2022年中考數(shù)學總復習考點知識梳理3.4第1課時二次函數(shù)圖象與性質(zhì)

3.4二次函數(shù)第1課時二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)◎會用描點法畫出二次函數(shù)的圖象,通過圖象了解二次函數(shù)的性質(zhì).◎會用配方法將數(shù)字系數(shù)的二次函數(shù)的表達式化為y=a(x－h(huán))2+k的形式,并能由此得到二次函數(shù)圖象的頂點坐標,說出圖象的開口方向,畫出圖象的對稱軸.◎會利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解.◎(選學)知道給定不共線三點的坐標可以確定一個二次函數(shù).本節(jié)考點是安徽中考?？純?nèi)容之一,二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可能會單獨命題,也可能與一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)結合考查,題型以選擇題和填空題為主,難度中等.命題點1二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)[10年2考]1.(2021·安徽第14題)設拋物線y=x2+(a+1)x+a,其中a為實數(shù).(1)若拋物線經(jīng)過點(－1,m),則m=0;

(2)將拋物線y=x2+(a+1)x+a向上平移2個單位,所得拋物線頂點的縱坐標的最大值是2.

【解析】(1)根據(jù)題意,得m=(－1)2+(a+1)×(－1)+a=0;(2)將拋物線y=x2+(a+1)x+a向上平移2個單位得到y(tǒng)=x2+(a+1)x+a+2,配方得y=x+a+122-14(a+1)2+a+2,2.(2019·安徽第14題)在平面直角坐標系中,垂直于x軸的直線l分別與函數(shù)y=x－a+1和y=x2－2ax的圖象相交于P,Q兩點.若平移直線l,可以使P,Q都在x軸的下方,則實數(shù)a的取值范圍是a>1或a<－1.

【解析】函數(shù)y=x2－2ax的圖象是拋物線,拋物線的開口向上,與x軸的交點坐標為(0,0)和(2a,0),由題意知a≠0,應分兩種情況:(1)當a>0時,若平移直線l,使得P,Q都在x軸的下方,如圖1,此時當x=0時,y=0－a+1<0,解得a>1;(2)當a<0時,若平移直線l,使得P,Q都在x軸的下方,如圖2,此時當x=2a時,y=2a－a+1<0,解得a<－1.綜上可得a>1或a<－1.3.(2017·安徽第9題)已知拋物線y=ax2+bx+c與反比例函數(shù)y=bx的圖象在第一象限有一個公共點,其橫坐標為1,則一次函數(shù)y=bx+ac的圖象可能是(B【解析】根據(jù)拋物線y=ax2+bx+c與反比例函數(shù)y=bx的圖象在第一象限有一個公共點,可得b>0,根據(jù)交點橫坐標為1,可得a+b+c=b,所以a+c=0,則ac<0,所以一次函數(shù)y=bx+ac的圖象經(jīng)過第一、三、四象限4.(2015·安徽第10題)如圖,一次函數(shù)y1=x與二次函數(shù)y2=ax2+bx+c的圖象相交于P,Q兩點,則函數(shù)y=ax2+(b－1)x+c的圖象可能是(A)【解析】設點P的坐標為(x,ax2+bx+c),因為點P在直線y1=x上,所以x=ax2+bx+c,即ax2+(b－1)x+c=0.由圖象可知一次函數(shù)y1=x與二次函數(shù)y2=ax2+bx+c交于第一象限的P,Q兩點,所以方程ax2+(b－1)x+c=0有兩個正實數(shù)根,所以函數(shù)y=ax2+(b－1)x+c的圖象與x軸有兩個交點,并且這兩個交點都在x軸的正半軸上,符合條件的只有選項A.命題點3二次函數(shù)表達式的確定[必考]5.(2013·安徽第16題)已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為(1,－1),且經(jīng)過原點(0,0),求該函數(shù)的表達式.解:設該二次函數(shù)的表達式為y=a(x－1)2－1(a≠0).∵函數(shù)圖象經(jīng)過原點(0,0),∴a×(0－1)2－1=0,∴a=1,∴該函數(shù)的表達式為y=(x－1)2－1(或y=x2－2x).典例若拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A(－1,0),B(5,0),C(1,－16),該圖象與y軸交于點D.(1)求該拋物線的函數(shù)表達式.(2)該函數(shù)圖象開口向,對稱軸為直線,頂點坐標為;當x時,y有最值,為;當x時,y隨x的增大而增大;當x時,y隨x的增大而減小.

(3)直接寫出ax2+bx+c>0的解集.

(4)求△ABD的面積.(5)該函數(shù)圖象是由拋物線y=ax2經(jīng)過平移得到的,請寫出平移方式.(6)在該函數(shù)圖象上找一點M,使得△ABM的面積等于△ABD的面積,求出點M的坐標.(7)若P是該函數(shù)圖象位于第四象限上的一點,求當點P的坐標為多少時,△PBD的面積最大.(8)若Q是該拋物線的頂點,將頂點先向左平移2個單位長度,再向上平移9個單位長度,恰好落在直線y=mx+m－4上,則m=.

【答案】(1)設拋物線的函數(shù)表達式為y=a(x+1)(x－5).把點C(1,－16)代入,得a=2,∴該拋物線的函數(shù)表達式為y=2(x+1)(x－5)=2x2－8x－10(或y=2(x－2)2－18).(2)上;x=2;(2,－18);=2;小;－18;>2;<2.(3)x<－1或x>5.(4)當x=0時,y=－10,∴點D的坐標為(0,－10),∴S△ABD=12|AB|·(5)由(1)知該拋物線的函數(shù)表達式為y=2(x－2)2－18,∴該拋物線是由拋物線y=ax2先向右平移2個單位長度,再向下平移18個單位長度得到的.(答案不唯一,合理即可)(6)設點M的坐標為(x0,y0).由題知S△ABM=S△ABD,即12|AB|·|y0|=30,解得y0=±10又∵點M在拋物線y=2x2－8x－10上,∴x0=2±14或x0=4(舍去x=0),∴點M的坐標為(4,－10)或(2+14,10)或(7)過點P作PN⊥x軸,交BD于點N.由題可知直線BD的函數(shù)表達式為y=2x－10.設點P的坐標為(x,2x2－8x－10),∴點N的坐標為(x,2x－10),∴S△PBD=12∴當x=52(8)－5.提示:由(1)可知點Q的坐標為(2,－18).由題可知點Q經(jīng)過平移變換后的對應點的坐標為(0,－9).把點(0,－9)代入直線y=mx+m－4,得m=－5.順口溜:二次函數(shù)拋物線,既是重點亦難點,定義圖象和性質(zhì),一一分清記心間.三種表達很重要,解題當中常用到,因題而異靈活選,事關解題繁與簡.一般三點用一般,有關頂點用配方,涉及兩根用交點,a的大小