2,,則球心到圓柱底面的距離為1,

設(shè)圓柱底面半徑為「，由已知有產(chǎn)+『=22,

r=A/3>

即圓柱的底面半徑為6.

故答案為：石.

【點(diǎn)睛】

本題考查由圓柱的外接球的性質(zhì)求圓柱底面半徑，屬于基礎(chǔ)題.

15.36；1.

【解析】

I的可能取值為0,1,2,3,4=1對(duì)應(yīng)的排法有：娟抬耳=36.分別求出/}(4=0),尸偌=1),P傳=2),Pq=3),

由此能求出E(J).

【詳解】

解：有2名老師和3名同學(xué)，將他們隨機(jī)地排成一行，用J表示兩名老師之間的學(xué)生人數(shù)，

則4的可能取值為0,1,2,3,

4=1對(duì)應(yīng)的排法有：C；A；A；=36.

,《=1對(duì)應(yīng)的排法有36種；

「《=。)=等=券

1ZX)

p《=l)='咨=券

1ZX)

24

p（q=2）=&AQ

120

P(一)W12

120

+l』+2x*+3x衛(wèi)=1

?X=。喂120120120

故答案為：36；1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了排列、組合的應(yīng)用，離散型隨機(jī)變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題.

16.240

【解析】

利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,令x的指數(shù)等于3,計(jì)算展開(kāi)式中含有/項(xiàng)的系數(shù)即可.

【詳解】

由題意得：(2x)6-(美廠，只需6-；「=3,可得「=2,

代回原式可得4=2401,

故答案：240.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式及簡(jiǎn)單應(yīng)用，相對(duì)不難.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

,,8

17.(1)x2+(y-l)2=1(X750)；(2)-

【解析】

(D將兩直線化為普通方程，消去參數(shù)攵，即可求出曲線C的普通方程；

43

(2)設(shè)。點(diǎn)的直角坐標(biāo)系坐標(biāo)為(jocosa,夕sina)(p>0),求出sina=w，cosa=1，

代入曲線C可求解.

【詳解】

X

(1)直線4的普通方程為y=依-x)，直線4的普通方程為y-2=-

聯(lián)立直線4,4方程消去參數(shù)取得曲線C的普通方程為y(y-2)=-x2

整理得Y+(y—1)2=1*N0).

(2)設(shè)。點(diǎn)的直角坐標(biāo)系坐標(biāo)為(pcosa，x?sina)(夕＞0),

由tanYoca」7143

可得sina=丁cosa

3(2

,8

代入曲線C的方程可得/?2-二夕=0,

Q

解得夕=g，2=0(舍)，

Q

所以點(diǎn)。的極徑為不

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了直線的參數(shù)方程化為普通方程，普通方程化為極坐標(biāo)方程，極徑的求法，屬于中檔題.

18.(1)C￡)=—(2)正

42

【解析】

(1)先根據(jù)平方關(guān)系求出sinNC/M,再根據(jù)正弦定理即可求出CD;

(2)分別在AADC和MDC中，根據(jù)正弦定理列出兩個(gè)等式，兩式相除，利用題目條件即可求出CB,再根據(jù)余弦

定理求出AB,即可根據(jù)S=—AC?AB?sinA求出AABC的面積.

2

【詳解】

1]nFj

(1)由cos/CZ)B=——,得cos/OM=—,所以sin/COA=^

333

CD2

CDAC,即6-26.,得CO=弛.

由正弦定理得,

sinAsinZCDA4

23

ADAC

(2)由正弦定理，在AAOC中,，①

sinZACDsinZADC

DBCB

在AB￡)C中,,②

sin/BCDsinZBDC

又sinNADC=sinNBDC,AD=2DB,sinZACD=V?sinZBCD,

由/得C6=S，

由余弦定理得C8?UACZ+A^—ZACMCOSA，

即7=4+鉆2_248,解得43=3,

所以AA3C的面積S=」AC-AB-sinA=±2.

22

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，以及三角形面積公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基

礎(chǔ)題.

19.（I）a-2,h—5/2

（D）證明見(jiàn)解析.

【解析】

由/一〃=。2與e=g=」l,得標(biāo)=2戶，

c2

由6M.gN=O得

3，

乂％=-/礦〈0?①

（I）由忻〃卜|鳥(niǎo)叫=26,得

需用"=2氐②

J*]+4=26,③

由①、②、③三式，消去X，%，并求得/=4,

2

=V2.

故a=2,b=正

*2

(H)\MN\"=(y-％丫=城+宙-2y%N-2yy2-2yty2=-4yty2=6a,

當(dāng)且僅當(dāng)y=或必=-y=時(shí)，取最小值告，

此時(shí)，F(xiàn)tM+F2N=)1+乂)=(2血4,兇+/2)=(204,0)=266，

故6M+6N與耳與共線.

311

20.(I)存在點(diǎn)P滿足題意，且%==，證明詳見(jiàn)解析；(II)—.

419

【解析】

(I)可考慮采用補(bǔ)形法，取4G的中點(diǎn)為F,連接EF,AF,DF,可結(jié)合等腰三角形性質(zhì)和線面垂直性質(zhì)，先證

3O_L平面4CG，即3DLAE,若能證明AF_LP￡>,則可得證，可通過(guò)他△皿)sRrAAZW我們反推出點(diǎn)P對(duì)

應(yīng)位置應(yīng)在%==處，進(jìn)而得證；

4

(II)采用建系法，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以。8DC,OF分別為X，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩平面對(duì)應(yīng)

法向量，再結(jié)合向量夾角公式即可求解；

【詳解】

(I)存在點(diǎn)P滿足題意，且PA==3.

4

證明如下：

取4G的中點(diǎn)為尸，連接防，AF,DF.

則所〃A4〃AB,所以AFu平面A8E.

因?yàn)?5=8C,。是AC的中點(diǎn)，所以8DLAC.

在直三棱柱ABC—dqG中，平面ABC，平面ACC，且交線為AC,

所以8。，平面ACG，所以3D_LAF.

在平面ACG內(nèi)，—=^1,ZPAD=ZADF=90°,

ADDF2

所以RAPADsRAADF,從而可得AFJ_P￡>.

又因?yàn)镻Dc8O=。，所以平面P8D.

因?yàn)锳Fu平面A5E,所以平面平面A8E.

(II)如圖所示，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DB,DC,。尸分別為男X，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

易知0(0,0,。)，d。,

所以哈卜冷,0),A8=(界,0),QB=4,0,0).

設(shè)平面的法向量為加=(x,y,z),則有

"16n

m-BE=——x-\---y+z=0,

<44廠取y=2,得一2百,2,-e).

m-AB=-x-\---y=0.

22

同理可求得平面BDE的法向量為幾=(0,4-x/3).

m-n8+311

則c°sm，〃=麗飛2+4+3/16+3=后

由圖可知二面角A—BE-O為銳角，所以其余弦值為號(hào).

【點(diǎn)睛】

本題考查面面垂直的判定定理、向量法求二面角的余弦值，屬于中檔題

21.(1)an=3"(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

<1)根據(jù)公式??=s.一S"T得到an=3a,I(H>2),計(jì)算得到答案.

(2)一~二］,根據(jù)裂項(xiàng)求和法計(jì)算得到(,=——L--一M,得到證明.

2\nn+2)2〃+1n+2)

【詳解】

(1)由已知得(〃22)時(shí)，2(S?-5n_1)=3an-3a?_1,故4=30_|(〃