新高考數(shù)學二輪復習導數(shù)培優(yōu)專題20 極值點偏移問題（含解析）

專題20極值點偏移問題1．極值點偏移的含義若單峰函數(shù)f(x)的極值點為x0，則極值點的偏移問題的圖示及函數(shù)值的大小關系如下表所示.極值點x0函數(shù)值的大小關系圖示極值點不偏移x0＝eq\f(x1＋x2,2)f(x1)＝f(2x0－x2)極值點偏移左移x0<eq\f(x1＋x2,2)峰口向上：f(x1)<f(2x0－x2)峰口向下：f(x1)>f(2x0－x2)右移x0>eq\f(x1＋x2,2)峰口向上：f(x1)>f(2x0－x2)峰口向下：f(x1)<f(2x0－x2)2.函數(shù)極值點偏移問題的題型及解法極值點偏移問題的題設一般有以下四種形式：若函數(shù)f(x)在定義域上存在兩個零點x1，x2(x1≠x2)，求證：x1＋x2>2x0(x0為函數(shù)f(x)的極值點)；若在函數(shù)f(x)的定義域上存在x1，x2(x1≠x2)滿足f(x1)＝f(x2)，求證：x1＋x2>2x0(x0為函數(shù)f(x)的極值點)；(3)若函數(shù)f(x)存在兩個零點x1，x2(x1≠x2)，令x0＝eq\f(x1＋x2,2)，求證：f′(x0)>0；(4)若在函數(shù)f(x)的定義域上存在x1，x2(x1≠x2)滿足f(x1)＝f(x2)，令x0＝eq\f(x1＋x2,2)，求證：f′(x0)>0.3.極值點偏移問題的一般解法3.1對稱化構(gòu)造法主要用來解決與兩個極值點之和，積相關的不等式的證明問題．其解題要點如下：(1)定函數(shù)(極值點為SKIPIF1<0)，即利用導函數(shù)符號的變化判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而確定函數(shù)的極值點SKIPIF1<0．(2)構(gòu)造函數(shù)，即對結(jié)論SKIPIF1<0型，構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；(3)對結(jié)論SKIPIF1<0型，構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0，通過研究SKIPIF1<0的單調(diào)性獲得不等式．(4)判斷單調(diào)性，即利用導數(shù)討論SKIPIF1<0的單調(diào)性．(5)比較大小，即判斷函數(shù)SKIPIF1<0在某段區(qū)間上的正負，并得出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小關系．(6)轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性，將SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小關系轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的關系，進而得到所證或所求．3.2．差值代換法（韋達定理代換令SKIPIF1<0.）差值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點之間的關系，然后利用兩個極值點之差作為變量，從而實現(xiàn)消參、減元的目的．設法用差值(一般用SKIPIF1<0表示)表示兩個極值點，即SKIPIF1<0，化為單變量的函數(shù)不等式，繼而將所求解問題轉(zhuǎn)化為關于SKIPIF1<0的函數(shù)問題求解．3.3．比值代換法比值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點之間的關系，然后利用兩個極值點的比值作為變量，從而實現(xiàn)消參、減元的目的．設法用比值(一般用SKIPIF1<0表示)表示兩個極值點，即SKIPIF1<0，化為單變量的函數(shù)不等式，繼而將所求解問題轉(zhuǎn)化為關于SKIPIF1<0的函數(shù)問題求解．3.4．對數(shù)均值不等式法兩個正數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的對數(shù)平均定義：SKIPIF1<0對數(shù)平均與算術平均、幾何平均的大小關系：SKIPIF1<0（此式記為對數(shù)平均不等式）取等條件：當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立．3.5指數(shù)不等式法在對數(shù)均值不等式中，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，根據(jù)對數(shù)均值不等式有如下關系：SKIPIF1<0專項突破練1．已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)求函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；(2)當SKIPIF1<0時，證明：SKIPIF1<0．【解析】（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得x＝1，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，故函數(shù)SKIPIF1<0的減區(qū)間為SKIPIF1<0，增區(qū)間為SKIPIF1<0；（2）由（1）知，不妨設SKIPIF1<0，構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得證．2．已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若SKIPIF1<0有兩個極值點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.【解析】(1)函數(shù)的定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是增函數(shù)，即SKIPIF1<0對任意SKIPIF1<0恒成立，故SKIPIF1<0恒成立，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以a的取值范圍是SKIPIF1<0.(2)不妨設SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的兩個極值點，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的兩個零點，即SKIPIF1<0，由（1）知，SKIPIF1<0，故應有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，要證明SKIPIF1<0，只需證SKIPIF1<0，只需證SKIPIF1<0SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，及SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0成立.3．已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的極大值；(2)設SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是兩個不相等的正數(shù)，且SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.【解析】(1)因為SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞增，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞減，所以，函數(shù)SKIPIF1<0的極大值為SKIPIF1<0.(2)證明：因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由（1）知，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，因為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是兩個不相等的正數(shù)，且滿足SKIPIF1<0，不妨設SKIPIF1<0，構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此時函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞減，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此時函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞減，又因為函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上連續(xù)，故函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為增函數(shù)，故SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為減函數(shù)，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.4．已知函數(shù)SKIPIF1<0(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，證明:SKIPIF1<0.【解析】（1）SKIPIF1<0

當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0單調(diào)遞增；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0單調(diào)遞減；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0單調(diào)遞減；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0單調(diào)遞增；（2）證明：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0由（1）可知，此時SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的極大值點，因此不妨令SKIPIF1<0要證SKIPIF1<0，即證：SKIPIF1<0①當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0成立；②當SKIPIF1<0時先證SKIPIF1<0此時SKIPIF1<0

要證SKIPIF1<0，即證：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0①令SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增∴SKIPIF1<0，∴①式得證.∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0

∴SKIPIF1<0

∴SKIPIF1<05．已知函數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）．(1)SKIPIF1<0，求函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線方程．(2)討論函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性；(3)若函數(shù)SKIPIF1<0有兩個零點SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．【解析】(1)當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0的定義域為(0，+∞)，SKIPIF1<0.當a<0時，SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0在(0，+∞)上單調(diào)遞減；當a>0時，SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0單調(diào)遞減；在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0單調(diào)遞增.(3)當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由(2)知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增.由題意可得：SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0及SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0.欲證x1+x2>2e，只要x1>2e-x2，注意到f(x)在(0，e)上單調(diào)遞減，且f(x1)=0，只要證明f(2e-x2)>0即可.由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，則g(t)在(e，2e)上是遞增的，∴g(t)>g(e)=0即f(2e-x2)>0.綜上x1+x2>2e.6．已知函數(shù)SKIPIF1<0(1)求證：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；(2)當方程SKIPIF1<0有兩個不等實數(shù)根SKIPIF1<0時，求證：SKIPIF1<0【解析】(1)令SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，即當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.(2)證明：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0.

因為方程SKIPIF1<0有兩個不等實根，所以SKIPIF1<0.不妨設SKIPIF1<0.由（1）知，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.方程SKIPIF1<0可化為SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0.①同理由SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0.②由①②，得SKIPIF1<0.又因為SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.法二：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0.因為方程SKIPIF1<0有兩個不等實根，所以SKIPIF1<0.不妨設SKIPIF1<0.要證SKIPIF1<0，只要證SKIPIF1<0，只要證：SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，只要證：SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，只要證SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立.因為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0，故原結(jié)論得證.7．已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0有兩個不同的零點SKIPIF1<0，求a的取值范圍，并證明：SKIPIF1<0．【解析】(1)當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，定義域為SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；(2)因為SKIPIF1<0有兩個不同的零點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在定義域內(nèi)不單調(diào)；由SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，不符合題意；當SKIPIF1<0時，在SKIPIF1<0上有SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減．不妨設SKIPIF1<0令SKIPIF1<0則SKIPIF1<0SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增所以SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．8．已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)求曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線方程；(2)若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的導函數(shù)），方程SKIPIF1<0有兩個不等實根SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．【解析】(1)因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，曲線SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0處的切線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.(2)證明：因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0為增函數(shù)，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增．由方程SKIPIF1<0有兩個不等實根SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則可設SKIPIF1<0，欲證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0得證．9．已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；(2)若函數(shù)SKIPIF1<0恰有三個零點SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．【解析】(1)SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0．(2)SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0為函數(shù)的一個零點，設為SKIPIF1<0；設函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增．由已知，SKIPIF1<0必有兩個零點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，下證：SKIPIF1<0．設函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由（1）有SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，且在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．10．已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)若函數(shù)SKIPIF1<0為增函數(shù)，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍；(2)若函數(shù)SKIPIF1<0有兩個極值點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0．【解析】(1)因為SKIPIF1<0，該函數(shù)的定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若函數(shù)SKIPIF1<0為增函數(shù)，則SKIPIF1<0恒成立．令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，故SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0．(2)因為函數(shù)SKIPIF1<0有兩個極值點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，即方程SKIPIF1<0有兩個不等的實根SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞減，在SKIPIF1<0上遞增，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的兩個根，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0兩式作差得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即只需證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，命題得證．11．已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)求函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與SKIPIF1<0的圖象交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，證明：SKIPIF1<0.【解析】(1)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的單調(diào)增區(qū)間為SKIPIF1<0，減區(qū)間為SKIPIF1<0(2)由（1）不妨設SKIPIF1<0由題知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩式相減整理可得：SKIPIF1<0所以要證明SKIPIF1<0成立，只需證明SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0，所以只需證明SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則只需證明SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0令SKIPIF1<0SKIPIF1<0記SKIPIF1<0則SKIPIF1<0易知，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞增故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以，原不等式SKIPIF1<0成立.12．已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)討論SKIPIF1<0的單調(diào)性.(2)若函數(shù)SKIPIF1<0有兩個零點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.【解析】(1)函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.①當SKIPIF1<0時，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增.②當SKIPIF1<0時，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增.綜上所述，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增.(2)證明：因為SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的兩個零點，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相減，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0得證.13．已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍；(2)當SKIPIF1<0時，方程SKIPIF1<0有兩個不相等的實數(shù)根SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．【解析】（1）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，∴SKIPIF1<0，與已知矛盾．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，∴SKIPIF1<0，滿足條件；綜上，SKIPIF1<0取值范圍是SKIPIF1<0．（2）證明：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，不妨設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，要證SKIPIF1<0，只需證SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，∴只需證SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴只需證SKIPIF1<0．設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0成立，∴SKIPIF1<0．14．設函數(shù)SKIPIF1<0，已知直線SKIPIF1<0是曲線SKIPIF1<0的一條切線.(1)求SKIPIF1<0的值，并討論函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性；(2)若SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增【解析】(1)設直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0相切于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有唯一零點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增.(2)由（1）知：SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；要證SKIPIF1<0，只需證SKIPIF1<0；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0只需證SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則只需證SKIPIF1<0對任意SKIPIF1<0恒成立；設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0，又當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0時恒成立，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，原不等式得證.15．已知函數(shù)SKIPIF1<0有兩個不同的零點SKIPIF1<0.(1)求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍；(2)求證：SKIPIF1<0.【解析】(1)定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減.SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極小值，也是最小值，又SKIPIF1<0，所以先保證必要條件SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0滿足題意.當SKIPIF1<0時，易知，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0由以上可知，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有兩個不同的零點.(2)由題意，假設SKIPIF1<0，要證明SKIPIF1<0，只需證明SKIPIF1<0.只需證SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0.即只需證SKIPIF1<0，構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減.SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0所以原命題成立.16．已知SKIPIF1<0是實數(shù)，函數(shù)SKIPIF1<0．(1)討論SKIPIF1<0的單調(diào)性；(2)若SKIPIF1<0有兩個相異的零點SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0．【解析】(1)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；當SKIPIF1<0時，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；綜上：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；(2)由（1）可知，要想SKIPIF1<0有兩個相異的零點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，不妨設SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，要證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，等價于SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以等價于證明SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，于是等價于證明SKIPIF1<0成立，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0成立，所以SKIPIF1<0，結(jié)論得證.17．已知函數(shù)SKIPIF1<0，(1)討論函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性；(2)若函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有兩個不相等的零點SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.【解析】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.①當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0單調(diào)遞增；②當SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減.綜上：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞增；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減.(2)∵SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有兩個不相等的零點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不妨設SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有兩個不相等的實根，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0要證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，只要證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0即證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.18．已知函數(shù)SKIPIF1<0的導函數(shù)為SKIPIF1<0.(1)判斷SKIPIF1<0的單調(diào)性；(2)若關于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有兩個實數(shù)根SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.【解析】(1)SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；(2)依題意，SKIPIF1<0，相減得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，欲證SKIPIF1<0成立，只需證SKIPIF1<0成立，即證SKIPIF1<0成立，即證SKIPIF1<0成立，令SKIPIF1<0，只需證SKIPIF1<0成立，令SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0成立SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)遞減，在SKIPIF1<0內(nèi)遞增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0成立，故原不等式成立.19．已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)設函數(shù)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0恒成立，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍；(2)求證：SKIPIF1<0；(3)設函數(shù)SKIPIF1<0的兩個零點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.【解析】(1)由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，可得SKIP