高二數(shù)學(xué)之人教版高中數(shù)學(xué)選修4-5課件：4.1數(shù)學(xué)歸納法

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式數(shù)學(xué)歸納法高二數(shù)學(xué)PPT之人教版數(shù)學(xué)選修4-5課件：4.1數(shù)學(xué)歸納法2021/5/91【自主預(yù)習(xí)】1.數(shù)學(xué)歸納法的定義一般地,當(dāng)要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時,可以用以下兩個步驟:(1)證明當(dāng)____時命題成立.n=n02021/5/92(2)假設(shè)當(dāng)__________________時命題成立,證明______時命題也成立.在完成了這兩個步驟后,就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數(shù)都成立,這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.n=k(k∈N+,且k≥n0)n=k+12021/5/932.數(shù)學(xué)歸納法的步驟2021/5/94【即時小測】1.下列四個判斷中,正確的是(

)A.式子1+k+k2+…+kn(n∈N*)當(dāng)n=1時為1B.式子1+k+k2+…+kn-1(n∈N*)當(dāng)n=1時為1+k2021/5/95C.式子(n∈N*)當(dāng)n=1時為D.設(shè)f(n)=(n∈N*),則f(k+1)=2021/5/96【解析】選C.A.式子1+k+k2+…+kn(n∈N*)當(dāng)n=1時應(yīng)為1+k,故A不正確;B.式子1+k+k2+…+kn-1(n∈N*)當(dāng)n=1時應(yīng)為1,故B不正確;C.式子(n∈N*)當(dāng)n=1時為正確;D.設(shè)f(n)=(n∈N*),則f(k+1)=

故D不正確.2021/5/972.用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)”,當(dāng)“n從k到k+1”左端需增乘的代數(shù)式為(

)A.2k+1

B.2(2k+1)2021/5/98【解析】選B.當(dāng)n=k時,左端=(k+1)(k+2)(k+3)…(2k),當(dāng)n=k+1時,左端=(k+2)(k+3)…(2k)(2k+1)(2k+2),故當(dāng)“n從k到k+1”左端需增乘的代數(shù)式為=2(2k+1).2021/5/99【知識探究】

探究點數(shù)學(xué)歸納法1.數(shù)學(xué)歸納法的第一步n的初始值是否一定為1?提示:不一定.2021/5/9102.在用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題時,只有第一步或只有第二步可以嗎?為什么?提示:不可以.這兩個步驟缺一不可,只完成步驟①而缺少步驟②,就作出判斷可能得出不正確的結(jié)論.因為單靠步驟①,無法遞推下去,即n取n0以后的數(shù)時命題是否正確,我們無法判定.同樣,只有步驟②而缺少步驟①時,2021/5/911也可能得出不正確的結(jié)論,缺少步驟①這個基礎(chǔ),假設(shè)就失去了成立的前提,步驟②也就沒有意義了.2021/5/912【歸納總結(jié)】1.數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍數(shù)學(xué)歸納法可以證明與正整數(shù)有關(guān)的命題,但是,并不能簡單地說所有涉及正整數(shù)n的命題都可以用數(shù)學(xué)歸納法證明.2021/5/9132.數(shù)學(xué)歸納法中兩步的作用在數(shù)學(xué)歸納法中第一步“驗證n=n0時命題成立”是奠基,是推理證明的基礎(chǔ),第二步是假設(shè)與遞推,保證了推理的延續(xù)性.2021/5/9143.運用數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵運用歸納假設(shè)是關(guān)鍵,在使用歸納假設(shè)時,應(yīng)分析p(k)與p(k+1)的差異與聯(lián)系,利用拆、添、并、放、縮等手段,或從歸納假設(shè)出發(fā),從p(k+1)中分離出p(k)再進行局部調(diào)整.2021/5/915類型一利用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式【典例】已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an=3n-1+an-1(n≥2,n∈N+)(1)求a2,a3.(2)求證:an=2021/5/916【解題探究】本例中當(dāng)n=k+1時,ak+1與ak的關(guān)系式是什么?提示:由an=3n-1+an-1可知ak+1=3k+ak.2021/5/917【解析】(1)由a1=1,得a2=3+1=4,a3=32+4=13.(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明:①當(dāng)n=1時,a1=1=,所以命題成立.②假設(shè)n=k(k∈N+,k≥1)時命題成立,即ak=,那么當(dāng)n=k+1時,ak+1=ak+3k=2021/5/918即n=k+1時,命題也成立.由①②知命題對n∈N+都成立.2021/5/919【方法技巧】利用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式的注意點利用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式時要注意兩點:一是要準(zhǔn)確表達n=n0時命題的形式,二是要準(zhǔn)確把握由n=k到n=k+1時,命題結(jié)構(gòu)的變化特點.并且一定要記住:在證明n=k+1成立時,必須使用歸納假設(shè).2021/5/920【變式訓(xùn)練】1.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+a+a2+…+an+1=a≠1,n∈N*”,在驗證n=1成立時,左邊計算所得項是(

)A.1

B.1+a

C.1+a+a2

D.1+a+a2+a3【解析】選C.因為n=1時,n+1=2,所以左邊計算所得項是1+a+a22021/5/9212.看下面的證明是否正確,如果不正確,指出錯誤的原因,并加以改正.用數(shù)學(xué)歸納法證明:1-2+4-8+…+(-1)n-1·2n-1=(-1)n-1·證明:(1)當(dāng)n=1時,左邊=1,右邊==1,等式成立.2021/5/922(2)假設(shè)n=k時,等式成立,即1-2+4-8+…+(-1)k-12k-1=(-1)k-1·則當(dāng)n=k+1時,有1-2+4-8+…+(-1)k-1·2k-1+(-1)k·2k2021/5/923這就是說,當(dāng)n=k+1時,等式也成立.由(1)與(2)知,對任意n∈N+等式成立.2021/5/924【解析】從上面的證明過程可以看出,是用數(shù)學(xué)歸納法證明等式成立.在第二步中,證n=k+1時沒有用上假設(shè),而是直接利用等比數(shù)列的求和公式,這是錯誤的.第二步正確證法應(yīng)為:2021/5/925當(dāng)n=k+1時,1-2+4-8+…+(-1)k-1·2k-1+(-1)k2k=(-1)k-1·+(-1)k·2k=-(-1)k·+(-1)k·2k+=即當(dāng)n=k+1時,等式也成立.2021/5/926類型二利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題【典例】設(shè)x∈N+,n∈N+,求證:xn+2+(x+1)2n+1能被x2+x+1整除.2021/5/927【解題探究】證明一個與n有關(guān)的式子f(n)能被另一個數(shù)m(或一個代數(shù)式g(m))整除的關(guān)鍵是什么?提示:關(guān)鍵是找到f(k+1)與f(k)的關(guān)系,設(shè)法找到被除式中分解出的(x2+x+1).2021/5/928【證明】(1)當(dāng)n=1時,x3+(x+1)3=[x+(x+1)]·[x2-x(x+1)+(x+1)2]=(2x+1)(x2+x+1),結(jié)論成立.(2)假設(shè)n=k時,結(jié)論成立,即xk+2+(x+1)2k+1能被x2+x+1整除,那么當(dāng)n=k+1時,2021/5/929x(k+1)+2+(x+1)2(k+1)+1=x·xk+2+(x+1)2(x+1)2k+1=x[xk+2+(x+1)2k+1]+(x+1)2(x+1)2k+1-x(x+1)2k+1=x[xk+2+(x+1)2k+1]+(x2+x+1)(x+1)2k+1.由假設(shè)知,xk+2+(x+1)2k+1及x2+x+1均能被x2+x+1整除,故x(k+1)+2+(x+1)2(k+1)+1能被x2+x+1整除,即n=k+1時,結(jié)論也成立.由(1)(2)知,原結(jié)論成立.2021/5/930【延伸探究】1.若將本例中的代數(shù)式xn+2+(x+1)2n+1和x2+x+1分別改為42n+1+3n+2和13,如何證明?2021/5/931【證明】(1)當(dāng)n=1時,42×1+1+31+2=91能被13整除.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時,42k+1+3k+2能被13整除,則當(dāng)n=k+1時,42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3-42k+1·3+42k+1·3=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)因為42k+1·13能被13整除,42k+1+3k+2能被13整除,2021/5/932所以當(dāng)n=k+1時結(jié)論也成立.由(1)(2)知,當(dāng)n∈N*時,42n+1+3n+2能被13整除.2021/5/9332.若把本例改為求證:兩個連續(xù)正整數(shù)的積能被2整除.【證明】設(shè)n∈N+,則要證明n(n+1)能被2整除.(1)當(dāng)n=1時,1×(1+1)=2,能被2整除,即命題成立.2021/5/934(2)假設(shè)n=k(k≥1,k∈N+)時,命題成立,即k·(k+1)能被2整除.那么當(dāng)n=k+1時,(k+1)(k+1+1)=(k+1)(k+2)=k(k+1)+2(k+1),由歸納假設(shè)知k(k+1)及2(k+1)都能被2整除.2021/5/935所以(k+1)(k+2)能被2整除.故n=k+1時命題也成立.由(1)(2)可知,命題對一切n∈N+都成立.2021/5/936【方法技巧】用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題的關(guān)鍵點(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題的關(guān)鍵是利用增項、減項、拆項、并項、因式分解等恒等變形的方法去湊假設(shè)、湊結(jié)論,從而利用歸納假設(shè)使問題獲證.2021/5/937(2)與n有關(guān)的整除問題一般都用數(shù)學(xué)歸納法證明,其中關(guān)鍵問題是從n=k+1時的表達式中分解出n=k時的表達式與一個含除式的因式或幾個含除式的因式.2021/5/938【變式訓(xùn)練】1.用數(shù)學(xué)歸納法證明“n∈N*,n(n+1)(2n+1)能被6整除”時,某同學(xué)證法如下:(1)n=1時1×2×3=6能被6整除,所以n=1時命題成立.2021/5/939(2)假設(shè)n=k時成立,即k(k+1)(2k+1)能被6整除,那么n=k+1時,(k+1)(k+2)(2k+3)=(k+1)(k+2)[k+(k+3)]=k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)(k+3).2021/5/940因為k,k+1,k+2和k+1,k+2,k+3分別是三個連續(xù)自然數(shù).所以其積能被6整除.故n=k+1時命題成立.綜合(1),(2),對一切n∈N*,n(n+1)(2n+1)能被6整除.這種證明不是數(shù)學(xué)歸納法,主要原因是_________.2021/5/941【解析】由證明過程知,在證明當(dāng)n=k+1命題成立的過程中,沒有應(yīng)用歸納假設(shè),故不是數(shù)學(xué)歸納法.答案:在證明當(dāng)n=k+1命題成立的過程中沒有應(yīng)用歸納假設(shè)2021/5/9422.證明:62n-1+1能被7整除(n∈N+).【證明】(1)當(dāng)n=1時,62-1+1=7能被7整除.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+)時,62k-1+1能被7整除.那么當(dāng)n=k+1時,62(k+1)-1+1=62k-1+2+1=36(62k-1+1)-35.2021/5/943因為62k-1+1能被7整除,35也能被7整除,所以當(dāng)n=k+1時,62(k+1)-1+1能被7整除.由(1),(2)知命題成立.2021/5/944類型三用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題【典例】平面上有n(n∈N+,n≥2)條直線,其中任意兩條直線不平行,任意三條直線不過同一點,求證:這n條直線共有f(n)=個交點.2021/5/945【解題探究】本例中的初始值應(yīng)該驗證哪個值?提示:題中的初始值驗證應(yīng)該結(jié)合題目中的n≥2,所以需要驗證n=2.2021/5/946【證明】(1)當(dāng)n=2時,兩條不平行的直線共有1個交點,而f(2)==1,所以命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2,且k∈N+)時命題成立,就是該平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線的交點個數(shù)為f(k)=k(k-1),則當(dāng)n=k+1時,任取其中一條直線記為l,2021/5/947如圖,剩下的k條直線為l1,l2,…,lk.由歸納假設(shè)知,它們之間的交點個數(shù)為f(k)=.2021/5/948由于l與這k條直線均相交且任意三條不過同一點,所以直線l與l1,l2,l3,…,lk的交點共有k個.所以f(k+1)=f(k)+k=所以當(dāng)n=k+1時命題成立.由(1)(2)可知,命題對一切n∈N+且n≥2都成立.2021/5/949【延伸探究】本例中若把條件“n≥2”刪掉,其余不變,你能證明這n條直線把平面分成f(n)=個部分嗎?2021/5/950【證明】(1)當(dāng)n=1時,一條直線把平面分成兩部分,而f(1)==2,所以命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時命題成立,即k條直線把平面分成f(k)=個部分.2021/5/951則當(dāng)n=k+1時,即增加一條直線l,因為任何兩條直線都相交,所以l與k條直線都相交,有k個交點;又因為任何三條直線不共點,所以這k個交點不同于k條直線的交點,且k個交點也互不相同,如此k個交點把直線l分成(k+1)段,每一段把它所在的平面區(qū)域分成兩部分,故新增加了(k+1)個部分.2021/5/952因為f(k+1)=f(k)+k+1=+k+1==,所以當(dāng)n=k+1時,命題成立.由(1)(2)可知,當(dāng)n∈N+時,命題成立.2021/5/953【方法技巧】利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的技巧(1)幾何問題常常是先探索出滿足條件的公式,然后加以證明,探索的方法是由特殊n=1,2,3,…,猜出一般結(jié)論.2021/5/954(2)數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵在于分析清楚n=k與n=k+1時二者的差異,這時常常借助于圖形的直觀性,然后用數(shù)學(xué)式子予以描述,建立起f(k)與f(k+1)之間的遞推關(guān)系,實在分析不出的情況下,將n=k+1和n=k分別代入所證的式子,然后作差,即可求出增加量,然后只需稍加說明即可.2021/5/955(3)利用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題要注意利用數(shù)形結(jié)合尋找公式,還要注意結(jié)論要有必要的文字說明.2021/5/956【變式訓(xùn)練】1.記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k),則凸k+1邊形的內(nèi)角和f(k+1)=f(k)+

(

)A.

B.πC.2π D.π【解析】選B.由n=3到n=4知內(nèi)角和增加π.2021/5/9572.已知n個圓