高等數(shù)學(xué)2知識點總復(fù)習(xí)

數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)

2021/5/91知識點1.

數(shù)量積、向量積、夾角余弦；2021/5/92知識點1.

數(shù)量積、向量積、夾角余弦；////2021/5/93解2021/5/94解2021/5/95知識點2：平面及其方程（三種形式）平面的點法式方程:平面的一般方程:平面的截距式方程:兩平面夾角余弦公式://2021/5/96取法向量化簡得所求平面方程為解2021/5/97設(shè)平面為由所求平面與已知平面平行得（向量平行的充要條件）解2021/5/98化簡得代入體積式所求平面方程為2021/5/99知識點3：空間直線及其方程空間直線的一般方程:直線的參數(shù)方程:直線的對稱式方程:^兩直線的夾角公式2021/5/910平面:垂直：平行：夾角公式：直線:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束知識點3：空間直線及面線間的關(guān)系方程2021/5/911例.

求直線與平面的交點.提示:

化直線方程為參數(shù)方程代入平面方程得從而確定交點為（1，2，2）.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/912解

所求直線方程方法2:設(shè)2021/5/913練習(xí):設(shè)有直線與則L1與L2的夾角為[注]L1和L2的方向向量分別為和2021/5/914知識點4：二元函數(shù)的定義域與極限例6

求的定義域．解所求定義域為2021/5/915例7

求極限解其中2021/5/916求極限:2021/5/917知識點5：二元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)；多元復(fù)合函數(shù)鏈?zhǔn)椒▌t:

2021/5/918特殊地即令其中兩者的區(qū)別區(qū)別類似2021/5/919例解:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/9202021/5/921例.設(shè)F(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),解利用偏導(dǎo)數(shù)公式.確定的隱函數(shù),則已知方程機動目錄上頁下頁返回結(jié)束故2021/5/922多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)2021/5/9232021/5/9242、二元函數(shù)f(x，y)在點（x0，y0)處兩個偏導(dǎo)數(shù)存在，是f(x，y)在該點連續(xù)的（A）充分條件而非必要條件（B）必要條件而非充分條件（C）充分必要條件（D）既非充分條件又非必要條件2021/5/9255、二元函數(shù)在點(0,0)處(A)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在（B）連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)不存在(C)不連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在（D）不連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)不存在偏導(dǎo)數(shù)存在，又當(dāng)（x，y）沿y=kx趨向于（0，0）時隨著k的不同，該極限值也不同，所以極限不存在，f(x，y)在（0，0）不連續(xù)。2021/5/926解2021/5/927解2021/5/928解令記同理有2021/5/929于是2021/5/930解令2021/5/931練習(xí):設(shè),求解令則2021/5/932知識點6：多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用1.曲線切線方程:2.曲線的法平面：3.切平面方程:4.曲面的法線方程為:2021/5/933解切平面方程為法線方程為2021/5/9342021/5/9355.方向?qū)?shù)與梯度（歸納）：

求曲線的切線及法平面(關(guān)鍵:抓住切向量)

求曲面的切平面及法線(關(guān)鍵:抓住法向量)

機動目錄上頁下頁返回結(jié)束求函數(shù)的方向?qū)?shù)和梯度2021/5/936一、方向?qū)?shù)

設(shè)函數(shù)z

f(x,y)在點P0(x0

y0)的某一鄰域U(P0)內(nèi)有定義

l是xOy平面上以P0(x0

y0)為始點的一條射線

與l同方向的單位向量為el

(cos

cos

)

存在,則稱此極限為函數(shù)f(x,y)在點P0沿方向l的方向?qū)?shù),記為

取P(x0

tcos

y0

tcos

)

U(P0)

如果極限方向?qū)?shù)2021/5/937一、方向?qū)?shù)

設(shè)函數(shù)z

f(x,y)在點P0(x0

y0)的某一鄰域U(P0)內(nèi)有定義

l是xOy平面上以P0(x0

y0)為始點的一條射線

與l同方向的單位向量為el

(cos

cos

)

方向?qū)?shù)

方向?qū)?shù)就是函數(shù)f(x

y)在點P0(x0

y0)處沿方向l的變化率

2021/5/938一、方向?qū)?shù)

設(shè)函數(shù)z

f(x,y)在點P0(x0

y0)的某一鄰域U(P0)內(nèi)有定義

l是xOy平面上以P0(x0

y0)為始點的一條射線

與l同方向的單位向量為el

(cos

cos

)

方向?qū)?shù)

如果函數(shù)z

f(x,y)在點P0(x0

y0)可微分,那么函數(shù)在該點沿任一方向l(el

(cos

cos

))的方向?qū)?shù)都存在,且有定理(方向?qū)?shù)的計算)>>>

2021/5/939討論

函數(shù)f(x,y)在點P沿x軸正向和負(fù)向,沿y軸正向和負(fù)向的方向?qū)?shù)如何?提示

函數(shù)f(x,y)在點P0沿方向l(el

(cos

cos

))的方向?qū)?shù)

2021/5/940

例

求f(x

y

z)

xy2

z3

xyz在點(1

1

2)沿方向l的方向?qū)?shù)

其中l(wèi)的方向角分別為60

45

60

解

與l同向的單位向量為

因為函數(shù)可微分

且

所以

fx(1

1

2)

(y2-yz)|(1

1

2)

-1

fy(1

1

2)

(2xy-xz)|(1

1

2)

0

fz(1

1

2)

(3z2-xy)|(1

1

2)

11

2021/5/941二、梯度梯度的定義

函數(shù)z

f(x,y)在點P0(x0

y0)的梯度:gradf(x0

y0)

fx(x0

y0)i

fy(x0

y0)j

梯度與方向?qū)?shù)

如果函數(shù)f(x

y)在點P0(x0

y0)可微分

el

(cos

cos

)是與方向l同方向的單位向量,則

gradf(x0

y0)

el

|gradf(x0

y0)|

cos(gradf(x0

y0),^el)

2021/5/942

函數(shù)在一點的梯度是這樣一個向量,它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,而它的模為方向?qū)?shù)的最大值.

二、梯度梯度的定義

函數(shù)z

f(x,y)在點P0(x0

y0)的梯度:gradf(x0

y0)

fx(x0

y0)i

fy(x0

y0)j

梯度與方向?qū)?shù)

|gradf(x0

y0)|

cos(gradf(x0

y0),^el)

如果函數(shù)f(x

y)在點P0(x0

y0)可微分

el

(cos

cos

)是與方向l同方向的單位向量,則2021/5/943例求

grad．

解這里

f(x，y)

．因為，，所以

grad．

例

設(shè)

f(x，y，z)

x3－xy2－z，求gradf(1,1,0)．

解

gradf

(fx，fy，fz

)

(3x2－y2,－2xy,－1)，于是

gradf(1，1，0)

(2,

2,－1)．函數(shù)在此點沿方向(2,-2,-1)增加率最大,其值為3.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束函數(shù)在此點沿方向(-2,2,1)減少率最大,其值為-3.2021/5/944說明:

使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點稱為駐點

.例如,定理1(必要條件)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),

但駐點不一定是極值點.有駐點(0,0),但在該點不取極值.且在該點取得極值,則有存在知識點7：多元函數(shù)的極值及其求法2021/5/945

2021/5/946例.求函數(shù)解:

第一步求駐點.得駐點:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).第二步判別.在點(1,0)處為極小值;解方程組的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/947在點(3,0)處不是極值;在點(3,2)處為極大值.在點(1,2)處不是極值;機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/9482021/5/949解則

2x=3y,y=2z2021/5/950知識點8：二重積分的性質(zhì)與計算性質(zhì)１當(dāng)為常數(shù)時，性質(zhì)２性質(zhì)３對區(qū)域具有可加性2021/5/951性質(zhì)4若在D上則有性質(zhì)5性質(zhì)62021/5/952二重積分的計算1.二重積分化為累次積分的方法直角坐標(biāo)系情形:

若積分區(qū)域為則

若積分區(qū)域為則機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/953先確定積分次序(先看被積函數(shù),再看被積區(qū)域D)先積后定限,限內(nèi)畫條線,先交為下限,后交上限寫.2021/5/954解積分區(qū)域如圖2021/5/955則2.極坐標(biāo)系情形:若積分區(qū)域為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束則⑵⑴2021/5/956例.計算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:

由被積函數(shù)可知,因此取D為X–型域:先對x

積分不行,說明:

有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束對y積分是常量2021/5/957三重積分的計算方法方法1.“先一后二”(投影法)方法2.“先二后一”(截面法)方法3.“三次積分”機動目錄上頁下頁返回結(jié)束1.直角坐標(biāo)情形:2021/5/9582.不同坐標(biāo)系的三重積分積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡潔,或坐標(biāo)系體積元素適用情況直角坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系變量可分離.圍成;機動目錄上頁下頁返回結(jié)束其中其中2021/5/959其中

為由例.計算三重積分所圍解:

在柱面坐標(biāo)系下及平面柱面成半圓柱體.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/960知識點9：重積分的應(yīng)用（1）平面區(qū)域的面積（2）曲面的面積2021/5/961例.計算雙曲拋物面被柱面所截解:

曲面在

xoy

面上投影為則出的面積A.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/962知識點10：兩類曲線積分及格林公式2021/5/963例16解例17解A(1,0)B(1,1)O2021/5/964第二類曲線積分幾種特殊情形的計算:2021/5/965曲線積分第一類(對弧長)第二類(對坐標(biāo))(1)統(tǒng)一積分變量轉(zhuǎn)化定積分用參數(shù)方程用直角坐標(biāo)方程用極坐標(biāo)方程(2)確定積分上下限第一類:下小上大第二類:下始上終機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/966

兩類曲線積分之間的聯(lián)系：2021/5/967平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件定理.

設(shè)D是單連通域

,在D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(1)沿D中任意光滑閉曲線

L,有(2)對D中任一分段光滑曲線

L,曲線積分(3)(4)在D內(nèi)每一點都有與路徑無關(guān),只與起止點有關(guān).函數(shù)則以下四個條件等價:在D內(nèi)是某一函數(shù)的全微分,即機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定理證明采用⑴→⑵→⑶→⑷2021/5/968解2021/5/969例.計算曲線積分

其中

為螺旋的一段弧.解:

線機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/970例.

計算其中L為一無重點且不過原點的分段光滑正向閉曲線.解:

令設(shè)L所圍區(qū)域為D,由格林公式知機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/971在D內(nèi)作圓周取逆時針方向,,對區(qū)域應(yīng)用格記L和

lˉ

所圍的區(qū)域為林公式,得機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/972例.

驗證是某個函數(shù)的全微分,并求出這個函數(shù).證:

設(shè)則由定理2可知,存在函數(shù)u(x,y)使。。機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2021/5/973知識點11：兩類曲面積分及高斯公式則則則2021/5/9742021/5/975兩類曲面積分之間的聯(lián)系2021/5/976知識點:常數(shù)項級數(shù)的收斂與發(fā)散

條件收斂與絕對收斂結(jié)論:級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù),斂散性不變.結(jié)論:收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減.2021/5/977比較判別法:可作為參考的級數(shù):幾何級數(shù),P-級數(shù)(包括調(diào)和級數(shù)).2021/5/978比值判別法:根式判別法:2021/5/9