超精密軌跡規(guī)劃算法及其精度控制

超精密軌跡規(guī)劃算法及其精度控制

0階軌跡規(guī)劃方法點運動廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代高精度網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，如機器人和明末清初的機器人加工。這類運動對精度和效率的要求極高,甚至要求納米級精度,而軌跡規(guī)劃是超精密運動的重點和難點之一,其軌跡規(guī)劃精度直接決定了運動精度和性能,因此,與此相適應(yīng)的快速精確的軌跡規(guī)劃算法成為了現(xiàn)代超精密運動系統(tǒng)必須解決的問題,是提高競爭力的必要手段。軌跡規(guī)劃負責(zé)計算給定運動在每個采樣周期的加速度、速度和位置等參考數(shù)據(jù),以提供給后續(xù)的數(shù)字控制器使用。高精度點對點軌跡規(guī)劃應(yīng)具有以下基本目標(biāo):小的沖擊或殘余振動、優(yōu)化的運動時間和高的軌跡精度。眾所周知,二階軌跡運動能獲得良好的快速性,但由于大多數(shù)實際系統(tǒng)的柔性或依賴性,當(dāng)系統(tǒng)作高速運動時,二階軌跡運動容易激起殘余振動,需要增加穩(wěn)定時間來消散這些殘余振動,以滿足終點位置的精度要求。隨著加工精度與生產(chǎn)率的不斷提高,三階軌跡或更高階軌跡規(guī)劃已在實際應(yīng)用中被采用,使用這些參考軌跡既能獲得運動快速性也能獲得小的系統(tǒng)殘余振動。目前已提出了很多可行的軌跡規(guī)劃及光滑處理的方法,但這些方法通常顯著增加軌跡規(guī)劃的執(zhí)行時間,影響效率。而且,現(xiàn)有研究中,軌跡規(guī)劃的數(shù)據(jù)生成幾乎全部采用浮點數(shù)積分方法,必然導(dǎo)致結(jié)果數(shù)據(jù)的漂移(即使采用64位雙精度浮點數(shù)),引起軌跡計算精度下降,但現(xiàn)有研究尚未對其進行補償。此外,軌跡規(guī)劃中各切換點的時間圓整也會引起規(guī)劃終點位置與理論位置之間的偏差,已有文獻提出了加速度均分誤差法,該方法能簡單地處理二階位置軌跡中因圓整引起的誤差,但該方法難以應(yīng)用到三階或更高階的軌跡規(guī)劃。因此,本文提出了一種三階軌跡規(guī)劃方法,該方法極大改善了以上不足,并能方便地應(yīng)用于工程實踐。其主要方面包括:①分析軌跡規(guī)劃中可能存在的各種情況。②建立了速度—加速度約束基準(zhǔn)、位移—加速度約束基準(zhǔn)和位移—速度約束基準(zhǔn),這些約束基準(zhǔn)用于以上各種情形的預(yù)判斷,為算法公式推導(dǎo)提供依據(jù)。③考慮軌跡整體規(guī)劃過程,并結(jié)合約束基準(zhǔn)與可能情形,對運動軌跡算法公式進行了推導(dǎo),給出了整條軌跡的全局預(yù)處理過程,實現(xiàn)了時間優(yōu)化。④在以上分析基礎(chǔ)上,提出了軌跡規(guī)劃的精確算法,給出了算法的實現(xiàn)流程。⑤考慮算法計算機實現(xiàn)時的精度損失,提出了內(nèi)部整數(shù)積分方法和基于位置修正因子的精度補償方法。該算法能實現(xiàn)高效的軌跡規(guī)劃,大大縮短采樣中斷計算時間,為實時系統(tǒng)采樣頻率的提高提供可能,同時糾正了算法離散實現(xiàn)時的精確損失,為超精密加工提供有效的軌跡規(guī)劃方法。1軌跡規(guī)劃可能出現(xiàn)的問題點對點運動為兩點之間的運動,要求保證終點位置精度,一般采用直線運動以滿足運動的快速性,且初始位置和終點位置的加速度與速度均為零。點對點軌跡規(guī)劃的基本功能就是計算各采樣時間的軌跡理論數(shù)據(jù)。圖1為典型的三階對稱位置軌跡,部分Ⅰ為常加加速度段,部分Ⅱ為常加速度段,部分Ⅲ為常速段。改變給定約束條件,軌跡中的部分Ⅱ或部分Ⅲ可能不再存在,也就是軌跡規(guī)劃存在著多種可能情形。通過分析,總結(jié)出各種情形相應(yīng)的約束特征,并進行相應(yīng)計算公式的推導(dǎo),歸納出用以判別以上各種情形的準(zhǔn)則與步驟,由此直接進行軌跡的計算與規(guī)劃,精確規(guī)劃出整個運動軌跡是三階軌跡規(guī)劃的任務(wù)。1.1加速度與速度關(guān)系(1)當(dāng)加速度達到給定最大值(暫不考慮給定最大速度與運動位移),加速度軌跡以對稱形式在最短時間內(nèi)將加速度與速度變?yōu)榱銜r,對應(yīng)的最大速度與位移值,分別記為v_a_lim,s_a_lim。(2)當(dāng)速度達到最大值(暫不考慮給定運動位移),加速度軌跡以對稱形式在最短時間內(nèi)將加速度和速度變?yōu)榱銜r,對應(yīng)的位移值,記為s_v_lim。1.2加速度已達到2.23.2由前述可知,不同的約束條件可能決定不同的軌跡形狀。對三階軌跡規(guī)劃而言,其約束條件包括最大加加速度,最大加速度,給定運動速度及終點位置。實際應(yīng)用中存在6種可能軌跡形狀,分別見圖2~5。注:以下描述中的速度和位移的大與小是指分別相對特征值v_a_lim,s_a_lim。這6種可能情形的軌跡特征與約束特征可歸納如下。(1)速度小位移大的情況。由于速度太小,加速度未到達最大值之前,速度就已滿足,但運動位移較大,仍需以最大速度繼續(xù)運動。這種情況的加速度軌跡形狀為三角形且正負三角形不相連,即軌跡中含有常速段。(2)位移小速度大的情況。由于位移太小,加速度與速度均未到達最大值之前,運動位移就已滿足。這種情況的加速度軌跡形狀為三角形且正負三角形相連,即軌跡中無常速段。(3)速度小位移也小的情況。加速度未到達最大值之前,最大速度或位移就已滿足,加速度軌跡形狀為三角形,但正負三角形是否相連取決于給定速度與位移滿足的時間先后。1)速度更小的情況。這種情況下,最大速度滿足時,運動位移尚未滿足,仍需以最大速度繼續(xù)運動,即加速度軌跡中正負三角形不相連,含有常速段,該情況與情況(1)類似。2)位移更小的情況。這種情況下,運動位移滿足時,最大速度仍未到達,因此運動中無常速段,該情況與情況(2)類似。(4)位移大速度也大的情況。當(dāng)加速度到達最大值時,最大速度與位移尚未滿足,仍需按最大加速度繼續(xù)加速,但是最大速度先滿足還是運動位移先滿足,取決于進一步比較。顯然,這種情況的加速度軌跡為梯形。1)位移更大的情況。這種情況下,最大速度先滿足,但仍需以最大速度繼續(xù)運動以滿足位移要求,即加速度軌跡中正負梯形不相連,含有常速段。2)速度更大的情況。這種情況下,運動位移先滿足,此時加速度軌跡中不含常速段,即加速度軌跡中正負梯形相連。1.3最大加速度時間節(jié)點確定為了進行軌跡情形的預(yù)判斷,首先確定各種情形的約束特征,建立相應(yīng)的約束基準(zhǔn)。假設(shè)系統(tǒng)約束條件如下:最大加加速度jmax,最大加速度amax,最大速度vmax,給定運動速度v,終點位置s。(1)速度—加速度約束基準(zhǔn),當(dāng)v>vmax時,v=vmax,若位移約束s>s_a_lim且速度約束v<v_a_lim時,則加速度尚未達到最大值,加加速度時間段由給定速度確定,見圖2。(2)位移—加速度約束基準(zhǔn),當(dāng)v>vmax時,v=vmax,若位移約束s<s_a_lim且速度約束v>v_a_lim時,則加速度尚未達到最大值,加加速度時間段由運動位移確定,見圖3。(3)位移—速度約束基準(zhǔn)1,當(dāng)v>vmax時,v=vmax,若位移約束s<s_a_lim且速度約束v<v_a_lim時,則加速度尚未達到最大值,加加速度時間段由運動位移確定還是給定速度確定,需要進一步分析。判別方法如下。1)當(dāng)位移約束s>s_v_lim時,加加速度時間段由最大速度確定,見圖2。2)當(dāng)位移約束s<s_v_lim時,加加速度時間段由運動位移確定,見圖3。(4)位移—速度約束基準(zhǔn)2,當(dāng)v>vmax時,v=vmax,若位移約束s>s_a_lim且速度約束v>v_a_lim時,加速度已達到最大值,但最大加速度時間段由運動位移確定還是給定速度確定,需要進一步分析。判別方法如下。1)當(dāng)位移約束s>s_v_lim時,最大加速度時間段由給定速度確定,見圖4。2)當(dāng)位移約束s<s_v_lim時,最大加速度時間段由運動位移確定,見圖5。約束基準(zhǔn)的建立,根據(jù)實際物理限制,可用來實現(xiàn)圖1中各部分的時間優(yōu)化。該基準(zhǔn)也為后續(xù)公式推導(dǎo)提供依據(jù)。2形狀或三角形由分析可知,可能軌跡情形的確定取決于兩個問題:其一是加速度軌跡形狀,即三角形或梯形;其二是加速度軌跡形狀是否相連,即軌跡中的三角形或梯形是否連續(xù)。因為不同的形狀及其是否相連對應(yīng)著不同的約束計算公式,因此根據(jù)上述兩個問題,即可直接進行相應(yīng)的公式推導(dǎo)。2.1速度時間和位移時間定義三個關(guān)鍵變量tj,ta,tv,如圖1所示。采用對稱梯形加速度曲線的三階軌跡可由此三個變量唯一確定。該三個變量的使用可大大簡化公式的推導(dǎo)過程,并易于高階軌跡規(guī)劃的擴展。這里稱變量ta和tv為速度時間與位移時間。此外,定義以最大加加速度加速,直到加速度達到其最大值時所對應(yīng)的時間為ttab,即ttab=amax/jmax。該變量用來關(guān)聯(lián)最大加速度與最大加加速度,用以方便建立算法所需的加速度表,實現(xiàn)最大加加速度限制的隱藏。2.2最大加加速度時段的確定按照前述分析,計算公式可分成以下四種情況進行推導(dǎo)。這里公式推導(dǎo)直接利用幾何曲線的對稱性與圖形面積求積分法,而不采用一般的分段函數(shù)與其邊界條件求積分法,這樣可極大地簡化推導(dǎo)過程。滿足工程應(yīng)用中簡單、直接的要求。(1)加速度形狀為三角形且正負相連的情況。如圖3所示,最大加加速度時間段由運動位移決定,位移與時間的關(guān)系為即最大加加速度時間段為(2)加速度形狀為三角形且正負不相連的情況。如圖2所示,這種情況存在常速段,最大加加速度時間段由給定速度決定,速度與時間的關(guān)系為即最大加加速度時間段為位移時間tv與運動位移、給定速度之間的關(guān)系為即位移時間tv計算為(3)加速度形狀為梯形且正負相連的情況。如圖5所示,這種情況存在最大加速度段,最大加加速度時間段由最大加速度確定,最大加速時間段則由運動位移確定,存在以下關(guān)系。最大加加速度時間段與最大加速度的關(guān)系為即最大加加速度時間段為速度時間ta與運動位移的關(guān)系為即速度時間ta為(4)加速度形狀為梯形且正負不相連的情況。如圖4所示,這種情況存在最大加速度段與常速段,最大加加速度時間段由最大加速度確定,最大加速度時間段由給定速度確定,常速時間段則由運動位移確定,存在以下關(guān)系。由最大加速度確定最大加加速度時間段的計算公式同方程式(8)。速度時間ta與最大加速度的關(guān)系為即速度時間ta為位移時間tv與運動位移、給定速度之間的關(guān)系式同方程式(5)。位移時間tv計算公式同方程式(6)。2.3加加速度時間的確定本質(zhì)上,三階軌跡規(guī)劃即為確定三個關(guān)鍵時間tj,ta,tv的計算。因此,其軌跡規(guī)劃的精確算法與步驟如下。(1)計算限制值v_a_lim,s_a_lim,s_v_lim,計算公式為式中,P、Q為兩個整型系數(shù),滿足以下約束且當(dāng)vjmax<a2max時,P=1;否則,P=0。(2)當(dāng)v>vmax時,v=vmax。若速度限制v<v_a_lim且位移限制s>s_a_lim,由方程式(4)確定加加速度時間tj;由方程式(6)確定位移時間tv;這種情況下,ta=tj。(3)當(dāng)v>vmax時,v=vmax。若速度限制v>v_a_lim且位移限制s<s_a_lim,由方程式(2)確定加加速度時間tj;這種情況下,ta=tj,tv=2tj。(4)當(dāng)v>vmax時,v=vmax。若速度限制v<v_a_lim且位移限制s<s_a_lim且位移約束s>s_v_lim,由方程式(4)確定加加速度時間tj;由方程式(6)確定位移時間tv;這種情況下,ta=tj。(5)當(dāng)v>vmax時,v=vmax。若速度限制v<v_a_lim且位移限制s<s_a_lim且位移約束s<s_v_lim,由方程式(2)確定加加速度時間tj;這種情況下,ta=tj,tv=2tj。(6)當(dāng)v>vmax時,v=vmax。若速度限制v>v_a_lim且位移限制s>s_a_lim且位移約束s>s_v_lim,由方程式(8)確定加加速度時間tj;由方程式(12)確定速度時間ta;由方程式(6)確定位移時間tv。(7)當(dāng)v>vmax時,v=vmax。若速度限制v>v_a_lim且位移限制s>s_a_lim且位移約束s<s_v_lim,由方程式(8)確定加加速度時間tj;由方程式(10)確定速度時間ta;這種情況下,tv=ta+tj。3超精密加工工藝在軌跡規(guī)劃的離散實現(xiàn)過程中,存在精度損失問題,包括:①多次浮點數(shù)積分操作引起誤差累積,導(dǎo)致結(jié)果數(shù)據(jù)漂移。②切換時間的圓整引起精度超差。以上兩個問題都會導(dǎo)致規(guī)劃的終點位置偏離理想位置,造成精度失敗,在超精密加工中必須予以考慮與補償。下面給出了兩種對應(yīng)的方法,即內(nèi)部整數(shù)積分策略與位置修正因子補償策略,用來解決精度損失問題。眾所周知,速度軌跡與位置軌跡采用加速度積分進行計算,即加速度的一重積分得到速度軌跡,加速度的二重積分得到位置軌跡。三階軌跡生成的積分計算公式為實際工程中,加速度一般以加速度表形式給出。設(shè)加速度表長度為ntab,加速度表可表示為以下形式:a(0),a(1),…,a(ntab–2),a(ntab–1)。加速度表的最后有效元素為最大加速度值,即amax=a(ntab–1)。3.1單位轉(zhuǎn)化因子在軌跡計算內(nèi)部采用整數(shù)積分操作,克服浮點數(shù)積分或累加必然造成的結(jié)果漂移。因整數(shù)計算是完全精確而浮點數(shù)計算則存在精度損失,采用該策略所產(chǎn)生的所有軌跡數(shù)據(jù)總是圍繞其理論值微小波動,而不致產(chǎn)生因多次積分引起誤差累積而造成大的數(shù)據(jù)漂移。計算中,為了便于與伺服環(huán)中其他單元接口,輸入和輸出數(shù)據(jù)仍采用浮點數(shù)表示。首先,為了實現(xiàn)內(nèi)部與外部輸入輸出數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)化,定義一組單位轉(zhuǎn)化因子及其倒數(shù)值。內(nèi)部整數(shù)積分策略基本過程為:運動輸入?yún)?shù)通過轉(zhuǎn)化因子全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)部整數(shù),按照前述的軌跡規(guī)劃算法進行軌跡規(guī)劃,確定出三個關(guān)鍵時間,繼而確定加速度軌跡中所有拐點處的時間,之后軌跡數(shù)據(jù)的產(chǎn)生通過獲取對應(yīng)的內(nèi)部整型加速度值并進行內(nèi)部整數(shù)積分操作,即可獲取以內(nèi)部單位表示的整型軌跡數(shù)據(jù),然后再通過轉(zhuǎn)化因子的倒數(shù)將其轉(zhuǎn)化為國際單位的浮點數(shù)數(shù)據(jù)。此外,因存在切換時間的圓整誤差,還需對該誤差進行補償,該部分算法見下一部分。對單位轉(zhuǎn)化因子的計算,只需首先確定兩個基本量:位置當(dāng)量與系統(tǒng)采樣周期,所有其他單位轉(zhuǎn)化因子可由這兩個基本量計算得到,包括加加速度單位轉(zhuǎn)化因子,加速度單位轉(zhuǎn)化因子,速度單位轉(zhuǎn)化因子等。需要特別注意位置當(dāng)量的選擇,一般而言,位置當(dāng)量選擇越小對精度越有利。因此位置當(dāng)量的選擇應(yīng)遵循以下原則:所采用的整數(shù)最大范圍所能表示出的浮點數(shù)位移應(yīng)稍微大于實際所要求的運動行程,如行程為±0.5m,采用32位整數(shù),則位置當(dāng)量可選為0.25nm(1.0/232≈0.23283nm)。3.2連續(xù)時間偏差的影響軌跡算法計算已確定了所需三個關(guān)鍵時間tj,ta,tv,但算法實現(xiàn)均采用按一定采樣周期的計算機離散處理,所以以上時間都必須圓整為采樣周期的整數(shù)倍。但這種切換時間的圓整處理會產(chǎn)生圓整后的時間與實際計算的連續(xù)時間之間的偏差,影響終點位置精度。本文提出了一種基于位置修正因子的補償方法,能有效地消除這種位置偏差,保證精度精確地滿足預(yù)期要求。設(shè)時間tj,ta,tv圓整后對應(yīng)的圓整整數(shù)為nj,na,nv,且加速度表已轉(zhuǎn)化為內(nèi)部整數(shù)加速度表,由已推導(dǎo)的公式可知,則圓整后的位移值sround可計算為位置修正因子可計算為這里,位移s為浮點數(shù)的國際單位,而圓整后的位移值sround為內(nèi)部單位的整型值,因此需將位移值s乘以位置當(dāng)量的倒數(shù)以轉(zhuǎn)化為具有相同單位的內(nèi)部整型值。每個采樣周期的軌跡數(shù)據(jù)通過該位置修正因子進行修正,即可補償離散實現(xiàn)時圓整所帶來的誤差,精確地保證終點位置精度。4各因素時點計算方法的驗證為了驗證所提出的算法及精度控制策略的有效性與可靠性,本節(jié)對前面提出的算法及相關(guān)策略進行了計算,并給出了相關(guān)的關(guān)鍵參數(shù)。設(shè)最大加加速