反比例函數(shù)與一次函數(shù)(精)經(jīng)典難題復(fù)習(xí)鞏固

PAGE5PAGE5努力+勤奮+信心=成功戴氏教育集團(tuán)DSE金牌數(shù)學(xué)專題系列經(jīng)典專題系列反比例函數(shù)中的面積問題導(dǎo)入：《飛翔的蜘蛛》信念是一種無堅(jiān)不催的力量，當(dāng)你堅(jiān)信自己能成功時(shí)，你必能成功。一天，我發(fā)現(xiàn)，一只黑蜘蛛在后院的兩檐之間結(jié)了一張很大的網(wǎng)。難道蜘蛛會(huì)飛？要不，從這個(gè)檐頭到那個(gè)檐頭，中間有一丈余寬，第一根線是怎么拉過去的？后來，我發(fā)現(xiàn)蜘蛛走了許多彎路--從一個(gè)檐頭起，打結(jié)，順墻而下，一步一步向前爬，小心翼翼，翹起尾部，不讓絲沾到地面的沙石或別的物體上，走過空地，再爬上對(duì)面的檐頭，高度差不多了，再把絲收緊，以后也是如此。溫馨提示：蜘蛛不會(huì)飛翔，但它能夠把網(wǎng)凌結(jié)在半空中。它是勤奮、敏感、沉默而堅(jiān)韌的昆蟲，它的網(wǎng)制得精巧而規(guī)矩，八卦形地張開，仿佛得到神助。這樣的成績(jī)，使人不由想起那些沉默寡言的人和一些深藏不露的智者。于是，我記住了蜘蛛不會(huì)飛翔，但它照樣把網(wǎng)結(jié)在空中。奇跡是執(zhí)著者造成的。知識(shí)點(diǎn)回顧

由于反比例函數(shù)解析式及圖象的特殊性，很多中考試題都將反比例函數(shù)與面積結(jié)合起來進(jìn)行考察。這種考察方式既能考查函數(shù)、反比例函數(shù)本身的基礎(chǔ)知識(shí)內(nèi)容，又能充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查的題型廣泛，考查方法靈活，可以較好地將知識(shí)與能力融合在一起。下面就反比例函數(shù)中與面積有關(guān)的問題的四種類型歸納如下：利用反比例函數(shù)中|k|的幾何意義求解與面積有關(guān)的問題設(shè)P為雙曲線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線PM、PN，垂足分別為M、N，則兩垂線段與坐標(biāo)軸所圍成的的矩形PMON的面積為S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|

∴xy=k

故S=|k|

從而得結(jié)論1：過雙曲線上任意一點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，所得矩形的面積S為定值|k|

對(duì)于下列三個(gè)圖形中的情形，利用三角形面積的計(jì)算方法和圖形的對(duì)稱性以及上述結(jié)論，可得出對(duì)應(yīng)的面積的結(jié)論為：

結(jié)論2：在直角三角形ABO中，面積S=

結(jié)論3：在直角三角形ACB中，面積為S=2|k|

結(jié)論4：在三角形AMB中，面積為S=|k|

專題講解考點(diǎn)一已知面積，求反比例函數(shù)的解析式（或比例系數(shù)k）

【例1】如圖，直線OA與反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于A點(diǎn)，AB⊥x軸于點(diǎn)B，△OAB的面積為2，則k＝．分析：由圖象知,k>0,由結(jié)論及已知條件得∴k=4（2）如圖，已知雙曲線（）經(jīng)過矩形的邊的中點(diǎn)，且四邊形的面積為2，則

．分析：連結(jié)OB，∵E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)∴

而

由四邊形OEBF的面積為2得

解得k=2評(píng)注：第①小題中由圖形所在象限可確定k>0，應(yīng)用結(jié)論可直接求k值。第②小題首先應(yīng)用三角形面積的計(jì)算方法分析得出四個(gè)三角形面積相等，列出含k的方程求k值。如圖，矩形ABOD的頂點(diǎn)A是函數(shù)與函數(shù)在第二象限的交點(diǎn)，軸于B，軸于D，且矩形ABOD的面積為3．（1）求兩函數(shù)的解析式．（2）求兩函數(shù)的交點(diǎn)A、C的坐標(biāo)．（3）若點(diǎn)P是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．解：（1）由圖象知k<0，由結(jié)論及已知條件得-k=3

∴

∴反比例函數(shù)的解析式為，一次函數(shù)的解析式為（2）由，解得，

∴點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（，3），（3，）

（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，m）直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為M（0，2）

CBCBBAAA(第7題圖)O4、（湖北潛江）如圖，反比例函數(shù)的圖象與直線相交于B兩點(diǎn)，AC∥軸，BC∥軸，則△ABC的面積等于個(gè)面積單位.10（3）解答題5、如圖所示，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB垂直x軸于點(diǎn)B，△AOB的面積為。（1）求k和b的值；（2）若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，并且與x軸相交于點(diǎn)M，求AB：OM的值。分析：以面積為突破口，可求出A點(diǎn)縱坐標(biāo)b和系數(shù)k，結(jié)合A點(diǎn)的雙重特性（A點(diǎn)既在直線上，又在反比例函數(shù)圖象上）求解相應(yīng)問題。解：（1）∵AB⊥BO，A點(diǎn)坐標(biāo)為（2）∵點(diǎn)A在直線上當(dāng)y=0時(shí)，所以M點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)評(píng)：縱觀近年來的中考試題，關(guān)于反比例函數(shù)的綜合題大多是與一次函數(shù)相結(jié)合，做題時(shí)常利用交點(diǎn)的雙重特性來構(gòu)造方程（組）解決問題。6.如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于A（-2，1），B（1，n）兩點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象寫出使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍．7．已知：如圖，函數(shù)y=-x+2的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，一直線L經(jīng)過點(diǎn)C（1，0）將△AOB的面積分成相等的兩部分．（1）求直線L的函數(shù)解析式；（2）若直線L將△AOB的面積分成1：3兩部分，求直線L的函數(shù)解析式．拓展訓(xùn)練已知：如圖，正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)（1）試確定上述正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）根據(jù)圖象回答，在第一象限內(nèi)，當(dāng)取何值時(shí)，反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值？（3）是反比例函數(shù)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，其中過點(diǎn)作直線軸，交軸于點(diǎn)；過點(diǎn)作直線軸交軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．當(dāng)四邊形的面積為6時(shí)，請(qǐng)判斷線段與的大小關(guān)系，并說明理由．分析：（1）由點(diǎn)A（3，2）在兩函數(shù)圖象上，可求得k=6,a=，正比例函數(shù)為,反比例函數(shù)為(2)0<x<3(3)設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，t），則M點(diǎn)坐標(biāo)為（由四邊形OADM的面積為6得3+6+3=3t解得t=4故點(diǎn)M為（

D點(diǎn)為（3，4）從而M點(diǎn)為BD中點(diǎn)，BM=DM評(píng)注：第①小問考查求正比例和反比例函數(shù)解析式的基本方法，第②小問考查分析圖形的能力，第③小問考查反比例函數(shù)中的面積的計(jì)算問題。三個(gè)小問題層次分明，有梯度，是一道較好的中考題目六、反思總結(jié)當(dāng)堂過手訓(xùn)練（快練5分鐘，穩(wěn)準(zhǔn)建奇功）1、已知正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象都過，求此正比例函數(shù)的解析式及另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)。分析：由A點(diǎn)坐標(biāo)滿足可求得m值，再將A點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得正比例函數(shù)解析式，聯(lián)立方程組可求得另一交點(diǎn)坐標(biāo)。解：因圖象過，即，故，即A（3，1）將A（3，1）代入，得所以正比例函數(shù)解析式為聯(lián)立方程組得∴另一交點(diǎn)坐標(biāo)為（）點(diǎn)評(píng)：解此類題時(shí)，一般是先構(gòu)造方程或方程組再來解決問題。2、如圖所示，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)。（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求△AOB的面積。3、（2008山東?。?）探究新知：如圖1，已知△ABC與△ABD